• Nie Znaleziono Wyników

Denicja 2

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2021

Share "Denicja 2"

Copied!
11
0
0

Pełen tekst

(1)

Równania ró»niczkowe

Denicja 1. (równanie ró»niczkowe pierwszego rz¦du)

Niech funkcja dwóch zmiennych f(x, y) b¦dzie okre±lona i ci¡gªa w pewnym obszarze pªaskim D.

Równaniem ró»niczkowym zwyczajnym pierwszego rz¦dunazywamy równanie postaci:

dy

dx = f (x, y), y0 = f (x, y).

Posta¢ ogólna równania ró»niczkowego pierwszego rz¦du:

F (x, y, y0) = 0, (1)

gdzie funkcja F jest okre±lona i ci¡gªa w pewnym obszarze przestrzennym.

Denicja 2. (rz¡d równania ró»niczkowego)

Rz¦dem równania ró»niczkowego nazywamy najwy»szy rz¡d pochodnej niewiadomej funkcji y(x) wyst¦puj¡cy w równaniu.

Przykªad 1. Okre±l rz¡d równania ró»niczkowego:

• xdxdy − 4x = e3x· x-rz¡d wynosi 1;

• xy00+ 3xyy0− y000+ y = 0 -rz¡d wynosi 3;

• y(IV )+ xy00− y0+ 4xy = cos 2x - rz¡d wynosi 4.

Denicja 3. (równanie ró»niczkowe n−tego rz¦du) Posta¢ ogólna równania ró»niczkowego n−tego rz¦du:

F (x, y, y0, y00, . . . , y(n)) = 0, (2) gdzie funkcja F jest okre±lona i ci¡gªa w pewnym obszarze n + 2 wymiarowym.

Denicja 4. (rozwi¡zanie równania ró»niczkowego)

Rozwi¡zaniem ogólnym równania ró»niczkowego (1) [(2)] nazywamy ka»d¡ funkcj¦ y = ϕ(x, c) [y = ϕ(x, c1, c2, . . . , cn)-zale»n¡ od n staªych] ró»niczkowan¡ [ró»niczkowaln¡ n razy] w pewnym przedziale I, która speªnia równanie (1) [(2)] w przedziale I.

Rozwi¡zywanie równa« ró»niczkowych polega na znalezieniu wszystkich funkcji ϕ(x). Krzyw¡

y = ϕ(x) nazywamykrzyw¡ caªkow¡ lub caªk¡równania (1) [(2)].

Rozwi¡zaniem szczególnym równania ró»niczkowego (1) [(2)] nazywamy dowoln¡ funkcj¦ y = ϕ(x) ró»niczkowan¡ [ró»niczkowaln¡ n razy] w pewnym przedziale I, która speªnia równanie (1) [(2)] w przedziale I.

Rozwi¡zaniem osobliwym (lub caªk¡ osobliw¡) nazywamy rozwi¡zanie równania ró»niczkowego, którego nie mo»na otrzyma¢ z rozwi¡zania ogólnego przez podstawienie za c1, c2, . . . cn,dowolnych warto±ci.

Przykªad 2. Rozwa»my równanie ró»niczkowe:

y0 = 1

1 − x2. (3)

(2)

caªk¡ ogóln¡ równania (3) jest φ(x) = arcsin x + c, dla ka»dej rzeczywistej liczby c;

caªk¡ szczególna równania (3) jest y ≡ arcsin x + 2, rzeczywi±cie przyjmuj¡c w caªce ogólnej c = 0

caªk¡ osobliw¡ równania (3) jest x = ±1, to rozwi¡zanie równania (3), którego nie otrzymamy z caªki ogólnej. Jest to obwiednia rodziny krzywych caªkowych arcsin x + c .

Denicja 5. (warunek pocz¡tkowy) Warunek postaci

y(x0) = y0

ograniczaj¡cy rozwi¡zanie równania (1) do znalezienia caªki szczególnej przechodz¡cej przez punkt (x0, y0) nazywamy warunkiem pocz¡tkowym.

Denicja 6. (zagadnienie Cauchy'ego) Zagadnieniem Cauchy'ego dla równania ró»niczkowego pierwszego rz¦du nazywamy zagadnienie postaci:

(y0 = f (x, y),

y(x0) = y0. (4)

Denicja 7. (zagadnienie Cauchy'ego równania n−tego rz¦du) Zagadnieniem Cauchy'ego dla rów- nania ró»niczkowego n−tego rz¦du nazywamy zagadnienie polegaj¡ce na znalezieniu caªki szcze- gólnej równania ró»niczkowego (2) speªniaj¡ce warunki pocz¡tkowe:

y(x0) = y0, y0(x0) = y1, ...

y(n−1)(x0) = yn, gdzie y0, y1, . . . , yn nazywamy warto±ciami pocz¡tkowymi.

