Algorytm tabu search ze zmiennym czasem pamięci krótkoterminowej

(1)

Z E S Z Y T Y N A U K O W E P O L IT E C H N IK I Ś L Ą S K IE J S e ria : A U T O M A T Y K A z. 136

2002 N r k o l. 1556

W o jc ie c h C H M IE L

A k a d e m ia G ó r n ic z o - H u tn ic z a

ALGORYTM TABU SEARCH ZE ZMIENNYM CZASEM PAMIĘCI KRÓTKOTERMINOWEJ*

S t r e s z c z e n i e . W p r a c y p r z e d s ta w io n o w y n ik i b a d a ń e k s p e ry m e n ta ln y c h p r o c e s u o p ty m a liz a c ji z a g a d n ie n ia p rz y d z ia łu z k w a d r a to w ą f u n k c ją c e lu re a liz o w a n e g o z a p o m o c ą a lg o r y tm u e w o lu c y jn e g o , w k tó ry m z a s to s o w a n o o p e r a to r o p a rty n a T a b u S e a rc h . Z a s to s o w a n o w n im z m ie n n y c z a s p a m ię c i k ró tk o te rm in o w e j, z a le ż n y o d w a rto ś c i o c z e k iw a n e j c z ę ś c io w e g o r o z w ią z a n ia .

ALGORITHM TABU SERCH WITH FLEXIBLE TIME OF SHORT- MEMORY

S u m m a r y . T h is p a p e r p r e s e n ts re s u lts o f e x p e rim e n ta l e x a m in a tio n o f o p tim iz a tio n p r o c e s s re a liz e d o n th e e x a m p le o f q u a d ra tic a s s ig n m e n t p ro b le m , w ith th e a id o f e v o lu tio n a lg o r ith m , w h e r e a n o p e r a to r b a s e d o n T a b u S e a rc h is u s e d . T h is a lg o rith m u s e s fle x ib le tim e o f s h o rt-m e m o ry d e p e n d in g o n c o n d itio n a l e x p e c ta tio n o f fitn e s s fu n c tio n fo r p a rtia l s o lu tio n .

1. Wprowadzenie

P r o b le m Q A P j e s t p r o b le m e m g e n e ra liz u ją c y m w ie le z a g a d n ie ń , k tó ry c h ro z w ią z a n ia m o ż n a s f o r m u ło w a ć w p o s ta c i p e rm u ta c ji. O b e c n ie s ta n o w ią o n e w a ż n ą k la s ę p r o b le m ó w d e c y z y jn y c h i s ą p r z y c z y n k ie m d o w ie lu p r a c w z a k re s ie r o z w o ju m e to d p r z y b liż o n y c h d la te g o z a g a d n ie n ia ([4 ], [8 ], [9 ]).

K la s y c z n y m i ty p a m i p r o b le m ó w p e rm u ta c y jn y c h są : k w a d ra to w y p ro b le m p r z y p i

s a n ia , k o lo r o w a n ia g ra fu , z a g a d n ie n ia h a rm o n o g ra m o w a n ia , z a g a d n ie n ia k o m iw o ja ż e ra , b a c k b o a r d w ir in g p r o b le m ( m in im a liz a c ja d łu g o ś c i p o łą c z e ń p o m ię d z y o b ie k ta m i

‘ P rac a sfin a n so w a n a p rz e z K B N n r gran tu : 1 1 .1 1 .1 2 0 .2 2 7 (A G H , K rak ó w )

(2)

u m ie s z c z o n y m i n a p ły tc e e le k tro n ic z n e j) o ra z w ie le in n y c h w a ż n y c h z a g a d n ie ń o p ty m a liz a c y jn y c h .

2. Heurystyki dla problemu QAP

I s tn ie je w ie le , n ie s te ty d o tą d n ie w p e łn i e fe k ty w n y c h o ra z d e te rm in is ty c z n y c h (z a le ż n y c h o d m .in . w a r u n k ó w s ta rto w y c h ), m e to d r o z w ią z y w a n ia p r o b le m u Q A P . J e s t to p r z y c z y n ą c ią g łe g o p o s z u k iw a n ia n o w y c h , b a rd z ie j w y d a jn y c h a lg o ry tm ó w , p o z w a la ją c y c h n a z n a jd o w a n ie ro z w ią z a ń p rz y b liż o n y c h d la p r o b le m ó w o d u ż y m ro z m ia rz e .

W p r z y p a d k u Q A P o r o z m ia r z e n > 2 0 z n a le z ie n ie d o k ła d n e g o r o z w ią z a n ia j e s t n ie z w y k le tr u d n e z e w z g lę d u n a r o z m ia r p rz e s trz e n i ro z w ią z a ń . O g ó ln ie a lg o ry tm y p r z y b liż o n e m o ż n a p o d z ie lić n a : a lg o ry tm y k o n s tru k c y jn e , a lg o ry tm y p o p r a w c z e o ra z a lg o ry tm y b a z u ją c e n a te o rii g ra fó w . W o s ta tn im c z a s ie c o r a z c z ę ś c ie j s ą s to s o w a n e m e ta h e u ry s ty k i o d w o łu ją c e s ię p r a w rz ą d z ą c y c h t e o r i ą e w o lu c ji.

A lg o ry tm y k o n s tru k c y jn e ite ra c y jn ie p rz y p is u ją c e o b ie k ty d o p o ło ż e ń w b a z u j ą n a ró ż n e g o ty p u h e u ry s ty k a c h , m .in . „ n a jb liż s z e g o s ą s ie d z tw a ” . N a l e ż ą d o n ic h m ię d z y in n y m i ta k ie a lg o ry tm y , ja k : H C 6 6 [1 5 ], p r o c e d u r a G ilm o r e ’a [1 1 ], P L A N E T [7 ], S H A R P E [14]

i in n e. A lg o r y tm k o n s tr u k c y jn y tw o rz y ro z w ią z a n ia b e z k o rz y s ta n ia z r o z w ią z a ń s ta rto w y c h o r a z p o s ia d a w z g lę d n ie k ró tk i c z a s o b lic z e ń . N ie s te ty , te g o ty p u a lg o ry tm y n ie d o s ta r c z a ją d o b re j j a k o ś c i r o z w ią z a ń [2 0 ].

