Transformata Laplace’a. Zastosowanie do
rozwiązywania zagadnień początkowych dla liniowych
równań różniczkowych zwyczajnych
Transformata Laplace’a: definicje i własności
Definicja
Funkcją Heaviside’a nazywamy funkcję 1I(t) =
( 0 dla t < 0 1 dla t 0
Definicja
Deltą Diracanazywamy pseudofunkcję δ(t) =
( 0 dla t 6= 0
+∞ dla t = 0 przy czym Z ∞
−∞δ(t) dt = 1
Uwaga
Delta Diraca nie jest funkcją, gdyż żadna funkcja nie spełnia powyższych warunków, ale jest granicą odpowiedniego ciągu funkcyjnego. Delta Diraca może służyć do modelowania prądu, który pojawia się w obwodzie
elektrycznym jako krótkotrwały impuls.
Transformata Laplace’a. Zastosowanie do rozwiązywania zagadnień początkowych dla liniowych równań różniczkowych zwyczajnych2 / 6
Transformata Laplace’a: definicje i własności
Definicja
Funkcją Heaviside’a nazywamy funkcję 1I(t) =
( 0 dla t < 0 1 dla t 0
Definicja
Deltą Diracanazywamy pseudofunkcję δ(t) =
( 0 dla t 6= 0
+∞ dla t = 0 przy czym Z ∞
−∞
δ(t) dt = 1
Uwaga
Delta Diraca nie jest funkcją, gdyż żadna funkcja nie spełnia powyższych warunków, ale jest granicą odpowiedniego ciągu funkcyjnego. Delta Diraca może służyć do modelowania prądu, który pojawia się w obwodzie
elektrycznym jako krótkotrwały impuls.
Transformata Laplace’a: definicje i własności
Definicja
Funkcją Heaviside’a nazywamy funkcję 1I(t) =
( 0 dla t < 0 1 dla t 0
Definicja
Deltą Diracanazywamy pseudofunkcję δ(t) =
( 0 dla t 6= 0
+∞ dla t = 0 przy czym Z ∞
−∞
δ(t) dt = 1
Uwaga
Delta Diraca nie jest funkcją, gdyż żadna funkcja nie spełnia powyższych warunków, ale jest granicą odpowiedniego ciągu funkcyjnego. Delta Diraca może służyć do modelowania prądu, który pojawia się w obwodzie
elektrycznym jako krótkotrwały impuls.
Transformata Laplace’a. Zastosowanie do rozwiązywania zagadnień początkowych dla liniowych równań różniczkowych zwyczajnych2 / 6
Transformata Laplace’a: definicje i własności
Definicja
Transformatą Laplace’a funkcji rzeczywistej f : R+→ R nazywamy funkcję zespoloną zmiennej zespolonej s:
F (s) = Z ∞
0
f (t)e−stdt i oznaczamy: L[f (t)] = F (s).
Transformaty Laplace’a ważniejszych funkcji
L.p. Funkcja Transformata
1. 1I(t) 1
s
2. δ(t) 1
3. tn n!
sn+1
L.p. Funkcja Transformata
4. eαt 1
s − α
5. sin(ωt) ω
s2+ ω2
6. cos(ωt) s
s2+ ω2
Transformata Laplace’a: definicje i własności
Definicja
Transformatą Laplace’a funkcji rzeczywistej f : R+→ R nazywamy funkcję zespoloną zmiennej zespolonej s:
F (s) = Z ∞
0
f (t)e−stdt i oznaczamy: L[f (t)] = F (s).
Transformaty Laplace’a ważniejszych funkcji
L.p. Funkcja Transformata
1. 1I(t) 1
s
2. δ(t) 1
3. tn n!
sn+1
L.p. Funkcja Transformata
4. eαt 1
s − α
5. sin(ωt) ω
s2+ ω2
6. cos(ωt) s
s2+ ω2
Transformata Laplace’a. Zastosowanie do rozwiązywania zagadnień początkowych dla liniowych równań różniczkowych zwyczajnych3 / 6
Transformata Laplace’a: definicje i własności
Transformaty Laplace’a ważniejszych funkcji -c.d.
L.p. Funkcja Transformata
7. eαttn n!
(s − α)n+1 8. eαtsin(ωt) ω
(s − α)2+ ω2 9. eαtcos(ωt) s − α
(s − α)2+ ω2
Transformata Laplace’a: definicje i własności
Podstawowe własności transformaty Laplace’a
1 L[af (t) + bg (t)] = aL[f (t)] + bL[g (t)] dla a, b ∈ R
2 L[f (t − t0)1I(t − t0)] = e−t0sL[f(t)] dla t0∈ R
3 L[f0(t)] = sL[f (t)] − f (0+)
4 L[f00(t)] = s2L[f (t)] − sf (0+) − f0(0+)
Uwaga
Transformatę Laplace’a można wykorzystać do rozwiązywania zagadnień początkowych dla liniowych równań różniczkowych zwyczajnych o stałych współczynnikach, w szczególności równań drugiego rzędu, które często wystepują w opisie różnych zjawisk fizycznych, także w opisie zależności prądu lub napięcia od czasu w elektrycznych obwodach RLC.
Transformata Laplace’a. Zastosowanie do rozwiązywania zagadnień początkowych dla liniowych równań różniczkowych zwyczajnych5 / 6
Transformata Laplace’a: definicje i własności
Podstawowe własności transformaty Laplace’a
1 L[af (t) + bg (t)] = aL[f (t)] + bL[g (t)] dla a, b ∈ R
2 L[f (t − t0)1I(t − t0)] = e−t0sL[f(t)] dla t0∈ R
3 L[f0(t)] = sL[f (t)] − f (0+)
4 L[f00(t)] = s2L[f (t)] − sf (0+) − f0(0+)
Uwaga
Transformatę Laplace’a można wykorzystać do rozwiązywania zagadnień początkowych dla liniowych równań różniczkowych zwyczajnych o stałych współczynnikach, w szczególności równań drugiego rzędu, które często wystepują w opisie różnych zjawisk fizycznych, także w opisie zależności prądu lub napięcia od czasu w elektrycznych obwodach RLC.
Transformata Laplace’a: zastosowanie
Przykłady
Rozwia¸zać poniższe zagadnienia pocza¸tkowe stosuja¸c metode¸ transformaty Laplace’a:
1) y00+ y0− 6y = 0, y (0) = 1, y0(0) = −1;
2) y00− y0− 12y = 0, y (0) = 0, y0(0) = 1;
3) y000− y = e−2t, y (0) = 1, y0(0) = 0, y00(0) = 0;
4) y00+ 9y = sin t, y (0) = 0, y0(0) = 1;
5) y00− 4y = e−tcos t, y (0) = 1, y0(0) = 0;
6) y00+ 3y0+ 2y = sin(3t), y (0) = 2, y0(0) = 0;
7) y00+ 9y = 1I(t − 3), y(0) = 1, y0(0) = 2;
8) y00+ 3y0+ 2y = δ(t − π), y (0) = 0, y0(0) = 1.
Transformata Laplace’a. Zastosowanie do rozwiązywania zagadnień początkowych dla liniowych równań różniczkowych zwyczajnych6 / 6