PRACE ORYGINALNE ORIGINAL PAPERS

Słowa kluczowe: pasmo płytowe, częstość drgań własnych, metoda przemieszczeń Key words: plate band, natural frequency, displacement method

Wstęp

Jędrysiak (2014) rozpatrzył drgania własne pasma przy zastosowaniu mode- lowania tolerancyjnego. Założył, że sztywność pasma nie zależy od zmiennej y (rys. 1). Bazując na równaniu różniczkowym pasma płytowego o zmiennej sztyw- ności i masie względem osi x, przy uwzględnieniu wpływu bezwładności obrotowej, wyznaczył częstości drgań własnych.

PRACE ORYGINALNE

ORIGINAL PAPERS

Przegląd Naukowy – Inżynieria i Kształtowanie Środowiska nr 66, 2014: 317–331 (Prz. Nauk. Inż. Kszt. Środ. 66, 2014)

Scientifi c Review – Engineering and Environmental Sciences No 66, 2014: 317–331 (Sci. Rev. Eng. Env. Sci. 66, 2014)

Marek CHALECKI, Grzegorz JEMIELITA

Katedra Inżynierii Budowlanej, Szkoła Główna Gospodarstwa Wiejskiego w Warszawie Department of Civil Engineering, Warsaw University of Life Sciences – SGGW

Drgania własne mikroniejednorodnego pasma płytowego

^*

Free vibrations of micro-non-homogeneous plate band

RYSUNEK 1. Pasmo płytowe z mikrostrukturą FIGURE 1. Plate band with micro-structure

*Z uwagi na rozbudowane wzory artykuł złożono jednołamowo.

Wierzbicki i inni (2014, s. 253) podają następujące stwierdzenie dotyczące mo- delowania tolerancyjnego: „Ta zaleta modelowania tolerancyjnego zaowocowała opisem i rozwiązaniem wielu problemów mechaniki ośrodków niejednorodnych.

Niestety, uzyskujemy tu rozwiązania przybliżone, dla których nie dysponujemy efektywnymi metodami oceny dokładności otrzymywanych rozwiązań”.

W przypadku zagadnienia przedstawionego przez Jędrysiaka (2014) można uzy- skać rozwiązanie ścisłe bądź formalnie ścisłe w ramach teorii płyt cienkich.

Cząstkowe równanie różniczkowe drgań płyty, w przypadku niezależności sztywności, gęstości i warunków brzegowych od zmiennej y i braku sił wymuszają- cych drgania, można przedstawić w postaci (Jemielita, 2001, s. 307).

           

2 2 3

2 2

, , , 0

12

w x t

D x w x t h x h x w x t

x x

x x U U

ªw §¨ w ·¸  w § w · º

«w w w ¨© w ¸¹ »

¬ © ¹ ¼

  (1)

gdzie:

ρ – gęstość materiału

3

kg m ª º

« »

¬ ¼, D – sztywność płyty,  



 



1 3 2 1

12 1 E x h

D Q x .

Formalnie ścisłe rozwiązanie równania różniczkowego (1) o dowolnie zmien- nych współczynnikach, opisującego problem drgań własnych pasma, można uzy- skać za pomocą szeregów Fouriera funkcji własnych (Jemielita, 2011).

W tej pracy pokażemy możliwość uzyskania ścisłego rozwiązania zagadnienia przedstawionego w pracy Jędrysiaka (2014), korzystając z metod mechaniki budow- li. W tym celu zauważmy, że problem drgań własnych takiego pasma sprowadza się do znalezienia drgań własnych belki Bernoullego z poprawką Rayleigh o zmiennych skokowo sztywności i masie.

Celem pracy jest ścisłe wyznaczenie drgań własnych cienkiego pasma płytowe- go o mikrostrukturze pokazanej na rysunku 1.

Podstawowe założenia

Rozpatrzmy pasmo płytowe Kirchhoffa o danej szerokości (L) i stałej grubości (h), o mikrostrukturze pokazanej na rysunku 1.

Pasmo wzdłuż zmiennej x₁ składa się z N komórek o stałej długości (l), równej l L

N (2)

Każda komórka jest złożona z trzech części, dwóch materiałów o sztywnościach D₁, D₂ i masach na jednostkę powierzchni μ₁, μ₂ (rys. 2), przy czym

   

3 3

1 1 2 2 2 1

1

, , 0, 0, ȡ

12 1 12 1

E h Eh

D D D KD D ! K ! P P h

 Q  Q

ȝ2 rȝ, ȝ !0, 0r t gdzie:

η – dowolna dodatnia liczba rzeczywista większa od zera,

r – dowolna dodatnia liczba rzeczywista większa bądź równa zeru, μ – masą na jednostkę szerokości pasma [kg/m].