Denicja 8. (równanie odwrócone)

Niech b¦dzie dane równanie ró»niczkowe dydx = f (x, y).Równaniem odwróconym do niego nazywamy równanie ró»niczkowe postaci

dx

dy = 1 f (x, y).

Równaniem odwróconym nale»y posªugiwa¢ si¦ w otoczeniu punktów dla których warto±ci f (x, y) d¡»¡ do ∞. Aby rozwi¡za¢ równanie y0 = f (x, y) nale»y znale¹¢ wszystkie jego rozwi¡- zania oraz rozwi¡zania równania do niego odwróconego.

Denicja 9. (warunek Lipschitza)

Niech b¦dzie dana funkcja f : D → R, gdzie D ⊂ R2.Mówimy, »e funkcja f(x, y) speªnia warunek Lipschitza ze wzgl¦du na zmienn¡ y je»eli istnieje k > 0 takie, »e dla dowolnych (x, y1), (x, y2) ∈ D zachodzi:

|f (x, y1) − f (x, y2)| ≤ k|y1− y2|.

Uwaga 1. Korzystaj¡c z twierdzenia o warto±ci ±redniej mo»na ªatwo wykaza¢, »e je»eli pochodna cz¡stkowa ∂f∂y jest ograniczona, to funkcja speªnia warunek Lipschitza.

(3)

Twierdzenie 2. (tw. Peano o istnieniu)

Zagadnienie (4) posiada rozwi¡zanie je»eli punkt (x0, y0) le»y w obszarze oznaczono±ci i ci¡gªo±ci funkcji f(x, y).

Twierdzenie 3. (tw. Picarda o istnieniu i jednoznaczno±ci) Je»eli funkcja f(x, y) jest ci¡gªa i speªnia warunek Lipschitza ze wzgl¦du na zmienn¡ y w pewnym otoczeniu punktu (x0, y0),to istnieje δ > 0 taka, »e zagadnienie (4) posiada dokªadnie jedno rozwi¡zanie w przedziale [x0− δ, x0+ δ].

Uwagi na temat rozwi¡za«:

w ka»dym punkcie rozwi¡zania szczególnego zachowana jest jednoznaczno±¢ rozwi¡za« zagad- nienia Cauchy'ego. Rozwi¡zanie szczególne otrzymujemy z rozwi¡zania ogólnego przyjmuj¡c za C konkretn¡ warto±¢ (równie» ±∞!!!)

rozwi¡zania osobliwego nie mo»na otrzyma¢ z rozwi¡zania ogólnego przyjmuj¡c za C staª¡

(równie», gdy podstawimy C = ±∞). W ka»dym jego punkcie naruszony jest warunek jednoznaczno±ci rozwi¡za« zagadnienia Cauchyego. Krzywymi podejrzanymi o rozwi¡zanie osobliwe, s¡ krzywe wzdªu» których pochodna ∂f∂y (o ile istnieje) d¡»y do niesko«czono±ci.

rozwi¡zanie osobliwe mo»na otrzyma¢ ze wzoru ogólnego tylko gdy za C przyjmiemy pewn¡

funkcje C(x).

obwiednia rodziny krzywych caªkowych (krzywa styczna do ka»dego czªonka tej rodziny) jest rozwi¡zaniem osobliwym.

Interpretacja geometryczna równani postaci y0 = f (x, y)

Przez ka»dy punkt M(x, y) obszaru w którym równanie y0 = f (x, y)jest rozwi¡zywalne prowa- dzimy odcinek jednostkowy (tzn. dªugo±ci 1) o ±rodku w tym punkcie. Ponadto niech odcinek ten tworzy z osi¡ Ox kat α, taki »e tg α = f(x, y). Otrzymamy w ten sposób pewne pole kierunków.

Wówczas w ka»dym punkcie tego obszaru kierunek stycznej do krzywej caªkowej pokrywa si¦ z kierunkiem pola.

Równania ró»niczkowe o zmiennych rozdzielonych

Denicja 10. Równanie ró»niczkowe postaci dy

dx = f (x)

g(y) czyli g(y)dy = f(x)dx

gdzie funkcje f i g s¡ ci¡gªe w pewnych przedziaªach x ∈ (a, b) y ∈ (c, d) oraz g(y) 6= 0 dla y ∈ (c, d) nazywamy równaniem ró»niczkowym o zmiennych rozdzielonych.

