Elementy fizyki statystycznej –klasyczny gaz doskonały Część 10 Termodynamika

(1)

Elementy fizyki statystycznej – klasyczny gaz doskonały

Termodynamika

Część 10

Janusz Brzychczyk, Instytut Fizyki UJ

(2)

Użyteczne całki

∫

0

∞

e⁻^ax²dx = 1

2



^^a ^−∞

^∫

^∞ ^e⁻^ax²^dx=



^^a

^

^{a  0}

^

∫

0

∞

xe⁻^ax²dx = 1 2a

∫

0

∞

x²e⁻^ax²dx= 1

4a



^^a

∫

0

∞

x³e⁻^ax²dx= 1 2a²

∫

0

∞

x⁴e⁻^ax²dx = 3

8a²



^^a

(3)

Klasyczny opis gazu doskonałego

Warunek stosowalności przybliżenia klasycznego:

(termiczna długość fali de Broglie'a) << (średnia odległość pomiędzy cząstkami)

 =h



_2mkT



⁻^1/2 ≪ n⁻^1/3

T – temperatura gazu V – objętość

m – masa cząstki N – liczba cząstek

n = N/V – średnia liczba cząstek na jednostkę objętości

(4)

Rozkład Maxwella

Rozważamy rozkład prędkości cząstek gazu doskonałego w przybliżeniu klasycznym.

Temperatura gazu T, masa cząstki m, średnia liczba cząstek w jednostce objętości n.

Gęstość prawdopodobieństwa, że dana cząstka ma pęd jest określona przez rozkład kanoniczny

f



^p



^∝ e⁻

p² 2mkT

p = mv

f



^v



⁼ Ce⁻

mv² 2kT

Wartość stałej C otrzymujemy z warunku normalizacji. W rezultacie

f



^_v



⁼



2^mkT



^3/2^e⁻^mv

2

2kT

Średnia liczba cząstek na jednostkę objętości, które mają prędkość zawartą w przedziale

[

^v , vdv

]

n



^v



d³v = n f



^v



d³v

Prawdopodobieństwo, że cząstka ma prędkość zawartą w przedziale jest równe

[

^_{v , vdv}

]

_f



^v



d³v.

p

Ponieważ

(5)

Rozkład Maxwella

Rozkład jednej ze składowych prędkości

Gęstość prawdopodobieństwa, że cząstka ma składową prędkości v_x

g



^vx



⁼

∫

−∞

∞

∫

−∞

∞

f



^vx,v_y,v_z



^dvydv_z =



2^mkT



^3/2_−∞

^∫

^∞ _−∞

^∫

^∞ ^e⁻²^m^kT^^v²^x^^v²^y^^v^z²^ ^dv^y^dv^z

g



^v_x



⁼



2^mkT



^1/2^e⁻

mv_x² 2kT

Jest to rozkład Gaussa o wartości średniej oraz odchyleniu standardowymv_x=0 ^{ =}



^kT^m ^.

(6)

Rozkład Maxwella

Rozkład szybkości cząstek

f



v



⁼ 4v²f



^v



Gęstość prawdopodobieństwa, że cząstka porusza się z szybkością w dowolnym kierunku otrzymamy całkując po wszystkich kierunkach wektora prędkości. Ponieważ nie zależy od kierunku, wystarczy pomnożyć przez pole powierzchni sfery o promieniuf



^v



f



^v



^{v =}

∣

v^

∣

^f



^_v



v

f



v



⁼ 4



2^mkT



^3/2^v²^e⁻^mv

2

2kT

Prawdopodobieństwo, że cząstka ma szybkość w przedziale

[

^v1, v₂

]

P



^v1,v₂



⁼

∫

v₁ v₂

f



v



dv

Gęstość prawdopodobieństwa, że cząstka ma energię kinetyczną E

f

(

E

)

⁼ f

(

v

) (

_dE^dv

)

⁼ (^π_kT^2π)^3/2

√

^{E e}⁻

E kT

(7)

f



v



⁼ 4



2^mkT



^3/2^v²^e⁻ ^mv

2

2kT

Własności rozkładu szybkości cząstek

f



v



v

[

m/ s

]

Wikipedia

Wartość średnia

v =

∫

0

∞

v f



_v



_{dv =}



⁸^^kT^m

Wartość najbardziej prawdopodobna v =



²^m^kT ⁼ ^²^ ^^v

Średnia wartość kwadratu prędkości v²=

∫

0

∞

v²f



_v



_{dv =} ³^kT

m

Średnia energia kinetyczna cząstki E = ¹₂m v² = ³

2 kT

T =25 ^oC

(8)

Ciśnienie

x

v v_x

v_xt

A – powierzchnia ściany

Średnia liczba cząstek, których składowa x prędkości, v_x, ma wartość zawartą w przedziale [v_x, v_x+dv_x]

N



^v_x



^dv_x ⁼ ^{N g}



^v_x



^dv_x

Z tej liczby, tylko te cząstki uderzą w ścianę w przeciągu czasu ^t, których odległość od ściany jest mniejsza niż v_x^t, czyli cząstki znajdujące się w objętości Av_x^t.

