Równania ró»niczkowe
Denicja 1. (równanie ró»niczkowe pierwszego rz¦du)
Niech funkcja dwóch zmiennych f(x, y) b¦dzie okre±lona i ci¡gªa w pewnym obszarze pªaskim D.
Równaniem ró»niczkowym zwyczajnym pierwszego rz¦dunazywamy równanie postaci:
dy
dx = f (x, y), y0 = f (x, y).
Posta¢ ogólna równania ró»niczkowego pierwszego rz¦du:
F (x, y, y0) = 0, (1)
gdzie funkcja F jest okre±lona i ci¡gªa w pewnym obszarze przestrzennym.
Denicja 2. (rz¡d równania ró»niczkowego)
Rz¦dem równania ró»niczkowego nazywamy najwy»szy rz¡d pochodnej niewiadomej funkcji y(x) wyst¦puj¡cy w równaniu.
Przykªad 1. Okre±l rz¡d równania ró»niczkowego:
• xdxdy − 4x = e3x· x-rz¡d wynosi 1;
• xy00+ 3xyy0− y000+ y = 0 -rz¡d wynosi 3;
• y(IV )+ xy00− y0+ 4xy = cos 2x - rz¡d wynosi 4.
Denicja 3. (równanie ró»niczkowe n−tego rz¦du) Posta¢ ogólna równania ró»niczkowego n−tego rz¦du:
F (x, y, y0, y00, . . . , y(n)) = 0, (2) gdzie funkcja F jest okre±lona i ci¡gªa w pewnym obszarze n + 2 wymiarowym.
Denicja 4. (rozwi¡zanie równania ró»niczkowego)
Rozwi¡zaniem ogólnym równania ró»niczkowego (1) [(2)] nazywamy ka»d¡ funkcj¦ y = ϕ(x, c) [y = ϕ(x, c1, c2, . . . , cn)-zale»n¡ od n staªych] ró»niczkowan¡ [ró»niczkowaln¡ n razy] w pewnym przedziale I, która speªnia równanie (1) [(2)] w przedziale I.
Rozwi¡zywanie równa« ró»niczkowych polega na znalezieniu wszystkich funkcji ϕ(x). Krzyw¡
y = ϕ(x) nazywamykrzyw¡ caªkow¡ lub caªk¡równania (1) [(2)].
Rozwi¡zaniem szczególnym równania ró»niczkowego (1) [(2)] nazywamy dowoln¡ funkcj¦ y = ϕ(x) ró»niczkowan¡ [ró»niczkowaln¡ n razy] w pewnym przedziale I, która speªnia równanie (1) [(2)] w przedziale I.
Rozwi¡zaniem osobliwym (lub caªk¡ osobliw¡) nazywamy rozwi¡zanie równania ró»niczkowego, którego nie mo»na otrzyma¢ z rozwi¡zania ogólnego przez podstawienie za c1, c2, . . . cn,dowolnych warto±ci.
Przykªad 2. Rozwa»my równanie ró»niczkowe:
y0 = 1
√1 − x2. (3)
• caªk¡ ogóln¡ równania (3) jest φ(x) = arcsin x + c, dla ka»dej rzeczywistej liczby c;
• caªk¡ szczególna równania (3) jest y ≡ arcsin x + 2, rzeczywi±cie przyjmuj¡c w caªce ogólnej c = 0
• caªk¡ osobliw¡ równania (3) jest x = ±1, to rozwi¡zanie równania (3), którego nie otrzymamy z caªki ogólnej. Jest to obwiednia rodziny krzywych caªkowych arcsin x + c .
Denicja 5. (warunek pocz¡tkowy) Warunek postaci
y(x0) = y0
ograniczaj¡cy rozwi¡zanie równania (1) do znalezienia caªki szczególnej przechodz¡cej przez punkt (x0, y0) nazywamy warunkiem pocz¡tkowym.
Denicja 6. (zagadnienie Cauchy'ego) Zagadnieniem Cauchy'ego dla równania ró»niczkowego pierwszego rz¦du nazywamy zagadnienie postaci:
(y0 = f (x, y),
y(x0) = y0. (4)
Denicja 7. (zagadnienie Cauchy'ego równania n−tego rz¦du) Zagadnieniem Cauchy'ego dla rów- nania ró»niczkowego n−tego rz¦du nazywamy zagadnienie polegaj¡ce na znalezieniu caªki szcze- gólnej równania ró»niczkowego (2) speªniaj¡ce warunki pocz¡tkowe:
y(x0) = y0, y0(x0) = y1, ...
y(n−1)(x0) = yn, gdzie y0, y1, . . . , yn nazywamy warto±ciami pocz¡tkowymi.
