5. Pochodna funkcji
Niech a∈R oraz f :U(a,r)→R, gdzie r >0.
Definicja 5.1
Ilorazem róŜnicowym funkcji f w punkcie a odpowiadającym przyrostowi ∆x, gdzie 0< ∆x <r, nazywamy liczbę
x a f x a f x
f DEF
∆
−
∆
= +
∆
∆ ( ) ( )
Przykłady
Niech f(x)=x2, a=−1. Mamy
1 2 ) ( 2 1 ) 1 ( ) 1
( 2 2 2
−
∆
∆ =
−
∆ +
∆
= −
∆
−
−
∆ +
= −
∆
∆ x
x x x x
x x
f .
Niech f(x)= x, a=1. Wtedy
( ) ( )
(
11 1 1)
1 1 1 11 1 1
+
∆
= + +
∆ +
⋅
∆
+
∆ +
⋅
−
∆
= +
∆
−
∆
= +
∆
∆
x x
x
x x
x x x
f .
Definicja 5.2
Pochodną funkcji f w punkcie a nazywamy granicę ilorazu róŜnicowego
x a f x a f x
a f f
x x
DEF
∆
−
∆
= +
∆
= ∆
′ ∆→ ∆ →
) ( ) lim (
lim )
(
0
0 .
Przykłady
Niech f(x)=x2, a=−1. Wtedy f′(−1)=∆limx→0
(
∆x−2)
=−2,x x
f( )= , a=1,
2 1 1 1
lim 1 ) 1 (
0 =
+
∆
= +
′ ∆→ x
f
x .
Uwagi
Inne definicje i oznaczenia pochodnej
1. h
a f h a a f
f
h
) ( ) lim (
) (
0
−
= +
′ → ,
2. x a
a f x a f
f x a −
= −
′ →
) ( ) lim ( )
( ,
3. ( ) (a) Df(a) dx
a df
f′ = = .
Definicja 5.4
JeŜeli f ma w punkcie a skończoną pochodna, to mówimy, Ŝe f jest róŜniczkowalna w punkcie a.
Twierdzenie 5.1
JeŜeli f jest róŜniczkowalna w punkcie a, to jest w tym punkcie ciągła.
Twierdzenie 5.2
Niech α oznacza kąt między styczną do wykresu funkcji f w punkcie A=(a, f(a)) i dodatnią częścią osi Ox . Wtedy
α tg )
( =
′ a
f .
Równanie stycznej do wykresu funkcji f w punkcie A=(a, f(a)) ma postać )
( ) ( )
(a f a x a
f
y = + ′ ⋅ − .
Przykład
Niech f(x)=x2, a=−1. Wtedy f′(−1)=−2, zatem styczna do wykresu tej funkcji w punkcie A=(−1,1) ma postać
1 2 ) 1 ( ) 2 (
1+ − ⋅ + =− −
= x x
y .
Twierdzenie 5.3
Miara kąta ostrego przecięcia wykresów funkcji f i g w punkcie A=( ba, ), gdzie )
( ) (a g a f
b= = , wyraŜa się wzorem
) ( ) ( 1
) ( ) tg (
a g a f
a g a arc f
⋅ ′ + ′
− ′
= ′
ϕ .
JeŜeli f′(a)⋅g′(a)=−1, to 2 ϕ =π .
Przykład
Obliczymy miarę kąta przecięcia wykresów funkcji f(x)=x2 i g(x)= x3 w punkcie )
1 , 1
=(
A . PoniewaŜ f′(1)=2 oraz g′(1)=3, więc
π
ϕ 45
8 2 7 tg1 3
2 1
3
tg 2 = = 0 =
⋅ +
=arc − arc .
Definicja 5.4
x x f x x x f
f x
DEF
∆
−
∆
= +
′ ∆→
) ( ) lim (
)
( 0
dla x∈R takiego, Ŝe istnieje U(x)⊂Df.