Widoczne jest, że przyjmujemy możliwość rozpatrywania bezmasowej części środkowej komórki. Długości części składowych komórki o numerze k wyznaczamy ze wzorów

l₁ = ξ₁l, l₂ = ξ₂l w których oznaczono

1 1 1 2 1 1 2

1 , , = 1, 2, 3, ..., , 2

2 1 1

k k L

k N l l l

N N N

[ ^§¨©  ^ ^·¸¹ [ ^ 

Komórkę pasma można traktować jak element pręta o przekroju F = h × b, b = 1 m. W celu uzyskania drgań własnych pasma należy wyznaczyć macierz sztyw- ności (wzory transformacyjne) typowego elementu (komórki) prętowego o długości l = 2l₁ + l₂.

RYSUNEK 2. Wymiary komórki FIGURE 2. Dimensions of a cell

Wzory transformacyjne elementu pasma

Komórkę obustronnie utwierdzonego pasma możemy traktować jako utwierdzo- ny pręt, o kolejnym numerze k, długości L

l N, o zmiennych skokowo sztywności i masie na jednostkę długości pręta (komórki), którego (której) podpory doznają amplitud przemieszczeń (obrotów i przesunięć): φ_k–1, φ_k, w_k–1, w_k (rys. 3).

Rozpatrzmy pręt o zmiennych masie i sztywności (rys. 3). Wzory transforma- cyjne na amplitudy momentów: I I I I , i amplitudy sił przywęzłowych: ₁¹, , , ₁² ₂² ₂³

1 2 2 3

1, , , 1 2 2

W W W W , zależą od parametrów

1 1 , 2 2 4 r

O [ O O [ O K gdzie

4 2

l D

O PZ (3)

a ω jest poszukiwaną częstością drgań własnych.

Układ równań równowagi na amplitudy momentów i sił przywęzłowych zapi- szemy w postaci

1 2 2 3 1 2 2 3

1 1 0, 0, 0, 02 2 W1 W1 W2 W2

I  I I  I   (4)

w której

l₁ l2 l₁

l=L N

D₁,P1 D2,P2 D₁,P1

1 2 3

1 2

k1 k

Mk1

k

Mk

w_k1 w_k

W_k1 Wk

)_k1 )k

RYSUNEK 3. Model komórki periodyczności zgodny z oznaczeniami stosowanymi w metodzie prze- mieszczeń

FIGURE 3. Model of a periodic cell complying with the denotations used in the displacement method

1 1 1

1 1 1 1 1 1 1

1 1 1

k k

D l

 \  \

ª º

I [ «¬E M  D M  G [  T [ »¼

2 1 2

1 2 1 2 2 2 2

2 2 2

D l

K ª \ \ º

I [ «¬D M  E M  T [  G [ »¼

2 1 2

2 2 1 2 2 2 2

2 2 2

D l

K ª \ \ º

I [ «¬E M  D M  G [  T [ »¼

3 2

2 1 2 1 1 1

1 1 1

k k

D l

\ \

ª º

I [ «¬D M  E M  T [  G [ »¼

 

1 1 1

1 2 1 1 1 1 1 1

1 1

1

k k

W D

l

 \  \

ª º

 [ «¬G M  T M  H [  J [ »¼

 

2 1 2

1 2 2 1 2 2 2 2

2 2

2

W D

l

K ª«¬T M  G M  J \[  H \[ º»¼ [

 

2 1 2

2 2 2 1 2 2 2 2

2 2

2

W D

l

K ª \ \ º

 [ «¬G M  T M  H [  J [ »¼

 

3 2

2 2 1 2 1 1 1

1 1

1

k k

W D

L

\ \

ªT M  G M  J  H º

« [ [ »

¬ ¼

[

przy czym kąty obrotu ψ są zdefi niowane następująco

1 2 1

1 w , , 2 w _k 1 w^k , _k w^k

l l l l

 

\ \ \ \

a odpowiednie funkcje określone są wzorami (i = 1, 2):

^{ch sin cos sh} _{, ,} ^{sh sin  2sh sin} 

1 ch cos 1 ch cos 1 ch cos

i i i i i i i i i i i

i i i

i i i i i i

O O O  O O O O  O O O O

D E T

 O O  O O  O O

     

2 ch cos 3 ch sin sh cos 3 sh sin

1 ch cos , , 1 ch cos 1 ch cos

i i i i i i i i i i i

i i i

i i i i i i

O O  O O O O  O O O O  O

G J H

 O O  O O  O O

(5)

Podane funkcje dotyczą pręta drgającego z pominięciem poprawki Rayleigh.

