Działaniem n argumentowym w zbiorze A nazywamy funkcję przekształcającą A n w A. Naj- częściej będziemy rozważać działania jedno- i dwuargumentowe.

Wykłady z algebry

Antoni Kościelski

1.1 Działania, algebry

Działaniem n argumentowym w zbiorze A nazywamy funkcję przekształcającą A ⁿ w A. Naj- częściej będziemy rozważać działania jedno- i dwuargumentowe.

Algebrą (ogólną lub abstrakcyjną) nazywamy układ A = hA, , . . . , a, . . .i,

gdzie , . . . są działaniami w zbiorze A, zaś a, . . . – wyróżnionymi elementami A. Zbiór A nazywamy uniwersum algebry A.

Przykłady algebr:

• hA ^∗ , ·, εi (zbiór słów nad alfabetem A, ze składaniem i słowem pustym),

• hR, +, ·, 0, 1i, gdzie R jest zbiorem liczb rzeczywistych,

• h2 ^A , ∪, ∩, ∅, Ai,

• h{f | f : A → A}, ◦, idi, gdzie ◦ oznacza złożenie, a id – identyczność na zbiorze A.

W dalszym ciągu najczęściej będziemy algebrę i jej uniwersum oznaczać tym samym sym- bolem. Podobnie, działania (dwuargumentowe) zwykle będziemy oznaczać symbolami + i · i symbole te będą miały wiele znaczeń. W tej sytuacji znaczenie wielu symboli będzie zale- żeć od kontekstu, w którym zostały użyte. Symbol · będzie też często pomijany, zgodnie ze zwyczajami znanymi ze szkoły średniej.

Przypuśćmy, że mamy algebrę A z dwuargumentowym działaniem ·. Działanie · jest łączne, jeżeli dla wszystkich x, y, z ∈ A zachodzi wzór

x · (y · z) = (x · y) · z.

Prawo łącznosci (czyli powyższa równość) stwierdza, że wartość wyrażenia x · y · z nie zależy od rozmieszczenia nawiasów. Dla łącznego działania, zamiast x · (y · z) oraz (x · y) · z, piszemy krótko x · y · z. Co więcej, wartość dowolnego wyrażenia postaci x ₁ · x 2 · . . . · x n nie zależy od rozmieszczenia nawiasów i zwykle takie wyrażenie jest zapisywane bez nawiasów.

Działanie · jest przemienne, jeżeli dla wszystkich x, y ∈ A prawdziwa jest równość x · y = y · x.

Jeżeli w algebrze A mamy dwa działania dwuarumentowe + i ·, to mówimy, że działanie · jest rozdzielne względem działania +, jeżeli dla wszystkich x, y, z ∈ A spełnione są równości

(x + y) · z = x · z + y · z oraz z · (x + y) = z · x + z · y.

1.2 Elementy neutralne i odwrotne

Niech · będzie działaniem dwuagumentowym w algebrze A, zaś e – elementem zbioru A.

Mówimy, że

• e jest lewostronnym elementem neutralnym, jeżeli e · x = x dla wszystkich x ∈ A,

• e jest prawostronnym elementem neutralnym, jeżeli x · e = x dla wszystkich x ∈ A,

• e jest elementem neutralnym, jeżeli e · x = x · e = x dla wszystkich x ∈ A.

Lemat 1.1 Jeżeli istnieją elementy neutralne lewostronny e L i prawostronny e R , to są równe i są elementami neutralnymi. W szczególności, dla dowolnego działania istnieje najwyżej jeden element neutralny.

Dowód. Zauważmy, że e _L = e _L · e R = e _R . 2

Przypuśćmy, że e jest elementem neutralnym dla działania · i x ∈ A. Element y ∈ A nazywamy

• lewostronnym elementem odwrotnym do x, jeżeli y · x = e,

• prawostronnym elementem odwrotnym do x, jeżeli x · y = e,

• elementem odwrotnym do x, jeżeli jest jednocześnie elementem lewostronnie i prawo- stronnie odwrotnym, a więc jeżeli y · x = x · y = e.

Lemat 1.2 Załóżmy, że · jest działaniem łącznym, które ma element neutralny e. Jeżeli istnie- ją elementy odwrotne do x: lewostronny x ⁻¹ _L i prawostronny x ⁻¹ _R , to są równe i są elementami odwrotnymi do x. W szczególności, istnieje najwyżej jeden element odwrotny do x.

Dowód. Zauważmy, że x ⁻¹ _R = e · x ⁻¹ _R = (x ⁻¹ _L · x) · x ⁻¹ _R = x ⁻¹ _L · (x · x ⁻¹ _R ) = x ⁻¹ _L · e = x ⁻¹ _L . 2

1.3 Rodzaje algebr

Najczęściej będziemy rozważać dwa rodzaje działań:

• działanie typu dodawania: będziemy je oznaczać symbolem +, jest to działanie łacz- ne, przemienne, ma element neutralny, czyli zero, oznaczany symbolem 0, ma element odwrotny do każdego elementu algebry; w tym kontekscie element odwrotny do x nazy- wamy przeciwnym do x i oznaczamy symbolem −x. Zamiast x + (−y) piszemy x − y.

• działanie typu mnożenia: będziemy oznaczać je symbolem ·, jest to działanie łaczne, bywa przemienne, zwykle ma element neutralny, czyli jeden (jedność), oznaczany symbolem 1, czasem istnieją elementy odwrotne do dowolnego elementu algebry; w tym kontekście element odwrotny do x oznaczamy symbolem x ⁻¹ .

Będziemy rozważać następujące algebry z jednym działaniem dwuargumentowym:

• półgrupy – algebry hA, ·i z działaniem łącznym,

• półgrupy z jednością – algebry hA, ·, 1i z działaniem łącznym z elementem neutralnym (jednością),

• grupy – algebry hA, ·, ⁻¹ , 1i z działaniem łącznym, jednością i elementem odwrotnym do dowolnego x ∈ A,

• grupy przemienne – grupy z działaniem przemiennym.

Będziemy też rozważać następujące algebry z dwoma działaniami dwuargumentowymi:

• pierścienie – algebry hA, +, −, 0, ·i z dodawaniem + (działaniem typu dodawania), i łącznym mnożeniem · (działaniem typu mnożenia), w których mnożenie jest rozdzielne względem dodawania,

• pierścienie z jednością, pierścienie przemienne, pierścienie przemienne z jednością, z oczy- wistymi definicjami,

• ciała, czyli pierścienie przemienne z jednością hA, +, −, 0, ·, ⁻¹ , 1i takie, że 0 6= 1, w których każdy element x różny od 0 ma element odwrotny x ⁻¹ .

Przykładymi takich algebr są pierścienie h2 ^A , ˙ −, ∩, ∅, Ai, hZ, +, ·, 0, 1i oraz ciało hQ, +, ·, −, ⁻¹ , 0, 1i (Z to zbiór liczb całkowitych, a Q to zbiór liczb wymiernych). Ważnymi przykładami pierścieni są także algebry h{i ∈ N : i < n}, + mod n, · mod ni, gdzie + mod n i · mod n oznaczają odpowiednio dodawanie i mnożenie modulo n, czyli resztę z dzielenia sumy i iloczynu przez n.

Lemat 1.3 Jeżeli A = hA, +, ·, −, 0, 1i jest pierścieniem z jednością, to dla dowolnego x ∈ A zachodzą równości 0 · x = x · 0 = 0.

Dowód. Zauważmy, że 0 · x = 0 · x + 0 = 0 · x + (x + (−x)) = (0 · x + x) + (−x) = (0 · x + 1 · x) + (−x) = (0 + 1) · x + (−x) = 1 · x + (−x) = x + (−x) = 0. Równość x · 0 = 0 dowodzimy analogicznie. 2

Element x (w pierścieniu) jest dzielnikiem zera, jeżeli x 6= 0 i x · y = 0 dla pewnego y 6= 0.

Lemat 1.4 W ciele nie ma dzielników zera.

Dowód. Przypuśćmy, że x 6= 0 i x · y = 0. Wtedy

y = 1 · y = (x ⁻¹ · x) · y = x ⁻¹ · (x · y) = x ⁻¹ · 0 = 0. 2

2.1 Grupy, najprostsze własności Przykłady grup:

• hZ, +, −, 0i,

• hQ ⁺ , ·, ⁻¹ , 1i, gdzie Q ⁺ oznacza zbiór dodatnich liczb wymiernych,

• h{f | f : A → A ∧ f jest bijekcją}, ◦, ⁻¹ , idi, gdzie A jest dowolnym zbiorem, ◦ oznacza złożenie funkcji, a ⁻¹ oznacza operację, która funkcji f przyporządkowuje funkcję f ⁻¹ odwrotną do f .