A lg o ry tm y p o p r a w c z e w s p o s ó b s y s te m a ty c z n y d o k o n u ją w y m ia n y o b ie k tó w p rz y p is a n y c h d o p o ło ż e ń , co p ro w a d z i d o ite ra c y jn e j e w a lu a c ji re z u lta tu . J a k o ś ć ro z w ią z a ń o trz y m y w a n y c h n a p o d s ta w ie ty c h a lg o ry tm ó w c z ę s to z a le ż y o d u ż y ty c h r o z w ią z a ń s ta rto w y c h . J e d n ą z n a jb a rd z ie j p o p u la rn y c h m e to d j e s t S D P I P ( „ S te e p e s t D e s c e n t P a ir w is e In t e r c h a n g e P r o c e d u r e " [1 1 ]), b ę d ą c a je d n o c z e ś n ie p o d s ta w o w ą p r o c e d u r ą w p a k ie c ie C R A F T [2 ], W a lg o ry tm ie ty m d a n y j e s t p e w ie n z e s ta w r o z w ią z a ń w s tę p n y c h . N a ic h p o d s ta w ie a lg o ry tm d o k o n u je z m ia n y p o ło ż e ń p a r o b ie k tó w w y b ie ra ją c te , k tó r e p o w o d u ją n a jw ię k s z ą r e d u k c ję k o s z tó w . H 6 3 [15] j e s t in n y m a lg o ry tm e m p o p ra w c z y m , o p a rty m n a tz w . ta b lic y r u c h ó w p o ż ą d a n y c h („ m o v e d e s ir a b ilit y ta b le ” ). A lg o ry tm te n z o s ta ł p r z e b a d a n y o ra z p o p r a w io n y p r z e z H ille r a i F ra n c is a [1 5 ] o r a z W h ite ’a [1 0 ]. S p o ś ró d in n y c h p r o c e d u r p o p r a w c z y c h w a rto w s p o m n ie ć j e s z c z e o h e u ry s ty k a c h o p a rty c h n a „b ia s e d s a m p lin g”

(3)

Algorytm Tabu Search ze zmiennym.. 23

N u g e ta o r a z o V E R B E S [2 ], k o r z y s ta ją c y c h z p r o c e d u r p o s ia d a ją c y c h tr z y lu b c z te r y ró ż n e m e to d y z m ia n y p o ło ż e ń e le m e n tó w .

A lg o ry tm y o p a rte n a te o rii g ra fó w s ą p o d e jś c ie m p o z w a la ją c y m n a o b lic z e n ie d o ln e g o o ra z g ó rn e g o o g r a n ic z e n ia r o z w ią z a ń d o p u s z c z a ln y c h n a p o d s ta w ie s p e c y fic z n e g o p ro b le m u d u a ln e g o d o Q A P [1 0 ]. J e d n y m z p ie r w s z y c h p o d e jś ć b a z u ją c y c h n a te o r ii g ra fó w b y ły p ra c e S e p p a n e n a i M o r r a [1 9 ] w e w c z e s n y c h la ta c h 70.

A lg o ry tm y e w o lu c y jn e p o w s ta ły z re la k s a c ji z a ło ż e ń i w p ro w a d z a n ie „ in n o w a c ji” w k la s y c z n y c h a lg o ry tm a c h g e n e ty c z n y c h (A G ). Z o s ta ły o n e z a p ro p o n o w a n e w 1975 r o k u p r z e z H o lla n d a j a k o o g ó ln e g o p r z e z n a c z e n ia m e ta h e u ry s ty k i o d w o łu ją c e się d o p r a w e w o lu c ji [1 6 ].

D z ię k i s w o im c e c h o m d a ją o n e m o ż liw o ś ć p r z e s z u k iw a n ia w ie lk ic h p rz e s trz e n i r o z w ią z a ń , w o b e c k tó r y c h k la s y c z n e m e to d y o p ty m a liz a c ji o k a z u ją s ię b e z ra d n e .

O p is a n y w p ra c y a lg o ry tm n a le ż y d o p r o c e d u r m o d G A , z m o d y fik o w a n y c h w s to s u n k u d o k la s y c z n e g o A G . Z o s ta ł o n z a p ro p o n o w a n y p r z e z M ic h a le w ic z a w m o n o g ra fii [1 7 ] i n a le ż y d o k la s y a lg o r y tm ó w S t e a d y S ta te G A .

P o łą c z e n ie m o ż liw o ś c i a lg o ry tm ó w e w o lu c y jn y c h , a s z c z e g ó ln ie u m ie ję tn o ś c i p r z e s z u k iw a n ia d u ż y c h „ o b s z a r ó w ” p rz e s trz e n i ro z w ią z a ń , z lo k a ln y m i p r o c e d u r a m i p o p ra w , p o z w a la ją c y m i n a d o k ła d n e p r z e g lą d n ię c ie o to c z e ń w c z e ś n ie j w y g e n e ro w a n e g o r o z w ią z a n ia , w ś w ie tle u z y s k a n y c h w y n ik ó w w y d a je s ię n ie z w y k le o b ie c u ją c e . J a k o p ro c e d u rę lo k a ln e j o p ty m a liz a c ji m o ż n a z a s to s o w a ć a lg o ry tm T a b u S e a rc h , w k tó ry m w p r o w a d z o n o z m ie n n y c z a s z a b r o n ie ń k ró tk o te rm in o w y c h , k tó ry c h w a rto ś ć z a le ż y o d ,j a k o ś c i ” d o k o n a n e j m o d y fik a c ji r o z w ią z a n ia s ta rto w e g o .

N a k ła d a n ie z a b r o n ie ń m a n a c e lu n ie ty lk o p r z e c iw d z ia ła n ie p o w ro to w i a lg o ry tm u d o p o p r z e d n io p r z e g lą d n ię ty c h r o z w ią z a ń , a le d o d a tk o w o m a p o z w o lić n a p re fe ro w a n ie ty c h o b s z a ró w , k tó r e s ą p e rs p e k ty w ic z n e , tj. w a rto ś ć o c z e k iw a n a c z ę ś c io w o u s ta lo n e g o r o z w ią z a n ia j e s t n a jb a rd z ie j o b ie c u ją c a .

P o n iż s z e o p r a c o w a n ie p r e z e n tu je r e z u lta ty p o s z u k iw a ń p rz y b liż o n y c h a lg o ry tm ó w e w o lu c y jn y c h i m o ż liw o ś ć ic h p o łą c z e n ia z p ro c e d u ra m i lo k a ln y c h p o p ra w , ta k im i j a k T a b u S e a r c h z e z m ie n n y m c z a s e m ta b u k ró tk o te rm in o w e g o . N in ie js z a p u b lik a c ja j e s t p ie r w s z ą , w k tó re j o p is a n o a lg o ry tm T a b u S e a r c h z e z m ie n n y m c z a s e m z a b ro n ie ń o p a rty m n a w a ru n k o w e j w a rto ś c i o c z e k iw a n e j fu n k c ji celu .

(4)

3. Zagadnienie QAP

Z a g a d n ie n ie Q A P s fo rm a liz u je m y w n a s tę p u ją c y s p o s ó b . D a n y j e s t z b ió r N = { l , . . . , n } i d w ie {n x n ) w y m ia ro w e m a c ie rz e A = [ a w], B = [b /ł]. N a le ż y z n a le ź ć p e r m u ta c ję n = ( n ( l ) , . . . , z (ri)) e le m e n tó w z b io r u N , k tó r a m in im a liz u je f u n k c je c e lu tp(ji) o p o s ta c i:

n n

^(*0 - X/ aijc bn(i)s{k) (1)

/-I *-!

