Lista zada« nr 8: komutanty
W poni»szych zadaniach grupa oznacza grup¦ permutacji lub grup¦ ilorazow¡ albo po prostu zbiór z dziaªaniem o trzech wªasno±ciach: dziaªanie jest ª¡czne; istnieje element neutralny I; ka»dy element σ ma element odwrotny ˆσ.
(1) Udowodnij, »e cz¦±¢ wspólna dwóch podgrup jest podgrup¡, za± cz¦±¢ wspólna podgrup normalnych jest podgrup¡ normaln¡.
(2) Sprawd¹, »e je±li H jest podgrup¡ normaln¡ G oraz ˜H oznacza cz¦±¢ wspóln¡ G0 i H, to (G/H)0 = G0/ ˜H.
(3) Udowodnij, »e je±li H jest podgrup¡ G, to H0 jest podgrup¡ G0.
(4) Udowodnij, »e je±li H jest podgrup¡ normaln¡ G, to H0 jest podgrup¡ nor- maln¡ G0.
W poni»szych zadaniach opis grupy to co±, co umo»liwia wypisanie elementów grupy i szybkie ich mno»enie (w szczególno±ci wi¦c pozwala szybko stwierdzi¢, ile grupa ma elementów).
(5) Opisz grup¦ permutacji generowan¡ przez σ = (1, 2, 3) · (4, 5, 6) oraz τ = (1, 4) · (2, 5) · (3, 6). Wskazówka: zbadaj, czy σ i τ s¡ przemienne!
(6) Opisz grup¦ permutacji generowan¡ przez σ = (1, 2, 3) · (4, 5, 6) oraz τ = (1, 6) · (2, 5) · (3, 4).
(7) Opisz grup¦ permutacji generowan¡ przez σ = (1, 2, 3) oraz τ = (1, 4)·(2, 5)·(3, 6).
Wskazówka: wyznacz ρ = τ ·σ·τ i sprawd¹, »e: σ·ρ = ρ·σ, τ ·σ = ρ·τ, τ ·ρ = σ·τ.
(8) Czy istnieje w miar¦ prosty opis grupy permutacji generowanej przez σ = (1, 2, 3)·
(4, 5, 6)oraz τ = (1, 2) · (3, 4) · (5, 6)?
(9) W ka»dym z powy»szych zada« wyznacz komutant opisanej grupy i sprawd¹, czy jest ona rozwi¡zalna.