Szczególnie ważny jest ostatni przykład. Jeżeli A = {1, . . . , n}, to rozważaną w tym przy- kładzie grupę będziemy oznaczać symbolem S _n . W tym kontekście, bijekcje przekształcające zbiór A na A nazywamy permutacjami zbioru A. Tak więc S _n jest grupą permutacji zbioru {1, . . . , n}.

Niech G = hG, ·, ⁻¹ , 1i będzie grupą. Przypuśćmy, że g, h ∈ G.

• Zamiast g · h będziemy często pisać gh.

• Dla n ∈ N przez indukcję definiujemy potęgę g ⁿ w następujący sposób: g ⁰ = 1 oraz g ⁿ⁺¹ = g ⁿ · g. Ponadto g ⁻ⁿ definiujemy jako (g ⁿ ) ⁻¹ lub równoważnie jako (g ⁻¹ ) ⁿ .

• Potęgowanie w grupie ma niektóre własności znane ze szkoły średniej, a więc (g ⁿ ) ^m = g ^n·m i g ^n+m = g ⁿ · g ^m dla dowolnych liczb całkowitych n i m.

• Działanie w grupie nie zawsze jest przemienne: na przykład, tak jest w grupie S 3 , jest ona nieprzemienna.

• Na ogół (g · h) ⁿ 6= g ⁿ · h ⁿ . Jeżeli jednak G jest przemienna, to (g · h) ⁿ = g ⁿ · h ⁿ dla wszystkich n całkowitych.

• (g · h) ⁻¹ = h ⁻¹ · g ⁻¹ oraz (g 1 · . . . · g n ) ⁻¹ = g ⁻¹ _n · . . . · g 1 ⁻¹ .

• Jeżeli g · h 1 = g · h ₂ , to h ₁ = h ₂ . Jeżeli h ₁ · g = h 2 · g, to h 1 = h ₂ . Implikacje te nazywamy prawami skracania.

2.2 Grupy permutacji

Jak zwykle, złożenie f g funkcji f i g definiujemy wzorem (f g)(a) = f (g(a)).

Niech n będzie liczbą naturalną. Będziemy rozważać permutacje zbioru {1, . . . , n}. Taką permutację definiujemy podając jej tabelkę. Umówmy się, że tabelka permutacji f ma postać

1 2 . . . n

f (1) f (2) . . . f (n)

! .

Oczywiście, w tabelce nie jest istotna kolejność, w jakiej są wymieniane argumenty, choć zwykle wymieniamy je w naturalnej kolejności.

2.2.1 Rozkład permutacji na cykle

Przyjmijmy, że f : A → A jest permutacja zbioru A. Będziemy badać relację R _f ⊆ A ² taką, że

xR f y ⇔ ∃i ∈ Z f ⁱ (x) = y

Jest to relacja równoważności i rozbija A na klasy abstrakcji. Klasa abstrakcji relacji R f

wyznaczona przez x ∈ A jest równa {f ⁱ (x) | i ∈ Z}. Funkcja f permutuje każdą klasę abstrakcji relacji R _f (przekształca klasę abstrakcji K na K).

Relacja R _f ma dwa rodzaje klas abstrakcji. Albo funkcja przyporządkowująca liczbie cał- kowitej i wartość f ⁱ (x) jest różnowartościowa i wtedy klasa abstrakcji wyznaczona przez x jest nieskończona, albo też wspomniana funkcja nie jest różnowartościowa i mamy f ^m+n (x) = f ^m (x) dla pewnych n, m ∈ Z takich, że n > 0. W tym drugim przypadku z różnowartościowości f wynika, że f ⁿ (x) = x i klasa abstrakcji [x] jest równa {f ⁱ (x) : i ∈ N ∧ i < n}.

Przypuśćmy, że K jest klasą abstrakcji relacji R _f . Zdefiniujmy funkcję g : A → A taką, że

g(x) =

( f (x) jeżeli x ∈ K, x w przeciwnym razie.

Funkcja g jest permutacją zbioru A. Zauważmy, że jeżeli g(x) 6= x i g(y) 6= y, to oba argumenty x, y ∈ K i istnieje liczba n ∈ Z taka, że f ⁿ (x) = y. Ponieważ na zbiorze K funkcje f i g przyjmują te same wartości, wiec także g ⁿ (x) = y. Tę własność w języku klas abstrakcji można wyrazić następująco: relacja R g ma najwyżej jedną klasę abstrakcji o dwóch lub więcej elementach. Permutację g o takich własnościach nazywamy cyklem (permutacją cykliczną).

Nietrudno zauważyć, że aby w pełni opisać cykl g, wystarczy wziąć element x taki, że x 6= g(x) i podać ciąg wartości (x, g(x), g ² (x), . . . , g ⁿ⁻¹ (x)) dla n takiego, że g ⁿ (x) = x.

Jeżeli elementy a ₁ , a ₂ , . . . , a _k ∈ A są parami różne, to napis (a 1 , a ₂ , . . . , a _k ) oznacza pe- wien cykl. Cykl (a ₁ , a ₂ , . . . , a _k ) jest permutacją f : A → A zdefiniowaną wzorami f (a _i ) = a i+1 dla i = 1, . . . , k, f (a k ) = a 1 oraz f (a) = a dla wszystkich a należących do zbioru A \ {a 1 , a 2 , . . . , a k }. O cyklu (a 1 , a 2 , . . . , a k ) będziemy mówić, że jest cyklem długości k. Cykle długości 2 nazywamy transpozycjami. Cykle (a 1 , a 2 , . . . , a k ) i (b 1 , b 2 , . . . , b l ) są rozłączne, jeżeli zbiory {a ₁ , a ₂ , . . . , a _k } i {b 1 , b ₂ , . . . , b _l } są rozłączne.

Jest oczywiste, że jeżeli zbiór A jest skończony, to relacja R _f ma tylko klasy abstrakcji drugiego rodzaju (nie ma klas nieskończonych) i jest ich skończenie wiele. Przypuśćmy, że są to klasy K ₁ , . . . , K _t . Dla i = 1, . . . , t definiujmy funkcję f _i : A → A taką, że

f _i (x) =

( f (x) jeżeli x ∈ K _i , x w przeciwnym razie.

Nietrudno zauważyć, że f jest złożeniem funkcji f 1 , . . . , f t (w dowolnym porządku).

Wniosek 2.1 każda permutacja zbioru skończonego jest złożeniem cykli. 2

2.3 Grupa symetrii kwadratu

Rozważmy następujące funkcje f : {1, 2, 3, 4} → {1, 2, 3, 4}:

permutacja 1 2 3 4 rozkład na cykle

obrót o 0 ^◦ 1 2 3 4

obrót o 90 ^◦ 2 3 4 1 (1,2,3,4)

obrót o 180 ^◦ 3 4 1 2 (1,3)(2,4)

obrót o 270 ^◦ 4 1 2 3 (1,4,3,2)

symetria względem osi prostop. do odc. 12 2 1 4 3 (1,2)(3,4) symetria względem osi prostop. do odc. 14 4 3 2 1 (1,4)(2,3) symetria względem osi przech. przez 13 1 4 3 2 (2,4) symetria względem osi przech. przez 24 3 2 1 4 (1,3)

3.1 Podgrupy

Przypuśćmy, że G = hG, ·, ⁻¹ , 1i jest grupą i H jest podzbiorem G. Jeżeli hH, ·, ⁻¹ , 1i jest alge- brą, to tę algebrę nazywamy podgrupą. Jest oczywiste, że aby układ hH, ·, ⁻¹ , 1i był algebrą, powinny być spełnione następujące warunki:

1. jeżeli x, y ∈ H, to x · y ∈ H, 2. jeżeli x ∈ H, to x ⁻¹ ∈ H, 3. 1 ∈ H.

Lemat 3.1 Każda podgrupa jest grupą.

Dowód. Przypuśćmy, że H jest podgrupą grupy G. Działanie w grupie G jest łączne. Oznacza to, że

∀x, y, z ∈ G x · (y · z) = (x · y) · z.

Ponieważ H jest podzbiorem G, więc tym bardziej

∀x, y, z ∈ H x · (y · z) = (x · y) · z.

Dowiedliśmy więc, że mnożenie w algebrze H jest łączne. W podobny sposób sprawdzamy prawdziwość w algebrze H innych warunków z definicji grupy. 2

Zauważmy, że jeżeli H jest niepustym zbiorem, to warunki 1) i 2) z definicji podgrupy implikują warunek 3). Z jednego z ogłoszonych zadań wynika, że definicja podgrupy może zostać jeszcze bardziej uproszczona, jeżeli będziemy rozważać algebry o skończonej liczbie elementów.