Dalszy tok rozumowania nie zależy od uwzględnienia czy też pominięcia bezwład- ności obrotowej. W przypadku uwzględnienia bezwładności obrotowej funkcje (5) będą miały inną postać.

Układ równań (4) zapiszemy w postaci macierzowej

0 0

k 

R f R

w której macierz sztywności i macierz momentów wyjściowych zapisujemy w postaci

1 1

1 2 1

1 1

1 1

11 12 13 14 1

1 12

12 22 23 24 2

13 23 33 34 0 1 1 1

1 1

2 3

14 24 34 44 1 1 2

1 1

2 3

1 1

, ,

k k

k k

k

k k

k k

r r r r

r r r r

r r r r

r r r r

 

 

E G

ª M  \ º

« [ [ »

« »

E G

« » M

ª º « M  \ » ª º

« » « [ [ » « »M

« » « »

« §G H ·» \

« » «¨ M  \ ¸» « »

« » « »\

¬ ¼ « ©[ [ ¹» ¬ ¼

« G M  H \ »

« »

[ [

¬ ¼

R K f

1 2 2 2 1 2

11 22 12 13 2 2 14 2

1 2 2 2 1 2

, , ,

r r D  KD r KE r KT  T r KG

[ [ [ [ [ [

1 2 2

23 14 24 13 33 44 3 3 34 3

1 2 2

, , ,

r r r r r r J  KJ r KH

[ [ [

Rozwiązaniem układu równań (4) są przemieszczenia M M \ \ zależne od ₁, , , _{2 1 2} przemieszczeń węzłów k − 1 i k, tj. od M_k1, , , M \_{k k}1 \ następująco_k

1 A1 _k1 (n 1)B1 _k1 C1 _k (n 1)D1 _k

M M   \  M   \

2 C1 _k1 (n 1)D1 _k1 A1 _k (n 1)B1 _k

M M   \  M   \

2 2

1 1 2 1 2

1 ^{k k} 1 ^{k k}

A C

B D

n ^{ } n

\ M  \  M  \

 

2 2

2 1 2 1 2

1 ^{k k} 1 ^{k k}

C A

D B

n ^{ } n

\  M  \  M \

 

Współczynniki A₁… D₂ macierzy odwrotnej

 

^{Kk 1} dla danego elementu (ko- mórki) o numerze k zależą od parametrów: k, N, η, r. Postać tych współczynni- ków jest dość skomplikowana (każdy z nich zajmuje ok. jednej strony formatu A4) i niezbyt łatwa do wyznaczenia numerycznie, dlatego wzory tych współczynników zostaną w pracy pominięte.

Mając przemieszczenia f, siły przywęzłowe dowolnego elementu wyznaczymy ze wzorów

1 1

1 1 1 1 1 1 1

1 1 1

k k

k D k

l

 ª  \  \ º

I [ «¬D M  E M  T [  G [ »¼

1 2 1 1 2 1

1 1 1

k k

k D k

l

\ \

ª º

I [ «¬E M  D M  G [  T [ »¼

 

1 1

1 2 1 1 1 1 1 1

1 1

1

k k

k D k

W l

 [ ¬«ªT M   G M  J \[  H \[ º»¼

 

1 2 1 1 2 1

2 1 1

1

k k

k D k

W l

\ \

ª º

 [ «¬G M  T M  H [  J [ »¼ (6)

Szczególnego potraktowania wymagają pierwszy i ostatni element, tj. dla k = 1 i k = N. Przy k = 1 spełnione są równości ₁ 1

[ 2N, [ , przy k = N zaś ₂ 0 [ 2 0,

2 1

[ N . Pierwsza komórka ma stałą sztywność D i masę μ, ostatnia zaś – stałą sztywność D₂ K i masę D P P. W zależności od podparcia pasma wzory trans-2 r formacyjne dla pierwszej i ostatniej komórki podał Hetmański (2004, s. 84–85).