W te rm in o lo g ii a lo k a c ji o b ie k tó w z b ió r N j e s t z b io re m n u m e r ó w o b ie k tó w , a n(i) e N , i = l , . . . , n o k r e ś la n u m e r o b ie k tu p rz y d z ie lo n e g o d o p o z y c ji i. M a c ie r z A j e s t w te d y m a c ie r z ą o d le g ło ś c i p o m ię d z y p o z y c ja m i ro z m ie s z c z e n ia o b ie k tó w , p o d c z a s g d y m a c ie r z B o p is u je p o w ią z a n ia w y s tę p u ją c e p o m ię d z y o b ie k ta m i. N a to m ia s t f u n k c ja c e lu < j> (n ),n e n ,g d z ie / 7 j e s t z b io r e m p e r m u ta c ji z b io r u N , o k r e ś la g lo b a ln y k o s z t e k s p lo a ta c ji s y s te m u .

4. Warunkowa wartość oczekiwana dla problemu QAP

N ie c h m >k o r a z [k, m ] o k r e ś la ją z b ió r { k , k + l N ie c h m b ę d z ie lic z b ą c a łk o w itą d o d a tn ią i n ie c h D b ę d z ie p o d z b io r e m [1 , m ]n =f(xi,X 2,..,xn), x i e [ l , m ] , i = 1, ...n }.

N ie c h f : [1 , m ]" -^91. R o z w a ż m y n a s tę p u ją c y p ro b le m o p ty m a liz a c ji:

m in { f ( x i,x 2,..,x n), ( x i,x 2,..,x n) £ D } (2)

x “ , ...,x ° e [1,...,tm] g d z ie 1 < is < n, 1 < s < t < k.

W te d y D ( x ° , . . . , x ° ) = {(x, x , ) e D : x , = x ° , . . . , x ij = x [ } N ie c h d la k = 0 , D ( x * ,...,x ® ) = D . R o z w a ż m y D ja k o p r z e s tr z e ń p ra w d o p o d o b ie ń s tw a p o p r z e z p rz y p is a n ie k a ż d e m u e le m e n to w i x° = (x ,° ,...,x ° ) p r z e s tr z e n i D n ie u je m n e j w a rto ś c i - p ra w d o p o d o b ie ń s tw a P (x °) ta k ie g o , ż e

E , . ^ ( x ° ) = l . P rz y ta k ie j in te rp re ta c ji / j e s t z m ie n n ą lo s o w ą , d z ię k i c z e m u m o ż e m y p o s łu g iw a ć s ię w a r to ś c ią o c z e k iw a n ą E f fu n k c ji f. T a k a in te r p r e ta c ja D o r a z / u m o ż liw ia z a s to s o w a n ie m e to d y d e ra n d o m iz a c ji w a r u n k o w e g o p r a w d o p o d o b ie ń s tw a ([1 ], [2 3 ]).

D o d a tk o w o , z a k ła d a s ię ró w n o m ie r n y r o z k ła d p r a w d o p o d o b ie ń s tw a P ( x ) = 1/\D\ d la k a ż d e g o xeD.

P r o b le m Q A P m o ż e b y ć s fo rm u ło w a n y j a k o p r o b le m ty p u (2 ): z n a jd ź m in ( < f( n ( l) , .., n ( n ) : n e S „ } , g d z ie S „ o k r e ś la g ru p ę s y m e tr y c z n ą p e rm u ta c ji. Z a k ła d a m y , ż e P ( x e S n) = l / n ! .

(5)

A lgorytm T abu Search ze zmiennym.. 25

W ta k im p r z y p a d k u m o ż e m y , b e z u tra ty o g ó ln o ś c i, o k r e ś lić w a r u n k o w ą w a r to ś ć o c z e k iw a n ą E( fljt fs i) = c ( s i) ,...,n ( s i) = c ( s i) ,...,t i( s iJ= c ( s i) ) , g d z ie 0 < s i , . . , s b ..., s k <n o ra z c ( s i) ,..,c ( s i) ,...,c ( s k) s ą r ó ż n y m i w a r to ś c ia m i z z a k re s u [ 7 ,. ., « ] .

O k r e ś lm y z b ió r lic z b n a tu ra ln y c h z a k r e s u 7 d o n j a k o L = [ l , . . , n ] , z b ió r M = [ I , . . . , n ] 1 { c ( s c ( s l) c(s0}, i z b ió r H = { sj,.., s b..., s / J. W ta k im p r z y p a d k u w a r u n k o w a w a r to ś ć o c z e k iw a n a d la r o z w ią z a n ia p r o b le m u Q A P p rz y k u s ta lo n y c h p o z y c ja c h , k o r z y s ta ją c z w ła s n o ś c i lin io w o ś c i w a r to ś c i o c z e k iw a n e j, w y n ie s ie :

E((i / ) = c(^j, ),..., n ( s ,) = c (s, ) = < st )) = Z fl'Aco*(y>+

l e H J e H

-

r l — K. ie H j ą L \ H

^r Y Y ay Y b«u^ + z

n ~ K ¡

~ t Y Y aij Y b"u*

cL \hj€h m e M

⁾⁺ ^{^}

~r Y a« Y b* +—k —k r E k

W ie lk o ś ć w a ru n k o w e j w a rto ś c i o c z e k iw a n e j m o ż n a o b lic z y ć w c z a s ie 0 ( n 2) . O k r e ś lm y z b ió r T= { ( i , j ) : i * j, i . j e L } . N a p o d s ta w ie r ó w n a n ia (3 ) m o ż n a d o w ie ś ć , ż e w a r to ś ć o c z e k iw a n a d la c a łe g o p ro b le m u Q A P w y n o s i:

E s* =

,

j\

Y aiJ Y b] + ~ YYbii

^

n \ n ~ V (t.J )e T (¡J ) c L n M j- i

G u tin i Y e o w [2 1 ] u d o w o d n ili n a s tę p u ją c e tw ie rd z e n ie d la d o w o ln e g o , w y s ta rc z a ją c o d u ż e g o n , a d o ty c z ą c e lic z e b n o ś c i ro z w ią z a ń o w a rto ś c i fu n k c ji c e lu w ię k s z e j n i ż E + d la p r o b le m u Q A P.