Liczba ta wynosi

Av_xt

V N g



^v_x



^dv_x

Po zderzeniu ze ścianą zmiana pędu cząstki wynosi 2mv_x, zatem całkowita zmiana pędu wszystkich cząstek zderzających się ze ścianą w przedziale czasu ^t, równa zgodnie z III zasadą dynamiki

Newtona wartości F^t, wynosi

F = p A

p = F

A = 2m N V

∫

0

∞

v²_x g



^v_x



^dv_x ⁼ ^{N kT}_V

stąd ciśnienie gazu

F t = 2m A  t N V

∫

0

∞

v²_x g



^v_x



^dv_x

(równanie stanu)

(9)

Termodynamika gazu doskonałego

Kanoniczna funkcja rozdziału dla jednej cząstki

Z₁= ¹

h³

∭

^dx^dydz

∭

^e⁻

^p2xp²_yp_z²

2mkT dp_xdp_ydp_z

Z₁ = ^V h³

∫

−∞

∞

e⁻

p²_x 2mkT

dp_x

∫

−∞

∞

e⁻

p²_y

2mkT dp_y

∫

−∞

∞

e⁻

p²_z

2mkT dp_z = ^V

h³

 

^2mkT



³

Z₁ = _V



^2h^mkT²



^3/2 ⁼ _^V³

Funkcja rozdziału dla N cząstek rozróżnialnych: Z_N = Z₁^N. Dla cząstek nierozróżnialnych

Z_N = Z₁^N

N! = V^N

N!



^2_h^mkT²



³^{N /2}

(10)

Termodynamika gazu doskonałego

lnZ_N = N lnV  ³₂^N ln



_kT



⁻lnN! ³₂^N ln



^2h²^m



p = kT



^∂^ln^∂_V^Z^N



_{T ,N} ⁼ ^{N kT}_V

^

równanie stanu



. Ciśnienie gazu

Używając przybliżenia Stirlinga: otrzymujemylnN! ≃ N ln N − N

F = − kT ln Z_N = − NkT

[

^{ln V}^N ^ ³²^ln



^2h^{m kT}²



^¹

]

S = −



^∂∂T^F



_{V , N} ⁼ ^Nk

[

^{ln V}^N ^ ³²^ln



^2^{m kT}h²



^ ⁵²

]

U = kT²



^∂^ln^∂_T^Z^N



_{V , N} ⁼ ³2 NkT

 =



^∂^∂_N^F



_{T ,V} ^{= −} ^kT ^ln

[

^V^N

^

^2h^mkT²



³²

]

(11)

Gaz doskonały w polu sił zewnętrznych

Całkowita energia cząstki

E



^r ,p



⁼ E_kin



^p



^ E_pot



^r



Gęstość prawdopodobieństwa, że cząstka ma dany pęd i położenie

q



^r , p



^∝ e⁻

E_kin^p

kT e⁻

E_pot^r

kT

Rozkłady gęstości prawdopodobieństwa dla pędu i położenia są niezależne.

Dla pędu

f



^p



^∝ e⁻

p²

2mkT – rozkład Maxwella Dla położeń

f



^r



^∝ e⁻

E_pot^r

kT

Zatem koncentracja cząstek (średnia liczba cząstek na jednostkę objętości) zależy od położenia według zależności

n



^r



^∝ e⁻

E_pot^r

kT

(12)

Gaz doskonały w jednorodnym polu grawitacyjnym

E_pot



_{x , y, z}



⁼ _{m g z}

Rozważamy gaz w pobliżu powierzchni Ziemi

gdzie z oznacza wysokość na której znajduje się cząstka, a g jest przyspieszeniem ziemskim.

n



z



^∝ e⁻

mgz kT

Koncentracja cząstek na wysokości z

Z równania stanu gazu doskonałego p



z



⁼ n



z



kT

zatem zależność ciśnienia gazu od wysokości

p



z



⁼ p₀ e⁻

mgz kT

gdzie p₀ oznacza ciśnienie na wysokości z = 0.

Dla małych wysokości

wzór barometryczny

p



z



⁼ p₀ e⁻

mgz

kT ≃ p₀



¹⁻ _kT^mg ^z



(13)

Efuzja

T – temperatura gazu n – średnia liczba cząstek na jednostkę objętości

Cząsteczki o prędkościach z przedziału trafią na otwór w ciągu czasu ^t jeżeli będą się znajdować w „pochyłym” walcu o podstawie ^A i wysokości



^v ,vdv



z

v t

 A − powierzchnia otworu



v t cos.

Liczba tych cząstek wynosi

J



^v



d³v = n  A v  t cos f



^v



d³v

Dla jednostkowej powierzchni ^A i jednostkowego czasu ^t J



^_v



_d³^_{v = n f}



^_v



_{v cos d}³^_v

gdzie jest rozkładem prędkości Maxwella.f



^v



(14)

Efuzja

z

v t

J^_v _d³^_{v = n f}^_v _{v cos d}³^_{v = n f}^_v _{v cos v}²_sin_dvdd  Przechodzimy ze współrzędnych kartezjańskich do sferycznych

Całkując po wszystkich możliwych kierunkach wektora prędkości otrzymujemy rozkład szybkości cząstek w wiązce

Jv dv = 2

∫

0 1

sin dsin nv³f ^vdv =  nv³f ^vdv Jv dv =

∫

0 2

d

∫

0

 /2

sincosd nv³f ^vdv

Jv dv = 1

4nv fvdv

J_v _{dv = n}



2^mkT



^3/2^v³^e⁻^mv

2

2kT dv

Średnia liczba cząstek gazu wydostających się przez otwór o jednostkowej powierzchni w ciągu jednostki czasu wynosi

J =

∫

0

∞

Jv dv = 1 4 n

∫

0

∞

v fvdv J = 1

4 nv = n



^2^kT^m