AB linii śrubowej o przedstawieniu parametrycznym x = cos t, y = sin t, z = t, t ∈ h0

Lista nr 3 Elektrotechnika sem.III, studia niestacjonarne, 2019/20

Całka krzywoliniowa skierowana w R³

1. Obliczyć:

a) Z

>AB

(y − z)dx + (z − x)dy + (x − y)dz po łuku>

AB linii śrubowej o przedstawieniu parametrycznym

x = cos t, y = sin t, z = t, t ∈ h0; 2πi, niezgodnym z kierunkiem tego łuku, b)

Z

K

xdx + ydy + zdz po okr¸egu K o przedstawieniu parametrycznym x = 2 cos t, y = 2 sin t, z = 3, t ∈ h0; 2πi, zgodnym

z jego kierunkiem, c)

Z

>AB 2x + z

z dx+2y + z

z dy +z²− x²− y²

z² dz, gdzie>

AB jest odcinkiem prostej skierowanym od punktu A(1, 2, 1) do punktu

B(3, 1, 3).

2. Dane jest pole wektorowe

a) ~F =x²yz, xy²z, xyz² , b) ~F =



ln x²+ y²z
, xyz, x x²+ z²



, c) F = x r~i + y

r~j +z r

~k, gdzie r =p

x²+ y²+ z². Znaleźć: rot ~F , div ~F , grad(div ~F ).

3. Sprawdzić, czy dane pole wektorowe jest potencjalne. Jeżeli tak, to znaleźć jego potencjał.

a) ~F = [y²z³, 2xyz³, 3xy²z²], b) ~F = [−y²− 2xz, 2yz − 2xy, y²− x²],

c) ~F = [x, y, xyz + 1], d) ~F =

 yz + 1

x, xz +1

y, xy +1 z

 ,

e) ~F =

 1 − 1

y +y z



~i + x z + x

y²



~j −xy z

~k, f) ~F = [−y sin x + cos z, cos x + z cos y, sin y − x sin z].