3.2 Podalgebry Niech

A = hA, , . . . , a, . . .i będzie dowolną algebrą. Każdą algebrę postaci

B = hB, , . . . , a, . . .i,

gdzie B ⊆ A, nazywamy podalgebrą algebry A. Aby układ B był algebrą, powinny być speł- nione następujące warunki:

1. xy ∈ B dla dowolnych x, y ∈ B i dla wszystkich działań spośród , . . . (przyjęliśmy, że działanie  jest dwuargumentowe, dla działań o innej liczbie argumentów przyjmujemy analogiczny warunek),

2. a, . . . ∈ B

W algebrze B zamiast działania  : A ⁿ → A powinno znaleźć się obcięcie działania  do zbioru B. Podalgebry grup, pierścieni lub podciał nazywamy odpowiednio podgrupami, pod- pierścieniami, podciałami itp.

Niech R oznacza zbiór liczb rzeczywistych, Q – wymiernych, a Z – całkowitych. Zauważmy, że

• h{x ∈ R : x > 1}, +i jest podalgebrą algebry hR, +i, ale nie jest podalgebrą algebry hR, +, 0i,

• h{x ∈ R : x ­ 0}, +, 0i jest podalgebrą algebry hR, +, 0i, ale nie jest podalgebrą algebry hR, +, −, 0i,

• hZ, +, ·, −, 0i jest podalgebrą algebry hR, +, ·, −, 0i, ale nie jest podalgebrą hR, +, ·, −, ⁻¹ , 0, 1i,

• hQ, +, ·, −, ⁻¹ , 0, 1i jest podalgebrą algebry hR, +, ·, −, ⁻¹ , 0, 1i.

Przypuśćmy, że mamy algebrę A = hA, , . . . , a, . . .i. Dla tej algebry definiujemy wyrażenia ze zmiennymi x ₁ , . . . , x _n przyjmując, że

1. a, . . . są wyrażeniami, 2. x 1 , . . . , x n są wyrażeniami,

3. jeżeli t 1 i t 2 są wyrażeniami, to t 1  t 2 , . . . są wyrażeniami,

4. nie ma innych wyrażeń niż otrzymane na podstawie poprzednich punktów.

Lemat 3.2 Przypuśćmy, że mamy algebrę A = hA, , . . . , a, . . .i i jej podalgebrę B = hB, , . . . , a, . . .i.

Jeżeli t 1 (x 1 , . . . , x n ) i t 2 (x 1 , . . . , x n ) są wyrażeniami i

∀x 1 , . . . , x _n ∈ A t 1 (x ₁ , . . . , x _n ) = t ₂ (x ₁ , . . . , x _n ), to

∀x 1 , . . . , x n ∈ B t 1 (x 1 , . . . , x n ) = t 2 (x 1 , . . . , x n ). 2

Wniosek 3.3 Każda podgrupa jest grupą, każdy podpierścień jest pierścieniem, a każde pod- ciało jest ciałem.

Dowód. Większość warunków z definicji grup, pierścieni i ciał ma postać rozważaną w po- przednim lemacie i z tego lematu wynika, że warunki te są prawdziwe także w podalgebrze.

Tylko warunek ∀x (x 6= 0 ⇒ x · x ⁻¹ = 1) z definicji ciała jest innej postaci. Wobec tego pod- grupa jast grupą, a podpierścień jest pierścieniem. Także podciało jest ciałem. Dowód tego faktu jest bardziej skomplikowany, choć nadal pozostaje bardzo prosty. 2

Wniosek 3.4 Jeżeli hA, +, −, 0, ·, ⁻¹ , 1i jest ciałem, to zbiór A\ {0} jest zamknięty ze względu na mnożenie i odwracanie. Wobec tego, hA \ {0}, ·, ⁻¹ , 1i jest grupą.

Grupę hA \ {0}, ·, ⁻¹ , 1i nazywamy multiplikatywną grupą ciała hA, +, −, 0, ·, ⁻¹ , 1i.

3.3 Homomorfizmy, obrazy homomorficzne Przypuśćmy, że mamy dwie algebry:

A = hA, , . . . , a, . . .i oraz B = hB, ◦, . . . , b, . . .i.

i-te działania oraz i-te wyróżnione elementy w tych algebrach będziemy nazywać odpowiada- jącymi. Algebry A i B są podobne, jeżeli mają tyle samo wyróżnionych elementów i tyle samo działań, oraz odpowiadające sobie działania mają tyle samo argumentów.

Niech A i B będą podobnymi algebrami oraz niech f : A → B. Funkcja f jest homomorfi- zmem (algebry A w algebrę B), jeżeli

1. f (xy) = f (x)◦f (y) dla dowolnych x, y ∈ A i dla dowolnej pary odpowiadających sobie działań  i ◦ (dla działań o liczbie argumentów 6= 2 przyjmujemy analogiczny warunek), 2. f (a) = b dla każdej pary odpowiadająch sobie stałych.

Homomorfizm typu „na” nazywamy epimorfizmem, homomorfizm różnowartościowy – mo- nomorfizmem. Jeżeli homomorfizm jest jednocześnie epi- i monomorfimem, to nazywamy go izomorfizmem. Algebrę B nazywamy obrazem homomorficznym algebry A, jeżeli istnieje epi- morfizm algebry A na algebrę B.

Aby uprościć zapis w dalszym ciągu będziemy zakładać, że odpowiadające działania i wyróżnione elementy w algebrach podobnych są oznaczane tymi samymi symbolami.

Lemat 3.5 Jeżeli B jest obrazem homomorficznym A, a t ₁ (x ₁ , . . . , x _n ) i t ₂ (x ₁ , . . . , x _n ) są wy- rażeniami takimi, że

∀x 1 , . . . , x n ∈ A t 1 (x 1 , . . . , x n ) = t 2 (x 1 , . . . , x n ), to

∀x 1 , . . . , x _n ∈ B t 1 (x ₁ , . . . , x _n ) = t ₂ (x ₁ , . . . , x _n ).

Dowód. Niech f będzie homomorfizmem przekształcającym A na B. Z definicji homomorfizmu wynika, że f (t(x 1 , . . . , x n )) = t(f (x 1 ), . . . , f (x n )) dla dowolnego wyrażenia t ze zmiennymi x 1 , . . . , x n . Z założenia

∀x 1 , . . . , x _n ∈ A t 1 (x ₁ , . . . , x _n ) = t ₂ (x ₁ , . . . , x _n ) wynika, że także

∀x 1 , . . . , x _n ∈ A f (t 1 (x ₁ , . . . , x _n )) = f (t ₂ (x ₁ , . . . , x _n )), a więc

∀x 1 , . . . , x n ∈ A t 1 (f (x 1 ), . . . , f (x n )) = t 2 (f (x 1 ), . . . , f (x n )).

Stąd i z założenia, że f jest typu „na”, otrzymujemy tezę. 2

Wniosek 3.6 Obraz homomorficzny półgrupy jest półgrupą, grupy jest grupą, pierścienia jest

pierścieniem.

Dowód. Teza wynika stąd, że wszystkie warunki w definicji podgrup, grup i pierścieni mają postać rozważaną w lemacie 3.5. 2

Lemat 3.7 W dowolnej grupie warunki x = y oraz x · y ⁻¹ = 1 są równoważne. Wobec tego, w pierścieniach równoważne są warunki x = y oraz x − y = 0. 2

Lemat 3.8 Każdy homomorfizm ciała albo jest stale równy 0, albo jest różnowartościowy, czyli jest izomorfizmem. Obraz izomorficzny ciała jest ciałem.

Dowód. Niech f będzie homomorfizmem ciała A. Przypuśćmy, że dla pewnego x ∈ A, x 6= 0 zachodzi równość f (x) = 0. Wtedy dla dowolnego y ∈ A mamy

f (y) = f (y · 1) = f (y · (x ⁻¹ · x)) = f ((y · x ⁻¹ ) · x) = f (y · x ⁻¹ ) · f (x) = f (y · x ⁻¹ ) · 0 = 0.

Załóżmy więc, że dla wszystkich x ∈ A, x 6= 0 mamy f (x) 6= 0. Wtedy homomorfizm f jest różnowartościowy, gdyż następujące warunki są równoważne: f (x) = f (y), f (x) − f (y) = 0, f (x − y) = 0, x − y = 0 oraz x = y. 2

3.4 Homomorfizmy grup (najprostsze własności)

Przypuśćmy, że mamy grupę G i podobną algebrę H. Zgodnie z ogólną definicją homomorfi- zmu, funkcja f : G → H jest homomorfizmem wtedy i tylko wtedy, gdy

• f (g · h) = f (g) · f (h) dla wszystkich g, h ∈ G,

• f (g ⁻¹ ) = (f (g)) ⁻¹ dla wszystkich g ∈ G oraz

• f (1) = 1.