Metoda caªkowania równa« ró»niczkowych o zmiennych rozdzielonych polega na rozdzieleniu zmien- nych tzn. umieszczeniu ich wraz z ró»niczkami dx i dy po ró»nych stronach równania.

Algorytm metody rozdzielania zmiennych:

1. W pierwszym kroku dokonujemy rozdzielenia zmiennych:

g(y)dy = f (x)dx.

2. Obustronnie caªkujemy ró»niczki:

Z

g(y)dy = Z

f (x)dx + c,

(4)

czasami lepiej zamiast c jest napisa¢ ln |c|, gdzie c 6= 0.

3. Wyznaczamy caªk¦ ogóln¡:

G(y) = F (x) + c, gdzie F i G to odpowiednio funkcje pierwotne funkcji f i g.

4.Wyznaczmy rozwi¡zanie ogólne(o ile to mo»liwe):

y(x) = ϕ(x, c).

Przykªad 3. Rozwi¡» równanie ró»niczkowe:

2x2dy

dx = y. (5)

Rozwi¡zanie: Najpierw dokonujemy rozdzielenia zmiennych. W tym celu dzielimy przez 2yx2 zakªadaj¡c, »e y 6= 0 oraz x 6= 0. Jednak»e, widzimy »e

y(x) = 0 (6)

jest rozwi¡zaniem szczególnym równania (5), gdy» dxdy = 0. Wobec przyj¦tych zaªo»e« mamy:

1

ydy = 1 2 · 1

x2dx.

Caªkuj¡c obustronnie powy»sze równanie, mamy:

Z 1

ydy = 1 2

Z 1

x2dx + ln |c|, gdzie c 6= 0.

Obliczamy caªki:

ln |y| = − 1

2x+ ln |c|.

Delogarytmuj¡c wyznaczamy y :

y(x) = ce2x1 , gdzie c 6= 0. (7)

Poniewa» caªka (rozwi¡zanie równania) (6) nie jest zawarta w (7), to przyjmuj¡c c = 0 w (7) zsumujemy te dwa rozwi¡zania. Ostatecznie caªk¡ równania ró»niczkowego (5) jest

y(x) = ce2x1 , gdzie c ∈ R.

Równania ró»niczkowe pierwszego rz¦du sprowadzalne do równa« o zmiennych rozdzielonych

a) Równanie postaci:

dy

dx = f (ax + by + c), (8)

gdzie f jest funkcj¡ ci¡gª¡ oraz a, b, c ∈ R takie, »e b 6= 0. Równanie typu (8) rozwi¡zujemy poprzez wprowadzenie nowej zmiennej zale»nej za pomoc¡ podstawienia:

u(x) = ax + by + c. (9)

(5)

Ró»niczkuj¡c (9) i przeksztaªcaj¡c mamy:

du

dx = a + bdy

dx =⇒ dy

dx = 1 b ·du

dx a

b. (10)

Podstawiaj¡c (9) i (10) do równania (8) otrzymujemy równanie rozwi¡zywalne metod¡ zmiennych rozdzielonych:

1 b · du

dx a

b = f (u) =⇒ du

bf (u) + a = dx, o ile bf(u) + a 6= 0.

Przykªad 4. Rozwi¡» równanie ró»niczkowe:

y0 = 4

2x + y − 2x − y − 2, gdzie 2x + y 6= 0 (11) Rozwi¡zanie: Zauwa»my, ze równanie (11) jest typu (8), gdy» y0 = 2x+y4 − (2x + y) − 2, czyli f (z) = 4z − z − 2. Zatem zgodnie z (9) dokonujemy podstawienia

u(x) = 2x + y =⇒ u0 = 2 + y0 =⇒ y0 = u0− 2, z (11) mamy:

u0− 2 = 4

u − u − 2 =⇒ du dx = 4

u − u =⇒ du

dx = 4 − u2

u . (12)

Aby rozdzieli¢ zmienne w równaniu (12) b¦dziemy je dzieli¢ przez 4−uu2 przy zaªo»eniu, »e u 6= 2 oraz u 6= −2. Nale»y sprawdzi¢ czy u = 2, u = −2 s¡ rozwi¡zaniami (12). Widzimy, »e zarówno dla u = 2 jak i u = −2 prawa strona (12) oraz dudx = 0,wobec tego u = 2 i u = −2 s¡ rozwi¡zaniami (12). Wracaj¡c do zmiennej x na wskutek podstawienia u(x) = 2x + y mamy, »e

y = −2x + 2 oraz y = −2x − 2 (13)

s¡ caªkami szczególnymi równania (11).

