• Nie Znaleziono Wyników

LICZBY ZESPOLONE

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2021

Share "LICZBY ZESPOLONE"

Copied!
8
0
0

Pełen tekst

(1)

1

Ekoenergetyka Matematyka 1. Wykład 1.

Literatura do wykładu

M. Gewert, Z. Skoczylas, Analiza matematyczna 1;

T. Jurlewicz, Z. Skoczylas, Algebra liniowa 1;

Stankiewicz, Zadania z matematyki wyższej dla wyższych uczelni technicznych

Żakowski, Dacewicz, Matematyka, część I

LICZBY ZESPOLONE

Def. i nazywamy jednostką urojoną, spełniającą równość j2  1.

Liczbą zespoloną nazwiemy wielkość x yj , gdzie ,x yWielkości x yj oraz u vj są sobie równe  x uoraz yv

Działania ( , , ,:)   wykonuje się analogicznie do praw arytmetyki liczb rzeczywistych:

2

( ) ( ) ( ) ( ) ,

( ) ( ) ( ) ( 1) ( ) .

x yj u vj x yj u vj x u y v j

x yj u vj xu xvj yuj yvj xu xv yu j yv xu yv xv yu j

          

               

Przykłady:

2 2

2 2

2 2

( 3 2 ) ( 2 4 ) 3 2 2 4 1 6 ,

(7 2 )( 5 3 ) 35 21 10 6 35 11 6 41 11

3 3 4 12 3 4 12 1 13 13 1

4 4 4 4 16 1 17 17 17

(2 4 ) (3 8 ) ( 7 4 )(4 7 ) 3 6

2

4 5 0 6 18

j j j j j

j j j j j j j

j j j j j j j j

j j j j

j j j j j

j

z z z z

            

              

                  

    

       

     0 z22z500

Jeżeli z x yj  to liczbę x yj nazywamy liczbą sprzężoną do z i oznaczamy z Własności sprzężenia

1) Jeżeli z x yj, to z z x2y2 2) z1z2  z1 z2,

(2)

2 3) z z1  2 z z1 2,

4) 1 1 2

2 2

, o ile

z z

z z z

 

  

  0,

5)

 

z z.

Przykład. a)Rozwiąż równanie: 2z3zj z( z) 4 3 .i Rozw.

Podstawiamy z x jy z,  x iy

2( ) 3( ) ( ) 4 3 ,

2 2 3 3 2 4 3 ,

(5 2 ) 4 3 ,

4 4 11 ,

4 4 4 5

5 2 3 5 8 3 5 11 11 11

4 .

5 5

x jy x jy j x jy x jy j

x jy x jy j x j

x y x j j

x z j

x x x

y x y y y

z j

        

     

   

     

 

     

    

          

       

b) Rozwiąż równanie: 4z2z3(zz)  5 7 .j Rozw.

Podstawiamy z x jy z,  x jy

4( ) 2( ) 3( ) 5 7 ,

4 4 2 2 6 5 7 ,

0 2 5 7 ,

0 5

2 7

x jy x jy x jy x jy j

x jy x jy x j

x yj j

y

         

      

   

  

 

sprzeczność

Odp. równanie nie ma rozwiązań.

c) Znajdź liczby ,a b takie, że (2aj b)( 3 )jj

Zbiór liczb zespolonych oznaczmy , gdzie { :z z x iy x y, , }.

   

(3)

3

Jeśli z x yj  , to x nazywamy częścią rzeczywistą z, a y częścią urojoną z, wprowadzamy funkcje: Re( )zx, Im( )zy.

Przykłady

7 12 , to Re( ) 7, Im( ) 12, 3 , to Re( ) 0, Im( ) 3, 11, to Re( ) 11, Im( ) 0.

z j z z

z j z z

z z z

    

    

    

Płaszczyzna zespolona

Niech z x yj wtedy otrzymamy punkt na płaszczyźnie o współrzędnych ( , )P x y lub wektor [ , ]

rx y taką płaszczyznę nazywamy płaszczyzną zespoloną, oś Ox nazywamy osią rzeczywistą, Oy osią urojoną

Rys 10

Def. Modułem liczby zespolonej

z   x j y x y ( ,  )

nazywamy liczbę rzeczywistą | |z określoną wzorem:

| |

2 2

(Re )

2

(Im )

2

def

zxyzz

.

jy

z

1 |

z

1-

z

2| z

0

z

2

x |z|

(4)

4

Def. Argumentem liczby zespolonej

z   x jy ( , x y  )

nazywamy każdą liczbę

 taką (to jest spełniającą układ równań), że:

cos ,

gdzie 0

sin ,

x

z z

y z







 

.

Argumentem głównym

arg z

liczby zespolonej z nazywamy argument

tej liczby taki, że 0 

2

(czasami

     

).

jy z

ᵠ = arg z

x

Zbiór

arg z

wszystkich argumentów  liczby zespolonej z nazywamy argumentem pełnym:

 

arg z

 

: argz2k

:k , gdzie jest zbiorem liczb całkowitych.