Korzystając ze związków w grupie między działaniami · i ⁻¹ , oraz elementem 1, definicję homomorfizmu grupy można uprościć.

Przypuśćmy, że H jest algebrą z dwuargumentowym działaniem ·, G jest grupą oraz f : G → H jest funkcją taką, że f (g · h) = f (g) · f (h) dla wszystkich g, h ∈ G. Wtedy (patrz zadanie z listy 3)

• obraz ~ f (G) z działaniem · jest algebrą (a więc jest zamknięty ze względu na działanie · z algebry H),

• działanie · określone na obrazie ~ f (G) jest łączne,

• f (1) jest elementem neutralnym w algebrze ~ f (G) z działaniem ·,

• f (g ⁻¹ ) jest w algebrze ~ f (G) z działaniem · elementem odwrotnym do f (g).

Wniosek 3.9 Jeżeli G i H są grupami, to f : G → H jest homomorfizmem wtedy i tylko wtedy, gdy f (g · h) = f (g) · f (h) dla wszystkich g, h ∈ G. 2

Wniosek 3.10 Obraz homomorficzny grupy jest grupą. 2

4.1 Działanie grupy na zbiorze, twierdzenie Cayley

Przypuśćmy, że mamy grupę G i dla elementu a ∈ G zdefiniowaliśmy funkcję f _a : G → G przyjmując, że f _a (x) = a · x dla wszystkich x ∈ G. Z praw skracania wynika, że funkcja f _a jest różnowartościowa. Jest to też funkcja typu „na”: wartość y ∈ G przyjmuje dla x = a ⁻¹ y.

Wobec tego, funkcja f a jest permutacją (uniwersum) grupy G. Zauważmy jeszcze, że funkcja przyporządkowująca elementowi a ∈ G permutacji f a ma następującą własność:

f _a·b (x) = (a · b) · x = a · (b · x) = f _a (f _b (x)) = f _a ◦ f b (x).

Mówimy, że grupa G działa na zbiorze X, jeżeli potrafimy mnożyć elementy zbioru X przez elementy G, to znaczy, jeżeli mamy funkcję przyporządkowująca parze (a, x) ∈ G × X element a.x ∈ X i spełniająca dla dowolnych a, b ∈ G i x ∈ X warunki

(a · b).x = a.(b.x) oraz 1.x = x.

Możemy więc określić działanie grupy G na sobie, definiując mnożenie (to z definicji „dzia- łania”) jako zwykły iloczyn, czyli przyjmując, że a.x = a · x.

Twierdzenie 4.1 Dowolna grupa jest izomorficzna z podgrupą grupy permutacji zbioru G.

Dowód. Funkcja przyporządkowująca elementowi a ∈ G permutację f a jest izomorfizmem przekształcającym grupę G w grupę permutacji zbioru G. 2

Często będziemy zajmować się grupami skończonymi, a więc takimi, które mają skończone uniwersum. Wtedy liczbę elementów (uniwersum) grupy nazywamy rzędem grupy.

Wniosek 4.2 (Cayley) Dowolna grupa o n elementach jest izomorficzna z podgrupą grupy S _n . 2

4.2 Twierdzenie Lagrange’a

Weźmy grupę G i jej podgrupę H. Zdefiniujmy relację R _H przyjmując, że xR _H y ⇔ x ⁻¹ · y ∈ H.

Lemat 4.3 R _H jest relacją równoważności. 2

Jeszcze raz posłużymy się funkcjami f _a zdefiniowanymi w rozdziale 4.1. Zauważmy, że klasy abstrakcji tej relacji spełniają równości [1] = H oraz [a] = aH = {a · h : h ∈ H} = ~ f a (H).

Lemat 4.4 Funkcja f a przekształca klasę [1] = {x ∈ G : 1R H x} wzajemnie jednoznacznie na

[a]. Tak więc klasy abstrakcji relacji R H są równoliczne i są równoliczne z podgrupą H. 2

Wniosek 4.5 (Lagrange) Jeżeli G jest grupą skończoną, to rząd dowolnej podgrupy grupy

G dzieli rząd G. 2

4.3 Zbiór generatorów, podalgebra generowana przez zbiór Przyjmijmy, że A = hA, ·, . . . , a, . . .i jest dowolną algebrą. Przekrój dowolnej rodziny podal- gebr algebry A też jest podalgebrą A. Stąd wynika, że dla dowolnego zbioru X ⊆ A istnieje najmniejsza podalgebra A zawierająca zbiór X. Będziemy ją nazywać podalgebrą algebry A generowaną przez zbiór X, a zbiór X – jej zbiorem generatorów. Algebrę nazywamy genero- waną przez zbiór X, jeżeli jest równa najmniejszej swojej podalgebrze generowanej przez zbiór X.

Bardzo łatwo scharakteryzować podalgebrę generowaną przez zbiór X. Jest to podalgebra hB, ·, . . . , a, . . .i z uniwersum zdefiniowanym wzorem

B = {t(x ₁ , . . . , x _n ) ∈ A : t jest wyrażeniem ∧ x ₁ , . . . , x _n ∈ X}.

Zauważmy, ze addytywna grupa liczb całkowitych jest generowana przez zbiór {1}.

Grupę nazywamy cykliczną, jeżeli jest generowana przez jeden element (zbiór jednoelemen- towy). Zbiór liczb całkowitych z dodawaniej jest więc grupą cykliczną (choć słowo „cykliczna”

lepiej oddaje sytuację, która ma miejsce w przypadku grup skończonych).

4.4 Generatory grupy permutacji

Z wniosku 2.1 wynika, że zbiór permutacji cyklicznych z grupy S n generuje grupę S n . Stąd można wyprowadzić następujące wnioski:

Wniosek 4.6 Każda permutacja zbioru skończonego jest złożeniem cykli dwuelementowych (transpozycji).

Dowód. Wystarczy zauważyć, że

(a ₁ , a ₂ , . . . , a _k ) = (a ₁ , a _k )(a ₁ , a _k−1 ) . . . (a ₁ , a ₂ ). 2

Wniosek 4.7 Każda permutacja zbioru {1, . . . , n} jest złożeniem transpozycji elementów są- siednich (transpozycji postaci (i, i + 1)).

Dowód. Zauważmy, że jeżeli i < j, to

(i, j) = (i, i + 1) . . . (j − 2, j − 1)(j − 1, j)(j − 2, j − 1) . . . (i, i + 1). 2

5.1 Przykład homomorfizmu

Dla grupy S _n permutacji zbioru {1, . . . , n} definiujmy funkcję h : S _n → Q przyjmując, że h(σ) = ^Y

1¬i<j¬n

σ(i) − σ(j) i − j dla dowolnego σ. Jeżeli σ ∈ S _n , to

{{i, j} : 1 ¬ i < j ¬ n} = {{σ(i), σ(j)} : 1 ¬ i < j ¬ n}. (1) Stąd wynika, że także równe są zbiory {| j − i | : i < j} oraz {| σ(j) − σ(i) | : i < j} (są to obrazy zbiorów z (1) wyznaczone przez funkcję f ({a, b}) = | b − a |; rzeczywiście f jest funkcją, jej definicja nie zależy od kolejności w jakiej są wymienione elementy argumentu). Tak więc

| h(σ) | = 1 oraz h(σ) ∈ {1, −1}. W podobny sposób z równości (1) otrzymujemy, że ( ξ(j) − ξ(i)

j − i : 1 ¬ i < j ¬ n )

=

( ξσ(j) − ξσ(i)

σ(j) − σ(i) : 1 ¬ i < j ¬ n )

Tym bardziej

Y

1¬i<j¬n

ξ(j) − ξ(i)

j − i = ^Y

1¬i<j¬n

ξσ(j) − ξσ(i) σ(j) − σ(i) . Powyższa równość implikuje, że

h(ξσ) = ^Y

1¬i<j¬n

ξσ(j) − ξσ(i)

j − i = ^Y

1¬i<j¬n

ξσ(j) − ξσ(i)

σ(j) − σ(i) · σ(j) − σ(i) j − i

= ^Y

1¬i<j¬n

ξσ(j) − ξσ(i) σ(j) − σ(i) · ^Y

1¬i<j¬n

σ(j) − σ(i) j − i

= ^Y

1¬i<j¬n

ξ(j) − ξ(i) j − i · ^Y

1¬i<j¬n

σ(j) − σ(i)

j − i = h(ξ) · h(σ).

Tak więc funkcja h jest homomorfizmem przekształcającym S _n na podgrupę {1, −1} multipli- katywnej grupy liczb wymiernych.

