SZEREGI TRYGONOMETRYCZNE FOURIERA.
PRZEKSZTAŁCENIE FOURIERA.
P. Multarzyński, e-mail: multarynka@op.pl
Literatura:
1. W. Żakowski, W. Kołodziej, Matematyka cz.II.,WNT 1975 2. W. Żakowski, W. Leksinski, Matematyka cz.IV. WNT 1974
3. G.I. Zaporożec, Metody rozwiązywania zadań z analizy matematycznej, WNT 1974
(I) SZEREGI TRYGONOMETRYCZNE FOURIERA.
Szereg trygonometryczny, to szereg funkcyjny postaci:
a0 2 +
+∞
X
n=1
ancosnπx
l + bnsinnπx l
, (1)
gdzie l > 0 oraz a0, an, bn- pewne stałe, n = 1, 2, 3, ... . Bezpośrednim następstwem obecności funkcji cosinus i sinus w powyższym szeregu jest następujący
Fakt: Jeśli istnieje suma S(x) szeregu (1), to jest funkcją okresową o okresie 2l, tzn.
S(x) = S(x + 2l) , (2)
gdzie x ∈ (−∞, +∞). Szeregiem Fouriera funkcji f w przedziale [a, b], o długości b − a = 2l, nazywamy szereg postaci (1), w którym współczynniki an, bn obliczone są ze wzorów Fouriera:
an = 1 l
b
Z
a
f (x) cosnπx
l dx , n = 0, 1, 2, 3, ... , (3)
bn= 1 l
b
Z
−a
f (x) sinnπx
l dx , n = 1, 2, 3, ... . (4)
Przyjmiemy następującą definicję.
Definicja: Funkcję f , ograniczoną w przedziale (a, b), nazywamy przedziałami monotoniczną w tym przedziale, jeżeli przedział (a, b) można podzielić na skończoną liczbę podprzedziałów, wewnątrz których funkcja f jest monotoniczna.
Fakt: Jeżeli funkcja f jest przedziałami monotoniczna w przedziale (a, b), to istnieją jednostronne granice właściwe f (a+) = lim
x→a+
f (x) oraz f (b−) = lim
x→b−
f (x).
Warunki Dirichleta dla funkcji f na przedziale [a, b]:
D1. f jest przedziałami monotoniczna w przedziale (a, b) ,
D2. f jest ciągła na przedziale (a, b), z wyjątkiem co najwyżej skończonej liczby punktów xk, k = 1, 2, ..., N , nieciągłości pierwszego rodzaju,
1
D3. w każdym punkcie nieciągłości (pierwszego rodzaju) xk ∈ (a, b) spełniony jest warunek:
f (xk) = f (xk−) + f (xk+)
2 , (5)
D4. spełnione są równości:
f (a) = f (b) = f (a+) + f (b−)
2 . (6)
Twierdzenie Dirichleta: Jeżeli funkcja f (x) spełnia na przedziale [a, b] warunki D1 oraz D2, to jej szereg Fouriera jest zbieżny, tzn. ma sumę S(x) w każdym punkcie x ∈ [a, b], a ponadto:
(a) w każdym punkcie x ∈ [a, b] ciągłości funkcji f (x) zachodzi
S(x) = f (x) , (7)
(b) w każdym punkcie xk ∈ (a, b) nieciągłości funkcji f (x) zachodzi S(xk) = f (xk−) + f (xk+)
2 , (8)
(c) na krańcach a, b spełnione są nierówności
S(a) = S(b) = f (a+) + f (b−)
2 . (9)
Wniosek: Z powyższego twierdzenia wynika, że jeśli funkcja f spełnia wszystkie warunki Dirichleta D1 − D4, to równość S(x) = f (x) jest spełniona w każdym punkcie x ∈ [a, b].
Ponadto, jeśli funkcja f jest okresowa o okresie 2l, to S(x) = f (x) we wszystkich punktach x ∈ Df (Df - dziedzina funkcji f ).