T w i e r d z e n i e 1

N ie c h P > 1 b ę d z ie d o w o ln e . W tedy d la w y s ta r c z a ją c o d u ż e g o n is t n ie je c o n a jm n ie j

n l/ jT p e r m u t a c ji ta k ich , ż e /¡(a ) > E ^

P o w y ż s z e tw ie r d z e n ie z o s ta ło u d o w o d n io n e n a p o d s ta w ie p r a c Z a s s e n h a u s a o p u b lik o w a n y c h w 1935 ro k u , d o ty c z ą c y c h w ła s n o ś c i g ru p s h a r p ly 2 -t r a n s it iv e , o ra z tw ie r d z e n ia o p u b lik o w a n e g o w „ P e r m u t a t io n G r o u p " D .S . P a s s m a n a (T w . 2 0 .3 [2 2 ]), d o ty c z ą c e g o p rz y p a d k u , w k tó ry m « j e s t p o tę g ą lic z b y p ie rw s z e j.

5. Algorytm Tabu Search

M e to d a T a b u S e a r c h z o s ta ła z a p r o p o n o w a n a p r z e z G lo v e ra w 1 9 8 9 r o k u [1 2 ], [1 3 ].

A lg o ry tm y o p a r te n a n iej n a le ż ą d o n a js k u te c z n ie js z y c h a lg o r y tm ó w p o p ra w . G e n e ru je o n a

(6)

d la r o z w ią z a n ia b a z o w e g o « ‘ s ą s ie d z tw o N ( V , j f ) c : I l , P ź N f Y , j t ) . V (tt) j e s t z b io r e m r u c h ó w v, g e n e r u ją c y m o to c z e n ie ro z w ią z a n ia « s p e łn ia ją c y c h w a ru n e k : n? * « v d la k a ż d e g o v, v ’ e V ( n ) . Z s ą s ie d z tw a w y b ie ra n e j e s t n a jle p s z e ro z w ią z a n ie / r , k tó r e s ta je się ro z w ią z a n ie m b a z o w y m d la n a s tę p n e j ite ra c ji. R o z w ią z a n ie ń p o ró w n y w a n e j e s t p o d w z g lę d e m w a r to ś c i fu n k c ji c e lu z n a jle p s z y m r o z w ią z a n ie m i F z n a le z io n y m w p o p r z e d n ic h ite r a c ja c h o ra z z a p a m ię ty w a n e , j e ś li ¡¡(k) j e s t le p s z e o d <j>(iF).

W c e lu z a p o b ie ż e n ia p o w r o to m d o r o z w ią z a ń j u ż p rz e b a d a n y c h w p r o w a d z a się m e c h a n iz m z a b r o n ie ń (ta b u ).

W

w y n ik u je g o z a s to s o w a n ia p e w n e ro z w ią z a n ia z s ą s ie d z tw a u w a ż a się z a z a b r o n io n e - s ą o n e p o m ija n e p o d c z a s w y z n a c z a n ia r o z w ią z a n ia n .

W

z a le ż n o ś c i o d c z a s u j e g o d z ia ła n ia m o ż e m ie ć s w o je o d m ia n y : d łu g o te rm in o w ą , ś r e d n io te r m in o w ą i k r ó tk o te rm in o w ą . D o d a tk o w o w p r o w a d z a się k ry te riu m a s p ira c ji, p o z w a la ją c e w s z c z e g ó ln y c h p r z y p a d k a c h o d rz u c ić o g ra n ic z e n ia n a k ła d a n e p r z e z m e c h a n iz m tab u .

P o n iż e j p r z e d s ta w ia m y a lg o ry tm ty p u T a b u S e a rc h , n a z w a n y p r z e z n a s C S _ T S ( C o n d it io n a l E x p e c t a t io n T a b u S e a rc h ) , z e z m ie n n y m c z a s e m p a m ię c i k r ó tk o te r m in o w e j.

W

c e lu w y z n a c z e n ia c z a s u z a b r o n ie ń C S _ T S k o r z y s ta z p r o c e d u r y C A Q A P . A lg o r y tm C S _ T S j e s t w y w o ły w a n y p r z e z a lg o ry tm E T A B G e n j a k o p r o c e d u r a o p ty m a liz a c ji lo k a ln e j d e d y k o w a n e j d la p r o b le m u Q A P .

A lg o r y tm C S _ T S (C o n d it io n a l E x p e c ta t io n T a b u S e a r c h ) O z n a c z e n ia :

- n(j), i, j ) - ro z w ią z a n ie z o to c z e n ia r o z w ią z a n ia r c = ( n ( l) , n ( 2 ) , r c ( i ) . . . , n(j), 7t(n)), o tr z y m a n e w w y n ik u p rz e s ta w ie n ia e le m e n tó w n fi), n fj) z n a jd u ją c y c h s ię n a m ie js c a c h i o r a z j , tj. n ' = ( n ( l) , rt(2), ...,7 i(j)..., « ( i rt(n))\

- C A - z m ie n n a lo g ic z n a o k r e ś la ją c a c z y z a s to s o w a n o k ry te riu m a s p ira c ji;

- a - w s p ó łc z y n n ik r ó ż n ic o w a n ia p o s z u k iw a n ia ;

- G L T(a, b, i, j ) - p o z o s ta ły c z a s ta b u p a ry a, b n a m ie js c a c h i, j (p a m ię ć k r ó tk o te r m in o w a ) ;

- D L T (a , b, i, j ) - lic z b a p r z e s ta w ie ń e le m e n tó w a, b p o m ię d z y m ie js c a m i i, j w p r o c e s ie p o s z u k iw a n ia le p s z e g o ro z w ią z a n ia (p a m ię ć d łu g o te rm in o w a );

- T - p o d s ta w o w y c z a s ta b u k ró tk o te rm in o w e g o ; -

K

- lic z b a ite ra c ji p r o c e s u p o s z u k iw a n ia a lg o ry tm u ;

- N ( v , rc) - o to c z e n ie p o w s ta łe w w y n ik u w s z y s tk ic h m o ż liw y c h p r z e s ta w ie ń m ie js c a m i d w ó c h e le m e n tó w p e rm u ta c ji 7t;

K m in- a k tu a ln e n a jle p s z e ro z w ią z a n ie ;

<f>mm - w a r to ś ć fu n k c ji c e lu d la a k tu a ln e n a jle p s z e g o ro z w ią z a n ia ;

« jtan ~ ro z w ią z a n ie s ta rto w e .

K r o k 1. P o d s ta w n \ = nmin := 7iMrh o r a z <j>:= <j>mi„ : = <p(ns,art), C A = F A L S E .

(7)

K r o k 2 . D la k = l , d o K w y k o n a j:

a) W y z n a c z n a jle p s z e ro z w ią z a n ie w s ą s ie d z tw ie N (v , n):

7r ( n ( i ) ', 7 ^ j ) ', i \ f ) = a r g m i n (< p (K (n (i), r fj) , i, j ) ) + a * D L T ( r f i ) ,J i t f ) , i J ) / k : G L T ( 7 i( i) ,n ( j) ,i,j) = 0 },

n ( n ( i ) \ 7 r ( j ) \ i ', j ) = a r g mirt { ¿ ( x ( n ( i ) , iz(j), i , j ) ) : G L T ( n ( i) ,n ( j) ,i,j) > 0 } . b ) W y k o n a j r u c h p o d s ta w ia ją c n : = 7i(7t(i) ,7t(j) , i j ), </>:=

c ) P o p r a w n a jle p s z e ro z w ią z a n ie :

J e ż e li (4„•„> to p o d s ta w 54,,n: = nmin := n \ p r z e jd ź d o e). W p rz e c iw n y m p r z y p a d k u p r z e jd ź d o d).

d ) Z a s to s u j k ry te riu m a s p ira c ji.