Macierz sztywności elementu (komórki). Macierz sztywności pasma

Wzory (6), po podstawieniu wyznaczonych przemieszczeń φ₁, φ₂, ψ₁, ψ₂ zapi- szemy w postaci

1 11 1 12 13 1 14

2 2

k k k

k D k k

k k k k

l

 §  \  \ ·

I ¨© M  M   ¸¹

21 1 22 23 1 24

2 2

k k k

k D k k

k k k k

l

 \  \

§ ·

I ¨© M  M   ¸¹

1 31 1 32 33 1 34

2 2

k k k

k D k k

W l k k k k

l

 §¨ M   M  \   \ ·¸

© ¹

41 1 42 43 1 44

2 2

k k k

k D k k

W l k k k k

l

 \  \

§ ·

 ¨ M  M   ¸

© ¹

lub w postaci macierzowej



⁰



k D k k k

L 

ĭ bf ĭ K ij

w której oznaczono

1 1 1 1 1 1

1

1 1

1 1 1

1 0 1 1 1

1 1 1 2

1 1

1 12

1 1

1 1 2

1 1

1 12

0 0

0 0

b , ĭ

0 0

0 0

k k

k k

k k k

k k

 

 

ªE G º ªD M  T \ º

« [ » « »

« G » « D M  T \ »

« E » « [ »

« [ » «T M \ »

«G H » «  J »

«  » « [ [ »

«[ [ » « »

« G H » « T M  J \ »

«   » «¬ [ [ »¼

« [ [ »

¬ ¼

Ostatecznie możemy zapisać następujący wzór

k k k

ĭ K ij

gdzie:

K^k – macierz sztywności k-tego elementu,

1 1

11 12 13 14

21 22 23 24

31 32 33 34 1 1

41 42 43 44

, ,

k k

k k

k k

k k

k k k

k k

k k

k k

k k

k k k k

k k k k

k k k k W

k k k k W

 

 

ªI º ªM º

ª º « » « »

« » « I » « M »

« » « » « »

« » « » «\ »

« »

¬ ¼ «¬ »¼ «¬ \ »¼

K ĭ ij

gdzie:

1 1 2 1 1 1 1 2 1

11 2 12 2

1 1 1 1 1

1 1

2 12 , 2 2 12

C C A A

k k

n n

E  G E  D  G

[  [ [ [  [

     

1 1 2 1 1 1 1

13 2 14 2 2 1 2

1 1 1 1 1

( 1) , ( 1) 1

4 2 4 2 2

D D B

k  n E  G k  n E  T  B G

[ [ [ [ [

k₂₁ = k₁₂, k₂₂ = k₁₁, k₂₃ = –k₁₄

k₂₄ = –k₁₃,

         

1 1 2 1 1 1 1 2 1

31 2 3 32 2 2 3

1 1 1 1 1

2 2

1 , 1

2 2 2 2 2

C C A A

k k

n n

G H G T H

    

 

[ [ [ [ [

         

1 1 2 1 1 1 1

33 2 3 34 2 3 2 1 3

1 1 1 1 1

( 1) , ( 1) 1

2 2 2 2 2 2 2

D D B

k n G  H k  n G  J B H

[ [ [ [ [

k₄₁= –k₃₂, k₄₂ = –k₃₁, k₄₃ = k₃₄, k₄₄ = k₃₃ (7) Można łatwo wykazać, że k₃₁ = k₁₃ i k₃₂ = k₁₄, a więc macierz sztywności elementu jest symetryczna.

Na rysunku 4 schematycznie przedstawiono przekrój pasma z dowolną liczbą komórek (N). Niewiadomymi wielkościami są uogólnione przemieszczenia węzłów Mk^,wk ^lub M \ k^, k w lk^{/ .} Dla dowolnego węzła k ^{1d dk N}  możemy uło-¹ żyć dwa równania równowagi

1 0, 0, 1 1 1

k k k k

k k^ Wk Wk ^ k N

I  I  d d 

które zawierają sześć nieznanych uogólnionych przemieszczeń: φ_k–1, ψ_k–1, φ_k, ψ_k, φ_k+1, ψ_k+1. Łącznie otrzymujemy układ 2(N − 1) równań o 2(N − 1) niewiadomych.

