1 Równanie różniczkowe liniowe drugiego rz¸ edu

(1)

Równania różniczkowe zwyczajne

1 Równanie różniczkowe liniowe drugiego rz¸ edu

Równanie różniczkowe drugiego rz¸edu, które można zapisać w postaci

y

⁰⁰

+ p(x)y

⁰

+ q(x)y = f (x) (1)

nazywamy równaniem liniowym. Funkcje p i q nazywamy współczynnikami równania, a funkcj¸e f wyrazem wolnym tego równania.

Twierdzenie Jeżeli funkcje p, q i f s¸ a ci¸ agłe w przedziale [a; b] oraz x ₀ ∈ [a; b], y ₀ , y ₁ ∈ R, to zagadnienie pocz¸ atkowe

y

⁰⁰

+ p(x)y

⁰

+ q(x)y = f (x), y(x ₀ ) = y ₀ , y

⁰

(x ₀ ) = y ₁ , (2) ma dokładnie jedno rozwi¸ azanie. Rozwi¸ azanie to określone jest w przedziale [a; b].

2 Równanie różniczkowe liniowe jednorodne

Jeżeli w równaniu (1) wyraz wolny jest tożsamościowo równy zeru, to równanie takie nazywamy równaniem liniowym jednorodnym, czyli

y

⁰⁰

+ p(x)y

⁰

+ q(x)y = 0. (3)

Funkcje y ₁ = y ₁ (x), y ₂ = y ₂ (x), x ∈ [a; b] nazywamy liniowo niezależnymi w przedziale [a; b], jeżeli istniej¸ a a 1 , a ₂ ∈ R takie, że

a ₁ y ₁ (x) + a ₂ y ₂ (x) = 0, x ∈ [a; b] =⇒ a ₁ = a ₂ = 0.

W przeciwnym przypadku funkcje te nazywamy liniowo zależnymi w przedziale [a; b].

Przykład Funkcje a) e ^x , e ^2x , x ∈ R, b) e ^x , xe ^x , x ∈ R

s¸ a liniowo niezależne. Natomiast funkcje

(2)

c) 4 − x, 3x − 12, x ∈ R, d) cos 2x, sin 2x − ^π ₂ , x ∈ R s¸ a liniowo zależne.

Niech y ₁ = y ₁ (x), y ₂ = y ₂ (x), x ∈ [a; b] b¸ed¸ a różniczkowalne. Wyrażenie

W (y ₁ , y ₂ ) =

y ₁ (x) y ₂ (x) y

⁰

₁ (x) y ₂

⁰

(x)

(4)

nazywamy wrońskianem funkcji y ₁ , y ₂ .

Przykład Jeżeli y 1 (x) = e ^x , y 2 (x) = e ^2x , x ∈ R, to

W (y ₁ , y ₂ ) =

e ^x e ^2x e ^x 2e ^2x

= e ^3x .

Jeżeli y ₁ (x) = 4 − x, y ₂ (x) = 3x − 12, x ∈ R, to

W (y ₁ , y ₂ ) =

4 − x 3x − 12

−1 3

= 0.

Twierdzenie Niech y ₁ = y ₁ (x), y ₂ = y ₂ (x), x ∈ [a; b] b¸ed¸ a różniczkowalne. Wówczas y ₁ , y ₂ s¸ a liniowo niezależne w przedziale (a; b) wtedy i tylko wtedy, gdy W (y 1 , y ₂ ) 6= 0 dla x ∈ [a; b].

Funkcje y 1 = y 1 (x), y 2 = y 2 (x), x ∈ [a; b] nazywamy układem fundamentalnym (układem podstawowym) równania (3), jeżeli

? funkcje te s¸ a rozwi¸ azaniami tego równania w przedziale [a; b],

? W (y ₁ , y ₂ ) 6= 0 dla x ∈ [a; b].

Twierdzenie Niech y ₁ = y ₁ (x), y ₂ = y ₂ (x), x ∈ [a; b] b¸edzie układem fundamentalnym równa- nia (3). Wtedy wyrażenie

y(x) = C ₁ y ₁ (x) + C ₂ y ₂ (x), x ∈ [a; b], (5) gdzie C ₁ , C ₂ s¸ a dowolnymi stałymi rzeczywistymi, przedstawia rozwi¸ azanie ogólne równania (3).