J e ż e li <pmin> < i> (n (n ( i)',n (i) \ i\ j)) , to p o d s ta w n:= n (7 i(i)’, n ( j ) \ i ’, j ) , rcmin: = n ,

<pmin: = C A = T R U E . e) K o r e k ta s ta n u p a m ię c i:

D la V (7rfi),7 tfj),i,j) p o d s ta w G L T ( 7 i( i) ,7 r (j) ,ij) := m a x {0 , G L T ( 7 ^ i) ,7 c ( j) ,ij) -I} . J e ż e li C A = T R U E (z a s to s o w a n o k ry te riu m a s p ira c ji), to p o d s ta w :

G L T (7 i(i) ⁷zO) i \ j ’) : = C A Q A P (7 i(i) nQ) i \ j T ) D L T (jt(i) 7 $ ) i \ j ) : = D LT (7t(i) r t ( j ) i \ j ) + l , C A = F A L S E .

W p r z e c iw n y m p r z y p a d k u , tj . C A = F A L S E , p o d s ta w : G L T (7 i(i) ’ , 7 ^ j ) ', i ', j ') : = C A Q A P (7 t(i)’ , 7 r f ) \ i \ j \ T) D L T (7 i(i) ' , T v ( j ) \ i ' , j ') : = D L T (7 i(i) ' ,7i(j)

P r o c e d u ra C A Q A P w y z n a c z a w a rto ś ć c z a s u ta b u n a p o d s ta w ie w a r u n k o w y c h w a rto ś c i o c z e k iw a n y c h , p rz y u s ta lo n y c h w a rto ś c ia c h n(i), 7i(j) n a p o z y c ja c h i, j p e rm u ta c ji 71

P r o c e d u ra C A O A P (7 i(i), 7t(j), i , j , T )

- E X - w a r to ś ć o c z e k iw a n a r o z w ią z a n ia d la c a łe g o p r o b le m u Q A P , o b lic z a n a n a p o d s ta w ie r ó w n a n ia (4).

- m a x E X - m a k s y m a ln a w ie lk o ś ć w a rto ś c i o c z e k iw a n e j r o z w ią z a n ia u z y s k a n a w d o ty c h c z a s o w y m p ro c e s ie p o s z u k iw a n ia ;

- m i n E X - m in im a ln a w ie lk o ś ć w a rto ś c i o c z e k iw a n e j ro z w ią z a n ia u z y s k a n a w d o ty c h c z a s o w y m p ro c e s ie p o s z u k iw a n ia ;

- p E x - w a r to ś ć o c z e k iw a n a d la p r o b le m u Q A P p rz y u s ta lo n y c h w a r to ś c ia c h Ji(i), 7 i(j) n a m ie js c a c h i o r a z j , o b lic z a n a n a p o d s ta w ie r ó w n a n ia (3 ).

- T - p o d s ta w o w a w a r to ś ć c z a s u ta b u ; - f i e ( 0 , 1 ] - w s p ó łc z y n n ik w z m o c n ie n ia ;

T T im e - w a r to ś ć c z a s u tab u ;

TTime =

T * ta n h j

maxEX - E X , E X - p E X j EX - minEX .

+1

EX > pEX

(8)

6. Algorytm ewolucyjny

A lg o ry tm e m n a d rz ę d n y m d la p ro c e d u ry C S _ T S j e s t a lg o ry tm e w o lu c y jn y E T A B G e n , w y k o rz y s tu ją c y d w a o p e ra to ry u n a rn e i d w a o p e ra to ry k rz y ż o w a n ia g e n e ru ją c e ro z w ią z a n ia d o p u s z c z a ln e p r o b le m u Q A P , s p o ś ró d k tó ry c h w s p o s ó b lo s o w y j e s t w y b ie ra n e r o z w ią z a n ie s ta r to w e p o p r a w ia n e p r z e z a lg o ry tm C S _ T S .

W p r z e p r o w a d z o n y c h b a d a n ia c h k o m p u te ro w y c h z a s to s o w a n o n a s tę p u ją c y u n a m y o p e ra to r g e n e ty c z n y :

1. O p e r a to r m u ta c ji R M (ra n d o m m u ta tio n [5 ])

D la r o z w ią z a ń , w k tó ry c h w a ż n a j e s t k o le jn o ś ć e le m e n tó w , o p e ra to ry k r z y ż o w a n ia s ą b a rd z ie j s k o m p lik o w a n e , p o n ie w a ż k la s y c z n e (ś le p e ) k r z y ż o w a n ie m o ż e p ro w a d z ić d o w y z n a c z e n ia ro z w ią z a ń n ie d o p u s z c z a ln y c h . T a k w ię c , n a le ż y z a s to s o w a ć ś c iś le o k re ś lo n e h e u ry s ty c z n e o p e ra to ry k r z y ż o w a n ia . W e k s p e ry m e n ta c h k o m p u te r o w y c h s to s o w a n o d w a o p e ra to ry k rz y ż o w a n ia :

2. O p e r a to r P M X ( p a r t ia lly m a tc h e d c r o s s o v e r [ 5 ] ) 3. O p e r a t o r O X ( o r d e r c r o s s o v e r [ 5 ] )

J a k o j e d e n z o p e r a to r ó w z a s to s o w a n o a lg o ry tm o p ty m a liz a c ji lo k a ln e j C S _ T S , k tó r y z fo rm a ln e g o p u n k tu w id z e n ia j e s t o p e ra to re m u n a m y m .

4. A lg o r y tm C S _ T S (C o n d itio n a l E x p e c ta tio n T a b u S e a r c h )

A lg o ry tm E T A B G e n :

A b y w y z n a c z y ć ro z w ią z a n ie p rz y b liż o n e 7rapprox w y k o n a j n a s tę p u ją c ą p ro c e d u rę : K r o k 1 . W y zn a cz en ie p o p u l a c ji p o c z ą t k o w e j

W y g e n e ru j, w s p o s ó b lo s o w y , M p e r m u ta c j i a :o r a z o k re ś l fu n k c je p r z y s to s o w a n ia f( n ) d la k a ż d e j z n ic h . Z w y g e n e ro w a n y c h r o z w ią z a ń u tw ó r z p o p u la c ję p o c z ą tk o w ą P o r o z m ia r z e M , u p o r z ą d k o w a n ą w g w a rto ś c i fu n k c ji p r z y s to s o w a n ia f ( n ) , tz n . p e r m u ta c ja n r 1 j e s t n a jle p s z a (n beU = a rg m in { / ( / r ) : k e P } ) i o s ta tn ia p e r m u ta c ja n r M j e s t n a jg o rs z a . W y z e ru j ta b lic e G L T o r a z D L T .