Denicja 8. (równanie odwrócone)
Niech b¦dzie dane równanie ró»niczkowe dydx = f (x, y).Równaniem odwróconym do niego nazywamy równanie ró»niczkowe postaci
dx
dy = 1 f (x, y).
Równaniem odwróconym nale»y posªugiwa¢ si¦ w otoczeniu punktów dla których warto±ci f (x, y) d¡»¡ do ∞. Aby rozwi¡za¢ równanie y0 = f (x, y) nale»y znale¹¢ wszystkie jego rozwi¡- zania oraz rozwi¡zania równania do niego odwróconego.
Denicja 9. (warunek Lipschitza)
Niech b¦dzie dana funkcja f : D → R, gdzie D ⊂ R2.Mówimy, »e funkcja f(x, y) speªnia warunek Lipschitza ze wzgl¦du na zmienn¡ y je»eli istnieje k > 0 takie, »e dla dowolnych (x, y1), (x, y2) ∈ D zachodzi:
|f (x, y1) − f (x, y2)| ≤ k|y1− y2|.
Uwaga 1. Korzystaj¡c z twierdzenia o warto±ci ±redniej mo»na ªatwo wykaza¢, »e je»eli pochodna cz¡stkowa ∂f∂y jest ograniczona, to funkcja speªnia warunek Lipschitza.
Twierdzenie 2. (tw. Peano o istnieniu)
Zagadnienie (4) posiada rozwi¡zanie je»eli punkt (x0, y0) le»y w obszarze oznaczono±ci i ci¡gªo±ci funkcji f(x, y).
Twierdzenie 3. (tw. Picarda o istnieniu i jednoznaczno±ci) Je»eli funkcja f(x, y) jest ci¡gªa i speªnia warunek Lipschitza ze wzgl¦du na zmienn¡ y w pewnym otoczeniu punktu (x0, y0),to istnieje δ > 0 taka, »e zagadnienie (4) posiada dokªadnie jedno rozwi¡zanie w przedziale [x0− δ, x0+ δ].
Uwagi na temat rozwi¡za«:
• w ka»dym punkcie rozwi¡zania szczególnego zachowana jest jednoznaczno±¢ rozwi¡za« zagad- nienia Cauchy'ego. Rozwi¡zanie szczególne otrzymujemy z rozwi¡zania ogólnego przyjmuj¡c za C konkretn¡ warto±¢ (równie» ±∞!!!)
• rozwi¡zania osobliwego nie mo»na otrzyma¢ z rozwi¡zania ogólnego przyjmuj¡c za C staª¡
(równie», gdy podstawimy C = ±∞). W ka»dym jego punkcie naruszony jest warunek jednoznaczno±ci rozwi¡za« zagadnienia Cauchyego. Krzywymi podejrzanymi o rozwi¡zanie osobliwe, s¡ krzywe wzdªu» których pochodna ∂f∂y (o ile istnieje) d¡»y do niesko«czono±ci.
• rozwi¡zanie osobliwe mo»na otrzyma¢ ze wzoru ogólnego tylko gdy za C przyjmiemy pewn¡
funkcje C(x).
• obwiednia rodziny krzywych caªkowych (krzywa styczna do ka»dego czªonka tej rodziny) jest rozwi¡zaniem osobliwym.
Interpretacja geometryczna równani postaci y0 = f (x, y)
Przez ka»dy punkt M(x, y) obszaru w którym równanie y0 = f (x, y)jest rozwi¡zywalne prowa- dzimy odcinek jednostkowy (tzn. dªugo±ci 1) o ±rodku w tym punkcie. Ponadto niech odcinek ten tworzy z osi¡ Ox kat α, taki »e tg α = f(x, y). Otrzymamy w ten sposób pewne pole kierunków.
Wówczas w ka»dym punkcie tego obszaru kierunek stycznej do krzywej caªkowej pokrywa si¦ z kierunkiem pola.