Uwaga: Bardzo często w zadaniach akademickich przyjmuje się wartości krańców przedziału a = −l oraz b = l. Wówczas na podstawie wzorów (3) oraz (4) automatycznie otrzymujemy ich odpowiedniki:
an = 1 l
l
Z
−l
f (x) cosnπx
l dx , n = 0, 1, 2, 3, ... , (10)
bn= 1 l
l
Z
−l
f (x) sinnπx
l dx , n = 1, 2, 3, ... . (11)
Bardzo pouczające jest (odwrotne) ćwiczenie rachunkowe, pozwalające przejść od wzorów (10) oraz (11) - optycznie bardziej szczegółowych, do wzorów (3) oraz (4) - optycznie bardziej ogólnych.
Ćwiczenie 1: Przyjmując wzory (10) oraz (11) dostosowane do przedziału [−l, l], przez odpowied- nią zmianę zmiennej przejść do przedziału [a, b], o długości również równej b−a = 2l, a następnie wyprowadzić wzory (3) oraz (4) odpowiadające przedziałowi [a, b].
Przypuśćmy, ¯a ≤ a < b ≤ ¯b. Wówczas przedział [a, b] jest częścią szerszego przedziału [¯a, ¯b], tzn. [a, b] ⊂ [¯a, ¯b]. Funkcję f określoną na przedziale [a, b] można na wiele sposobów przedłużyć do funkcji ¯f spełniającej warunki Dirichleta na przedziale [¯a, ¯b]. Wobec tego tworząc szeregi Fouriera odpowiadające różnym przedłużeniom ¯f otrzymamy wiele różnych szeregów Fouriera dla funkcji f na przedziale wyjściowym [a, b], gdyż ¯f (x) = f (x) dla wszystkich punktów x ∈ [a, b].
Ćwiczenie 2: Dla szeregu Fouriera na symetrycznym przedziale [−l, l], dla l > 0, wykazać, że:
(a) w przypadku parzystej funkcji f , tzn. f (−x) = f (x), zerują się wszystkie współczynniki bn, dla n = 1, 2, 3... ,
(b) w przypadku nieparzystej funkcji f , tzn. f (−x) = −f (x), zerują się wszystkie współczyn- niki an, dla n = 1, 2, 3... .
Bardzo często spotyka się zadanie polegające na rozwinięciu danej funkcji f w szereg Fouriera samych cosinusów albo samych sinusów w przedziale [0, l], dla pewnego l > 0. By otrzymać rozwinięcie funkcji f określonej na przedziale [0, l] w szereg samych
• cosinusów,
należy skorzystać z przedłużenia funkcji f do funkcji parzystej ¯f na przedziale [−l, l],
• sinusów,
należy skorzystać z przedłużenia funkcji f do funkcji nieparzystej ¯f na przedziale [−l, l].
Zdefiniujmy teraz współczynniki zespolone:
c0 = a0
2 , (12)
cn = 1
2(an− ibn) , (13)
c−n = 1
2(an+ ibn) , (14)
dla n = 1, 2, 3 ... .
Ćwiczenie 3: Stosując powyższe wzory na współczynniki cnoraz wykorzystując szereg Fouriera w postaci (1), wyprowadzić tzw. zespoloną postać szeregu Fouriera dla funkcji f :
f (x) =
+∞
X
n=−∞
cneinπxl , (15)
gdzie
cn= 1 2l
l
Z
−l
f (x)e−inπxl . (16)
PRZYKŁADY do omówienia na wykładzie:
P1. Rozwinąć w szereg Fouriera funkcję f (x) = x2w przedziale [−π, π]. Otrzymane rozwinięcie wykorzystać do obliczenia sum szeregów
∞
P
n=1
(−1)n+1 2n oraz
∞
P
n=1 1 2n. P2. Rozwinąć w szereg Fouriera funkcję f (x) = x2 w przedziale [0, π].
P3. Rozwinąć w szereg Fouriera samych cosinusów funkcję f (x) = x2 w przedziale [0, π].
P3. Rozwinąć w szereg Fouriera samych sinusów funkcję f (x) = x2 w przedziale [0, π].
PRZYKŁADY do omówienia na ćwiczeniach:
G.I. Zaporożec, METODY ROZWIĄZYWANIA ZADAŃ Z ANALIZY MATEMATYCZNEJ, Rozdział IX, §7 Szeregi Fouriera, str 454-470.