Przykład Rozważmy równanie y

⁰⁰

+ y

⁰

− 2y = 0.

Łatwo sprawdzić, że funkcje y ₁ (x) = e ^x oraz y ₂ (x) = e ^−2x spełniaj¸ a to równanie dla x ∈ R.

Ponadto

W (y ₁ , y ₂ ) =

e ^x e ^−2x e ^x −2e ^−2x

= −3e ^−x 6= 0 x ∈ R, co oznacza, że funkcje te tworz¸ a układ fundamentalny. Zatem

y(x) = C ₁ e ^x + C ₂ e ^−2x

jest rozwi¸ azaniem ogólnym tego równania.

(3)

3 Równanie różniczkowe liniowe jednorodne o stałych wpółczynnikach

Rozważmy równanie

y

⁰⁰

+ py

⁰

+ qy = 0, (6)

gdzie p, q ∈ R.

Równanie postaci

λ ² + pλ + q = 0 (7)

nazywamy równaniem charakterystycznym równania (7), natomiast wielomian w(λ) = λ ² + pλ + q

nazywamy wielomianem charakterystycznym tego równania.

Twierdzenie Jeżeli λ ₁ , λ ₂ s¸ a rzeczywistymi i różnymi pierwiastkami równania charaktery- stycznego (8), to układ fundamentalny równania (7) tworz¸ a funkcje

y ₁ (x) = e ^λ

¹

^x , y ₂ (x) = e ^λ

²

^x , a rozwi¸ azanie ogólne tego równania ma postać

y(x) = C ₁ e ^λ

¹

^x + C ₂ e ^λ

²

^x , gdzie C ₁ , C ₂ ∈ R.

Przykład Rozważmy równanie y

⁰⁰

− 4y

⁰

+ 3y = 0.

Równanie charakterystyczne tego równania jest postaci λ ² − 4λ + 3 = 0 i ma pierwiastki λ 1 = 1, λ ₂ = 3. Zatem układ fundamentalny tworz¸ a funkcje

y ₁ (x) = e ^x , y ₂ (x) = e ^3x i RORJ jest postaci

y(x) = C ₁ e ^x + C ₂ e ^3x .

Twierdzenie Jeżeli λ 0 , jest rzeczywistym podwójnym pierwiastkiem równania charakte- rystycznego (8), to układ fundamentalny równania (7) tworz¸ a funkcje

y ₁ (x) = e ^λ

⁰

^x , y ₂ (x) = xe ^λ

⁰

^x , a rozwi¸ azanie ogólne tego równania ma postać

y(x) = C ₁ e ^λ

⁰

^x + C ₂ xe ^λ

⁰

^x , gdzie C ₁ , C ₂ ∈ R.

Przykład Rozważmy równanie y

⁰⁰

− 4y

⁰

+ 4y = 0.

(4)

Równanie charakterystyczne tego równania jest postaci λ ² − 4λ + 4 = 0 i ma pierwiastek λ ₀ = 2.

Zatem układ fundamentalny tworz¸ a funkcje

y ₁ (x) = e ^2x , y ₂ (x) = xe ^2x i RORJ jest postaci

y(x) = C ₁ e ^2x + C ₂ xe ^2x .

Twierdzenie Jeżeli λ ₁ = α + jβ, λ ₂ = λ ₁ = α − jβ, gdzie α ∈ R, β ∈ R + s¸ a zespolony- mi pierwiastkami równania charakterystycznego (8), to układ fundamentalny równania (7) tworz¸ a funkcje

y ₁ (x) = e ^αx cos βx, y ₂ (x) = e ^αx sin βx, a rozwi¸ azanie ogólne tego równania ma postać

y(x) = e ^αx · (C ₁ cos βx + C ₂ sin βx) , gdzie C ₁ , C ₂ ∈ R.

Przykład Rozważmy równanie y

⁰⁰

− 4y

⁰

+ 5y = 0.

Równanie charakterystyczne tego równania jest postaci λ ² −4λ+5 = 0 i ma pierwiastki λ ₁ = 2+j, λ ₂ = 2 − j. Zatem układ fundamentalny tworz¸ a funkcje

y ₁ (x) = e ^2x cos x, y ₂ (x) = e ^2x sin x i RORJ jest postaci

y(x) = e ^2x · (C ₁ cos x + C ₂ sin x) .

