Paul Erd˝os i “Dowody z Ksi˛egi”

Paul Erd ˝os i “Dowody z Ksi ˛egi”

Antoni Kijowski, Michał Król, Krzysztof Kwiatkowski

Faculty of Mathematics and Information Science Warsaw University of Technology

Warsaw, 9 January 2013

“Dowody z Ksi ˛egi”

Dowody z Ksi ˛egi to ksi ˛a˙zka z dowodami matematycznymi napisana przez Martina Aignera i Guntera M. Zieglera. Jest dedykowana matematykowi Paulowi Erd ˝osowi, który cz ˛esto nawi ˛azywał do Ksi ˛egi, w której według niego Bóg gromadził najdoskonalsze dowody

twierdze ´n matematycznych.

Paul Erd ˝os

-Urodzony 26 Marca 1913 w Budapeszcie, zmarły 20 wrze´snia 1996 w Warszawie.

-Jeden z najwybitniejszych matematyków XX wieku. -Zrobił doktorat w 1934 w Budapeszcie.

-Wykładał na wielu uniwersytetach, miedzy innymi w Menchesterze, Princeton czy Notre Dame.

-Członek U.S. National Academy of Science oraz UK Royal Society

Paul Erd ˝os

-Urodzony 26 Marca 1913 w Budapeszcie, zmarły 20 wrze´snia 1996 w Warszawie.

-Jeden z najwybitniejszych matematyków XX wieku. -Zrobił doktorat w 1934 w Budapeszcie.

-Wykładał na wielu uniwersytetach, miedzy innymi w Menchesterze, Princeton czy Notre Dame.

-Członek U.S. National Academy of Science oraz UK Royal Society

Paul Erd ˝os

-Urodzony 26 Marca 1913 w Budapeszcie, zmarły 20 wrze´snia 1996 w Warszawie.

-Jeden z najwybitniejszych matematyków XX wieku.

-Zrobił doktorat w 1934 w Budapeszcie.

-Wykładał na wielu uniwersytetach, miedzy innymi w Menchesterze, Princeton czy Notre Dame.

-Członek U.S. National Academy of Science oraz UK Royal Society

Paul Erd ˝os

-Urodzony 26 Marca 1913 w Budapeszcie, zmarły 20 wrze´snia 1996 w Warszawie.

-Jeden z najwybitniejszych matematyków XX wieku.

-Zrobił doktorat w 1934 w Budapeszcie.

-Wykładał na wielu uniwersytetach, miedzy innymi w Menchesterze, Princeton czy Notre Dame.

-Członek U.S. National Academy of Science oraz UK Royal Society

Paul Erd ˝os

-Urodzony 26 Marca 1913 w Budapeszcie, zmarły 20 wrze´snia 1996 w Warszawie.

-Jeden z najwybitniejszych matematyków XX wieku.

-Zrobił doktorat w 1934 w Budapeszcie.

-Członek U.S. National Academy of Science oraz UK Royal Society

Paul Erd ˝os

-Urodzony 26 Marca 1913 w Budapeszcie, zmarły 20 wrze´snia 1996 w Warszawie.

-Jeden z najwybitniejszych matematyków XX wieku.

-Zrobił doktorat w 1934 w Budapeszcie.

Paul Erd ˝os

Autor ponad 1500 artykułów z koncepcji matematyki.

Głównie zajmował si ˛e: -teori ˛a liczb

-teori ˛a grafów -kombinatoryk ˛a

Paul Erd ˝os

Autor ponad 1500 artykułów z koncepcji matematyki.

Głównie zajmował si ˛e: -teori ˛a liczb

-teori ˛a grafów -kombinatoryk ˛a

Paul Erd ˝os

Autor ponad 1500 artykułów z koncepcji matematyki.

Głównie zajmował si ˛e:

-teori ˛a liczb -teori ˛a grafów -kombinatoryk ˛a

Paul Erd ˝os

Autor ponad 1500 artykułów z koncepcji matematyki.