Dalej dziel¡c (12) przez 4−uu 2 mamy:

u

4 − u2du = dx.

Caªkujemy:

Z u

4 − u2du = Z

dx − 1

2ln |c|, c6=0. (14)

Licz¡c caªk¦ z lewej strony za pomoc¡ metody podstawiania otrzymujemy

Z u

4 − u2du = −1

2ln |4 − u2|.

St¡d oraz z (14) mamy:

1

2ln |4 − u2| = x −1 2ln |c|.

Delogarytmuj¡c

4 − u2 = ce−2x c6=0. (15)

W tym miejscu zauwa»my, »e u ≡ ±2, b¦d¡ rozwi¡zaniami szczegolnymi o ile w rownaniu (15) doªaczymy c = 0. Wracaj¡c do zmiennej y (podstawienie u(x) = 2x+y) mamy uwikªane rozwi¡zanie równania (11) postaci:

(2x + y)2 = 4 − ce−2x.

(6)

b) Równanie jednorodne wzgl¦dem x i y

Denicja 11. Równanie postaci:

dy

dx = fy x



, (16)

gdzie f jest funkcj¡ ci¡gª¡ tak¡, »e f(u) 6= u nazywamy równaniem ró»niczkowym jednorodnym.

Równanie tego typu rozwi¡zujemy poprzez wprowadzenie nowej zmiennej niezale»nej za pomoc¡

podstawienia:

u(x) = y

x. (17)

Przeksztaªcaj¡c i ró»niczkuj¡c (17) mamy:

y = ux =⇒ dy

dx = xdu

dx + u. (18)

Podstawiaj¡c (17) i (18) do równania (16) na mocy zaªo»enia f(u) 6= u otrzymujemy równanie rozwi¡zywalne metod¡ zmiennych rozdzielonych:

xdu

dx + u = f (u) =⇒ du

f (u) − u = dx x . Przykªad 5. Rozwi¡» równanie ró»niczkowe:

xy0 = y − xeyx, x 6= 0. (19)

Rozwi¡zanie: Zauwa»my najpierw, »e równanie (19) jest typu (16), gdy» dziel¡c je przez x (x 6= 0) otrzymujemy:

y0 = y

x− eyx. (20)

Zatem jest to równanie typu (16) z funkcj¡ f(z) = z − ez. Zatem zgodnie z (17) dokonujemy podstawienia

u(x) = y x.

Z powy»szego oraz z (18) równanie (20) zapisujemy w postaci:

xdu

dx+ u = u − eu =⇒ xdu

dx = −eu.

Teraz stosujemy ju» metod¦ rozdzielania zmiennych. Dziel¡c przez xeu (bez dodatkowych zaªo»e«, bo xeu 6= 0 na mocy x 6= 0 i eu > 0) i mno»¡c przez dx, a nast¦pnie caªkuj¡c mamy:

e−udu = −1

xdx =⇒

Z

e−udu = − Z 1

xdx − c, c ∈ R.

Obliczaj¡c caªki dostajemy:

−e−u = − ln |x| − c =⇒ e−u = ln |x| + c.

Logarytmuj¡c:

−u = ln

ln |x| + c .

Korzystaj¡c z u(x) = yx otrzymujemy caªk¦ ogóln¡ równania (19) w postaci:

y(x) = −x ln

ln |x| + c .

(7)

c) Równanie postaci y0 = f

a1x+b1y+c1

a2x+b2y+c2

 Równanie postaci

y0 = f a1x + b1y + c1 a2x + b2y + c2

 ,

gdzie f jest funkcj¡ ci¡gª¡ w pewnym przedziale, a1, a2, b1, b2, c1, c2 ∈ R jest pewnym uogólnieniem równania jednorodnego z przypadku b).

Podczas rozwi¡zywania odró»niamy dwa przypadki.