4 Równanie różniczkowe liniowe niejednorodne o stałych wpółczynnikach

Rozważmy równanie

y

⁰⁰

+ py

⁰

+ qy = f (x). (8)

W celu wyznaczenia RORN stosujemy zasad¸e RORN = RORJ + RSRN, przy czym RORJ wyzna- czamy zgodnie z schematem podanym w poprzednim paragrafie, a RSRN możemy zbudować stosuj¸ ac metod¸e uzmienniania stałych lub metod¸e przewidywań (współczynników nieoznaczonych). Pokażemy to na przykładach

Przykład Rozważmy równanie y

⁰⁰

− 4y

⁰

+ 5y = x ² − x.

RORJ tego równania jest postaci

y(x) = e ^2x · (C ₁ cos x + C ₂ sin x) .

Ponieważ f (x) = x ² −x, RSRN przewidujemy w postaci y(x) = Ax ² + Bx + C. St¸ ad y

⁰

(x) = 2Ax + B, y

⁰⁰

(x) = 2A, a wi¸ec

2A − 8Ax − 4B + 5Ax ² + 5Bx + 5C = x ² − x

(5)

oraz 

 

 

 

 

5A = 1

−8A + 5B = −1 2A − 4B + 5C = 0

Powyższy układ ma rozwi¸ azanie A = ¹ ₅ , B = ₂₅ ³ , C = ₁₂₅ ² . Tak wi¸ec RSRN jest dane wzorem y(x) = 1

5 x ² + 3

25 x + 2 125 , a zatem RORN jest postaci

y(x) = e ^2x · (C ₁ cos x + C ₂ sin x) + 1

5 x ² + 3

25 x + 2 125 . Przykład Rozważmy równanie y

⁰⁰

+ y = tg x.

RORJ tego równania jest postaci

y(x) = C ₁ cos x + C ₂ sin x.

Ponieważ f (x) = tg x, RSRN b¸edziemy szukać metod¸ a uzmienniania stałych, czyli przyjmujemy y(x) = C ₁ (x) cos x + C ₂ (x) sin x.

St¸ ad mamy

y

⁰

(x) = C ₁

⁰

(x) cos x + C ₂

⁰

(x) sin x − C 1 (x) sin x + C 2 (x) cos x Należy tutaj zaż¸ adać, aby

C ₁

⁰

(x) cos x + C ₂

⁰

(x) sin x = 0, wówczas

y

⁰

(x) = −C ₁ (x) sin x + C ₂ (x) cos x, a nast¸epnie

y

⁰⁰

(x) = −C ₁

⁰

(x) sin x + C ₂

⁰

(x) cos x − C ₁ (x) cos x − C ₂ (x) sin x, sk¸ ad wstawiaj¸ ac do równania dostajemy

−C ₁

⁰

(x) sin x + C ₂

⁰

(x) cos x = tg x.

Ostatecznie na wyznaczenie pochodnych funkcji C ₁ i C ₂ otrzymujemy układ równań



 

 

 

 

C ₁

⁰

(x) cos x + C ₂

⁰

(x) sin x = 0

−C ₁

⁰

(x) sin x + C ₂

⁰

(x) cos x = tg x Wyznacznik główny tego układu

cos x sin x

− sin x cos x

= 1, co oznacza, że układ ma dokładnie jedno rozwi¸ azanie

C ₁

⁰

(x) = − sin x · tg x, C ₂

⁰

(x) = cos x · tg x,

(6)

1 Równanie różniczkowe liniowe drugiego rz¸ edu

Równania różniczkowe zwyczajne

1 Równanie różniczkowe liniowe drugiego rz¸ edu

Równanie różniczkowe drugiego rz¸edu, które można zapisać w postaci

y

+ p(x)y

+ q(x)y = f (x) (1)

nazywamy równaniem liniowym. Funkcje p i q nazywamy współczynnikami równania, a funkcj¸e f wyrazem wolnym tego równania.