Głównie zajmował si ˛e:

-teori ˛a liczb

-teori ˛a grafów -kombinatoryk ˛a

Paul Erd ˝os

Autor ponad 1500 artykułów z koncepcji matematyki.

Głównie zajmował si ˛e:

-teori ˛a liczb -teori ˛a grafów

-kombinatoryk ˛a

Paul Erd ˝os

Autor ponad 1500 artykułów z koncepcji matematyki.

Głównie zajmował si ˛e:

-teori ˛a liczb -teori ˛a grafów -kombinatoryk ˛a

Paul Erd ˝os

Autor ponad 1500 artykułów z koncepcji matematyki.

Głównie zajmował si ˛e:

-teori ˛a liczb -teori ˛a grafów -kombinatoryk ˛a

“Dowody z Ksi ˛egi”

W ksi ˛a˙zce mo˙zna znale´z´c 32 dowody twierdze ´n z:

Teorii liczb, Geometrii, Analizy, Kombinatoryki oraz Teorii Grafów. Nie s ˛a to wszystkie dowody z Ksi ˛egi, ale jedynie kilka przykładów wybranych przez autorów, którzy pragn ˛eli, aby była ona dost ˛epna dla ka˙zdego, nie tylko dla matematyków. Do zrozumienia tych dowodów wystarczy odrobina algebry liniowej, analizy matematycznej i teorii liczb oraz elementarne poj ˛ecia z matematyki dyskretnej. Erd ˝os sam doło˙zył wiele sugestii do ksi ˛a˙zki, ale zmarł przed jej publikacj ˛a.

“Dowody z Ksi ˛egi”

W ksi ˛a˙zce mo˙zna znale´z´c 32 dowody twierdze ´n z:

Teorii liczb, Geometrii, Analizy, Kombinatoryki oraz Teorii Grafów.

Nie s ˛a to wszystkie dowody z Ksi ˛egi, ale jedynie kilka przykładów wybranych przez autorów, którzy pragn ˛eli, aby była ona dost ˛epna dla ka˙zdego, nie tylko dla matematyków. Do zrozumienia tych dowodów wystarczy odrobina algebry liniowej, analizy matematycznej i teorii liczb oraz elementarne poj ˛ecia z matematyki dyskretnej. Erd ˝os sam doło˙zył wiele sugestii do ksi ˛a˙zki, ale zmarł przed jej publikacj ˛a.

“Dowody z Ksi ˛egi”

W ksi ˛a˙zce mo˙zna znale´z´c 32 dowody twierdze ´n z:

Teorii liczb, Geometrii, Analizy, Kombinatoryki oraz Teorii Grafów.

Nie s ˛a to wszystkie dowody z Ksi ˛egi, ale jedynie kilka przykładów wybranych przez autorów, którzy pragn ˛eli, aby była ona dost ˛epna dla ka˙zdego, nie tylko dla matematyków. Do zrozumienia tych dowodów wystarczy odrobina algebry liniowej, analizy matematycznej i teorii liczb oraz elementarne poj ˛ecia z matematyki dyskretnej. Erd ˝os sam doło˙zył wiele sugestii do ksi ˛a˙zki, ale zmarł przed jej publikacj ˛a.

Teraz przedstawimy bardzo ciekawy dowód twierdzenia z analizy matematycznej, zaczerpni ˛ety oczywi´scie z Ksi ˛egi

Twierdzenie

∞

X

n=1

1 n² = π²

6

Teraz przedstawimy bardzo ciekawy dowód twierdzenia z analizy matematycznej, zaczerpni ˛ety oczywi´scie z Ksi ˛egi

Twierdzenie

∞

X

n=1

1 n² = π²

6

Dowód

Dowód polega na dwukrotnym obliczeniu (ró˙znymi sposobami) całki podwójnej

I =

1

Z

0 1

Z

0

1

1 − xydx dy

Rozwi ´nmy _1−xy¹ w szereg geometryczny.