Przyjmujemy, ze argumentem głównym liczby zespolonej

z  0

jest 0 (

Arg 0 0 

) oraz

arg z

dla

z  0

.

Długość wektora r nazywamy modułem liczby zespolonej z i oznaczamy z , czyli dla z x yj mamy zx2y2 .

Przykład 5 5, 7j     7, 5 j ( 5)2 ( 1)2  25 1  26 .

(5)

5 Własności modułu

1) z   z z 2) z z12z1z2

3) 1 1 2

2 2

, o ile z z

zz z 0

4) z1z2z1z2 5) z z  z2

6) Rezz, Imzz

Przykład.

Narysować zbiór liczb zespolonych takich, że z j 3

Rozw.

2 2

3 3

( 1) 3

( 1) 3

z j

x jy j

x y

x y

 

  

  

  

Uwaga

Równanie zz0R przedstawia na płaszczyźnie zespolonej okrąg o środku w punkcie z i 0 promieniu R.

(6)

6

Postać trygonometryczna liczby zespolonej.

cos (*)

sin x z y z

 



 



stąd x z cos , y  z sin .

Zatem z x jy z cos j z sin . (cos sin ),

z z  j  - postać trygonometryczna liczby zespolonej

Argumentem liczby zespolonej z x jy nazywamy każdą liczbę  , spełniającą równanie (*) , oznaczamy arg z czyli argz  2k,k .

Argumentem głównym liczby z nazywamy  Arg z spełniający warunek 0  2 . Przykład

Wyznaczyć argument główny liczy a) 3 1 , b) 3 3 .

2 2

z  j z   j .

(7)

7 Rozw a)

2 2

3 1 3 1

2 2 4 4 1

3 2 3

cos 1 2 , , 1 (cos sin ) cos sin .

6 6 6 6 6 6

1 2 1

sin 1 2

z

Arg z z j j

       

   

        



         



  

b)

   

3 2 3 2 9 9 18 9 2 9 2 3 2

0

6 4 3 2

3 1 2 I II III IV

cos 3 2 2 2 1 2 3

sin 0 1 sin

2 2 2

3 1 2

sin cos

2 3 2 1

3 2 2

cos 1 0

2 2 2

3 3

= , ćw. II , Arg

4 4 4

2 z

z

   

 

 

      

     

   

          

  

    

     



       

        

  ,

4

3 3

3 2(cos sin ).

4 4

z j

Fakt

Każdą liczbę zespoloną z można przedstawić równocześnie w postaci:

a) algebraicznej z x jy,

b) trygonometrycznej z z (cos j sin ),

c) wykładniczej zz ej, gdzie ek cos j sin .

Fakt

Niech z1z1 (cos1jsin1), z2z2 (cos2jsin2). Wtedy 1. z z1 2 z z1 2 (cos( 12) jsin( 12))

2. 1 1 1 2 1 2

2 2

(cos( ) sin( )).

z z

zz    j  

(8)

8 Fakt

Niech zz(cos jsin ), oraz n . Wtedy

   

cos sin

.

n n

zz n  j n

Przykład

Oblicz: a)

 

30

3 1 12

, b) 3 3

2 2 j j

 

  

 

 

 

Rozw. a)

 

   

30 30

3 1

cos sin cos 30 sin 30 cos 5 sin 5

2 2 6 6 6 6

cos(2 2 ) sin(2 2 ) cos sin 1

j j j j

j j

     

     

          

     

     

 

         

b)

   

 

 

20 20

20

20 20 28

10 10 10

3 3 3 3

3 3 3 2(cos sin ) 3 2 cos 20 sin 20

4 4 4 4

3 2 cos15 sin15 3 2 cos 7 2 sin 7 2

9 2 cos sin 18

i i j

j j

j

   

     

 

   

          

          

    

Cytaty

Powiązane dokumenty

Przyglądając się metamorfozom pracy w dzisiejszym świecie, a zatem i w Polsce, dystansującej się z każdym rokiem wobec spuścizny systemu totalitarnego, Tischner

Suma krotności wszystkich rozwiązań równania n-tego stopnia wynosi

Definicja.. Na płaszczyźnie Gaussa argument liczby z to miara kąta zorien- towanego, jaki tworzy dodatnia półoś rzeczywista z półprostą o początku 0, przechodzącą przez

[r]

Okazuje się jednak, że zbiór liczb rzeczywistych zawiera się w większym zbiorze liczb zespolonych , który już tej „wady” nie posiada.. Początki teorii liczb

Powy»szy wzór zachodzi równie» dla liczb caªkowitych ujemnych.... Pierwiastkowanie

Powy»szy wzór zachodzi równie» dla liczb caªkowitych

Liczbę j nazywamy