Łatwo przekonać się, że dla dowolnej transpozycji (k, k + 1) elementów sąsiednich mamy h((k, k + 1)) = −1. Wystarczy iloczyn z definicji h rozbić na czynniki wyznaczone przez pary (i, j), i < j takie, że i, j 6∈ {k, k + 1}, takie, że i ∈ {k, k + 1} oraz j 6∈ {k, k + 1}, takie, że i 6∈ {k, k +1} oraz j ∈ {k, k +1} i w końcu takie, że i, j 6∈ {k, k +1}. Tak więc dla σ = (k, k +1) mamy

h(σ) =

= ^Y

i,j6∈{k,k+1}

σ(j) − σ(i) j − i · ^Y

k+1<j

(σ(j) − σ(k))(σ(j) − σ(k + 1)) (j − k)(j − (k + 1))

· ^Y

i<k

(σ(k) − σ(i))(σ(k + 1) − σ(i))

(k − i)((k + 1) − i) · σ(k + 1) − σ(k) (k + 1) − k =

= ^Y

i,j6∈{k,k+1}

j − i j − i · ^Y

k+1<j

(j − (k + 1))(j − k) (j − k)(j − (k + 1))

· ^Y

i<k

((k + 1) − i)(k − i)

(k − i)((k + 1) − i) · k − (k + 1)

(k + 1) − k = −1

Stąd i z wyżej podanego wzoru otrzymujemy analogiczną równość h((i, j)) = −1 dla dowol- nej transpozycji. Ten fakt implikuje z kolei, że dla k elementowego cyklu mamy h((i 1 , . . . , i k )) = (−1) ^k+1 .

Permutację nazywamy parzystą, jeżeli można ją przedstawić w postaci iloczynu parzystej liczby transpozycji. Permutacja jest nieparzystą, jeżeli daje się przedstawić w postaci iloczynu nieparzystej liczby transpozycji. Oczywiście, h(σ) = 1 dla parzystych permutacji σ oraz h(σ) =

−1 dla nieparzystych.

Wniosek 5.1 Jeżeli permutacja daje się przedstawić w postaci iloczynu parzystej (nieparzy- stej) liczby transpozycji, to każde przedstawienie tej permutacji w postaci iloczynu transpozycji składa się z parzystej (odpowiednio: nieparzystej) liczby transpozycji. 2

Zbiór permutacji parzystych jest równy A n = {σ ∈ S n : h(σ) = 1}. Ten ostatni zbiór nazywa się jądrem homomorfizmu h. Zauważmy, że jądro homomorfizmu (grupy) jest podgrupą zamkniętą ze względu na operację przyporządkowującą elementowi x iloczyn axa ⁻¹ (iloczyn axa ⁻¹ ∈ A n dla wszystkich x ∈ A _n i a ∈ S _n ).

5.2 Grupy cykliczne, rząd elementu grupy

Grupę nazywamy cykliczną, jeżeli jest generowana przez zbiór jednoelementowy. Przykładem grupy cyklicznej jest addytywna grupa liczb całkowitych.

Dowolna grupa cykliczna ma postać {g ⁱ : i ∈ Z}. Jeżeli G jest skończoną grupą cykliczną, to G = {g ⁱ : 1 ¬ i ¬ n} dla pewnego n. Najmniejsza, dodatnia liczba n o tej własności jest rzędem grupy G.

Rzędem elementu g ∈ G nazywamy liczbę elementów podgrupy G generowanej przez g.

W równoważny sposób rząd elementu g można zdefiniować jako najmniejszą liczbę naturalną n > 0 taka, że g ⁿ = 1.

Cykl (a ₁ , . . . , a _k ) ∈ S _n jest elementem rzędu k.

Wniosek 5.2 Jeżeli G jest grupą skończoną, to rząd dowolnego elementu grupy G dzieli rząd G. 2

5.3 Pierścienie Z ⁿ

Niech n 6= 0 i m będą liczbami całkowitymi. Resztą z dzielenia m przez n nazywamy liczbę naturalną r < n taką, że m = a · n + r dla pewnej liczby całkowitej a. Taka liczba r istnieje i jest jednoznacznie wyznaczona. Zwykle będziemy ją oznaczać symbolem m mod n. Teraz, dla uproszczenia wzorów przyjmiemy też oznaczenie

r n (m) = m mod n.

Wprowadźmy jeszcze dalsze oznaczenia:

Z n = {i ∈ N | i < n}

oraz

x + n y = r n (x + y) i x · n y = r n (x · y).

Nietrudno zauważyć, że funkcja r n przekształca zbiór liczb całkowitych Z na zbiór Z n . Wobec tego, + n i · n są działaniami w zbiorze Z n . Działania te nazywamy odpowiednio dodawaniem i mnożeniem modulo n.

Lemat 5.3 Niech n będzie dodatnią liczbą naturalną. Dla wszystkich x, y ∈ Z zachodzą rów- ności

r n (x + y) = r n (x) + n r n (y) oraz r n (x · y) = r n (x) · n r n (y).

Funkcja r n jest więc epimorfizmem pierścienia liczb całkowitych Z i algebry hZ n , + n , · n i i – w konsekwencji – algebra ta jest pierścieniem przemiennym z jednością. 2

Nietrudno zauważyć, że jeżeli n nie jest liczbą pierwszą, to pierścień Z n nie jest ciałem.

5.4 Algorytm Euklidesa

Twierdzenie 5.4 Jeżeli n i m są dodatnimi liczbami naturalnymi, i d jest największym wspól- nym dzielnikiem n i m, to d = a · n + b · m dla pewnych liczb całkowitych a i b.

Dowód. Rozważmy algorytm Euklidesa:

1. x := n; y := m;

2. dopóki x 6= y wykonuj

jeżeli x < y, to y := y − x, a w przeciwnym razie x := x − y;

3. zwróć x.

Zauważmy, że podczas wykonywania algorytmu Euklidesa po uruchomieniu go z dodatnimi liczbami n i m prawdziwe następujące własności:

• wartości zmiennych x i y są dodatnie,

• stale zmiejsza się wartość max(x, y), a więc instrukcja „dopóki” może być wykonywana najwyżej max(n, m) − 1 razy,

• wartości zmiennych x i y należą do zbioru {a · n + b · m : a, b ∈ Z},

• liczba k dzieli wartości zmiennych x i y wtedy i tylko wtedy, gdy dzieli n i m. 2

Wniosek 5.5 Liczby n i m są względnie pierwsze wtedy i tylko wtedy, gdy 1 = a · n + b · m

dla pewnych a, b ∈ Z. 2

6.1 Przypomnienia Przypuśćmy, że G jest grupą i g ∈ G.

Zbiór {g ⁱ ∈ G | i ∈ Z} jest podgrupą grupy G. W tym przypadku wszystkie warunki z definicji podgrupy są oczywiste. Podgrupa ta jest zawarta w każdej podgrupie, do której należy g. Jest więc podgrupą generowaną przez g (lub przez zbiór {g}).

Jeżeli grupa G jest skończona, to dla pewnej liczby naturalnej n zachodzi równość g ⁿ = 1. Tak jest ponieważ funkcja f : N → G zdefiniowana wzorem f (i) = g ⁱ nie może być różnowartościowa. Jeżeli dla i < j zachodzi równość f (i) = f (j), to

g ^j−i = g ^j · (g ⁱ ) ⁻¹ = f (j) · (f (i)) ⁻¹ = 1.

Jeżeli g ⁿ = 1, to grupa generowana przez g jest postaci {g ⁱ | 0 ¬ i < n} = {g ⁱ | 1 ¬ i ¬ n}.

Oczywiście, podane zbiory są podzbiorami grupy generowanej przez g i są sobie równe. Łatwo też można sprawdzić, że są to podgrupy.

Jeżeli n jest najmniejszą dodatnią liczbą naturalną taką, że g ⁿ = 1, to funkcja przy- porządkowująca liczbie i < n element g ⁱ jest różnowartościowa. W tym przypadku zbiór {g ⁱ | 0 ¬ i < n} ma n elementów i – w konsekwencji – g jest elementem rzędu n.

Jeżeli g jest elementem rzędu n, to grupa generowana przez g jest skończona i dla pew- nej dodatniej liczby m potęga g ^m jest równa 1. Z jednoznaczności definicji rzędu wynika, że najmniejsza z takich liczb jest równa n. Tak więc rząd elementu g można definiować na dwa równoważne sposoby: albo jako liczbę elementów grupy generowanej przez g, albo jako najmniejszą dodatnią potęgę g równą 1.

6.2 Generatory grupy cyklicznej

Twierdzenie 6.1 Niech g będzie generatorem grupy G rzędu n. Element g ^m generuje G wtedy i tylko wtedy, gdy m i n są względnie pierwsze.

Dowód. Jeżeli n i m są względnie pierwsze, to dla pewnych liczb całkowitych a i b mamy g = g ^a·n+b·m = (g ⁿ ) ^a · (g ^m ) ^b = (g ^m ) ^b .

