• Nie Znaleziono Wyników

Transformata Laplace’a. Zastosowanie do rozwiązywania zagadnień początkowych dla liniowych równań różniczkowych zwyczajnych

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2021

Share "Transformata Laplace’a. Zastosowanie do rozwiązywania zagadnień początkowych dla liniowych równań różniczkowych zwyczajnych"

Copied!
10
0
0

Pełen tekst

(1)

Transformata Laplace’a. Zastosowanie do

rozwiązywania zagadnień początkowych dla liniowych

równań różniczkowych zwyczajnych

(2)

Transformata Laplace’a: definicje i własności

Definicja

Funkcją Heaviside’a nazywamy funkcję 1I(t) =

( 0 dla t < 0 1 dla t ­ 0

Definicja

Deltą Diracanazywamy pseudofunkcję δ(t) =

( 0 dla t 6= 0

+∞ dla t = 0 przy czym Z

−∞δ(t) dt = 1

Uwaga

Delta Diraca nie jest funkcją, gdyż żadna funkcja nie spełnia powyższych warunków, ale jest granicą odpowiedniego ciągu funkcyjnego. Delta Diraca może służyć do modelowania prądu, który pojawia się w obwodzie

elektrycznym jako krótkotrwały impuls.

Transformata Laplace’a. Zastosowanie do rozwiązywania zagadnień początkowych dla liniowych równań różniczkowych zwyczajnych2 / 6

(3)

Transformata Laplace’a: definicje i własności

Definicja

Funkcją Heaviside’a nazywamy funkcję 1I(t) =

( 0 dla t < 0 1 dla t ­ 0

Definicja

Deltą Diracanazywamy pseudofunkcję δ(t) =

( 0 dla t 6= 0

+∞ dla t = 0 przy czym Z

−∞

δ(t) dt = 1

Uwaga

Delta Diraca nie jest funkcją, gdyż żadna funkcja nie spełnia powyższych warunków, ale jest granicą odpowiedniego ciągu funkcyjnego. Delta Diraca może służyć do modelowania prądu, który pojawia się w obwodzie

elektrycznym jako krótkotrwały impuls.

(4)

Transformata Laplace’a: definicje i własności

Definicja

Funkcją Heaviside’a nazywamy funkcję 1I(t) =

( 0 dla t < 0 1 dla t ­ 0

Definicja

Deltą Diracanazywamy pseudofunkcję δ(t) =

( 0 dla t 6= 0

+∞ dla t = 0 przy czym Z

−∞

δ(t) dt = 1

Uwaga

Delta Diraca nie jest funkcją, gdyż żadna funkcja nie spełnia powyższych warunków, ale jest granicą odpowiedniego ciągu funkcyjnego. Delta Diraca może służyć do modelowania prądu, który pojawia się w obwodzie

elektrycznym jako krótkotrwały impuls.

Transformata Laplace’a. Zastosowanie do rozwiązywania zagadnień początkowych dla liniowych równań różniczkowych zwyczajnych2 / 6

(5)

Transformata Laplace’a: definicje i własności

Definicja

Transformatą Laplace’a funkcji rzeczywistej f : R+→ R nazywamy funkcję zespoloną zmiennej zespolonej s:

F (s) = Z

0

f (t)e−stdt i oznaczamy: L[f (t)] = F (s).

Transformaty Laplace’a ważniejszych funkcji

L.p. Funkcja Transformata

1. 1I(t) 1

s

2. δ(t) 1

3. tn n!

sn+1

L.p. Funkcja Transformata

4. eαt 1

s − α

5. sin(ωt) ω

s2+ ω2

6. cos(ωt) s

s2+ ω2

(6)

Transformata Laplace’a: definicje i własności

Definicja

Transformatą Laplace’a funkcji rzeczywistej f : R+→ R nazywamy funkcję zespoloną zmiennej zespolonej s:

F (s) = Z

0

f (t)e−stdt i oznaczamy: L[f (t)] = F (s).

Transformaty Laplace’a ważniejszych funkcji

L.p. Funkcja Transformata

1. 1I(t) 1

s

2. δ(t) 1

3. tn n!

sn+1

L.p. Funkcja Transformata

4. eαt 1

s − α

5. sin(ωt) ω

s2+ ω2

6. cos(ωt) s

s2+ ω2

Transformata Laplace’a. Zastosowanie do rozwiązywania zagadnień początkowych dla liniowych równań różniczkowych zwyczajnych3 / 6

(7)

Transformata Laplace’a: definicje i własności

Transformaty Laplace’a ważniejszych funkcji -c.d.

L.p. Funkcja Transformata

7. eαttn n!