Twierdzenie Jeżeli funkcje p, q i f s¸ a ci¸ agłe w przedziale [a; b] oraz x 0 ∈ [a; b], y 0 , y 1 ∈ R, to zagadnienie pocz¸ atkowe

y

+ p(x)y

+ q(x)y = f (x), y(x 0 ) = y 0 , y

(x 0 ) = y 1 , (2) ma dokładnie jedno rozwi¸ azanie. Rozwi¸ azanie to określone jest w przedziale [a; b].

2 Równanie różniczkowe liniowe jednorodne

Jeżeli w równaniu (1) wyraz wolny jest tożsamościowo równy zeru, to równanie takie nazywamy równaniem liniowym jednorodnym, czyli

y

+ p(x)y

+ q(x)y = 0. (3)

Funkcje y 1 = y 1 (x), y 2 = y 2 (x), x ∈ [a; b] nazywamy liniowo niezależnymi w przedziale [a; b], jeżeli istniej¸ a a 1 , a 2 ∈ R takie, że

a 1 y 1 (x) + a 2 y 2 (x) = 0, x ∈ [a; b] =⇒ a 1 = a 2 = 0.

W przeciwnym przypadku funkcje te nazywamy liniowo zależnymi w przedziale [a; b].

Przykład Funkcje a) e x , e 2x , x ∈ R, b) e x , xe x , x ∈ R

s¸ a liniowo niezależne. Natomiast funkcje

c) 4 − x, 3x − 12, x ∈ R, d) cos 2x, sin  2x − π 2  , x ∈ R s¸ a liniowo zależne.

Niech y 1 = y 1 (x), y 2 = y 2 (x), x ∈ [a; b] b¸ed¸ a różniczkowalne. Wyrażenie

W (y 1 , y 2 ) =

y 1 (x) y 2 (x) y

1 (x) y 2

(x)

(4)

nazywamy wrońskianem funkcji y 1 , y 2 .

Przykład Jeżeli y 1 (x) = e x , y 2 (x) = e 2x , x ∈ R, to

W (y 1 , y 2 ) =

e x e 2x e x 2e 2x

= e 3x .

Jeżeli y 1 (x) = 4 − x, y 2 (x) = 3x − 12, x ∈ R, to

W (y 1 , y 2 ) =

4 − x 3x − 12

−1 3

= 0.

Twierdzenie Niech y 1 = y 1 (x), y 2 = y 2 (x), x ∈ [a; b] b¸ed¸ a różniczkowalne. Wówczas y 1 , y 2 s¸ a liniowo niezależne w przedziale (a; b) wtedy i tylko wtedy, gdy W (y 1 , y 2 ) 6= 0 dla x ∈ [a; b].

Funkcje y 1 = y 1 (x), y 2 = y 2 (x), x ∈ [a; b] nazywamy układem fundamentalnym (układem podstawowym) równania (3), jeżeli

? funkcje te s¸ a rozwi¸ azaniami tego równania w przedziale [a; b],

? W (y 1 , y 2 ) 6= 0 dla x ∈ [a; b].

Twierdzenie Niech y 1 = y 1 (x), y 2 = y 2 (x), x ∈ [a; b] b¸edzie układem fundamentalnym równa- nia (3). Wtedy wyrażenie

y(x) = C 1 y 1 (x) + C 2 y 2 (x), x ∈ [a; b], (5) gdzie C 1 , C 2 s¸ a dowolnymi stałymi rzeczywistymi, przedstawia rozwi¸ azanie ogólne równania (3).

Przykład Rozważmy równanie y

+ y

− 2y = 0.

Łatwo sprawdzić, że funkcje y 1 (x) = e x oraz y 2 (x) = e −2x spełniaj¸ a to równanie dla x ∈ R.

Ponadto

W (y 1 , y 2 ) =

e x e −2x e x −2e −2x

= −3e −x 6= 0 x ∈ R, co oznacza, że funkcje te tworz¸ a układ fundamentalny. Zatem

y(x) = C 1 e x + C 2 e −2x

jest rozwi¸ azaniem ogólnym tego równania.

3 Równanie różniczkowe liniowe jednorodne o stałych wpółczynnikach

Rozważmy równanie

y

+ py

+ qy = 0, (6)

gdzie p, q ∈ R.

