Matematyka dla Chemik´ow Lista 6
(1) Korzystaj¸ac z twierdze´n o arytmetyce funkcji ci¸ag lych i twierdzenia o ci¸ag lo´sci funkcji z lo˙zonej uzasadni´c ci¸ag lo´s´c nast¸epuj¸acych funkcji:
sin2x w punktach x ∈ R, ln |x| w punktach x ∈ R \ {0}, cos 3
√tg xw punktach x ∈ (0,π 2).
(2) Zbada´c ci¸ag lo´s´c (lewostronn¸a i prawostronn¸a ci¸ag lo´s´c) w punktach ”niereg- ularnych”:
f (x) = (x2−1
|x−1| , dla x 6= 1
−2 , dla x = 1 , f (x) =
x2cos1x , dla x > 0 0 , dla x = 0 e−1x , dla x < 0
,
f (x) =
sin x
x , dla x < 0 0 , dla x = 0
ex−1
x , dla x > 0
, f (x) =
1 − cosx1 , dla x < 0 0 , dla x = 0
√x sinx1 , dla x > 0 .
Wskaz´owka: Zastosuj tablic¸e podstawowych granic nieoznaczonych.
(3) Dobra´c parametry a i b ∈ R tak, aby f (x) by la ci¸ag la.
f (x) = (sin x
ax , dla x < 0
x + b , dla x ≥ 0 , f (x) =
(x , dla |x| ≤ 1
x2+ ax + b , dla |x| > 1 . (4) Korzystaj¸ac z twierdzenia Darboux uzasadni´c, ˙ze podane r´ownania maj¸a
rozwi¸azania we wskazanych przedzia lach:
x4= 4x, dla x ∈ (−∞, 0], ln x = 2 − x , dla x ∈ [1, 2].
(5) Korzystaj¸ac z twierdzenia Darboux uzasadni´c, ˙ze podane funkcje przyjmuj¸a okre´slone warto´sci we wskazanych przedzia lach:
f (x) = sin x + cos x w [0, π], f (a) = 1
3, f (x) = 2x− x2w [1, 3], f (a) = 1 10.
1