Wobec tego g i wszystkie potęgi g można otrzymać potęgując g ^m . Tak więc {g ⁱ | i ∈ Z} ⊆ {(g ^m ) ⁱ | i ∈ Z}. Przeciwne zawieranie jest oczywiste. Równość podanych zbiorów oznacza, że g i g ^m generują tę samą grupę.

Zauważmy, że jeżeli g generuje grupę rzędu n, to g jest elementem rzędu n. W szczególności, n jest najmniejszą dodatnią liczbą taką, że g ⁿ = 1.

Jeżeli g ^m generuje grupę G, to w szczególności g = (g ^m ) ^b dla pewnego b. Wobec tego, g ^b·m−1 = 1. Przyjmijmy, że b · m − 1 = a · n + r dla pewnej liczby naturalnej r < n. Tak więc

1 = g ^b·m−1 = g ^a·n+r = (g ⁿ ) ^a · g ^r = g ^r .

Ponieważ rząd g jest równy n, więc założenie r > 0 daje sprzeczność. Jeżeli natomiast r = 0, to b · m − a · n = 1. W ten sposób dowiedliśmy, że n i m są względnie pierwsze. 2

6.3 Elementy odwracalne w pierścieniach Z ⁿ

Twierdzenie 6.2 Przypuśćmy, że m ∈ Z _n oraz m 6= 0. Liczba m jest odwracalnym elementem pierścienia Z _n wtedy i tylko wtedy, gdy n i m są względnie pierwsze.

Dowód. Jeżeli m jest elementem odwracalnym w Z _n , to m · _n b = 1 dla pewnego b. Z definicji mnożenia modulo n otrzymujemy, że dla pewnego a zachodzi równość m · b + n · a = 1. Tak więc m i n są względnie pierwsze.

Aby dowieść implikację odwrotną, weźmy a i b takie, że m · b + n · a = 1, i podzielmy b przez n. Wtedy

1 = m · b + n · a = m · (i · n + r) + n · a = m · r + n · (m · i + a).

Oczywiście, r ∈ Z _n , a z powyższych równości wynika, że m · _n r = 1. 2

Wniosek 6.3 Jeżeli p jest pierwsza, to Z _p jest ciałem. Tak więc dla liczby pierwszej p zbiór {1, . . . p − 1} z mnożeniem · p modulo p jest grupą.

Jeżeli n jest dodatnią liczbą naturalną, to symbolem ϕ(n) oznaczamy liczbę elementów zbioru {k ∈ N : k > 0 ∧ k jest względnie pierwsze z n}. Funkcję ϕ nazywamy funkcją Eulera.

6.4 Dalsze własności grup cyklicznych

Niech G będzie grupą cykliczną, g 0 – generatorem G, H – podgrupą G, a m – najmniejszą dodatnią liczbą naturalną taką, że g ₀ ^m ∈ H. Oczywiście, {g ^i·m 0 : i ∈ Z} ⊆ H. Gdyby w H był jeszcze jakiś inny element, powiedzmy g ₀ ^k dla pewnego k niepodzielnego przez m, to po podzieleniu k przez m otrzymujemy k = im + r dla r takiego, że 0 < r < m i wtedy g ₀ ^r = g ₀ ^k−im = g ₀ ^k (g ₀ ^i·m ) ⁻¹ ∈ H. Fakt ten przeczy jednak definicji liczby m. Wobec tego, H = {g ₀ ^i·m : i ∈ Z} i jest grupą cykliczną generowaną przez g ^m ₀ .

Wniosek 6.4 Podgrupy grupy cyklicznej są cykliczne. 2

Niech teraz G będzie grupą cykliczną rzędu n generowaną przez g ₀ . Jeżeli w G jest element rzędu k, to k dzieli n. Odwrotnie, jeżeli k jest dzielnikiem n, to g ^n/k ₀ jest elemetem rzędu k.

Wniosek 6.5 Jeżeli G jest grupą cykliczną rzędu n i k jest dzielnikiem n, to w G istnieje element rzędu k. 2

Spróbujemy teraz policzyć w skończonej grupie cyklicznej G elementy rzędu k. Załóżmy, że jest przynajmniej jeden taki element i rozważmy H = {g ∈ G : g ^k = 1}. Do zbioru H należą wszystkie elementy rzędu k (ale nie tylko). Najpierw zauważymy, że H jest podgrupą grupy G. W tym celu weźmy g i h takie, że g ^k = 1 i h ^k = 1, i obliczmy (gh) ^k . Ponieważ grupa cykliczna jest przemienna, więc (gh) ^k = g ^k h ^k = 1. Tak więc zbiór H jest zamknięty ze względu na mnożenie, a ponieważ G jest skończona, więc jest podgrupą.

Podgrupa H jest cykliczna, jak wszystkie podgrupy G. Gdyby miała więcej niż k elemen-

tów, miałaby też element rzędu większego niż k. Z definicji H wynika, że wszystkie elementy

H są rzędu ¬ k. Stąd H ma najwyżej k elementów. Z drugiej strony w H jest element rzędu k. Tak więc H ma rząd k i element g ∈ G jest rzędu k wtedy i tylko wtedy, gdy generuje H.

Wiemy już, że grupa cykliczna rzędu k ma ϕ(k) generatorów. Grupa G ma więc tyle samo elementów rzędu k.

Wniosek 6.6 Jeżeli w grupie cyklicznej jest element rzędu k, to jest ich ϕ(k).

Twierdzenie 6.7 Grupa skończona G taka, że dla dowolnego k ∈ N zbiór {g ∈ G : g ^k = 1}

ma najwyżej k elementów jest cykliczna.

Dowód. Przypuśćmy, że G ma n elementów i G ^∗ jest n elementową grupą cykliczną. Niech l _G (k) oznacza liczbę elementów rzędu k należących do G. Analogicznie definiujemy liczbę l _G

∗

(k). Będziemy rozważać funkcje l _G (k) i l _G

∗

(k) dla k będących dzielnikami n.

Wiemy już, że 0 < l _G

∗

(k) = ϕ(k). dla wszystkich takich k.

Niech g 0 ∈ G będzie elementem rzędu k. Rozważmy zbiór H = {g ∈ G : g ^k = 1}. Z założenia zbiór ten ma najwyżej k elementów. Z drugiej strony zawiera k elementową podgrupę generowaną przez g ₀ . Wobec tego, H jest k elementową grupą cykliczną, a elementami rzędu k w grupie G są dokładnie generatory grupy H. Tak więc w tym przypadku l _G (k) = ϕ(k).

Jeżeli w grupie G nie ma elementów rzędu k, to oczywiście l _G (k) = 0. Ostatecznie otrzy- mujemy, że l _G (k) ¬ l _G

∗

(k) dla dowolnego k.

Ponieważ każdy element grup G i G ^∗ ma rząd dzielący n, więc zachodzą następujące wzory:

X

k|n

l G (k) = n = ^X

k|n

l G

^∗

(k).

Stąd otrzymujemy, że l _G (k) = l _G

∗

(k) dla wszystkich dzielników n. W szczególności l _G (n) = l _G

∗

(n) > 0. To oznacza, że G jest grupą cykliczną. 2

6.5 Grupy multiplikatywne ciał skończonych

W dowolnych pierścieniach przemiennych, a więc i w ciałach, prawdziwy jest wzór

x ⁿ − a ⁿ = (x − a) ·

n−1 X

i=0

a ⁿ⁻ⁱ x ⁱ .

Z tego wzoru otrzymujemy, że dla dowolnego wielomianu w stopnia n istnieje wielomian stopnia n − 1 taki, że

w(x) − w(a) = (x − a) · v(x).

Dla wielomianu w(x) = ^{P n} _i=0 a i x ⁱ mamy bowiem

w(x) − w(a) =

n X

i=0

a _i x ⁱ −

n X

i=0

a _i a ⁱ =

n X

i=0

a _i (x ⁱ − a ⁱ ) = (x − a) ·

n X

i=0

(a _i ·

i−1 X

j=0

a ^i−j x ^j ).

Twierdzenie 6.8 W dowolnym ciele, dowolny wielomian stopnia n ma najwyżej n pierwiast- ków.

Dowód. Jeżeli wielomian w jest stopnia 1, to łatwo znaleźć wszystkie jego pierwiastki roz- wiązując równanie w(x) = 0. Jeżeli w jest stopnia n > 1 i a jest jego pierwiastkiem (spełnia równanie w(a) = 0), to w(x) = (x − a) · v(x) dla pewnego wielomianu v stopnia n − 1. Je- żeli b 6= a jest pierwiastkiem w, to 0 = (b − a) · v(b). W ciałach z tej równości wynika, że v(b) = 0. Wszystkie pierwiastki w różne od a są więc pierwiastkami v i, na podstawie założe- nia indukcyjnego, jest ich najwyżej n − 1. Tak więc wielomian w ma najwyżej n pierwiastków.