Równanie postaci

λ 2 + pλ + q = 0 (7)

nazywamy równaniem charakterystycznym równania (7), natomiast wielomian w(λ) = λ 2 + pλ + q

nazywamy wielomianem charakterystycznym tego równania.

Twierdzenie Jeżeli λ 1 , λ 2 s¸ a rzeczywistymi i różnymi pierwiastkami równania charaktery- stycznego (8), to układ fundamentalny równania (7) tworz¸ a funkcje

y 1 (x) = e λ

x , y 2 (x) = e λ

x , a rozwi¸ azanie ogólne tego równania ma postać

y(x) = C 1 e λ

x + C 2 e λ

x , gdzie C 1 , C 2 ∈ R.

Przykład Rozważmy równanie y

− 4y

+ 3y = 0.

Równanie charakterystyczne tego równania jest postaci λ 2 − 4λ + 3 = 0 i ma pierwiastki λ 1 = 1, λ 2 = 3. Zatem układ fundamentalny tworz¸ a funkcje

y 1 (x) = e x , y 2 (x) = e 3x i RORJ jest postaci

y(x) = C 1 e x + C 2 e 3x .

Twierdzenie Jeżeli λ 0 , jest rzeczywistym podwójnym pierwiastkiem równania charakte- rystycznego (8), to układ fundamentalny równania (7) tworz¸ a funkcje

Twierdzenie Jeżeli funkcje p, q i f s¸ a ci¸ agłe w przedziale [a; b] oraz x ₀ ∈ [a; b], y ₀ , y ₁ ∈ R, to zagadnienie pocz¸ atkowe

+ q(x)y = f (x), y(x ₀ ) = y ₀ , y

(x ₀ ) = y ₁ , (2) ma dokładnie jedno rozwi¸ azanie. Rozwi¸ azanie to określone jest w przedziale [a; b].

Funkcje y ₁ = y ₁ (x), y ₂ = y ₂ (x), x ∈ [a; b] nazywamy liniowo niezależnymi w przedziale [a; b], jeżeli istniej¸ a a 1 , a ₂ ∈ R takie, że

a ₁ y ₁ (x) + a ₂ y ₂ (x) = 0, x ∈ [a; b] =⇒ a ₁ = a ₂ = 0.

Przykład Funkcje a) e ^x , e ^2x , x ∈ R, b) e ^x , xe ^x , x ∈ R

c) 4 − x, 3x − 12, x ∈ R, d) cos 2x, sin 2x − ^π ₂ , x ∈ R s¸ a liniowo zależne.

Niech y ₁ = y ₁ (x), y ₂ = y ₂ (x), x ∈ [a; b] b¸ed¸ a różniczkowalne. Wyrażenie

W (y ₁ , y ₂ ) =

y ₁ (x) y ₂ (x) y

₁ (x) y ₂

nazywamy wrońskianem funkcji y ₁ , y ₂ .

Przykład Jeżeli y 1 (x) = e ^x , y 2 (x) = e ^2x , x ∈ R, to

W (y ₁ , y ₂ ) =

e ^x e ^2x e ^x 2e ^2x

= e ^3x .

Jeżeli y ₁ (x) = 4 − x, y ₂ (x) = 3x − 12, x ∈ R, to

W (y ₁ , y ₂ ) =

Twierdzenie Niech y ₁ = y ₁ (x), y ₂ = y ₂ (x), x ∈ [a; b] b¸ed¸ a różniczkowalne. Wówczas y ₁ , y ₂ s¸ a liniowo niezależne w przedziale (a; b) wtedy i tylko wtedy, gdy W (y 1 , y ₂ ) 6= 0 dla x ∈ [a; b].

? W (y ₁ , y ₂ ) 6= 0 dla x ∈ [a; b].

Twierdzenie Niech y ₁ = y ₁ (x), y ₂ = y ₂ (x), x ∈ [a; b] b¸edzie układem fundamentalnym równa- nia (3). Wtedy wyrażenie

y(x) = C ₁ y ₁ (x) + C ₂ y ₂ (x), x ∈ [a; b], (5) gdzie C ₁ , C ₂ s¸ a dowolnymi stałymi rzeczywistymi, przedstawia rozwi¸ azanie ogólne równania (3).