K r o k 2. W y b ó r o p e r a t o r a g e n e ty c z n e g o

W y lo s u j ty p o p e ra to ra g e n e ty c z n e g o z e z b io r u {R M , O X , P M X , C S _ T S }, g d z ie k a ż d y z o p e r a to r ó w j e s t lo s o w a n y z p r a w d o p o d o b ie ń s tw e m p i > 0, i e { R M , O X, P M X , C S _ T S ) , p rz y c z y m p RM + p L 0 + p o x + p PAix + p c s_t s = 1.

K r o k 3. W y b ó r ro d z ic ó w / r o d z ic a

D la w y b ra n e g o o p e ra to ra w y lo s u j, z g o d n ie z r o z k ła d e m ró w n o m ie rn y m , z e z b io r u P , z a le ż n ie o d ty p u o p e ra to ra , j e d n o ( w p r z y p a d k u o p e ra to ra u n a m e g o ) lu b d w a ( w p r z y p a d k u o p e r a to r a k r z y ż o w a n ia ) r o z w ią z a n ia , k tó re n a z y w a m y ro d z ic a m i.

(9)

A lgorytm Tabu Search ze zmiennym.. 29

K r o k 4. G e n e r o w a n ie p o t o m k ó w

Z a p o m o c ą w y lo s o w a n e g o o p e ra to ra g e n e ty c z n e g o d o k o n a j m o d y fik a c ji r o z w ią z a n ia - r o d z ic a /r o z w ią z a ń - r o d z ic ó w i w y z n a c z w te n s p o s ó b r o z w ią z a n ie -p o to m k a /r o z w ią z a n ia - p o to m k ó w .

K r o k 5. P o p r a w a r o z w ią z a ń w z b io r z e P

D la k a ż d e g o p o to m k a o b lic z w a r to ś ć fu n k c ji p rz y s to s o w a n ia . J e ż e li ta w a r to ś ć j e s t le p s z a o d w a r to ś c i n a jg o rs z e g o ro z w ią z a n ia z b io ru P, to u m ie ś ć ta k ie g o p o to m k a w z b io r z e P , u s u w a ją c z a r a z e m z te g o z b io r u ro z w ią z a n ie n a jg o rs z e .

K r o k 6. W a ru n e k S T O P -u .

J e ż e li w y g e n e ro w a n o z a d a n ą lic z b ę L p o to m k ó w , to S T O P z w ró ć n a jle p s z e r o z w ią z a n ie z b io r u P - /T pprox= a r g m in {(j> ( n ) : n e P ( O ) } . W p rz e c iw n y m p rz y p a d k u id ź d o k ro k u 2.

W ie lk o ś c i, ta k ie j a k ro z m ia r p o p u la c ji M , lic z b a ite ra c ji a lg o ry tm u L, p r a w d o p o d o b ie ń s tw a s e le k c ji o p e r a to r ó w R M - Pr m , L O - p LQ, O X - p o x , P M X - p P M X , C S _ T S - p c s TS s ą p a ra m e tra m i a lg o ry tm u E T A B G e n .

7. Wyniki eksperymentu

N a p o d s ta w ie a lg o ry tm u E T A B G e n w y k o n a n o e k s p e ry m e n ta ln y p ro g ra m k o m p u te r o w y , z a k o d o w a n y w j ę z y k u C + + p o d s y s te m e m W 2 0 0 0 , z a im p le m e n to w a n y d la z a g a d n ie n ia Q A P . O b lic z e n ia w y k o n a n o n a p ro c e s o rz e P e n tiu m 5 0 0 M H z . W ta b e li 1 p r z e d s ta w io n o w y n ik i b a d a ń e k s p e ry m e n ta ln y c h d la z a g a d n ie n ia Q A P , z b io r u 3 7 te s tó w o r o z m ia r z e n = 2 6 -6 4 , z a c z e r p n ię ty c h z b ib lio te k i Q A P L IB -A [3], W s z y s tk ie e k s p e ry m e n ty k o m p u te r o w e w y k o n a n e w o p a r c iu o a lg o ry tm E T A B G e n k o r z y s ta ją z n a s tę p u ją c e g o z b io ru p a ra m e tró w : L = 1 0 0 0 0 ite ra c ji, M = 100 (ro z m ia r p o p u la c ji), z b ió r o p e r a to r ó w H = { R M , C S _ T S , O X , P M X } . P r z y u s ta lo n y c h p o w y ż e j p a ra m e tra c h w y k o n a n o se rie o b lic z e ń d la o p e r a to r ó w z e z b io r u H . P rz y ję to p c s j s ~ 0 .5 , p o x - 0 . 2 , p PMX = 0 .2 , p R iI = 0 . 1 . D la a lg o ry tm u C S _ T S p r z y ję to n a s tę p u ją c e w a rto ś c i p a ra m e tró w : c c = 10 , T = 5 0 , J3 = 0 .8 . O trz y m a n e w y n ik i p o r ó w n a n o z p rz y p a d k ie m , w k tó ry m w a lg o ry tm ie E T A B G e n w y e lim in o w a n o p r o c e d u r ę o k r e ś la ją c ą c z a s ta b u w o p a rc iu o w a rto ś c i o c z e k iw a n e d la ro z w ią z a n ia c z ę ś c io w e g o i p rz y ję to s ta ły c z a s ta b u T = 5 0 . P rz y ję to o z n a c z e n ia :

/oaplib-a - n a jle p s z a z n a n a w a rto ś ć fu n k c ji p rz y s to s o w a n ia z a c z e rp n ię ta z b ib lio te k i Q A P L IB -A ,

f - w a r to ś ć fu n k c ji p rz y s to s o w a n ia n a jle p s z e g o r o z w ią z a n ia w p o p u la c ji s ta rto w e j n slan= a r g m in \ f ( n ) : n e P ( 0 ) } ,

f - w a r to ś ć fu n k c ji p rz y s to s o w a n ia n a jle p s z e g o z n a le z io n e g o ro z w ią z a n ia d la ^approx>

E = 1 0 0V a * { fap -fQ A P L IB -A ) I /qAPUB-A,

(10)

L ap - c z a s w s e k u n d a c h , p o k tó ry m z o s ta ło z n a le z io n e n a jle p s z e r o z w ią z a n ie n approx■

TTfix - w y n ik i d la z m ie n n e g o c z a s u ta b u , T T c„si - w y n ik i d la s ta łe g o c z a s u tab u .