Układ ten zapiszemy w postaci Kφ = 0

gdzie:

K – macierz sztywności pasma o elementach będących funkcją poszukiwanej warto- ści λ, dim K = 2(N − 1) × 2(N − 1),

φ – jednokolumnowa macierz uogólnionych przemieszczeń, dim φ = 2(N − 1) × 1.

RYSUNEK 4. Schematyczny przekrój pasma płytowego FIGURE 4. Schematic section of a plate band

Poniżej przedstawiono strukturę macierzy K i φ (komórki niewypełnione są równe 0).

Macierz K składa się z czterech podmacierzy o strukturze pasmowej. Poszczególne wyrazy są równe:

( ) ( 1) (2) ( 1)

( ) 12 12 12 12

1 1

, ,,

, ( , , ) , ( , , )

2 2

i i N

i p k

a k k ^ a D lP D k a KD l rP KD k ^

( ) ( ) ( ) ( 1) ( ) ( ) ( 1) (2)

1 11 2 11 14 14 14

, 1

, , , ( , , )

4

i i i i i i i

b k b k ^ c k k ^ c  Tp lP D  k

( 1) ( ) ( ) ( ) ( 1) ( ) ( ) ( 1)

14 1 13 2 13 32 32

,, 1 ( , , ) , , ,

4

N i i i i i i i

c KTk l rP KD k ^ d k d k ^ e k  k ^

(2) ( 1) ( ) ( )

32 32 1 31

1 1

, ( , , ) , ( , ,,, ) ,

4 4

N i i

p k

e  T lP D k e KT l rP KD k ^ f k

a’ b2 c’ d2

b1 a b2 d1 c d2

b1 a b2 d1 c d2

b1 … … d1 … …

… … … … … …

… … b2 … … d2

b1 a b2 d1 c d2

b1 a b2 d1 c d2

b1 a’’ d1 c’’

K=

e’ f2 g’ h2

f1 e f2 h1 g h2

f1 e f2 h1 g h2

f1 … … h1 … …

… … … … … …

… … f2 … … h2

f1 e f2 h1 g h2

f1 e f2 h1 g h2

f1 e’’ h1 g’’

1 2 3

3 2 1 1 2 3

3 2 1

...

...

ij

...

...

N N N

N N N













ªM º

«M »

« »

«M »

« »

« »

« »

« »

« »

«M »

«M »

« »

«M »

« »

«\ »

« »

\

« »

« »

«\ »

« »

« »

« »

« »

«\ »

« »

«\ »

«\ »

¬ ¼

( ) ( 1) ( ) ( ) ( 1) (2)

2 31 34 34 34

, 1

, , ( , , )

8

i i i i i

f k ^ g k  k ^ g Jp lP D  k

( 1) ( ) ( ) ( ) ( 1)

34 1 31 2 31

,, 1 ( , , ) , ,

8

N i i i i

g KJk l rP KD  k ^ h k h k ^

gdzie indeks górny w wyrazach a–h oznacza numer wiersza podmacierzy, a w wy- razach k – numer komórki (elementu) pasma (a więc np. wyraz f₁ w trzecim wierszu podmacierzy K wymaga wzięcia wyrazu k₃₁ dla komórki 3, a wyraz f₂ – wyrazu k₃₁ dla komórki 4). Wyrazy k dane są wzorami (7).

Ponieważ k₃₁ = k₁₃ i k₃₂ = k₁₄, więc f₁ = d₂ i e = c, a zatem macierz sztywności pasma jest symetryczna.

Wyrazy: a’, a’’, c’, c’’, e’, e’’, g’, g’’, są konsekwencją akapitu zawartego pod wzorami (6). W zależności od sposobu podparcia współczynniki: α_p, θ_p, γ_p, α_k, θ_k, γ_k, w nich zawarte mogą być równe α, θ, γ dla utwierdzenia, α’, θ’, γ’ dla podparcia swobodnego, α’’, θ’’, γ’’ dla brzegu swobodnego (wzory − patrz Hetmański 2004, s. 84–85).

Wyznaczenie przybliżonych wartości częstości

Z warunku DetK = 0 dla danych N, η, r możemy wyznaczyć kolejne wartości λ, a następnie ze wzoru (3) wartości częstości drgań własnych. Polega to oczywiście na przedstawieniu zależności funkcyjnej DetK(λ) i wyznaczeniu jej miejsc zerowych.

