1
Ekoenergetyka Matematyka 1. Wykład 1.
Literatura do wykładu
M. Gewert, Z. Skoczylas, Analiza matematyczna 1;
T. Jurlewicz, Z. Skoczylas, Algebra liniowa 1;
Stankiewicz, Zadania z matematyki wyższej dla wyższych uczelni technicznych
Żakowski, Dacewicz, Matematyka, część I
LICZBY ZESPOLONE
Def. i nazywamy jednostką urojoną, spełniającą równość j2 1.
Liczbą zespoloną nazwiemy wielkość x yj , gdzie ,x y Wielkości x yj oraz u vj są sobie równe x uoraz yv
Działania ( , , ,:) wykonuje się analogicznie do praw arytmetyki liczb rzeczywistych:
2
( ) ( ) ( ) ( ) ,
( ) ( ) ( ) ( 1) ( ) .
x yj u vj x yj u vj x u y v j
x yj u vj xu xvj yuj yvj xu xv yu j yv xu yv xv yu j
Przykłady:
2 2
2 2
2 2
( 3 2 ) ( 2 4 ) 3 2 2 4 1 6 ,
(7 2 )( 5 3 ) 35 21 10 6 35 11 6 41 11
3 3 4 12 3 4 12 1 13 13 1
4 4 4 4 16 1 17 17 17
(2 4 ) (3 8 ) ( 7 4 )(4 7 ) 3 6
2
4 5 0 6 18
j j j j j
j j j j j j j
j j j j j j j j
j j j j
j j j j j
j
z z z z
0 z22z500
Jeżeli z x yj to liczbę x yj nazywamy liczbą sprzężoną do z i oznaczamy z Własności sprzężenia
1) Jeżeli z x yj, to z z x2y2 2) z1z2 z1 z2,
2 3) z z1 2 z z1 2,
4) 1 1 2
2 2
, o ile
z z
z z z
0,
5)
z z.Przykład. a)Rozwiąż równanie: 2z3z j z( z) 4 3 .i Rozw.
Podstawiamy z x jy z, x iy
2( ) 3( ) ( ) 4 3 ,
2 2 3 3 2 4 3 ,
(5 2 ) 4 3 ,
4 4 11 ,
4 4 4 5
5 2 3 5 8 3 5 11 11 11
4 .
5 5
x jy x jy j x jy x jy j
x jy x jy j x j
x y x j j
x z j
x x x
y x y y y
z j
b) Rozwiąż równanie: 4z2z3(zz) 5 7 .j Rozw.
Podstawiamy z x jy z, x jy
4( ) 2( ) 3( ) 5 7 ,
4 4 2 2 6 5 7 ,
0 2 5 7 ,
0 5
2 7
x jy x jy x jy x jy j
x jy x jy x j
x yj j
y
sprzeczność
Odp. równanie nie ma rozwiązań.
c) Znajdź liczby ,a b takie, że (2aj b)( 3 )j j
Zbiór liczb zespolonych oznaczmy , gdzie { :z z x iy x y, , }.
3
Jeśli z x yj , to x nazywamy częścią rzeczywistą z, a y częścią urojoną z, wprowadzamy funkcje: Re( )z x, Im( )z y.
Przykłady
7 12 , to Re( ) 7, Im( ) 12, 3 , to Re( ) 0, Im( ) 3, 11, to Re( ) 11, Im( ) 0.
