rodek masy. P

1

Wykład 5

rodek masy. P

rodek masy. P d. d.

Zderzenia.

Zderzenia.

Wrocław University of Technology 26-XI-2011

2

Szczególny punkt

ŚRODEK MASY 26.XI.2011

3

Szczególny punkt

4

Szczególny punkt

Środek masy ciała lub układu ciał to punkt, który porusza się tak, jak gdyby była w nim skupiona cała masa układu, a wszystkie siły zewnętrzne były przyłoŜone w tym właśnie punkcie.

ŚRODEK MASY 26.XI.2011

• Środek masy porusza się po paraboli, dokładnie tak jak wyrzucona w powietrze cząstka.

5

Układ kilku cząstek

x

m

m

d

ŚM

x

y

x

m

m

d

ŚM

y

x

x

x

m d m

x

m ⋅

= +

2 1

2

u

ŚM

m

x m x

m m

m

x m x

x m

2 1

2 2 1

1

= +

+

= +

6

Układ kilku cząstek W przypadku n cząstek

ŚRODEK MASY 26.XI.2011

Jeśli cząstki znajdują się w przestrzeni trójwymiarowej, to środek masy ma trzy współrzędne.

∑

+ = +

+ +

+ +

+

= +

i

i i u

n

n n

ŚM

m x

m m

m m

m

x m x

m x

m x

x m

3 1 2

1

3 3 2

2 1

1

1

...

...

∑

∑

∑

=

=

=

i

i i u

ŚM n

i

i i u

ŚM n

i

i i u

ŚM

m z

z m y

m m y

x m m

x

1 1

1

1 1

1

W zapisie wektorowym:

k z

j y

i x

r

) )

r )

+ +

=

Ogólnie wektorowo:

∑

=

i

i i u

ŚM

m r

r m

1

1 r

r

7

Przy czym m_u jest masą całego ciała. „Cząstkami" ciała są w tym opisie róŜniczkowe elementy masy dm.

Gdy ciało jest jednorodne, to posiada stałą gęstość, czyli masę jednostki objętości, co oznacza, Ŝe ich gęstość ρ jest dla kaŜdego elementu ich objętości taka sama, jak dla całego ciała:

wtedy

Układ kilku cząstek

∫

∫

∫ ^{= =}

= zdm

z m m ydm

y m xdm

x

u ŚM

u ŚM

u ŚM

1 1

1

Dla ciał o ciągłym rozkładzie masy

V dV dm m

V m dV

dm

 

 



= 

= ⇒ ρ =

∫

∫

∫ ^{= =}

= zdV

z V V ydV

y V xdV

x

1

1

1

8

1. F_wyp jest to wypadkowa wszystkich sił zewnętrznych, jakie działają na układ. Siły działające między

składnikami układu cząstek (siły wewnętrzne) nie uwzględnia się w tym równaniu.

II zasada dynami Newtona dla układu cząstek

u ŚM

wyp

m a

F v v

⋅

=

Ruch środka masy układu cząstek opisuje równanie wektorowe:

ŚRODEK MASY 26.XI.2011

2. m_u jest całkowitą masą układu. Zakładamy, Ŝe w czasie ruchu układu jego masa nie zwiększa się, ani nie zmniejsza, tak Ŝe m_u jest stałe. Taki układ

nazywamy układem zamkniętym.

3. a_ŚM jest przyspieszeniem środka masy układu. PowyŜsze równanie nie daje Ŝadnych informacji o przyspieszeniu jakiegokolwiek innego punktu układu.

9

II zasada dynamiki Newtona dla układu cząstek

Dowód:

Z definicji środka masy dla układu n cząstek wiemy:

∑

=

i

i i u

ŚM

m r

r m

1

1 r

r

n ŚM n

u

r m r m r m r m r

m r r r r r

+ +

+ +

=

⋅

⇓

3

...

3 2

2 1

1

Pierwsza pochodna względem czasu:

n ŚM n

u

v m v m v m v m v

m r r r v r

+ +

+ +

=

⋅

...

Druga pochodna względem czasu:

n ŚM n

u

a m a m a m a m a

m r r r r r

+ +

+ +

=

⋅

...

wyp ŚM n

u

a F F F F F

m

r r

r r

r r

= +

+ +

+

=

⋅

...