Ponieważ macierz K ma ogólnie duże rozmiary, jej wyrazy zależą w bardzo złożony sposób od funkcji danych wzorem (5), a dodatkowo funkcje te – od wielkości λ, więc taka zależność funkcyjna będzie niesłychanie złożona, a jej policzenie może zająć bardzo dużo czasu nawet komputerom z wydajnym procesorem (a prawdo- podobnie zostanie przerwane z powodu całkowitego zajęcia pamięci operacyjnej).

Dlatego najlepiej jest dla danych parametrów η, r i N przyjąć startową wartość λ₀ i przy danym kroku zwiększania wartości startowej, po zmianie znaku wartości wyznacznika, zastosować metodę bisekcji do znalezienia wartości takiej λ_k, że jest spełniony warunek DetK(λ_k) ~– 0.

Jako przykład wykonano obliczenia dla płyty 6-komórkowej, obustronnie utwierdzonej, dla której wybrano η = 5 i r = 4 (wartości zbliżone dla właściwo- ści dobrego betonu i stali: E_b ≈ 40 000 MPa, E_s ≈ 200 000 MPa, ρ_b ≈ 2000 kg/m³, ρ_s ≈ 8000 kg/m³). Dla kolejnych wartości λ = [0,01; 0,1; 0,2 … 0,9; 1] otrzymano wartości DetK(λ), pokazane na wykresie (rys. 5).

Na podstawie takiego wykresu można oszacować z dużą dokładnością, że DetK = 0 dla λ = 0,75555. Należy pamiętać, że dla λ = 0 w celu policzenia wy- znacznika powinno stosować się przejścia graniczne dla funkcji (5).

W podobny sposób można też przeprowadzić kontrolę poprawności przedsta- wionych w niniejszej pracy obliczeń. Jeśli założymy, że płyta jest jednorodna, czyli

η = 1 i r = 1, to powinniśmy otrzymać wartości λ odpowiadające jednorodnemu pa- smu płytowemu. Na przykład, zakładając N = 8, otrzymamy wykresy analogiczne do tego z rysunku 5, zależne od podparcia. Otrzymano następujące wartości λ:

dla pasma płytowego obustronnie utwierdzonego λ₁ = 0,59125, λ₂ = 0,98165;

dla pasma płytowego obustronnie przegubowo podpartego λ₁ = 0,39270, λ₂ = 0,78540;

dla pasma płytowego utwierdzonego z jednej strony, a przegubowo podpartego z drugiej λ₁ = 0,490825, λ₂ = 0,88357;

dla pasma płytowego utwierdzonego z jednej strony, a swobodnego z drugiej λ₁ = 0,23439, λ₂ = 0,58677.

Z teorii drgań układów prętowych wiadomo, że dla belki obustronnie utwier- dzonej dwa pierwsze współczynniki λ wynoszą 4,73 i 7,853, dla belki obustronnie podpartej swobodnie − π i 2π, dla belki utwierdzonej z jednej strony, a swobodnie podpartej z drugiej − 3,927 i 7,069, a dla belki wspornikowej − 1,875 i 4,694. Otrzy- mane wartości λ dla jednorodnych płyt 8-komórkowych są zatem dokładnie 8 razy mniejsze niż wartości dla belek potraktowanych jak struktura złożona z jednej ko- mórki, bo przyjęta we wzorze (3) długość (l) dotyczy pojedynczej komórki. Świad- czy to o poprawności opisanego modelu.

Poniżej zbadano zależność pierwszej wartości częstości drgań własnych (ω) od liczby komórek (N), współczynnika zmiany sztywności (η) i współczynnika zmiany masy (r). W każdym przypadku częstość drgań pasma wyznaczamy ze wzoru – patrz wzory (2) i (3).

2 2 2

N D

L Z O

P –

– – –

0,2 0,4 0,6 0,8 1,0

–40 000 –20 000 20000 40000

RYSUNEK 5. Wartości wyznacznika DetK(λ) FIGURE 5. Values of the determinant DetK(λ)

RYSUNEK 6. Zależność λ²N²(r, η) dla N = 7

FIGURE 6. Function λ²N²(r, η) for N = 7

RYSUNEK 7. Zależność λ²N²(N, η) dla r = 3

FIGURE 7. Function λ²N²(N, η) for r = 3

RYSUNEK 8. Zależność λ²N²(N, r) dla η = 3

FIGURE 8. Function λ²N²(N, r) for η = 3

Przy danych D, L, μ zmienność pierwszej wartości częstości drgań własnych można badać jako zmienność iloczynu λ²N². Rysunek 6 przedstawia zależność λ²N²(r, η) dla N = const = 7, rysunek 7 – zależność λ²N²(N, η) dla r = const = 3, zaś rysunek 8 – zależność λ²N²(N, r) dla η = const = 3.