Równania ró»niczkowe o zmiennych rozdzielonych
Denicja 10. Równanie ró»niczkowe postaci dy
dx = f (x)
g(y) czyli g(y)dy = f(x)dx
gdzie funkcje f i g s¡ ci¡gªe w pewnych przedziaªach x ∈ (a, b) y ∈ (c, d) oraz g(y) 6= 0 dla y ∈ (c, d) nazywamy równaniem ró»niczkowym o zmiennych rozdzielonych.
Metoda caªkowania równa« ró»niczkowych o zmiennych rozdzielonych polega na rozdzieleniu zmien- nych tzn. umieszczeniu ich wraz z ró»niczkami dx i dy po ró»nych stronach równania.
Algorytm metody rozdzielania zmiennych:
1. W pierwszym kroku dokonujemy rozdzielenia zmiennych:
g(y)dy = f (x)dx.
2. Obustronnie caªkujemy ró»niczki:
Z
g(y)dy = Z
f (x)dx + c,
czasami lepiej zamiast c jest napisa¢ ln |c|, gdzie c 6= 0.
3. Wyznaczamy caªk¦ ogóln¡:
G(y) = F (x) + c, gdzie F i G to odpowiednio funkcje pierwotne funkcji f i g.
4.Wyznaczmy rozwi¡zanie ogólne(o ile to mo»liwe):
y(x) = ϕ(x, c).
Przykªad 3. Rozwi¡» równanie ró»niczkowe:
2x2dy
dx = y. (5)
Rozwi¡zanie: Najpierw dokonujemy rozdzielenia zmiennych. W tym celu dzielimy przez 2yx2 zakªadaj¡c, »e y 6= 0 oraz x 6= 0. Jednak»e, widzimy »e
y(x) = 0 (6)
jest rozwi¡zaniem szczególnym równania (5), gdy» dxdy = 0. Wobec przyj¦tych zaªo»e« mamy:
1
ydy = 1 2 · 1
x2dx.
Caªkuj¡c obustronnie powy»sze równanie, mamy:
Z 1
ydy = 1 2
Z 1
x2dx + ln |c|, gdzie c 6= 0.
Obliczamy caªki:
ln |y| = − 1
2x+ ln |c|.
Delogarytmuj¡c wyznaczamy y :
y(x) = ce−2x1 , gdzie c 6= 0. (7)
Poniewa» caªka (rozwi¡zanie równania) (6) nie jest zawarta w (7), to przyjmuj¡c c = 0 w (7) zsumujemy te dwa rozwi¡zania. Ostatecznie caªk¡ równania ró»niczkowego (5) jest
y(x) = ce−2x1 , gdzie c ∈ R.
Równania ró»niczkowe pierwszego rz¦du sprowadzalne do równa« o zmiennych rozdzielonych
a) Równanie postaci:
dy
dx = f (ax + by + c), (8)
gdzie f jest funkcj¡ ci¡gª¡ oraz a, b, c ∈ R takie, »e b 6= 0. Równanie typu (8) rozwi¡zujemy poprzez wprowadzenie nowej zmiennej zale»nej za pomoc¡ podstawienia:
u(x) = ax + by + c. (9)
Ró»niczkuj¡c (9) i przeksztaªcaj¡c mamy:
du
dx = a + bdy
dx =⇒ dy
dx = 1 b ·du
dx − a
b. (10)
Podstawiaj¡c (9) i (10) do równania (8) otrzymujemy równanie rozwi¡zywalne metod¡ zmiennych rozdzielonych:
1 b · du
dx − a
b = f (u) =⇒ du
bf (u) + a = dx, o ile bf(u) + a 6= 0.
Przykªad 4. Rozwi¡» równanie ró»niczkowe:
y0 = 4
2x + y − 2x − y − 2, gdzie 2x + y 6= 0 (11) Rozwi¡zanie: Zauwa»my, ze równanie (11) jest typu (8), gdy» y0 = 2x+y4 − (2x + y) − 2, czyli f (z) = 4z − z − 2. Zatem zgodnie z (9) dokonujemy podstawienia
u(x) = 2x + y =⇒ u0 = 2 + y0 =⇒ y0 = u0− 2, z (11) mamy:
u0− 2 = 4
u − u − 2 =⇒ du dx = 4
u − u =⇒ du
dx = 4 − u2
u . (12)
Aby rozdzieli¢ zmienne w równaniu (12) b¦dziemy je dzieli¢ przez 4−uu2 przy zaªo»eniu, »e u 6= 2 oraz u 6= −2. Nale»y sprawdzi¢ czy u = 2, u = −2 s¡ rozwi¡zaniami (12). Widzimy, »e zarówno dla u = 2 jak i u = −2 prawa strona (12) oraz dudx = 0,wobec tego u = 2 i u = −2 s¡ rozwi¡zaniami (12). Wracaj¡c do zmiennej x na wskutek podstawienia u(x) = 2x + y mamy, »e
y = −2x + 2 oraz y = −2x − 2 (13)
s¡ caªkami szczególnymi równania (11).