10

Pęd

Definicja pędu:

PĘD 26.XI.2011

v m

p r r

⋅

=

przy czym m jest masą cząstki, a v — jej prędkością. PoniewaŜ m jest zawsze

dodatnią wielkością skalarną, stąd wynika, Ŝe wektory p i v mają taki sam kierunek.

Wynika z niego równieŜ, Ŝe jednostką pędu w układzie SI jest kilogram razy metr na sekundę.

Dla n cząstek

Pęd układu cząstek jest równy iloczynowi całkowitej masy układu mu oraz prędkość jego środka masy.

u ŚM n

n

m v m v m v m v

p p

p

p r r r r r r r r

= +

+ +

= +

+ +

=

...

...

11

Przykład

Cząstka o masie 3.0 kg porusza się z prędkością Jaki jest wektor pędu oraz jego wartość?

Zgodnie z definicją momentu pędu otrzymujemy:

( )

s j m i

vr = 3.0ˆ+ 4.0ˆ

( ) ( )

s m j kg

s i j m i

kg v

m

p r = ⋅ r = 3 . 0 ⋅ 3 . 0 ˆ + 4 . 0 ˆ = 9 . 0 ˆ − 12 ˆ ⋅

Wartość momentu pędu wynosi:

( ) ( )

s m kg

s m j kg

i

p p

p

= ⋅

⋅ = +

=

= +

=

15

12 ˆ 0 ˆ

.

9

2

r

12

Zasada zachowania pędu

ZałóŜmy, Ŝe wypadkowa sil zewnętrznych działających na układ cząstek jest łów na zeru (tzn. układ jest izolowany) oraz Ŝe Ŝadne cząstki nie opuszczają układu, ani do niego nie przybywają (tzn. układ jest zamknięty).

PĘD 26.XI.2011

dt p F

d

r r

= F

= 0

układ zamknięty

r

i izolowany

p r = const

Jeśli na układ cząstek nie działają siły zewnętrzne lub ich wypadkowa jest równa zeru, to całkowity pęd p układu nie ulega zmianie.

Zasada zachowania pędu:

kon pocz

p p r r

=

CAŁKOWITY PĘD UKŁADU W PEWNEJ CHWILI POCZĄTKOWEJ t_pocz

CAŁKOWITY PĘD UKŁADU W DOWOLNEJ CHWILI

PÓŹNIEJSZEJ t_kon

=

13

Zderzenia

Zderzenie zachodzi wtedy, gdy dwa lub więcej ciał (partnerów zderzenia) działa na siebie stosunkowo duŜymi siłami w stosunkowo krótkim przedziale czasu.

14

Zderzenia całkowicie niespręŜyste

ZDERZENIA 26.XI.2011

PRZED ZDERZENIEM

PO ZDERZENIU

m₁ m₂

m₁ + m₂

V_1p V_2p

V_k

Z zasady zachowania pędu: pr_1p pr_2p pr_k

= +

(

)

2p 2

1p

1

V m V m m V

m + = +

15

Przykład

95.0 kg zawodnik biegnie w kierunku końca strefy z prędkością 3.75 m/s. Na jego trasie pojawia się 111 kg zawodnik druŜyny przeciwnej poruszający się z prędkością 4.10 m/s.

(a) Znajdź ich prędkość zaraz po zderzeniu?

(b) Znajdź początkową i końcową

energię kinetyczną oraz zmianę energi podczas zderzenia.

1 1, 2 2,

1 2

(95.0 kg)(3.75 m/s) (111.0 kg)( 4.10 m/s)

0.480 m/s (95.0 kg) (111.0 kg)

i i

f

m v m v

v m m

+ + −

= = = −

+ +

(

)(

) (

)(

)

v m v

m

E_{kp p p} 111 4.1 / 1600

2 / 1

75 . 3 2 95

1 2

1 2

1 2 2 2

2 2 2

1

1 + = + − =

=

(

)

[ (

) (

) ] (

)

E_{kk k} 95 111 4.8 / 23.7

2 1 2

1 2 2

2

1 + = + − =

=

J E

= − 1576

∆

16

Prędkość środka masy

ZDERZENIA 26.XI.2011

Przeanalizujmy układ dwóch ciał oraz ich zderzenie w jednym wymiarze.