T a b lic a 1

Nazwa fOAPUB-A TTfbe TTconst

fap E w Lap fap E i%) Lap

BUR26A 5426670 5666080 5428220 0,02856 9,78 5431890 0,09619 53,11 BUR26B 3817852 4008670 3818480 0,01645 25,16 3825070 0,18906 24,71 BUR26C 5426795 5735520 5426800 0,00009 43,61 5426990 0,00359 94,14 BUR26D 3821228 4079800 3821260 0,00084 19,88 3821250 0,00058 13,4 BUR26E 5386879 5667490 5386880 0,00002 15,32 5386880 0,00002 22,8 BUR26F 3782044 4030400 3782250 0,00545 11,09 3782040 -0,00011 8,96

CHR22A 6156 10508 6324 2,72904 46,36 6396 3,89864 15,6

CHR22B 6194 10940 6406 3,42267 26,48 6308 1,84049 17,3

pHR25A 3796 14076 4440 16,96523 34,6 4070 7,21812 33,94

ESC32A 130 370 130 0,00000 48,45 142 9,23077 19,33

ESC32B 160 408 188 17,50000 6.1 168 5,00000 14,23

ESC32C 642 752 642 0,00000 3,29 642 0,00000 3,35

ESC32D 200 312 200 0,00000 11,81 200 0.00000 9,18

ESC32E 2 6 2 0,00000 1 2 0,00000 1

ESC32F 2 24 2 0,00000 3,18 2 0,00000 3,24

ESC32G 6 12 6 0.00000 3,24 6 0,00000 3.3

ESC32H 438 630 438 0,00000 4,45 438 0,00000 74,21

ESC64A 116 226 116 0,00000 15,38 116 0,00000 5,05

KRA30A 88900 124630 90850 2,19348 73,88 91420 2,83465 9,72 KRA30B 91420 127200 91910 0,53599 114,68 91910 0,53599 80,46 LIPA30A 13178 13726 13356 1,35074 44,38 , 13178 0,00000 6.2 LIPA30B 151426 191360 151426 0,00000 7,58 151426 0,00000 5,87 LIPA40A 31538 32525 31863 1,03050 436,5 31863 1,03050 241 LIPA40B 476581 604619 476581 0,00000 17,47 476581 0,00000 31,2 LIPA50A 62093 63823 62721 1,01139 1068,7 62674 0,93569 802,4 LIPA50B 1210244 1524310 1210240 -0,00033 391,73 1412500 16,71200 765,7 LIPA60A 107218 109816 108155 0,87392 1683,9 108144 0,86366! 2472 LIPA60B 2520135 3219390 2984630 18,43135 2372,2 2979790 18,2393Q 1425 SK042 15812 19294 15882 0,44270 548,43 15982 1,07513 373,5 SK049 23386 28164 23598 0,90653 1098,7 23510 0,53023 872,6 SK056 34458 41110 34642 0,53398 989,48 34512 0,15671 1249 STE36A 9526 41056 9678 1,59563 144,02 9816 3.04430 332,1

STE36B 15852 18426 15980 0,80747 222 15980 0,80747 61,9

STE36C 82391101 51728 8239110 0,00000 214,431 8356160 1,42066 267,4 THO30 149936 15616200 150704 0,51222 182,79 150606 0.44686 40,7 THO40 240516 309522 243004 1,03444 581,06 240638 0,05072 524 WIL50 48816 54250 48868 0,10652 1223,7 48998 0,37282 1387

8. Interpretacja wyników

P o r ó w n a n ie k o lu m n z a w ie ra ją c y c h w y n ik i d la z m ie n n e g o o r a z s ta łe g o c z a s u ta b u z d a je się w s k a z y w a ć , ż e te n p ie rw s z y g e n e ru je s ta ty s ty c z n ie le p s z e r o z w ią z a n ia n ie w y d łu ż a ją c c z a s u o b lic z e ń . P o d c z a s s w o je g o d z ia ła n ia p ro c e d u r a te s tu ją c w a r u n k o w e w a r to ś c i o c z e k iw a n e c z ę ś c io w e g o r o z w ią z a n ia w p ły w a n a p r e fe r o w a n ie ty c h ro z w ią z a ń , k tó re z p u n k tu w id z e n ia p r o b le m u Q A P s ą b a rd z ie j p e rs p e k ty w ic z n e o d in n y c h . T a b lic a

(11)

z a w ie r a ją c a c z a s y ta b u j e s t d o d a tk o w y m ź ró d łe m in fo rm a c ji d la a lg o ry tm u o p r o b le m ie u z y s k a n y m p o d c z a s p ro c e s u o p ty m a liz a c ji. P o tw ie rd z e n ie p o z y ty w n e g o w p ły w u z m ie n n e g o c z a s u ta b u n a w a r to ś c i o trz y m a n y c h r o z w ią z a ń o tw ie ra n o w e m o ż liw o ś c i d la a lg o ry tm ó w p r z y b liż o n y c h d e d y k o w a n y c h d la z a g a d n ie n ia Q A P , k tó re p o w s ta n ą w p rz y s z ło ś c i n a b a z ie m e to d s ta ty s ty c z n y c h s to s o w a n y c h w b a d a n ia c h w ła s n o ś c i g ra fó w .

L IT E R A T U R A

1. A lo n , N ., S p e n c e r J.: T h e p ro b a b ilis tic m e th o d . W ille y , N e w Y o r k 1992.

2. B u r k a r d , R . E ., S tra tm a n n , K .H .: N u m e r ic a l in v e s tig a tio n s o n q u a d ra tic a s s ig n m e n t p ro b le m . N a v a l R e s e a r c h L o g is tic s Q u a rte rly 2 5 (1 9 7 8 ), s. 1 2 9 -1 4 8 .

3. B u rk a rd R .E ., K a r is c h S .E ., R e n d l F .: Q A P L IB -A Q u a d ra tic A s s ig n m e n t P ro b le m L ib ra ry . E u r o p e a n J o u r n a l o f O p e ra tio n a l R e s a rc h , 5 5 , 199 1 , s . 1 1 5 -1 1 9 .

4. B r u k a r d R .E ., S tr a tm a n n K .H .: N u m e r ic a l in v e s tig a tio n o n q u a d r a tic a s s ig n m e n t p r o b le m s . N a v a l R e s e a rc h L o g is tic s Q u a te rly , v o l . 2 5 , 1 9 7 8 , s. 1 2 9 -1 4 7 .

5. C h m ie l W .: A lg o ry tm e w o lu c y jn y z o g r a n ic z o n y m w y b o re m o p e r a to r ó w g e n e ty c z n y c h . Z e s z y ty N a u k o w e P o l. Ś l., z .1 2 5 , G liw ic e 1 9 9 8 , s .1 2 5 -1 3 4 .