2

Twierdzenie 6.9 Grupa multiplikatywna dowolnego ciała skończonego jest cykliczna.

Dowód. Jest to wniosek z twierdzeń 6.7 i 6.8. 2

6.6 Działanie grupy na zbiorze

Mówimy, że grupa G działa na zbiorze X, jeżeli dana jest funkcja przyporządkowującą parze (g, x) ∈ G × X element g.x należący do zbioru X, która dla dowolnych x ∈ X i g, h ∈ G spełnia równości 1.x = x oraz (gh).x = g.(h.x).

• Grupa G działa na sobie (na zbiorze G), jeżeli przyjmiemy, że g.x = g · x.

• Grupa S n działa na {1, . . . , n}, jeżeli działanie zdefiniujemy wzorem σ.i = σ(i).

• Grupa G także działa na sobie (na zbiorze G), jeżeli g.x = g · x · g ⁻¹ .

Przypuśćmy, że ϕ : G → S X jest homomorfizmem o wartościach w grupie permutacji zbioru X. Wtedy wzór g.x = ϕ(g)(x) definiuje działanie grupy G na X. Mamy bowiem

1.x = ϕ(1)(x) = id(x) = x oraz

(g · h).x = ϕ(g · h)(x) = (ϕ(g)ϕ(h))(x) = ϕ(g)(ϕ(h)(x)) = g.(h.x).

Pokażemy, że każde działanie grupy G na X jest takiej właśnie postaci. Mając działanie grupy G na X, dla g ∈ G zdefiniujmy funkcję f _g : X → X przyjmując, że f _g (x) = g.x. Funkcje f _g są permutacjami zbioru X. Wartość y funkcja f _g przymuje dla argumentu g ⁻¹ .y, gdyż

f _g (g ⁻¹ .y) = g.(g ⁻¹ .y) = (g · g ⁻¹ ).y = 1.y = y.

Jeżeli f g (x) = f g (y), to także g ⁻¹ .f g (x) = g ⁻¹ .f g (y). Aby teraz dowieść różnowartościowość f g

wystarczy zauważyć, że g ⁻¹ .f g (x) = g ⁻¹ .(g.x) = (g ⁻¹ g).x = 1.x = x i analogiczny wzór dla y.

Weźmy więc funkcję ϕ : G → S X zdefiniowaną wzorem ϕ(g) = f g . Jest to homomorfizm podanych grup, gdyż

ϕ(g · h)(x) = f _g·h (x) = (g · h).x = g.(h.x) = f _g (f _h (x)) = (ϕ(g)ϕ(h))(x).

Dla tego homomorfizmu mamy

ϕ(g)(x) = f _g (x) = g.x.

7.1 Stabilizatory i orbity

Stabilizatorem elementu x ∈ X nazywamy zbiór

stab(x) = {g ∈ G : g.x = x}.

Stabilizator dowolnego elementu jest podgrupą grupy G.

Jeżeli x ∈ X, to zbiór

orb(x) = G.x = {g.x : g ∈ G}

nazywamy orbitą elementu x.

Jeżeli grupa G działa na sobie tak, że g.x = gx, to dla dowolnego elementu x ∈ G jego stabilizatorem jest stab(x) = {1}, a jego orbitą jest orb(x) = Gx = {gx : g ∈ G} = G.

Przypuśćmy, że mamy grupę G i homomorfizm h przekształcający G na H. Wzorem g.x = h(g) · x definiujemy działanie grupy G na H. W tym przypadku stab(x) = {g ∈ G : g.x = x} = {g ∈ G : h(g) = 1} (dla 1 ∈ H) jest więc jądrem homomorfizmu h, a orb(1) = {g.1 : g ∈ G} = {h(g) : g ∈ G} = H.

Lemat 7.1 Jeżeli grupa G działa na zbiorze X, to zbiór orbit jest podziałem zbioru X.

Dowód. Rozważmy relację R ⊆ X ² taką, że

xRy ⇔ ∃g ∈ G g.x = y.

Łatwo wykazać, że R jest relacją równoważności. Klasa abstrakcji relacji R wyznaczona przez x jest równa {g.x : g ∈ G}, czyli jest orbitą elementu x. 2

7.2 Uogólnienie twierdzenia Lagrange’a

Na wykładzie 3 dla grupy G i jej podgrupy rozważaliśmy relację równoważności R H zdefinio- waną wzorem xR H y ⇔ x ⁻¹ y ∈ H. Pokazaliśmy, że relacja R H ma równoliczne klasy abstrakcji postaci xH = {xh | h ∈ H} (zwane warstwami) i H jest jedną z klas abstrakcji.

Twierdzenie 7.2 Jeżeli grupa G działa na zbiorze X, to dla dowolnego x ∈ X zachodzi równość | G | = | stab(x) | · | orb(x) |.

Dowód. Weźmy dowolny x ∈ X i rozważmy funkcję f : G → X taką, że f (g) = g.x. Zbiorem wartości funkcji f jest orb(x). Zauważmy też, że następujące warunki są równoważne

f (g) = f (h) ⇔ g.x = h.x ⇔ g ⁻¹ .(g.x) = g ⁻¹ .(h.x) ⇔

⇔ (g ⁻¹ h).x = x ⇔ g ⁻¹ h ∈ stab(x) ⇔ gR _stab(x) h

Stąd wynika, że relacja R taka, że gRh ⇔ f (g) = f (h) jest równa R _stab(x) , a więc R _stab(x) ma tyle klas abstrakcji, ile elementów ma orbita orb(x). Teza zachodzi, ponieważ każda klasa abstrakcji relacji R _stab(x) ma | stab(x) | elementów. 2

7.3 Elementy sprzężone

Niech G będzie grupą. Będziemy teraz rozważać funkcje s _g : G → G wyznaczone przez g ∈ G i zdefiniowane wzorem s _g (x) = gxg ⁻¹ . Bez trudu dowodzi się, że funkcje s _g przekształcają G wzajemnie jednoznacznie na G. Ponadto są to homomorfizmy przekształcające G na G, gdyż s g (xy) = gxyg ⁻¹ = gxg ⁻¹ gyg ⁻¹ = s g (x)s g (y). Homomorfizmy przekształcające G wzajemnie jednoznacznie na G nazywamy automorfizmami.

Co więcej wzór g.x = s _g (x) definiuje działanie grupy G na sobie. Mamy bowiem 1.x = 1x1 ⁻¹ = x oraz (gh).x = (gh)x(gh) ⁻¹ = g(hxh ⁻¹ )g ⁻¹ = g.(h.x).

Dla wyżej zdefiniowanego działania stabilizator x nazywamy centralizatorem, a elementy orbity x, czyli elementy postaci gxg ⁻¹ , nazywamy elementami sprzężonymi z x.

W grupach przemiennych (np. cyklicznych) jedynym elementem sprzężonym z g jest g.

7.4 Homomorfizmy grup

Przypuśćmy, że h jest homomorfizmem przekształcającym grupę G w grupę G ⁰ . Niech H = h ⁻¹ ({1}) = {g ∈ G : h(g) = 1}. Oczywiście, H jest podgrupą G. Zauważmy, że funkcje s _g przekształcają H na H. Tak więc, s _g (H) = gHg ⁻¹ = H dla wszystkich g ∈ G. Tę własność można też wyrazić inaczej stwierdzając, że podgrupa H wraz z dowolnym elementem zawie- ra wszystkie z nim sprzężone. Podgrupy o tej własności nazywamy dzielnikami normalnymi.

Wszystkie podgrupy grupy przemiennej są dzielnikami normalymi.

Grupa ma tyle (z dokładnością do izomorfizmu) obrazów homomorficznych, ile dzielników normalnych. Aby się o tym przekonać zauważmy, że jeżeli H jest dzielnikiem normalnym, to xHyH = xyHy ⁻¹ yH = xyHH = xyH. Wobec tego, zbiór

G/H = {xH : x ∈ G} = {[x] : x ∈ G}

klas abstrakcji relacji R _H (czyli (prawostronnych) warstw grupy G wyznaczonych przez H) rozważany z działaniem zdefiniowanym wzorem AB = {ab : a ∈ A ∧ b ∈ B} jest obrazem homomorficznym grupy G. Epimomorfizm χ : G → G/H jest zdefiniowany wzorem χ(x) = xH. Mnożenie w G/H możemy też zdefiniować wzorem [x][y] = [xy], a więc klasy akstrakcji (relacji R h ) mnożymy w ten sposób, że bierzemy reprezentantów x i y tych klas, obliczamy iloczyn xy i tworzymy klasę abstrakcji wyznaczoną przez ten iloczyn. Algebrę G/H jest grupą (jako obraz homomorficzny grupy) i nazywamy ją grupą ilorazową.