I =

1

Z

0 1

Z

0

X

n≥0

(xy )ⁿdx dy =X

n≥0





1

Z

0

xⁿdx









1

Z

0

yⁿdy



=

=X

n≥0

1 n + 1

1

n + 1 =X

n≥0

1

(n + 1)² =X

n≥1

1 n²

Drugi sposób obliczenia I polega na zamianie zmiennych:

obrót o 45^oprowadzi do zmiennych u = y + x

√2 , v = y − x

√2

lub inaczej

x = u − v

√

2 , y = u + v

√ 2

Drugi sposób obliczenia I polega na zamianie zmiennych:

obrót o 45^oprowadzi do zmiennych u = y + x

√2 , v = y − x

√2

Podstawiaj ˛ac nowe zmienne, otrzymujemy 1 − xy = 1 − u²− v²

2

a zatem

1

1 − xy = 2 2 − u²+v²

Podstawiaj ˛ac nowe zmienne, otrzymujemy 1 − xy = 1 − u²− v²

2 a zatem

1

1 − xy = 2 2 − u²+v²

Nowy obszar całkowania, jak i funkcja, któr ˛a nale˙zy scałkowa´c, s ˛a symetryczne wzgl ˛edem osi u, musimy si ˛ec jedynie obliczy´c całk˛e po górnej połowie obszaru, któr ˛a dzielimy na dwie cz ˛e´sci:

I = 4

√ 2 2

Z

0





u

Z

0

2

2 − u²+v²dv



du + 4

√ 2

Z

√ 2 2







√ 2−u

Z

0

2

2 − u²+v²dv





du

Korzystaj ˛ac ze wzoru

Z dx

a²+x² = 1

aarctanx a +C otrzymujemy

I = 4

√ 2 2

Z

0





u

Z

0

2

2 − u²+v²dv



du + 4

√ 2

Z

√ 2 2







√ 2−u

Z

0

2

2 − u²+v²dv





du

Korzystaj ˛ac ze wzoru

Z dx

a²+x² = 1

aarctanx a +C otrzymujemy

I = 4

√ 2

Z2

0

√ 1

2 − u²arctan

 u

√2 − u²

 du+

+4

√ 2

Z

√ 2 2

√ 1

2 − u²arctan

√2 − u

√ 2 − u²

! du

Pierwsz ˛a całk˛e obliczymy korzystaj ˛ac z podstawienia:

u =√ 2 sin θ Przedział 0 ≤ u ≤ ¹₂√

2 odpowiada warto´sciom 0 ≤ θ ≤ ^π₆ du =

√

2cosθd θ p2 − u²=

√ 2p

1 − sin²θ =

√ 2cosθ

Pierwsz ˛a całk˛e obliczymy korzystaj ˛ac z podstawienia:

u =√ 2 sin θ Przedział 0 ≤ u ≤ ¹₂√

2 odpowiada warto´sciom 0 ≤ θ ≤ ^π₆

du =

√

2cosθd θ p2 − u²=

√ 2p

1 − sin²θ =

√ 2cosθ

Pierwsz ˛a całk˛e obliczymy korzystaj ˛ac z podstawienia:

