1
13. DYNAMIKA RUCHU ZŁOŻONEGO PUNKTU MATERIALNEGO
Przyspieszenie punktu materialnego jest proporcjonalne do przyłożonej siły
i ma kierunek tej siły.
m
a F r
r =
m a FObowiązuje w tzw. bezwładnościowym (galileuszowskim) układzie odniesienia:
- środek związany jest ze środkiem Słońca, - osie związane są z gwiazdami stałymi.
II zasada dynamiki Newtona
O x
z
y
Oxyz – nieruchomy (bezwładnościowy) układ współrzędnych
O’
x’
z’
y’
O’x’y’z’ – ruchomy układ współrzędnych
υO’
aO’
ω
ε
A υw aw ρ
( )
w wO
a
a
a r r r r r r r r r r
+
× +
× +
×
× +
=
'ω ω ρ ε ρ 2 ω υ
a r
u przyspieszenieunoszenia
a r
C przyspieszenieCoriolisa przyspieszenie
bezwzględne
względem osi układu nieruchomego
przyspieszenie względne
względem osi układu ruchomego
2 Zadanie 1/13
Gładki klin o kącie nachylenia α porusza się w górę ze stałym przyspieszeniem a0. Wzdłuż klina może przesuwać się klocek o masie m. Obliczyć przyspieszenie awklocka względem klina oraz nacisk N klina na klocek
α a0
aw m
( )
( ) α
α cos sin
0 0
g a m N
g a aw
+
= + Odp.: =
Zadanie 2/13
Poziomo ustawiona gładka rurka AB o długości l obraca się wokół pionowej osi przechodzącej przez jej koniec ze stałą prędkością kątową ω0. Wewnątrz rurki znajduje się kulka o masie m. Po jakim czasie tBi z jaką bezwzględną prędkością υB kulka wypadnie z rurki, jeśli w chwili początkowej znajdowała się w odległości c od osi obrotu i była nieruchoma względem rurki?
ω0
m
c l
A B
c c l k l
l k k c
k k c m R
mg R R
k t
Bz By Bx z y x B
2 2 0 0
2 0 0
0 1 2
1 0
1ln
−
= +
−
=
=
−
=
−
−
=
=
=
=
ω υ υ
ω υ
ω ω
Obliczyć nacisk R rurki na kulkę w chwili wylotu z rurki.
x y Odp.:
3 Zadanie 3/13
Tarcza o promieniu r ustawiona w płaszczyźnie poziomej obraca się wokół pionowej osi
przechodzącej przez jej środek ze stałą prędkością kątową ω0. W tarczy wyżłobiono prosty rowek, odległy o r/2 od osi obrotu, w którym przemieszczać się może gładka kulka o masie m. W chwili początkowej kulka znajdowała się w punkcie A i była nieruchoma względem tarczy. Po jakim czasie tBkulka opuści tarczę? Wyznaczyć nacisk tarczy na kulkę w funkcji czasu.
r
r/2 m A
ω0
O r/4
B
( )
mg R R
r t m R
t
z y x B
=
=
+
−
=
≅ +
=
0
sinh 21
914 . 11 1 3 2 1 ln
0 2
0
0 0
ω ω
ω Odp.: ω
x y
ω b
r
m
A B
C
D
Zadanie 4/13
Walec o masie m może przesuwać się wewnątrz rurki CD sztywno związanej z obracającą się płytą
ABCD. Wyznaczyć równanie ruchu walca względem rurki oraz wyznaczyć reakcję walca na rurkę wiedząc, że płyta obraca się ze stałą prędkością kątową ω, zaś współczynnik tarcia walca o rurkę wynosi µ. W chwili początkowej walec znajdował się w punkcie C.
Zadanie 5/13
Mała kulka o masie m może ślizgać się bez tarcia po wycinku kołowym o promieniu r. Podać równanie
różniczkowe ruchu względnego kulki wiedząc, że wycinek kołowy obraca się ze stałą prędkością kątową ω wokół nieruchomej osi AB. W chwili początkowej kulka
znajdowała się na osi obrotu i miała prędkość względną υw. r
ω
m B
A
4
ω
r m
A B
Zadanie 6/13
Mała kulka o masie m może przesuwać się po okręgu o promieniu r. Podać równanie różniczkowe ruchu względnego kulki wiedząc, że okrąg obraca się ze stałą prędkością kątową ω wokół nieruchomej osi AB. W chwili początkowej kulka znajdowała się na osi obrotu i miała prędkość υwwzględem okręgu.
Współczynnik tarcia kulki o okrąg wynosi µ.