1. Obliczyć pole obszaru ograniczonego liniami:

Lista nr 8 IŚ, sem.I, studia stacjonarne I stopnia, 2016/17

Całki oznaczone i ich zastosowania geometryczne. Całki niewłaściwe

1. Obliczyć pole obszaru ograniczonego liniami:

a) y = 6x − x ² i osią OX, b) 4y = 8x − x ² i 4y = x + 6, c) x ² + y ² = 4x i y ² = 2x, d) y = x ³ i y = 2x, e) y = 2x − x ² i x + y = 0, f) y = 2 ^x , y = 2 i x = 0, g) y = 1

x ² , y = x i y = 4.

2. Obliczyć długość krzywej:

a) y = ln e ^x + 1

e ^x − 1 dla x ∈ h2; 3i, b) y = 2

√

x ³ dla x ∈ h0; 11i, c) y = e ^x dla x ∈ h 1 2 ln 2; 1

2 ln 3i, d) y = 1 − ln cos x dla x ∈ h0; π

4 i.

3. Obliczyć obj etość bryły powstałej przez obrót wokół osi OX figury ograniczonej liniami: _, a) y ² = x, x = 3, b) xy = 4, y = 0, x = 1, x = 4, c) y = 2x − x ² , y = 0, d) y = tg x, y = 0, x = π

4 .

4. Obliczyć pole powierzchni powstałej z obrotu wykresu podanej funkcji wokół osi OX:

a) y = cos x dla x ∈ h0; π

2 i, b) y = √

4 + x dla x ∈ h−4; 2i, c) y = √

4 − x ² dla x ∈ h−1; 1i, d) y = √

x  1 − x

3



dla x ∈ h1; 3i.

5. Obliczyć nast¸ epuj¸ ace całki niewłaściwe:

a) Z +∞

0

e ^−x dx, b) Z 1

0

dx

x , c)

Z 2

−1

dx

p(x − 1)

² , d) Z 2

0

x ³ dx

√

4 − x ² , e) Z +∞

1

ln(x) x ³ dx, f)

Z 1

−∞

e ^t dt, g)

Z 1 0

ln(x) dx, h) Z +∞

−∞

dx

x ² + 2x + 2 , i) Z 0

−∞

xe ^x dx, j) Z 3

2

x dx

√

x ² − 4 , k)

Z 6 2

dx

p(4 − x)

² , l) Z 2

−2

x dx x ² − 1 .

6. Obliczyć pole zawarte pomi¸ edzy krzyw¸ a y = e ^−x/3 i osiami układu współrz¸ ednych (dla x ­ 0).