u =√ 2 sin θ Przedział 0 ≤ u ≤ ¹₂√

2 odpowiada warto´sciom 0 ≤ θ ≤ ^π₆ du =

√

2cosθd θ p2 − u²=

√ 2p

1 − sin²θ =

√ 2cosθ

4

√ 2 2

Z

0

√ 1

2 − u²arctan

 u

√ 2 − u²

 du =

=4

π 6

Z

0

√ 1

2cosθarctan

√2 sin θ

√ 2 cos θ

! √

2 cos θd θ =

=4

π 6

Z

0

θd θ = 4 ·1 2

π 6

2

= 1 3 ·π²

6

4

√ 2 2

Z

0

√ 1

2 − u²arctan

 u

√ 2 − u²

 du =

=4

π 6

Z

0

√ 1

2cosθarctan

√2 sin θ

√ 2 cos θ

! √

2 cos θd θ =

=4

π 6

Z

0

θd θ = 4 ·1 2

π 6

2

= 1 3 ·π²

6

4

√ 2 2

Z

0

√ 1

2 − u²arctan

 u

√ 2 − u²

 du =

=4

π 6

Z

0

√ 1

2cosθarctan

√2 sin θ

√ 2 cos θ

! √

2 cos θd θ =

=4

π 6

Z

0

θd θ = 4 ·1 2

π 6

2

= 1 3 ·π²

6

W drugiej całce korzystamy z podstawienia u =√

2 cos 2θ. Granice całkowania ¹₂√

2 ≤ u ≤√

2 trzeba zmieni´c na ^π₆ ≥ θ ≥ 0 Otrzymujemy du = −2√

2 sin 2θd θ

√

2 − u²=√ 2√

1 − cos²2θ =√

2 sin 2θ = 2√

2 cos θ sin θ

√

2 − u =√

2(1 − cos 2θ) = 2√ 2sin²θ

A zatem 4

√2

R

√ 2 2

√1

2−u²arctan

 _√

√2−u 2−u²

 du =

4

0

R

π 6

√ 1

2 sin 2θarctan

2√ 2sin²θ

√2 cos θ sin θ

 −2√ 2

sin 2θd θ = 4

π 6

R

0

2θd θ = 4 ^π₆
2

= ²₃^π₆²

W drugiej całce korzystamy z podstawienia u =√

2 cos 2θ. Granice całkowania ¹₂√

2 ≤ u ≤√

2 trzeba zmieni´c na ^π₆ ≥ θ ≥ 0 Otrzymujemy du = −2√

2 sin 2θd θ

√

2 − u²=√ 2√

1 − cos²2θ =√

2 sin 2θ = 2√

2 cos θ sin θ

√

2 − u =√

2(1 − cos 2θ) = 2√ 2sin²θ A zatem 4

√2

R

√ 2 2

√1

2−u²arctan

 _√

√2−u 2−u²

 du =

4

0

R

π 6

√ 1

2 sin 2θarctan

2√ 2sin²θ

√2 cos θ sin θ

 −2√ 2

sin 2θd θ = 4

π 6

R

0

2θd θ = 4 ^π₆
2

= ²₃^π₆²

Dodaj ˛ac obie całki, otrzymujemy:

I = 1 3

π² 6 +2

3 π²

6 = π² 6

W ostateczno´sci dostajemy: X

n≥1

1 n² = π²

6

Dodaj ˛ac obie całki, otrzymujemy:

I = 1 3

π² 6 +2

3 π²

6 = π² 6 W ostateczno´sci dostajemy:

X

n≥1

1 n² = π²

6

Twierdzenie

Dla ka˙zdej konfiguracji n niewspółliniowych punktów płaszczyzny istnieje linia prosta, która przechodzi przez dokładnie dwa z tych punktów.

Twierdzenie

Niech P b ˛edzie zbiorem n (n ≥ 3) niewspółliniowych punktów płaszczyzny. Wtedy zbiór L wszystkich prostych, które przechodz ˛a przez co najmniej dwa punkty zbioru P, zawiera co najmniej n prostych.

Twierdzenie

Niech X b ˛edzie zbiorem n-elementowym, n ≥ 3. Załó˙zmy, ˙ze A₁, ...Am

s ˛a podzbiorami wła´sciwymi X , takimi, ˙ze dla ka˙zdego a, b ∈ X istnieje dokładnie jeden zbiór A_i zawieraj ˛acy je. Wówczas m ≥ n.

To koniec!

Dzi ˛ekujemy za uwag ˛e ;)