Całkowity pęd takiego układu wynosi:

( )

u

v

m m v m

P r r r

2 1

+

=

=

Całkowity pęd P jest zachowany podczas zderzenia; jest on równy kaŜdej ze

stron równania (przed i po zderzeniu). Biorąc sumę pędów przed zderzeniem, mamy:

Stąd

p

p

p

p

P r r

r

+

=

2 1

2 1

2

1

m m

p p

m m

v

P

+

= +

= +

r r r

r

Prawa strona tego równania jest stała, a zatem v_ŚM ma taką samą wartość przed i po zderzeniu.

17

Prędkość środka masy

Układ izolowany: połoŜenie środka masy nie zmienia się!

18

Zderzenia spręŜyste

ZDERZENIA 26.XI.2011

Przy zderzeniu spręŜystym energia kinetyczna kaŜdego ze zderzających się ciał moŜe się zmienić, lecz nie moŜe ulec zmianie całkowita

energia kinetyczna układu tych ciał.

CAŁKOWITA ENERGIA KINETYCZNA PRZED

ZDERZENIEM

CAŁKOWITA ENERGIA KINETYCZNA PO

ZDERZENIEM

=

Dodatkowo musi być spełniona zasada zachowania pędu.

19

Zderzenia spręŜyste

PRZED ZDERZENIEM

PO ZDERZENIU

m₁ m₂

m₁ m₂

V_1p V_2p

V_1k V_2k

20

Zderzenia spręŜyste

ZDERZENIA 26.XI.2011

Z zasady zachowania pędu: pr_1p pr_2p pr_1k pr_2k +

= +

2k 2

1k 1

2p 2

1p

1

V m V m V m V

m + = − +

Z zasady zachowania energii mechanicznej:

2 V m 2

V m 2

V m

2 V

m

+

= +

Stąd:

p p

k

p p

k

m V m

V m m m

m V m

m V m

V m m

m

m V m

1 1 2

1 2

1 2

1 2

2

2 1 2

2 1

1 2

1 2

1

2 2

+ + +

= −

+ + +

= −

21

Przykłady

Pszczoła o masie 0.150 g wylądowała na jednym z końców pływającego patyczka do lodów o masie 4.75 g. Po tym jak odpoczęła zaczęła iść w kierunku drugiego końca z prędkością v_b względem wody. Patyczek zaczął się poruszać w przeciwną stronę z prędkością 0.120 cm/s. Z jaką prędkością porusza się pszczoła v_s?

s s s

p = m v

b b b s s s

p = m v = − = − p m v (4.75 g)

(0.120 cm/s) 3.80 cm/s (0.150 g)

s

b s

b

v m v

= − m = − =

Zasada zachowania pędu w kierunku x:

p

+ p

= 0

22

Przykłady

ZDERZENIA 26.XI.2011

Auto o masie m₁ = 950 kg i prędkości v_1,i = 16 m/s wjeŜdŜa na skrzyŜowanie. W tym samym czasie minivan o masie m₂ = 1300 kg i

prędkości v_2,i = 21 m/s wjeŜdŜa z ulicy prostopadłej. Dochodzi do zderzenia.

Znajdź kąt θ oraz prędkość końcową v_f aut zaraz po zderzeniu.

1 1 1 2

x-momentum: m v = ( m + m v )

cos θ

2 2 1 2

y-momentum: m v = ( m + m v )

sin θ

1 2

2 2

1 1 1 2

( ) sin sin

( ) cos cos tan

f f

m m v m v

m v m m v

θ θ θ

θ θ

= + = =

+

2 2 1 1

(1300 kg)(21 m/s)

arctan arctan 61

(950 kg)(16 m/s) m v

θ = m v = = °

[ ]

1 1

1 2

(950 kg)(16 m/s)

14 m/s ( ) cos (950 kg) (1300 kg) cos 61

f

v m v

m m θ

= = =

+ + °

23

Przykłady

Kula o masie m₁ przechodzi przez puste pudełko o masie m₂, a pomiar jej prędkości wykazał, Ŝe wskutek tego zdarzenia prędkość jej zmniejszyła się o połowę. Jak wysoko

uniesie się pudełko skutek zderzenia?

Z zasady zachowania energii mechanicznej:

gh m v

m

2

1 =

Z zasady zachowania momentu pędu:

( ) ^{v v} _m ^{m v m} _m ^gh

m v

m v

m

2 8

1 2

1 2 2

1 2 1

1 1

2 2 1

1

= + ⇒ = =

2

2 1 1

8

1 





 

= 

m

m

v

h g