Przypadek 1. Je»eli wyznacznik

a1 b1 a2 b2

6= 0

to ukªad równa« (

a1x + b1y = −c1

a2x + b2y = −c2

ma dokªadnie jedno rozwi¡zanie x = x0, y = y0 i stosujemy podstawienie (x = ξ + x0,

y = η + y0

. (21)

Wówczas mamy:

y0 = dy dx = oraz

f a1x + b1y + c1 a2x + b2y + c2



= f a1(ξ + x0) + b1(η + x0) + c1 a2(ξ + x0) + b2(η + x0) + c2



= f a1ξ + b1η + a1x0+ b1y0+ c1 a2ξ + b2η + a2x0+ b2y0+ c2



= f a1ξ + b1η a2ξ + b2η

 . Zatem

= f a1ξ + b1η a2ξ + b2η

 . Po wyª¡czeniu ξ i skróceniu mamy:

= f a1+ b1ηξ a2+ b2η ξ

! .

Widzimy zatem, »e w ten sposób rozpatrywany typ równania ró»niczkowego zostaª sprowadzony do równania jednorodnego (patrz podpunkt b)).

Przypadek 2. Je»eli wyznacznik

a1 b1 a2 b2

= 0 ⇐⇒ a1b2− a2b1 = 0 co oznacza, »e wspóªczynniki a1, a2 oraz b1, b2 s¡ proporcjonalne:

a1b2− a2b1 = 0 a2 a1 = b2

b1 = k

(a2 = ka1 b2 = kb1.

(8)

Wówczas

dy dx = f

 a1x + b1y + c1 k(a1x + b1y) + c2



. (22)

Nast¦pnie, poniewa» przynajmniej jedna z liczb b1, b2 6= 0 (niech b1 6= 0) dokonujemy zamiany:

z(x) = a1x + b1y. (23)

Ró»niczkuj¡c dostajemy dz

dx = a1+ b1

dy

dx dy

dx = 1 b1

dz dx a1

b1. Zatem równanie (22) przyjmie posta¢

1 b1

dz dx a1

b1 = f z + c1 kz + c2

 ,

a wi¦c otrzymamy równanie które rozwi¡zujemy metod¡ zmiennych rozdzielonych.

Przykªad 6. Rozwi¡» równanie ró»niczkowe:

dy

dx = x + 3y − 4

5x − y − 4 (24)

Rozwi¡zanie: Najpierw obliczamy wyznacznik

1 3 5 −1

= −16.

Zatem mamy tutaj przypadek pierwszy. Rozwi¡zujemy ukªad równa«:

(x0+ 3y0 = 4;

5x0 − y0 = 4

(x0 = 1;

y0 = 1.

Wówczas na podstawie (21) stosujemy podstawienie:

(x = ξ + 1;

y = η + 1 do równania (24) otrzymuj¡c:

= ξ + 3η

5ξ − η

= 1 + 3ηξ 5 − ηξ .

Jest to równanie jednorodne dlatego te» w kolejnym kroku stosujemy podstawienie z = η

ξ η = ξz

= z + ξdz dostaj¡c:

z + ξdz

= 1 + 3z 5 − z .

(9)

Mamy wi¦c ξdz

= 1 + 3z

5 − z − z ξdz

= z2− 2z + 1

5 − z 5 − z

z2− 2z + 1dz = 1 ξ o ile z 6= 1, widzimy równie», »e z = 1 jest rozwi¡zaniem równania (24). Caªkuj¡c mamy

Z 5 − z

z2− 2z + 1dz = Z 1

ξdξ. (25)

Poniewa» Z

5 − z

z2− 2z + 1dz =

Z −1

z − 1dz + 4

(z − 1)2dz, wi¦c z (25) mamy

− ln |z − 1| − 4

z − 1 = ln ξ + ln |c|, c 6= 0.

St¡d przeksztaªcaj¡c mamy

−4

z − 1 = ln cξ(z − 1), ez−1−4 = cξ(z − 1).

Zauwa»my, »e z = 1 nie speªnia powy»szego równania, zatem z = 1 jest caªk¡ osobliw¡. Na koniec, poniewa»

z = η

ξ = y − 1 x − 1, mamy rozwi¡zanie ogólne

e

−4 y−1 x−1−1

= c(x − 1) y − 1 x − 1− 1



, ⇒ e−4(x−1)y−x = c(y − x) oraz rozwi¡zanie osobliwe

y − 1

x − 1 = 1, y = x.

Przykªad 7. Rozwi¡» równanie ró»niczkowe:

dy

dx = x + y + 1

−2x − 2y + 1 (26)

Rozwi¡zanie: Najpierw obliczamy wyznacznik

1 1

−2 −2

= 0.

Tym razem mamy przypadek drugi, zatem stosujemy podstawienie (23):

z(x) = x + y.