Przykłady
Niech f(x)=x2. Wtedy
(
x x)
xx x x x x
f x ( ) limx 2 2
lim )
( 0
2 2
0 = +∆ =
∆
−
∆
= +
′ ∆ → ∆ → , skąd w
szczególności mamy f′(−1)=2⋅(−1)=−2. Niech f(x)= x. Wtedy
x x
x x x
x x x x
f
x
x 2
1 lim 1
lim ) (
0
0 =
+
∆
= +
∆
−
∆
= +
′ ∆→ ∆ → ,
skąd mamy
2 1 1 2 ) 1 1
( = =
′
f .
RozwaŜmy jeszcze funkcję f(x)=sinx. Mamy =
∆
−
∆
= +
′ ∆→ x
x x
x x
f x
sin ) lim sin(
)
( 0
x x x
x x
x x x
x x x
x sin limcos( ) cos
) lim cos(
sin
lim 2 2
2 0 2 0 2
2
0 = ⋅ + =
∆ +
⋅
= ⋅ ∆
→
∆ ∆
∆
→
∆
∆
∆
→
∆ .
Wzory podstawowe
1. (xα)′=α⋅xα−1, α∈R, 2. (sinx)′=cosx,
3. (cosx)′=−sinx, 4. (ex)′=ex.
Reguły róŜniczkowania Twierdzenie 5.4
JeŜeli funkcje f i g są róŜniczkowane w punkcie x, to 1. (f +g)′(x)= f′(x)+g′(x),
2. (f −g)′(x)= f′(x)−g′(x),
3. (c⋅ f)′(x)=c⋅ f′(x), gdzie c∈R, 4. (f ⋅g)′(x)= f′(x)⋅g(x)+ f(x)⋅g′(x),
5. gf (x)= f′(x)⋅g(
[
xg)(−x)]
f2(x)⋅g′(x)′
, o ile g(x)≠0.
Twierdzenie 5.5
JeŜeli funkcja f jest róŜniczkowalna w punkcie x oraz funkcja g jest róŜniczkowalna w punkcie y= f(x), to
) ( )) ( ( ) ( )
(go f ′ x =g′ f x ⋅ f′ x . Twierdzenie 5.6
JeŜeli funkcja f jest róŜniczkowalna w punkcie x oraz posiada funkcję odwrotną
−1
f , to
) ( 1)( )| (
) 1 (
x f
y y
x f f
− ′ =
′ = .
Przykłady
( )
′ + ⋅( ) ( )
′− ′ + ′ =′ =
4 + ⋅ 2 −1 +3 4 3 2 −1 13
3 x x x x x
x x x
3 2
2 3 3
2 3 2 1 3
3 1 6 1
4 6
4
x x x x
x x
x
x + ⋅ + + = ⋅ + ⋅ + + ⋅
⋅
= − − ,
2 2 2
2 2 2
2 2
) 1 (
4 )
1 (
2 ) 1 ( ) 1 ( 2 1 1
= + +
⋅
−
− +
= ⋅
′
+
−
x x x
x x
x x x
x ,
( )
x xx x
x
x x
x x x
x x 2 2
2 2
2 cos
1 cos
sin cos
cos
) sin ( sin cos cos cos
tg sin ′ = ⋅ − ⋅ − = + =
=
′ ,
x 2 x
sin ) 1
(ctg ′=− ,
(
sin2 x)
′ =2⋅sinxcosx=sin2x,( ) ( )
ax ′ = exlna ′ =exlna ⋅lna=ax⋅lna, gdzie a∈R+ \{1}, xe e
x e x
x y y x y y
1 1
| 1
| ) ( ) 1
(ln ln
ln ln
=
=
′ =
′=
=
=
,
a x a x x
a ln
1 ln
) ln
(log ′ = ⋅
=
′ ,
2 sin
2 sin
sin 1
1
| sin 1
1
| cos
1
| ) (sin ) 1 sin (
x y y
x y arc
x src x y
arc y x
arc
y = −
= −
′ =
′=
= =
=
,
1 2
) 1 tg
(arc x x
= +
′ .