z j z z
z j z z
z z z
Płaszczyzna zespolona
Niech z x yj wtedy otrzymamy punkt na płaszczyźnie o współrzędnych ( , )P x y lub wektor [ , ]
r x y taką płaszczyznę nazywamy płaszczyzną zespoloną, oś Ox nazywamy osią rzeczywistą, Oy osią urojoną
Rys 10
Def. Modułem liczby zespolonej
z x j y x y ( , )
nazywamy liczbę rzeczywistą | |z określoną wzorem:| |
2 2(Re )
2(Im )
2def
z x y z z
.jy
z
1 |z
1-z
2| z0
z
2x |z|
4
Def. Argumentem liczby zespolonej
z x jy ( , x y )
nazywamy każdą liczbę
taką (to jest spełniającą układ równań), że:cos ,
gdzie 0
sin ,
x
z z
y z
.Argumentem głównym
arg z
liczby zespolonej z nazywamy argument
tej liczby taki, że 0
2
(czasami
).jy z
ᵠ = arg z
x
Zbiór
arg z
wszystkich argumentów liczby zespolonej z nazywamy argumentem pełnym:
arg z
: argz2k
:k , gdzie jest zbiorem liczb całkowitych.Przyjmujemy, ze argumentem głównym liczby zespolonej
z 0
jest 0 (Arg 0 0
) orazarg z
dla
z 0
.Długość wektora r nazywamy modułem liczby zespolonej z i oznaczamy z , czyli dla z x yj mamy z x2y2 .
Przykład 5 5, 7j 7, 5 j ( 5)2 ( 1)2 25 1 26 .
5 Własności modułu
1) z z z 2) z z1 2 z1 z2
3) 1 1 2
2 2
, o ile z z
z z z 0
4) z1z2 z1 z2 5) z z z2
6) Rez z, Imz z
Przykład.
Narysować zbiór liczb zespolonych takich, że z j 3
Rozw.
2 2
3 3
( 1) 3
( 1) 3
z j
x jy j
x y
x y
Uwaga
Równanie zz0 R przedstawia na płaszczyźnie zespolonej okrąg o środku w punkcie z i 0 promieniu R.
6
Postać trygonometryczna liczby zespolonej.
cos (*)
sin x z y z
stąd x z cos , y z sin .
Zatem z x jy z cos j z sin . (cos sin ),
z z j - postać trygonometryczna liczby zespolonej
Argumentem liczby zespolonej z x jy nazywamy każdą liczbę , spełniającą równanie (*) , oznaczamy arg z czyli argz 2k,k .
Argumentem głównym liczby z nazywamy Arg z spełniający warunek 0 2 . Przykład
Wyznaczyć argument główny liczy a) 3 1 , b) 3 3 .
2 2
z j z j .
7 Rozw a)
2 2
3 1 3 1
2 2 4 4 1
3 2 3
cos 1 2 , , 1 (cos sin ) cos sin .
6 6 6 6 6 6
1 2 1
sin 1 2
z
Arg z z j j
b)
3 2 3 2 9 9 18 9 2 9 2 3 20
6 4 3 2
3 1 2 I II III IV
cos 3 2 2 2 1 2 3
sin 0 1 sin
2 2 2
3 1 2
sin cos
2 3 2 1
3 2 2
cos 1 0
2 2 2
3 3
= , ćw. II , Arg
4 4 4
2 z
z
,
4
3 3
3 2(cos sin ).
4 4
z j
Fakt
Każdą liczbę zespoloną z można przedstawić równocześnie w postaci:
a) algebraicznej z x jy,
b) trygonometrycznej z z (cos j sin ),
c) wykładniczej z z ej, gdzie ek cos j sin .
Fakt
Niech z1 z1 (cos1 jsin1), z2 z2 (cos2 jsin2). Wtedy 1. z z1 2 z z1 2 (cos( 1 2) jsin( 1 2))
2. 1 1 1 2 1 2
2 2
(cos( ) sin( )).
z z
z z j
8 Fakt
Niech z z(cos jsin ), oraz n . Wtedy
cos sin
.n n
z z n j n
Przykład
Oblicz: a)
30
3 1 12
, b) 3 3
2 2 j j
Rozw. a)
30 30
3 1
cos sin cos 30 sin 30 cos 5 sin 5
2 2 6 6 6 6
cos(2 2 ) sin(2 2 ) cos sin 1
j j j j
j j
b)
20 20
20
20 20 28
10 10 10
3 3 3 3
3 3 3 2(cos sin ) 3 2 cos 20 sin 20
4 4 4 4
3 2 cos15 sin15 3 2 cos 7 2 sin 7 2
9 2 cos sin 18
i i j
j j
j