Poniewa»

dz

dx = 1 + dy

dx, dy

dx = dz dx − 1, z (26) otrzymujemy

dz

dx − 1 = z + 1

−2z + 1, dz

dx = −z + 2

−2z + 1, −2z + 1

−z + 2 dz = dx,

(10)

o ile z 6= 2. Widzimy, »e z ≡ 2 jest rozwi¡zaniem powy»szego równania. Caªkuj¡c mamy:

Z −2z + 1

−z + 2 dz = Z

dx, Z

2 − 3

−z + 2dz = Z

dx, 2z + 3 ln |2 − z| = x + c, gdzie c ∈ R. Zauwa»my, »e z ≡ 2 nie jest rozwi¡zaniem tego równania. Wówczas na podstawie z = x + y otrzymujemy caªk¦ ogóln¡ postaci

2(x + y) + 3 ln |2 − x − y| + x + c, c ∈ R oraz caªk¦ szczególn¡

y = 2 − x.

d) Uogólnione równanie jednorodne.

Je»eli wprowadzenie nowej zmiennej:

y(x) = zm(x)

sprowadza rozpatrywane równanie do równania jednorodnego to nazywamy je uogólnionym rów- naniem jednorodnym.

Przykªad 8. Rozwi¡» równanie ró»niczkowe:

2xy0+ y = x2p

x − x2y2, gdzie x ≥ x2y2. (27) Rozwi¡zanie: Równanie to nie jest równaniem ró»niczkowym z »adnych wcze±niej poznanych typów.

Sprawd¹my, czy jest to uogólnione równanie jednorodne. Stosujemy podstawienie:

y = zm, y0 = mzm−1z0 do równania (27), mamy

2mxzm−1z0+ zm = z2m

x − x2z2m. Porównujemy teraz pot¦gi x z, dostajemy równania

m = m = 2m + 1

2 = 3m + 1.

Równo±ci te speªnione s¡ dla m = −12. St¡d wynika, »e stosuj¡c podstawienie y = z12, y0 = −1

2z32z0 dla równania (27) otrzymamy równanie jednorodne:

−xz32z0+ z12 = z−1

x − x2z−1, −z0+ z

x =r z x− 1.

Zatem w powy»szym równaniu kªadziemy z

x = u z = xu z0 = u + xu0, dostaj¡c

−xu0 =

u − 1 du

u − 1 = −1

xdx, o ile u 6= 1.

(11)

u ≡ 1jest rozwi¡zaniem. Caªkujemy

Z du

u − 1 = − Z dx

x + ln |C|, C 6= 0 wi¦c

2

u − 1 = − ln |x| + ln |C|, 2

u − 1 = ln

C x . Delogarytmujemy

C x = e2

u−1.

Tutaj mo»emy zauwa»y¢, »e caªka u ≡ 1 jest rozwi¡zaniem osobliwym, dla »adnej warto±ci C u ≡ 1 nie speªnia równania. Z faktu, »e u = zx = y−2x = xy12,mamy caªk¦ ogóln¡:

C x = e2

q 1 xy2−1

, o ile x ≥ x2y2 oraz caª¦ szczególn¡:

1

xy2 = 1, y = ± r1

x, o ile x > 0.

Cytaty

Powiązane dokumenty

Znale´ z´ c stabilizatory wierzcho lk´ ow, krawe , dzi i ´ scian obu tych bry l.. 43 Przypu´ s´ cmy, ˙ze grupa G dzia la tranzytywnie na

Ka»de zadanie prosimy odda¢ na oddzielnej, podpisanej kartce.. Czas pracy:

W ka»dym podpunkcie w poni»szych pytaniach prosimy udzieli¢ odpowiedzi TAK lub NIE, zaznaczaj¡c j¡ na zaª¡czonym arkuszu odpowiedzi.. Ka»da kombinacja odpowiedzi TAK lub NIE w

Poka», »e indukowana permutacja punktów ma dokªadnie taki sam rozkªad jak w tasowaniu Rie Shue..

Poka», »e ka»da funkcja wypukªa na przedziale (a, b)

Podaj przykªad funkcji okre±lonej na [−1, 1], która jest ró»niczkowalna, ±ci±le rosn¡ca i jej pochodna zeruje si¦ w niesko«czenie

Jakie jest przy±pieszenie gracza, gdy znajduje si¦ w odlegªo±ci 1 stopy od ±rodka

Czy na klasycznym rynku Blacka-Scholesa cena opcji kupna równa 40 i opcji sprzedaży równa 30 o terminie zapadalności 1 rok z ceną wykonania 38 przy obecnej cenie waloru 45 i