Łatwo sprawdzić, że funkcje y ₁ (x) = e ^x oraz y ₂ (x) = e ^−2x spełniaj¸ a to równanie dla x ∈ R.

W (y ₁ , y ₂ ) =

e ^x e ^−2x e ^x −2e ^−2x

= −3e ^−x 6= 0 x ∈ R, co oznacza, że funkcje te tworz¸ a układ fundamentalny. Zatem

y(x) = C ₁ e ^x + C ₂ e ^−2x

λ ² + pλ + q = 0 (7)

nazywamy równaniem charakterystycznym równania (7), natomiast wielomian w(λ) = λ ² + pλ + q

Twierdzenie Jeżeli λ ₁ , λ ₂ s¸ a rzeczywistymi i różnymi pierwiastkami równania charaktery- stycznego (8), to układ fundamentalny równania (7) tworz¸ a funkcje

y ₁ (x) = e ^λ

^x , y ₂ (x) = e ^λ

^x , a rozwi¸ azanie ogólne tego równania ma postać

y(x) = C ₁ e ^λ

^x + C ₂ e ^λ

^x , gdzie C ₁ , C ₂ ∈ R.

Równanie charakterystyczne tego równania jest postaci λ ² − 4λ + 3 = 0 i ma pierwiastki λ 1 = 1, λ ₂ = 3. Zatem układ fundamentalny tworz¸ a funkcje

y ₁ (x) = e ^x , y ₂ (x) = e ^3x i RORJ jest postaci

y(x) = C ₁ e ^x + C ₂ e ^3x .

y ₁ (x) = e ^λ

^x , y ₂ (x) = xe ^λ

^x , a rozwi¸ azanie ogólne tego równania ma postać

y(x) = C ₁ e ^λ

^x + C ₂ xe ^λ

^x , gdzie C ₁ , C ₂ ∈ R.

Równanie charakterystyczne tego równania jest postaci λ ² − 4λ + 4 = 0 i ma pierwiastek λ ₀ = 2.

y ₁ (x) = e ^2x , y ₂ (x) = xe ^2x i RORJ jest postaci

y(x) = C ₁ e ^2x + C ₂ xe ^2x .

Twierdzenie Jeżeli λ ₁ = α + jβ, λ ₂ = λ ₁ = α − jβ, gdzie α ∈ R, β ∈ R + s¸ a zespolony- mi pierwiastkami równania charakterystycznego (8), to układ fundamentalny równania (7) tworz¸ a funkcje

y ₁ (x) = e ^αx cos βx, y ₂ (x) = e ^αx sin βx, a rozwi¸ azanie ogólne tego równania ma postać

y(x) = e ^αx · (C ₁ cos βx + C ₂ sin βx) , gdzie C ₁ , C ₂ ∈ R.

Równanie charakterystyczne tego równania jest postaci λ ² −4λ+5 = 0 i ma pierwiastki λ ₁ = 2+j, λ ₂ = 2 − j. Zatem układ fundamentalny tworz¸ a funkcje

y ₁ (x) = e ^2x cos x, y ₂ (x) = e ^2x sin x i RORJ jest postaci

y(x) = e ^2x · (C ₁ cos x + C ₂ sin x) .

+ 5y = x ² − x.

y(x) = e ^2x · (C ₁ cos x + C ₂ sin x) .

Ponieważ f (x) = x ² −x, RSRN przewidujemy w postaci y(x) = Ax ² + Bx + C. St¸ ad y

2A − 8Ax − 4B + 5Ax ² + 5Bx + 5C = x ² − x

Powyższy układ ma rozwi¸ azanie A = ¹ ₅ , B = ₂₅ ³ , C = ₁₂₅ ² . Tak wi¸ec RSRN jest dane wzorem y(x) = 1

5 x ² + 3

y(x) = e ^2x · (C ₁ cos x + C ₂ sin x) + 1

5 x ² + 3

y(x) = C ₁ cos x + C ₂ sin x.

Ponieważ f (x) = tg x, RSRN b¸edziemy szukać metod¸ a uzmienniania stałych, czyli przyjmujemy y(x) = C ₁ (x) cos x + C ₂ (x) sin x.

(x) = C ₁

(x) cos x + C ₂

C ₁

(x) cos x + C ₂