(II) PRZEKSZTAŁCENIE (TRANSFORMACJA) FOURIERA.
Twierdzenie Fouriera: Jeżeli funkcja f spełnia warunki Dirichleta D1 i D2 w każdym przedziale
skończonym oraz całka
+∞
R
−∞
|f (x)|dx jest zbieżna, to funkcję f można przedstawić za pomocą iterowanej całki niewłaściwej, tzn. prwadziwy jest wówczas wzór całkowy Fouriera:
f (x) = 1 π
+∞
Z
0
dω
+∞
Z
−∞
f (t) cos ω(x − t) dt , (17)
dla każdego x ∈ (−∞, +∞). Wykorzystując znany wzór cos ω(x−t) = cos ωx cos ωt+sin ωx sin ωt, możemy przedstawić wzór (17) w postaci tzw. całki Fouriera:
f (x) =
+∞
Z
0
[a(ω) cos ωx + b(ω) sin ωx]dω , (18)
gdzie
a(ω) = 1 π
+∞
Z
−∞
f (t) cos ωt dt , (19)
b(ω) = 1 π
+∞
Z
−∞
f (t) sin ωt dt . (20)
Uwaga: Powyższy wzór Fouriera powstaje z szeregu Fouriera (1) dla funkcji f w przedziale [−l, l], gdy l → +∞.
Ponieważ całka wewnętrzna we wzorze (17) jest (ewidentnie) parzystą funkcją zmiennej ω, to można wzór (17) zapisać w równoważnej postaci
f (x) = 1 2π
+∞
Z
−∞
dω
+∞
Z
−∞
f (t) cos ω(x − t)dt , (21)
dla każdego x ∈ (−∞, +∞). Z kolei, jeśli funkcja f spełnia założenia tw. Fouriera, to dla dowolnej wartości ω całka
+∞
Z
−∞
f (t) sin ω(x − t)dt (22)
jest zbieżna i jest (ewidentnie) nieparzystą funkcją zmiennej ω, co w konsekwencji oznacza, że dla każdego T > 0 zachodzi
T
Z
−T +∞
Z
−∞
f (t) sin ω(x − t)dt = 0. (23)
Przechodząc do granicy T → 0 i mnożąc stronami przez 2πi otrzymujemy i
2π
+∞
Z
−∞
dω
+∞
Z
−∞
f (t) sin ω(x − t)dt = 0 , (24)
gdzie całka zewnętrzna jest rozumiana w sensie wartości głównej (tj. symetryczne przejście z granicami całki do nieskończoności).
Na podstawie wzorów (21) oraz (24) możemy napisać wzór zespolony:
f (x) = 1 2π
+∞
Z
−∞
dω
+∞
Z
−∞
f (t)eiω(x−t)dt = 0 . (25)
Powyższy wzór (25) możemy zapisać w równoważnie jako tzw. wzór całkowy Fouriera w postaci zespolonej
f (x) = 1 2π
+∞
Z
−∞
eiωxdω
+∞
Z
−∞
e−iωtf (t)dt. (26)
Definiujemy następującą funkcję ˆf , tzw. transformatę Fouriera funkcji f :
f (ω) =ˆ
+∞
Z
−∞
f (t)e−iωtdt. (27)
Przyporządkowanie F : f 7→ ˆf określone powyższym wzorem jest tzw. prostym przeksz- tałceniem Fouriera. W praktyce stosowany jest wygodny zapis
f (ω) = F [f (t)].ˆ (28)
Podstawiając (27) do (26) otrzymujemy wzór
f (x) = 1 2π
+∞
Z
−∞
eiωxf (ω)dω ,ˆ (29)
określajacy tzw. odwrotne przekształcenie Fouriera F−1 : ˆf 7→ f , przy czym stosowany jest analogiczny wygodny zapis
f (x) = F−1[ ˆf (ω)]. (30)
Uwaga: W. Żakowski określa transformatę Fouriera jako ˆf (iω), pisząc przy tym j zamiast i. Ta różnica oznaczeń nie ma jednak merytorycznego znaczenia.