Dalej dziel¡c (12) przez 4−uu 2 mamy:
u
4 − u2du = dx.
Caªkujemy:
Z u
4 − u2du = Z
dx − 1
2ln |c|, ∀c6=0. (14)
Licz¡c caªk¦ z lewej strony za pomoc¡ metody podstawiania otrzymujemy
Z u
4 − u2du = −1
2ln |4 − u2|.
St¡d oraz z (14) mamy:
−1
2ln |4 − u2| = x −1 2ln |c|.
Delogarytmuj¡c
4 − u2 = ce−2x ∀c6=0. (15)
W tym miejscu zauwa»my, »e u ≡ ±2, b¦d¡ rozwi¡zaniami szczegolnymi o ile w rownaniu (15) doªaczymy c = 0. Wracaj¡c do zmiennej y (podstawienie u(x) = 2x+y) mamy uwikªane rozwi¡zanie równania (11) postaci:
(2x + y)2 = 4 − ce−2x.
b) Równanie jednorodne wzgl¦dem x i y
Denicja 11. Równanie postaci:
dy
dx = fy x
, (16)
gdzie f jest funkcj¡ ci¡gª¡ tak¡, »e f(u) 6= u nazywamy równaniem ró»niczkowym jednorodnym.
Równanie tego typu rozwi¡zujemy poprzez wprowadzenie nowej zmiennej niezale»nej za pomoc¡
podstawienia:
u(x) = y
x. (17)
Przeksztaªcaj¡c i ró»niczkuj¡c (17) mamy:
y = ux =⇒ dy
dx = xdu
dx + u. (18)
Podstawiaj¡c (17) i (18) do równania (16) na mocy zaªo»enia f(u) 6= u otrzymujemy równanie rozwi¡zywalne metod¡ zmiennych rozdzielonych:
xdu
dx + u = f (u) =⇒ du
f (u) − u = dx x . Przykªad 5. Rozwi¡» równanie ró»niczkowe:
xy0 = y − xeyx, x 6= 0. (19)
Rozwi¡zanie: Zauwa»my najpierw, »e równanie (19) jest typu (16), gdy» dziel¡c je przez x (x 6= 0) otrzymujemy:
y0 = y
x− eyx. (20)
Zatem jest to równanie typu (16) z funkcj¡ f(z) = z − ez. Zatem zgodnie z (17) dokonujemy podstawienia
u(x) = y x.
Z powy»szego oraz z (18) równanie (20) zapisujemy w postaci:
xdu
dx+ u = u − eu =⇒ xdu
dx = −eu.
Teraz stosujemy ju» metod¦ rozdzielania zmiennych. Dziel¡c przez xeu (bez dodatkowych zaªo»e«, bo xeu 6= 0 na mocy x 6= 0 i eu > 0) i mno»¡c przez dx, a nast¦pnie caªkuj¡c mamy:
e−udu = −1
xdx =⇒
Z
e−udu = − Z 1
xdx − c, c ∈ R.
Obliczaj¡c caªki dostajemy:
−e−u = − ln |x| − c =⇒ e−u = ln |x| + c.
Logarytmuj¡c:
−u = ln
ln |x| + c .
Korzystaj¡c z u(x) = yx otrzymujemy caªk¦ ogóln¡ równania (19) w postaci:
y(x) = −x ln
ln |x| + c .
c) Równanie postaci y0 = f
a1x+b1y+c1
a2x+b2y+c2
Równanie postaci
y0 = f a1x + b1y + c1 a2x + b2y + c2
,
gdzie f jest funkcj¡ ci¡gª¡ w pewnym przedziale, a1, a2, b1, b2, c1, c2 ∈ R jest pewnym uogólnieniem równania jednorodnego z przypadku b).
