• Nie Znaleziono Wyników

Elementy fizyki statystycznej –klasyczny gaz doskonały Część 10 Termodynamika

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2021

Share "Elementy fizyki statystycznej –klasyczny gaz doskonały Część 10 Termodynamika"

Copied!
14
0
0

Pełen tekst

(1)

Elementy fizyki statystycznej – klasyczny gaz doskonały

Termodynamika

Część 10

Janusz Brzychczyk, Instytut Fizyki UJ

(2)

Użyteczne całki

0

eax2dx = 1

2

a −∞

eax2dx=

a

a  0

0

xeax2dx = 1 2a

0

x2eax2dx= 1

4a

a

0

x3eax2dx= 1 2a2

0

x4eax2dx = 3

8a2

a

(3)

Klasyczny opis gazu doskonałego

Warunek stosowalności przybliżenia klasycznego:

(termiczna długość fali de Broglie'a)  <<  (średnia odległość pomiędzy cząstkami) 

 =h

2mkT

1/2n1/3

T – temperatura gazu V – objętość

m – masa cząstki N – liczba cząstek

n = N/V – średnia liczba cząstek        na jednostkę objętości

(4)

Rozkład Maxwella

Rozważamy rozkład prędkości cząstek gazu doskonałego w przybliżeniu klasycznym.

Temperatura gazu T, masa cząstki m, średnia liczba cząstek w jednostce objętości n.

Gęstość prawdopodobieństwa, że dana cząstka ma pęd      jest określona przez rozkład kanoniczny

f

p

e

p2 2mkT

p = mv

f

v

= Ce

mv2 2kT

Wartość stałej C otrzymujemy z warunku normalizacji. W rezultacie

f

v

=

2mkT

3/2emv

2

2kT

Średnia liczba cząstek na jednostkę objętości, które mają prędkość zawartą w przedziale

[

v , vdv

]

n

v

d3v = n f

v

d3v

Prawdopodobieństwo, że cząstka ma prędkość zawartą w przedziale       jest równe

[

v , vdv

]

f

v

d3v.

p

Ponieważ

(5)

Rozkład Maxwella

Rozkład jednej ze składowych prędkości

Gęstość prawdopodobieństwa, że cząstka ma składową prędkości vx

g

vx

=

−∞

−∞

f

vx,vy,vz

dvydvz =

2mkT

3/2−∞

−∞

e2mkTv2xv2yvz2 dvydvz

g

vx

=

2mkT

1/2e

mvx2 2kT

Jest to rozkład Gaussa o wartości średniej      oraz odchyleniu standardowymvx=0  =

kTm .

(6)

Rozkład Maxwella

Rozkład szybkości cząstek

f

v

= 4v2f

v

Gęstość prawdopodobieństwa, że cząstka porusza się z szybkością       w dowolnym kierunku otrzymamy całkując         po wszystkich kierunkach wektora prędkości. Ponieważ         nie zależy od kierunku, wystarczy pomnożyć      przez pole powierzchni sfery o promieniuf

v

f

v

v =

v

f

v

v

f

v

= 4

2mkT

3/2v2emv

2

2kT

Prawdopodobieństwo, że cząstka ma szybkość w przedziale

[

v1, v2

]

P

v1,v2

=

v1 v2

f

v

dv

Gęstość prawdopodobieństwa, że cząstka ma energię kinetyczną E

f

(

E

)

= f

(

v

) (

dEdv

)

= (πkT)3/2

E e

E kT

(7)

f

v

= 4

2mkT

3/2v2e mv

2

2kT

Własności rozkładu szybkości cząstek

f

v

v

[

m/ s

]

Wikipedia

Wartość średnia

v =

0

v f

v

dv =

8kTm

Wartość najbardziej prawdopodobna v =

2mkT = 2 v

Średnia wartość kwadratu prędkości v2=

0

v2f

v

dv = 3kT

m

Średnia energia kinetyczna cząstki E =12m v2 = 3

2 kT

T =25 oC

(8)

Ciśnienie

x

v vx

vxt

A – powierzchnia        ściany

Średnia liczba cząstek, których składowa x prędkości, vx, ma wartość zawartą w przedziale [vx, vx + dvx]

N

vx

dvx = N g

vx

dvx

Z tej liczby, tylko te cząstki uderzą w ścianę w przeciągu czasu t,  których odległość od ściany jest mniejsza niż vt,  czyli cząstki znajdujące się w objętości  Avt.

Liczba ta wynosi

Avxt

V N g

vx

dvx

Po zderzeniu ze ścianą zmiana pędu cząstki wynosi 2 mvx , zatem całkowita zmiana pędu wszystkich cząstek zderzających się ze ścianą w przedziale czasu t, równa zgodnie z III zasadą dynamiki

Newtona wartości F t, wynosi

F = p A

p = F

A = 2m N V

0

v2x g

vx

dvx = N kTV

stąd ciśnienie gazu

F t = 2m A  t N V

0

v2x g

vx

dvx

( równanie stanu )

(9)

Termodynamika gazu doskonałego

Kanoniczna funkcja rozdziału dla jednej cząstki

Z1= 1

h3

dxdydz

e

p2xp2ypz2

2mkT dpxdpydpz

Z1 = V h3

−∞

e

p2x 2mkT

dpx

−∞

e

p2y

2mkT dpy

−∞

e

p2z

2mkT dpz = V

h3

 

2mkT

3

Z1 = V

2hmkT2

3/2 = V3

Funkcja rozdziału dla N cząstek rozróżnialnych: ZN = Z1N. Dla cząstek nierozróżnialnych

ZN = Z1N

N! = VN

N!

