Rozwi¡» nierówno±ci wykªadnicze: a) 2−5x+3&lt

dr Krzysztof ›yjewski,Repetytorium mat. elementarnej; Informatyka S-I⁰.in». 9 stycznia 2019

Zadania przygotowuj¡ce do kolokwium nr 2

1. Rozwi¡» nierówno±ci z wyra»e« wymiernych:

(a) _2x+1^5x − 2 ≤ ^x−2_x+5 (b) _x2−x−2⁵ +_4−x³ 2 > 0 2. Zaproponuj rozkªad na uªamki proste:

(a) _(x+3)(x−2)^3x2+1 2x⁴ (b) _x(x−4)^3x2(x²⁺¹²+2x+3) (c) _x(x−4)2(x^23x+1+2x+3)²(x²+1)

3. Rozªó» na uªamki proste:

(a) _x3−x^5x−42−2x (b) _x3^3x−5x^2−11x+52+8x−4 (c) _x3−3x^x2+4x+52+4x−12

4. Rozwi¡» równania wykªadnicze:

a) ^{√ 2}

2^2x−1 = 8^3x−4, b) 3^x+1+ 3^x−2 = ²⁶₉ ,

c) 7 · 3^x+1− 5^x+2 = 3^x+4− 5^x+3, d) 16^x+ 4^x+2− 36 = 0, e) 4^x+ 9^x = 2 · 6^x, f ) 7^x+ 7^1−x = 8, 5. Rozwi¡» nierówno±ci wykªadnicze:

a) 2^−5x+3< ¹₄
¹₂x²

, b) 3^x+2+ 7^x< 4 · 7^x−1+ 34 · 3^x−1, c) ₂₇¹ < ¹₃
3x−1

≤ 3, d) 2^2x+1− 17 · 2^x+ 8 ≥ 0,

6. Oblicz:

a) log₂^√₂ ⁸⁵

√16

2⁷ , b) 3^log3√327,

c) log₉5 · log₂₅27, d) 10^{2−3 log 4},

e) log₃8 − 2 log₃2 + log₃+ log₃ ⁹₂, f ) log₅22 − log₂₅121 − log^√₅√ 10, 7. Wyznacz dziedzin¦ funkcji:

a) f (x) = log¹

2



1 − log₂(x²− 5x + 6)

, b) f (x) =q

log¹

2

x²−1 x
, 8. Rozwi¡» równania:

a) log₂(x + 2) + log₂(x + 14) = 6, b) log(x − 3) − log(4 − x) = 1 − log(5 − x), c) log₃(log 2x) = 2, d) log²₃x + log₃x² = 8,

e) log₃x − _log⁴

3x = 3, f ) log₂x + log₈x = 8.

9. Rozwi¡» nierówno±ci:

a) log₅(2x + 7) > −2, b) log¹

5(3x − 4) < −2, c) log¹

4(2 − x) > log¹

4

2

x+1, d) log¹

3 |x − 3| < −3, e) log x + log(x + 1) < log(2x + 3), f ) 3^log12(x

2−5x+7)

< 1, g) log_(2x−3)(3x²− 7x + 3) < 2.

10. Korzystaj¡c ze wzorów redukcyjnych oraz wªasno±ci funkcji trygonometrycznych oblicz:

a) tg ²¹⁵₆ π

b) cos −⁴⁹₆π

c) sin −75³₄π

d) ctg 2100^◦. 11. Wyznacz warto±ci pozostaªych funkcji trygonometrycznych wiedz¡c, »e:

a) cos x = ²⁴₂₅ oraz ³₂π < α < 2π, b) tg x = −³

√10

20 oraz ¹₂π < α < π, 12. Wyznacz x wiedz¡c, »e:

a) cos x = −¹₂ oraz ³₂π < x < 2π, b) tg²x = ¹₃ oraz ³₂π < α < ⁵₂π.

13. Wyznacz wszystkie rozwi¡zania równa« trygonometrycznych:

a) sin x = −

√3

2 b) ctg²x = 1,

c) tg ¹₂x −^π₈
= 1, d) sin 2x − ^π₄
= −^√₂²,

1

dr Krzysztof ›yjewski,Repetytorium mat. elementarnej; Informatyka S-I⁰.in». 9 stycznia 2019

14. (dotyczy poprawy) Rozwi¡» równania trygonometryczne:

a) 4 cos²x + 4 sin x = 5, b) sin²x − cos²x = ¹₂,

c) sin²2x = 1 − sin²x, d) cos x −√

3 sin x = 1, e) cos 5x − sin 3x = cos x.

15. (dotyczy poprawy) Rozwi¡» nierówno±ci trygonometryczne wiedz¡c, »e:

a) sin 5x ≥ −¹₂, b) tg(3x − 1) <

√ 3 3 , c) cos²x > ³₄, d) cos²x − 5 cos x < 0.

16. (dotyczy poprawy) Wyznacz dziedzin¦ funkcji f(x) =p√

2 cos x + 1.

17. (dotyczy poprawy) Oblicz (o ile jest to mo»liwe):

(a) arccos⁻

√3

2 , (b) arcsin

√2 2 ,

(c) arccos(cos^π₃), (d) tg(arccos²₃),

(e) sin

arccos¹₂ − arcsin 1 .

2