Podczas rozwi¡zywania odró»niamy dwa przypadki.
Przypadek 1. Je»eli wyznacznik
a1 b1 a2 b2
6= 0
to ukªad równa« (
a1x + b1y = −c1
a2x + b2y = −c2
ma dokªadnie jedno rozwi¡zanie x = x0, y = y0 i stosujemy podstawienie (x = ξ + x0,
y = η + y0
. (21)
Wówczas mamy:
y0 = dy dx = dη oraz dξ
f a1x + b1y + c1 a2x + b2y + c2
= f a1(ξ + x0) + b1(η + x0) + c1 a2(ξ + x0) + b2(η + x0) + c2
= f a1ξ + b1η + a1x0+ b1y0+ c1 a2ξ + b2η + a2x0+ b2y0+ c2
= f a1ξ + b1η a2ξ + b2η
. Zatem
dη
dξ = f a1ξ + b1η a2ξ + b2η
. Po wyª¡czeniu ξ i skróceniu mamy:
dη
dξ = f a1+ b1ηξ a2+ b2η ξ
! .
Widzimy zatem, »e w ten sposób rozpatrywany typ równania ró»niczkowego zostaª sprowadzony do równania jednorodnego (patrz podpunkt b)).
Przypadek 2. Je»eli wyznacznik
a1 b1 a2 b2
= 0 ⇐⇒ a1b2− a2b1 = 0 co oznacza, »e wspóªczynniki a1, a2 oraz b1, b2 s¡ proporcjonalne:
a1b2− a2b1 = 0 ⇔ a2 a1 = b2
b1 = k ⇔
(a2 = ka1 b2 = kb1.
Wówczas
dy dx = f
a1x + b1y + c1 k(a1x + b1y) + c2
. (22)
Nast¦pnie, poniewa» przynajmniej jedna z liczb b1, b2 6= 0 (niech b1 6= 0) dokonujemy zamiany:
z(x) = a1x + b1y. (23)
Ró»niczkuj¡c dostajemy dz
dx = a1+ b1
dy
dx ⇒ dy
dx = 1 b1
dz dx − a1
b1. Zatem równanie (22) przyjmie posta¢
1 b1
dz dx− a1
b1 = f z + c1 kz + c2
,
a wi¦c otrzymamy równanie które rozwi¡zujemy metod¡ zmiennych rozdzielonych.
Przykªad 6. Rozwi¡» równanie ró»niczkowe:
dy
dx = x + 3y − 4
5x − y − 4 (24)
Rozwi¡zanie: Najpierw obliczamy wyznacznik
1 3 5 −1
= −16.
Zatem mamy tutaj przypadek pierwszy. Rozwi¡zujemy ukªad równa«:
(x0+ 3y0 = 4;
5x0 − y0 = 4 ⇒
(x0 = 1;
y0 = 1.
Wówczas na podstawie (21) stosujemy podstawienie:
(x = ξ + 1;
y = η + 1 do równania (24) otrzymuj¡c:
dη
dξ = ξ + 3η
5ξ − η ⇒ dη
dξ = 1 + 3ηξ 5 − ηξ .
Jest to równanie jednorodne dlatego te» w kolejnym kroku stosujemy podstawienie z = η
ξ ⇒ η = ξz ⇒ dη
dξ = z + ξdz dξ dostaj¡c:
z + ξdz
dξ = 1 + 3z 5 − z .
Mamy wi¦c ξdz
dξ = 1 + 3z
5 − z − z ⇒ ξdz
dξ = z2− 2z + 1
5 − z ⇒ 5 − z
z2− 2z + 1dz = 1 ξdξ o ile z 6= 1, widzimy równie», »e z = 1 jest rozwi¡zaniem równania (24). Caªkuj¡c mamy
Z 5 − z
z2− 2z + 1dz = Z 1
ξdξ. (25)
Poniewa» Z
5 − z
z2− 2z + 1dz =
Z −1
z − 1dz + 4
(z − 1)2dz, wi¦c z (25) mamy
− ln |z − 1| − 4
z − 1 = ln ξ + ln |c|, c 6= 0.
St¡d przeksztaªcaj¡c mamy
−4
z − 1 = ln cξ(z − 1), ⇒ ez−1−4 = cξ(z − 1).