2hmkT2

3N /2

(10)

Termodynamika gazu doskonałego

lnZN = N lnV  32N ln

kT

lnN! 32N ln

2h2m

p = kT

lnVZN

T ,N = N kTV

równanie stanu

. Ciśnienie gazu

Używając przybliżenia Stirlinga:      otrzymujemylnN! ≃ N ln N − N

F = − kT ln ZN = − NkT

[

ln VN 32ln

2hm kT2

1

]

S = −

TF

V , N = Nk

[

ln VN 32ln

2m kTh2

52

]

U = kT2

lnTZN

V , N = 32 NkT

 =

NF

T ,V = − kT ln

[

VN

2hmkT2

32

]

(11)

Gaz doskonały w polu sił zewnętrznych

Całkowita energia cząstki

E

r ,p

= Ekin

p

Epot

r

Gęstość prawdopodobieństwa, że cząstka ma dany pęd i położenie

q

r , p

e

Ekinp

kT e

Epotr

kT

Rozkłady gęstości prawdopodobieństwa dla pędu i położenia są niezależne.

Dla pędu

f

p

e

p2

2mkT –  rozkład Maxwella  Dla położeń

f

r

e

Epotr

kT

Zatem koncentracja cząstek (średnia liczba cząstek na jednostkę objętości) zależy od położenia według zależności 

n

r

e

Epotr

kT

(12)

Gaz doskonały w jednorodnym polu grawitacyjnym

Epot

x , y, z

= m g z

Rozważamy gaz w pobliżu powierzchni Ziemi

gdzie z oznacza wysokość na której znajduje się cząstka, a g jest przyspieszeniem ziemskim.

n

z

e

mgz kT

Koncentracja cząstek na wysokości z

Z równania stanu gazu doskonałego p

z

= n

z

kT

zatem zależność ciśnienia gazu od wysokości

p

z

= p0 e

mgz kT

gdzie p0 oznacza ciśnienie na wysokości  z = 0.

Dla małych wysokości

wzór barometryczny

p

z

= p0 e

mgz

kTp0

1− kTmg z

(13)

Efuzja

T – temperatura gazu n – średnia liczba cząstek       na jednostkę objętości

Cząsteczki o prędkościach z przedziału       trafią na otwór w ciągu czasu t  jeżeli będą się znajdować w „pochyłym” walcu o podstawie A i wysokości

v ,vdv

z

v t

A − powierzchnia otworu

v t cos.

Liczba tych cząstek wynosi

J

v

d3v = n  A v  t cos f

v

d3v

Dla jednostkowej powierzchni A i jednostkowego czasu t J

v

d3v = n f

v

v cos d3v

gdzie         jest rozkładem prędkości Maxwella.f

v

(14)

Efuzja

z

v t

Jvd3v = n fvv cos d3v = n fvv cos v2sindvddPrzechodzimy ze współrzędnych kartezjańskich do sferycznych

Całkując po wszystkich możliwych kierunkach wektora prędkości otrzymujemy rozkład szybkości cząstek w wiązce

Jvdv = 2

0 1

sin dsinnv3fvdv =  nv3fvdv Jvdv =

0 2

d

0

 /2

sincosd nv3fvdv

Jvdv = 1

4nv fvdv

Jvdv = n

2mkT

3/2v3emv

2

2kT dv

Średnia liczba cząstek gazu wydostających się przez otwór o jednostkowej powierzchni w ciągu jednostki czasu wynosi

J =

0

Jvdv = 1 4 n

0

v fvdv J = 1

4 nv = n

2kTm

Cytaty

Powiązane dokumenty

zak!adaj&#34;c, (e *ród!o oddzia!ywania odpowiedzialnego za rozpraszanie jest skoncentrowane w b.. Prawo Coulomba nie wystarczy do

W zjawisku Cmptona zmiana długości fali nie zależy od energii fotonu padającego, a zależy jedynie od kąta jego rozproszenia.. Obserwujemy dwie wiązki rozproszone

[r]

Do egzaminu przystępują osoby, które otrzymały ocenę pozytywną z zajęć laboratoryjnych; nie przewiduję zwol- nień z egzaminu. Griffiths, Podstawy elektrodynamiki, Wydawnic-

Potencjał chemiczny. Ich znaczenie oraz nazwa, wynika stąd, że pełnią one w termodynamice podobną rolę jak energia potencjalna w mechanice. Obliczając w mechanice pochodne

kwantowych o spinie połówkowym (tj. Zadanie to można sprowadzić do kombinatorycznego problemu rozmiesz- czania kul w pudełkach. Cząstki klasyczne należy traktować jako

Elementy fizyki jądrowej; zastosowania fizyki jądrowej..

Nie było elektryczności, nie było chłodzenia reaktorów, Reaktory mogą się stopić w wyniku silnego rozpadu radioaktywnego, który musi trwać do kilu dni nawet po