1. Sporządzić wykresy funkcji:

Lista nr 2 AiR sem.I, studia stacjonarne I stopnia, 2016/17

Funkcje wykładnicze i logarytmiczne. Własności funkcji

1. Sporządzić wykresy funkcji:

a) f (x) = −2 ^x + 1, b) f (x) = −3 ^x−1 + 2, c) f (x) = 2 ^x+|x| , d) f (x) =  1 3

 x+4

, e) f (x) =  1 2

 |x|

.

2. Rozwiązać równania:

a) 5 ^x − 5 ^3−x = 20, b) 49 ^x − 6 · 7 ^x + 5 = 0, c) 4

√ x−2 + 16 = 10 · 2

√ x−2 ,

d) 0, 125 · 4 ^2x−3 =

√ 2 8

! −x

, e) 3

³

√ x

²

2 · 3 ^√

³

^x−1 = 1, 5, f) 16 q

(0, 25) ⁵⁻

¹⁴

^x =

√ 2 ^x−1 ,

g) √

3 

^x+12_3−x

=  1 9

 x

, h)  4

9

 x

 27 8

 x−1

= log 4

log 8 , i) √

^x

3 −

^2x

√

3 = 2.

3. Rozwiązać nierówności:

a) 0, 5

^x+1x−1

> 1

32 , b)  1

2

 x

−  1 2

 −1−x

­ 1, c) 3 ^x+

¹²

+ 3 ^x−

¹²

> 4 ^x+

¹²

− 2 ^2x−1 ,

d) 3 ^2x > 3 ^x + 2, e)  3

4

 ^x

³

^+4x

²

−x−

⁹₂

­ r 4

3 , f) 7

9 ^x − 2 ­ 2 3 ^x − 1 , g) (4, 5) ^15(x−7) − (0, 25 · 81) ^x−0,5 < 0, h) 3 · 5 ^x − 2 · 5 ^x−1 + 2, 4 > 5 ^x+1 .

4. Sporządzić wykresy funkcji:

a) f (x) = − log ₂ x + 1, b) f (x) = log ₃ (x − 1), c) f (x) = log

1

2

(2 − x), d) f (x) = log ₂ |x|, e) f (x) = 

  log

1

2

x    . 5. Rozwiązać równania:

a) log(x − 2) − log(4 − x) = 1 − log(13 − x), b) log √

x − 5 + log √

2x − 3 + 1 = log 30, c) log(0, 5 + x) = log 0, 5 − log x, d) log ₁₆ x + log ₄ x + log ₂ x = 7,

e) log ₃ x + log ^√ ₃ x + log

1

3

x = 6, f) √

x
^log

5

x−1

= 5, g) p

x ^{log √ x} = 10.

6. Rozwiązać nierówności:

a) log ² (x − 1) − 2 log(x − 1) > 0, b) log ₂ (x + 14) + log ₂ (x + 2) ­ 6, c) x ^log

²

^x+4 < 32, d) log ₂ (x + 1) + log x+1 2 ¬ 5

2 , e) log _x 2 + log _x

2

2 > 6, f) x ^3x+1 > x ^x ,

7. Sprawdzić, które z podanych funkcji są parzyste, a które nieparzyste:

a) f (x) = x ⁴ − 3x ² + 1, b) g(x) = 2 ^x + 2 ^−x , c) h(x) = | sin x|, d) p(x) = sin x

x ³ , e) f (x) = 2 + x ² x ⁵ , f) g(x) = sin ³ x, g) h(x) = 3 ^x − 3 ^−x , h) p(x) = x|x|

8. Określić funkcje złożone f ◦ f , f ◦ g, g ◦ f , g ◦ g oraz ich dziedziny, jeżeli:

a) f (x) = |x|, g(x) = −3x + 2, b) f (x) = √

x, g(x) = x ³ + 1, c) f (x) = x ² , g(x) = √ x, d) f (x) = 2 ^x , g(x) = cos x, e) f (x) = x ³ , g(x) = 1

√

3

x , f) f (x) = x

1 + x ² , g(x) = 1 x , g) f (x) = log x, g(x) = x ² + 1.

9. Znaleźć funkcje f i g takie, że h = g ◦ f , jeżeli:

a) h(x) = 2 − |x|

2 + |x| , b) h(x) = sin ² x, c) h(x) = log(x ² + 1), d) h(x) = √ x + 2

10. Narysować wykresy funkcji f ◦ g oraz g ◦ f , jeżeli:

a) f (x) = 2x + 1, g(x) = log ₂ x, b) f (x) = −x − 3, g(x) = log

1

2

(x + 1), c) f (x) = x − π

4 , g(x) = sin x, d) f (x) = 3x + π

2 , g(x) = cos x, e) f (x) =

 cos x dla x ¬ 0

log ₃ x dla x > 0 , g(x) = 3x − π, f) f (x) =

 log

1

2

(−x) dla x < 0

sin x dla x ­ 0 , g(x) = x + 1.

11. Znaleźć funkcję odwrotną do podanej. Naszkicować wykresy funkcji podanej i funkcji odwrotnej do niej.

a) f (x) = x ² − 2x, x ∈ h1; ∞), b) g(x) = 2 − √

⁵

x + 1, x ∈ R, c) h(x) = x ³ |x|, x ∈ R, d) p(x) =

 3 ^x dla x < 0

5 ^x dla x ­ 0 , x ∈ R, e) f (x) = 1 − 3 ^−x , f) g(x) = x ⁵ + √

3,

g) h(x) = x ⁶ sgn x, h) q(x) =

 −x ² dla x < 0

2 + x dla x ­ 0 , x ∈ R, i) f (x) = x

1 + |x| .