(s − α)n+1 8. eαtsin(ωt) ω

(s − α)2+ ω2 9. eαtcos(ωt) s − α

(s − α)2+ ω2

(8)

Transformata Laplace’a: definicje i własności

Podstawowe własności transformaty Laplace’a

1 L[af (t) + bg (t)] = aL[f (t)] + bL[g (t)] dla a, b ∈ R

2 L[f (t − t0)1I(t − t0)] = e−t0sL[f(t)] dla t0∈ R

3 L[f0(t)] = sL[f (t)] − f (0+)

4 L[f00(t)] = s2L[f (t)] − sf (0+) − f0(0+)

Uwaga

Transformatę Laplace’a można wykorzystać do rozwiązywania zagadnień początkowych dla liniowych równań różniczkowych zwyczajnych o stałych współczynnikach, w szczególności równań drugiego rzędu, które często wystepują w opisie różnych zjawisk fizycznych, także w opisie zależności prądu lub napięcia od czasu w elektrycznych obwodach RLC.

Transformata Laplace’a. Zastosowanie do rozwiązywania zagadnień początkowych dla liniowych równań różniczkowych zwyczajnych5 / 6

(9)

Transformata Laplace’a: definicje i własności

Podstawowe własności transformaty Laplace’a

1 L[af (t) + bg (t)] = aL[f (t)] + bL[g (t)] dla a, b ∈ R

2 L[f (t − t0)1I(t − t0)] = e−t0sL[f(t)] dla t0∈ R

3 L[f0(t)] = sL[f (t)] − f (0+)

4 L[f00(t)] = s2L[f (t)] − sf (0+) − f0(0+)

Uwaga

Transformatę Laplace’a można wykorzystać do rozwiązywania zagadnień początkowych dla liniowych równań różniczkowych zwyczajnych o stałych współczynnikach, w szczególności równań drugiego rzędu, które często wystepują w opisie różnych zjawisk fizycznych, także w opisie zależności prądu lub napięcia od czasu w elektrycznych obwodach RLC.

(10)

Transformata Laplace’a: zastosowanie

Przykłady

Rozwia¸zać poniższe zagadnienia pocza¸tkowe stosuja¸c metode¸ transformaty Laplace’a:

1) y00+ y0− 6y = 0, y (0) = 1, y0(0) = −1;

2) y00− y0− 12y = 0, y (0) = 0, y0(0) = 1;

3) y000− y = e−2t, y (0) = 1, y0(0) = 0, y00(0) = 0;

4) y00+ 9y = sin t, y (0) = 0, y0(0) = 1;

5) y00− 4y = e−tcos t, y (0) = 1, y0(0) = 0;

6) y00+ 3y0+ 2y = sin(3t), y (0) = 2, y0(0) = 0;

7) y00+ 9y = 1I(t − 3), y(0) = 1, y0(0) = 2;

8) y00+ 3y0+ 2y = δ(t − π), y (0) = 0, y0(0) = 1.

Transformata Laplace’a. Zastosowanie do rozwiązywania zagadnień początkowych dla liniowych równań różniczkowych zwyczajnych6 / 6

Cytaty

Powiązane dokumenty

Wówczas, aby rozwiązać równanie wystarczy podać wszystkie jego rozwiązania integralne, gdyż każde inne rozwiązanie jest obcięciem pewnego rozwiązania integralnego do

Ekstrapolacji Richardsona można użyć również do kontroli (zmiany w trakcie obliczeń) kroku czasowego ∆t, tak żeby błędy obcięcia nie przekraczały pewnej zadanej wartości

Ponieważ metoda jest niejawna (patrz zadanie 1) więc znalezienie rozwiązania w kolejnej chwili czasowej wyma- ga zastosowania

Często rozwiązanie zagadnienia brzegowego jest równocześnie roz- wiązaniem pewnego zagadnienia wariacyjnego, tzn... Aby sprawdzić czy rozwiązania są stabilne, porównać

Jak pokazaliśmy w przykładzie 1.3.1., każde rozwią- zanie tego równania określone jest na pewnym przedziale zawartym w dziedzinie jednego z powyższych rozwiązań, więc

Układy równao różniczkowych zwyczajnych pierwszego rzędu (czyli takie, w których występują tylko pochodne pierwszego rzędu) pojawiają się także gdy przekształcamy

Z powodów niezależnych od organizacji, które ukierunkowują jakiekol‑ wiek działanie człowieka poprzez złożone systemy oddziaływania i pobudzania zachowań

A novel approach is employed to a general solution for one-dimensional steady-state thermal and mechanical stresses in a hollow thick cylinder made of a functionally graded