Zauwa»my, »e z = 1 nie speªnia powy»szego równania, zatem z = 1 jest caªk¡ osobliw¡. Na koniec, poniewa»
z = η
ξ = y − 1 x − 1, mamy rozwi¡zanie ogólne
e
−4 y−1 x−1−1
= c(x − 1) y − 1 x − 1− 1
, ⇒ e−4(x−1)y−x = c(y − x) oraz rozwi¡zanie osobliwe
y − 1
x − 1 = 1, ⇒ y = x.
Przykªad 7. Rozwi¡» równanie ró»niczkowe:
dy
dx = x + y + 1
−2x − 2y + 1 (26)
Rozwi¡zanie: Najpierw obliczamy wyznacznik
1 1
−2 −2
= 0.
Tym razem mamy przypadek drugi, zatem stosujemy podstawienie (23):
z(x) = x + y.
Poniewa»
dz
dx = 1 + dy
dx, ⇒ dy
dx = dz dx − 1, z (26) otrzymujemy
dz
dx − 1 = z + 1
−2z + 1, ⇒ dz
dx = −z + 2
−2z + 1, ⇒ −2z + 1
−z + 2 dz = dx,
o ile z 6= 2. Widzimy, »e z ≡ 2 jest rozwi¡zaniem powy»szego równania. Caªkuj¡c mamy:
Z −2z + 1
−z + 2 dz = Z
dx, ⇒ Z
2 − 3
−z + 2dz = Z
dx, ⇒ 2z + 3 ln |2 − z| = x + c, gdzie c ∈ R. Zauwa»my, »e z ≡ 2 nie jest rozwi¡zaniem tego równania. Wówczas na podstawie z = x + y otrzymujemy caªk¦ ogóln¡ postaci
2(x + y) + 3 ln |2 − x − y| + x + c, c ∈ R oraz caªk¦ szczególn¡
y = 2 − x.
d) Uogólnione równanie jednorodne.
Je»eli wprowadzenie nowej zmiennej:
y(x) = zm(x)
sprowadza rozpatrywane równanie do równania jednorodnego to nazywamy je uogólnionym rów- naniem jednorodnym.
Przykªad 8. Rozwi¡» równanie ró»niczkowe:
2xy0+ y = x2p
x − x2y2, gdzie x ≥ x2y2. (27) Rozwi¡zanie: Równanie to nie jest równaniem ró»niczkowym z »adnych wcze±niej poznanych typów.
Sprawd¹my, czy jest to uogólnione równanie jednorodne. Stosujemy podstawienie:
y = zm, ⇒ y0 = mzm−1z0 do równania (27), mamy
2mxzm−1z0+ zm = z2m√
x − x2z2m. Porównujemy teraz pot¦gi x z, dostajemy równania
m = m = 2m + 1
2 = 3m + 1.
Równo±ci te speªnione s¡ dla m = −12. St¡d wynika, »e stosuj¡c podstawienie y = z−12, ⇒ y0 = −1
2z−32z0 dla równania (27) otrzymamy równanie jednorodne:
−xz−32z0+ z−12 = z−1√
x − x2z−1, ⇒ −z0+ z
x =r z x− 1.
Zatem w powy»szym równaniu kªadziemy z
x = u ⇒ z = xu ⇒ z0 = u + xu0, dostaj¡c
−xu0 =√
u − 1 ⇒ du
√u − 1 = −1
xdx, o ile u 6= 1.
u ≡ 1jest rozwi¡zaniem. Caªkujemy
Z du
√u − 1 = − Z dx
x + ln |C|, C 6= 0 wi¦c
2√
u − 1 = − ln |x| + ln |C|, ⇒ 2√
u − 1 = ln
C x . Delogarytmujemy
C x = e2
√u−1.
Tutaj mo»emy zauwa»y¢, »e caªka u ≡ 1 jest rozwi¡zaniem osobliwym, dla »adnej warto±ci C u ≡ 1 nie speªnia równania. Z faktu, »e u = zx = y−2x = xy12,mamy caªk¦ ogóln¡:
C x = e2
q 1 xy2−1
, o ile x ≥ x2y2 oraz caª¦ szczególn¡:
1
xy2 = 1, ⇒ y = ± r1
x, o ile x > 0.