Wnioski

Przedstawiony sposób rozwiązania zagadnienia drgań mikroniejednorodnego pasma płytowego pozwala na stosunkowo szybkie otrzymanie, z żądaną dokładno- ścią, wartości częstości drgań przy dowolnej zmianie parametrów (r, η) charaktery- zujących poszczególne komórki o danej długości (l) każda.

Na rysunku 6 widoczne jest, że wraz ze wzrostem masy jednostkowej wtrącenia w stosunku do masy jednostkowej osnowy (wzrost r) częstość drgań własnych maleje, a wraz ze wzrostem sztywności wtrącenia, w stosunku do sztywności osnowy (wzrost η), częstość drgań własnych rośnie.

W przypadku zmiany liczby komórek (N) i zmiany sztywności wtrącenia (η), przy danym rozkładzie masy (rys. 7), wraz ze wzrostem liczby komórek (N) zmiana wartości częstości jest nieznaczna, zaś rośnie przy wzroście sztywności wtrącenia.

Przy danym rozkładzie sztywności w komórce, a zmianie liczby komórek (N) i zmianie masy jej części środkowej (wtrącenie), można zaobserwować (rys. 8) spa- dek częstości drgań wraz ze wzrostem masy części środkowej, zaś przy wzroście liczby komórek (N) zmiana wartości częstości jest nieznaczna.

Powyższe wnioski są zgodne z intuicją inżynierską, co świadczy o poprawności ułożonego programu obliczeń.

Literatura

Hetmański, K. (2004). Zastosowanie Microsoft Excel w mechanice konstrukcji. Warszawa: OWPW.

Jemielita, G. (2001). Teorie płyt sprężystych. W C. Woźniak (red.), Mechanika sprężystych płyt i powłok. Mechanika techniczna, 8. (strony 148-330). Warszawa: PWN.

Jemielita, G. (2011). Solutions to the problems of mechanics of non-homogeneous beams and plates.

W K. Wilmański (red.), Mathematical methods in continuum mechanics. (strony 383-402). Łódź:

Technical University of Łódź.

Jędrysiak, J. (2014). Drgania swobodne mikroniejednorodnego cienkiego pasma płytowego. W G.

Jemielita (red.), Modelowanie struktur i konstrukcji inżynierskich. (strony 133-152). Warszawa:

Wyd. SGGW.

Wierzbicki E., Kula D. i Mazewska M. (2014). O fourierowskiej realizacji tolerancyjnego modelowa- nia zagadnień przewodnictwa ciepła prostych kompozytów periodycznych. W G. Jemielita (red.), Modelowanie struktur i konstrukcji inżynierskich. (strony 253-266). Warszawa: Wyd. SGGW.

Streszczenie

Drgania własne mikroniejednorodnego pasma płytowego. W pracy przedstawiono sposób obliczania częstości drgań własnych mikroniejednorodnego pasma płytowego. Spo- sób ten opiera się na metodzie przemieszczeń − jednej z klasycznych metod mechaniki bu- dowli − i jest alternatywny w stosunku do technik homogenizacji. Przedstawiono również wyniki obliczeń uzyskane tym sposobem. Wyniki te są zgodne z intuicją inżynierską, co świadczy o poprawności ułożonego programu obliczeń.

Summary

Free vibrations of micro-non-homogeneous plate band. The paper presents a pro- cedure of calculation of natural frequencies of a micro-non-homogeneous plate band. The procedure bases on the displacement method – one of the classical methods of mechanics of constructions – and is alternative to the homogenization techniques. There were also present- ed the results of calculation obtained with this procedure. These results are consistent with the engineer’s intuition, what confi rms that the calculation program is completed properly.

Authors’ address:

Marek Chalecki, Grzegorz Jemielita Katedra Inżynierii Budowlanej SGGW ul. Nowoursynowska 159, 02-776 Warszawa Poland

e-mails: marek_chalecki@sggw.pl, g.jemielita@gazeta.pl