Jądrem homomorfizmu χ jest podgrupa H: warunek χ(x) = 1 _G/H = 1H = H jest równo- ważny warunkom xH = H orax x ∈ H.

Wniosek 7.3 Każdy dzielnik normalny jest jądrem pewnego homomorfizmu. 2

Co więcej, grupy G ⁰ i G/H są izomorficzne. Wzór f (xH) = h(x) jest poprawną definicją funkcji f : G/H → G ⁰ . Tak jest, gdyż następujące warunki są równoważne: xH = yH (albo [x] = [y]), x ⁻¹ y ∈ H, h(x ⁻¹ y) = 1, h(x) = h(y) oraz f (xH) = f (yH). Równoważność tych warunków świadczy także o tym, że f jest funkcją wzajemnie jednoznaczną. Podobnie spraw- dzamy, że f jest homomorfizmem: f (xHyH) = f (xyH) = h(xy) = h(x)h(y) = f (xH)f (yH).

Wniosek 7.4 Obrazy homomorficzne grupy G wyznaczone przez homomorfizmy o tym samym

jądrze są izomorficzne. 2

8.1 Działanie grupy na zbiorze: liczba orbit

Przypuśćmy, że G działa na zbiorze X. Zbiorem punktów stałych działania elementem g ∈ G nazywamy zbiór f ix(g) = {x ∈ X : g.x = x}.

Lemat 8.1 (Burnside) Jeżeli grupa G działa na zbiorze X, to liczba orbit jest równa 1

| G | X

x∈X

| stab(x) | oraz 1

| G | X

g∈G

| f ix(g) |.

Dowód. Najpierw zauważmy, że obie liczby z tezy lematu są równe i są równe liczbie elemen- tów zbioru A = {(g, x) ∈ G × X : g.x = x}. Jest to konsekwencja równoważności warunków g.x = x, x ∈ f ix(g) oraz g ∈ stab(x) i wynikających stąd wzorów

A = {(g, x) ∈ G × X : x ∈ f ix(g)} = ^[

g∈G

{g} × f ix(g),

oraz

A = {(g, x) ∈ G × X : g ∈ stab(x)} = ^[

x∈X

stab(x) × {x}.

Zauważmy także, że zgodnie z twierdzeniem 7.2 dla dowolnej orbity O mamy

X

x∈O

| stab(x) | = ^X

x∈O

| G |

| O | = | G |,

i w konsekwencji ^P _x∈X | stab(x) | jest iloczynem liczby orbit i liczby elementów grupy G. 2 Przypuśćmy, że oprócz G i X mamy także zbiór Y . Grupa G działa również na zbiorze Y ^X funkcji określonych na zbiorze X i przyjmujących wartości w zbiorze Y . Działanie G na tym zbiorze definiujemy wzorem

(g.f )(x) = f (g ⁻¹ .x).

Oczywiście, (1.f )(x) = f (x), czyli 1.f = f dla dowolnej funkcji f . Mamy także ((gh).f )(x) = f ((gh) ⁻¹ .x) = f ((h ⁻¹ g ⁻¹ ).x) =

= f (h ⁻¹ .(g ⁻¹ .x)) = (h.f )(g ⁻¹ .x) = (g.(h.f ))(x).

Jeżeli H jest podgrupą grupy G, to obcięcie działania G na X do podgrupy H jest działa- niem H na X. Przypuśćmy, że orb _G (x) i orb _H (x) są orbitami dla tych działań. Jest oczywiste, że orb _H (x) ⊆ orb _G (x). Wobec tego, orbity orb _H (x) definiują drobniejszy podział X od podziału na orbity orb _G (x).

Lemat 8.2 Jeżeli g ∈ G, H jest skończoną podgrupą G generowaną przez g 0 i działanie H na X rozbija X na m orbit, to dla działania G na Y ^X mamy | f ix(g) | = | Y | ^m .

Dowód. Udowodnimy, że f ∈ f ix(g) wtedy i tylko wtedy, gdy f jest stała na wszystkich orbitach postaci orb H (x). Stąd, oczywiście, wynika teza lematu.

Przypuśćmy, że g ₀ jest rzędu k. Wtedy H = {g ⁱ ₀ : i < k} oraz orb _H (x) = {g ₀ ⁱ .x : i < k}.

Jest oczywiste, że jeżeli f ∈ f ix(g) ∩ f ix(h), to f ∈ f ix(gh).

Weźmy f ∈ f ix(g ₀ ). Z podanej własności otrzymujemy, że f ∈ f ix(g ⁱ ₀ ), a także f ∈ f ix(g ⁻ⁱ ₀ ) dla wszystkich i < k. Tak więc dla dowolnego x ∈ X mamy f (x) = g ⁻ⁱ ₀ .f (x) = f (g ⁱ ₀ .x). Oznacza to, że dla dowolnego x ∈ X funkcja f jest stała na orbicie orb H (x).

Implikacja odwrotna jest oczywista. 2

Przykład 8.3 Przypuśćmy, że mamy kwadratową szachownicę o czterech polach. Każde z pól jest wyznaczone przez jeden z wierzchołków szachownicy-kwadratu, sąsiadujący z tym polem.

Przypuśćmy, że wierzchołki szachownicy są oznaczane symbolami lg, ld, pg i pd (lewy-górny, lewy-dolny itd.). Kolorowaniem szachownicy nazywamy funkcję f : {lg, ld, pg, pd} → K, która każdemu wierzchołkowi przyporządkowuje kolor ze zbioru K, którym jest pomalowane pole z nim sąsiadujące. Szachownicę możemy, oczywiście, obracać. Obroty szachownicy tworzą grupę G. Grupa ta działa na zbiorze wierzchołków tak, że σ.w jest wierzchołkiem, na którym znajdzie się wierzchołek w po wykonaniu obrotu σ (np. jeżeli w = lg, a σ jest obrotem w prawo o 90 stopni zgodnie z ruchem wskazówek zegara, to σ.w = pg.

Zdefiniujemy działanie grupy G na kolorowaniach szachownicy: jeżeli σ jest obrotem, a f – kolorowaniem, to σ.f jest kolorowaniem, które można otrzymać w następujący sposób:

bierzemy szachownicę z kolorami wyznaczonymi przez kolorowanie f i wykonujemy obrót σ.

Nietrudno zauważyć, że aby ustalić kolor pola sąsiadującego z wierzchołkiem w w kolorowaniu σ.f należy znaleźć wierzchołek, który po wykonaniu obrotu σ znajdzie się na pozycji wierz- chołka w (a więc wierzchołek σ ⁻¹ (w)) i zobaczyć, jak jest pokolorowane sąsiednie pole (jest pomalowane kolorem f (σ ⁻¹ (w)). Tak więc σ.f (w) = f (σ ⁻¹ (w). Zauważmy, że zdefiniowana funkcja σ.f jest działaniem, a lemat 8.2 podaje jego własności.

Dwa kolorowania f 1 i f 2 uważamy za identyczne, jeżeli jedno z nich można otrzymać z drugiego przez odpowiedni obrót (jeżeli ∃σ ∈ G σ.f ₁ = f ₂ ). Zauważmy, że zdefiniowana relacja występuje w dowodzie lematu 7.1. Z dowodu tego lematu wynika, że utożsamiamy dokładnie te kolorowania, które należą do tej samej orbity wyznaczonej przez działanie grupy G na zbiorze kolorowań. Różnych kolorowań jest więc tyle, ile to działanie ma orbit. Będziemy liczyć liczbę tych orbit korzystając z lematów 8.1 Burnside’a i 8.2.

Grupa G składa się z czterech obrotów: O 0 o 0 stopni, O 180 o 180 stopni oraz O 90 i O −90 o 90 stopni zgodnie i niezgodnie z ruchem wskazówek zegara. Składając obroty O ₉₀ i O ₋₉₀ można dowolny wierzchołek kwadratu przeprowadzić na każdy inny. Tak więc podgrupa generowana przez każdy z tych obrotów ma tylko jedną orbitę, a zgodnie z lematem 8.2 zachodzi wzór

| f ix(O ±90 ) | = | K |. Podobnie, podgrupa generowana przez obrót O ₀ ma cztery orbity oraz zachodzi wzór |f ix(O 0 )| = |K | ⁴ . Obrót O 180 o 180 stopni ma dwie orbity {lg, pd} i {ld, pg} oraz zachodzi wzór | f ix(O 180 ) | = | K | ² . Zgodnie z lematem Burnside’a liczba różnych kolorowań czteropolowej szachownicy | K | kolorami jest równa

1

4 · (| K | ⁴ + | K | ² + 2 · | K |).