6. C h m ie l W ., K a d łu c z k a P .: A lg o ry tm h y b ry d o w y z d łu g o te r m in o w ą p a m ię c ią c z ę s to tliw o ś c io w ą . U n iv e r s ity o f M in in g a n d M e ta llu rg y P re s s , A u to m a ty k a v o l.3, K r a k ó w 1 9 9 9 , s. 5 9 -7 1 .

7. D e is e n ro th , M .P ., A p p le J. M .: A c o m p u te riz e d P la n t la y o u ts a n a ly s is a n d e v a lu a tio n te c h n iq u e s . T e c h n ic a l P a p e r, A n n u a l A IIE c o n fe re n c e , N o rc ro s s , G A , 1972.

8. F ilip o w ic z B ., W a la K .: A lg o ry tm y o p ty m a liz a c ji k w a d ra to w e g o z a g a d n ie n ia p r z y d z ia łu . K w a r ta ln ik E le k tr o te c h n k i, z . l , 1 9 9 2 , W y d a w n ic tw o A G H w K ra k o w ie .

9. F in k ę G ., B u rk a rd R .E , R e n d l F .: Q u a d ra tic a s s ig n m e n ts p ro b le m s . A n n a ls o f D is c re te M a th e m a tic s , v o l.3 1 , N o r th - H o lla n d , 1 9 8 7 , s. 61 -8 2 .

10. F r a n c is L .R ., W h ite J. A .: F a c ility la y o u t a n d lo c a tio n : A n a n a ly tic a l a p p ro a c h . P re te n c e - H a ll, E n g le w o o d H a ll, N J , 1974.

11. G ilm o r e P ., L .: O p tim a l a n d s u b o p tim a l a lg o rith m s f o r Q A P . S IA M J o u rn a l o f A p p lie d M a th e m a tic s 10 (1 9 6 2 ) 3 0 5 -3 1 3 .

12. G lo v e r, F .: T a b u S e a rc h , P a r t i . O R S A J o u rn a l o f C o m p u tin g 1 9 8 9 , 1, 1 9 0 -2 0 6 . 13. G lo v e r, F .: T a b u S e a rc h , P a rt II. O R S A J o u rn a l o f C o m p u tin g 1 9 9 0 , 2 , 4 -3 2 .

14. H a s s a n , M . M D ., H o g g G .L ., S m ith , D .,R .: S H A P E : A c o n s tr u c tio n a lg o r ith m fo r a re a p la c e m e n t e v a lu a tio n . Int. J o u r n a l o f P r o d u c tio n R e s e a rc h 2 4 (1 9 8 6 ), 1 2 8 3 -1 2 9 5 .

15. H illie r, F .S ., C o n n o r s , M .M .: Q u a d ra tic A s s ig n m e n t P ro b le m a lg o r ith m s a n d th e lo c a tio n o f in d iv is ib le fa c ilitie s . M a n a g e m e n t S c ie n c e 13 (1 9 6 6 ) 4 2 -5 7 .

16. H o lla n d J.: A d a p ta tio n in n a tu ra l a n d a rtific ia l s y s te m s . U n iv . o f M ic h ig a n P r e s s , A n n A r b o r , M I, 1 975.

17. M ic h a le w ic z Z .: G e n e tic a lg o rith m s + d a ta s tru c tu re s = e v o lu tio n p ro g ra m s . S p rin g e r- V e rla g , B e rlin 1 992.

(12)

18. M o o r J . M .: C o m p u te r a id e d fa c ilitie s d e sig n : a n in te rn a tio n a l s u rv e y . I n te rn a tio n a l J o u r n a l o f P ro d u c tio n R e s e a rc h 12/1 (1 9 7 4 ).

19. S e p p a n e n , J .J ., M o o re , J .M .: F a c ilitie s P la n n in g w ith g ra p h th e o ry . M a n a g e m e n t S c ie n c e 17/4 ( 1 9 7 0 ) 1 8 5 -1 8 7 .

2 0 . S h e ra li, H .D ., R a jg o p a l P .: A fle x ib le p o ly n o m ia l-tim e , c o n s tru c tio n a n d im p r o v e m e n t h e u r is tic s fo r th e q u a d ra tic a s s ig n m e n t p ro b le m . C o m p u te rs & O p e ra tio n R e s e a r c h 13 (1 9 8 6 ) 5 8 7 -6 0 0 .

2 1 . G u t i n , G ., Y e o A .: P o ly n o m ia l a p p ro x im a tio n a lg o rith m s fo r T S P a n d th e Q A P w ith f a c to ria l d o m in a tio n n u m b e r.

2 2 . P a s s m a n D .S .: P e r m u ta tio n G ro u p . B e n ja m in In c ., N Y 1968 3 6 .

2 3 . R a g h a v a n P .: P ro b a b ilis tic c o n s tru c tio n o f d e te rm in is tic a lg o rith m s : a p p r o x im a tin g p a c k in g in te g e r p ro g ra m s . J. C o m p u te r a n d S y s te m 37 (1 9 8 8 ) 1 3 0 -1 4 3 .

2 4 . W a la K ., C h m ie l W .: E v o lu tio n A lg o rith m fo r Q u a d ra tic A s s ig n m e n t P ro b le m . U n iv e r s ity o f M in in g a n d M e ta llu rg y P re s s , E le k tro te c h n ik a 1,1, K ra k ó w , 1 9 9 7 , s. 4 0 9 -4 1 4 .

R e c e n z e n t: P ro f. d r h a b . in ż. A d a m J a n ia k

A b s t r a c t

P e r m u ta tio n p r o b le m s a re a n im p o rta n t c la s s o f d e c is io n p ro b le m s in th e c o m b in a to ria l o p tim iz a tio n d o m a in . C la s s ic a l in s ta n c e s o f p e r m u ta tio n p ro b le m s in c lu d e q u a d ra tic a s s ig n m e n t p r o b le m (Q A P ), g ra p h c o lo rin g , p ro d u c tio n s c h e d u lin g p ro b le m s , a s w e ll as v a rie ty o f d e s ig n p ro b le m s . T h e p a p e r p re s e n ts th e re s u lts o f c o m p u te r in v e s tig a tio n o f a p p r o x im a te a lg o rith m , r e a liz e d e v o lu tio n a rtific ia l s e a rc h p ro c e s s , fo r Q A P a s a h a rd in s ta n c e o f p e r m u ta tio n p ro b le m s a n d , o n th e o th e r h a n d , th e re is a r ic h Q u a d ra tic A s s ig n m e n t P r o b le m L ib ra ry , c a lle d Q A P L IB -A , w ith te s t ta s k o f th is p ro b le m fo r a p p r o x im a te a lg o rith m e x a m in a tio n s . A p p r o x im a te a lg o rith m u s e s lo c a l s e a rc h o p e ra to r, d e v e lo p e d o n th e b a s e o f T a b o o S e a rc h w ith fe a s ib le tim e o f s h o rt m e m o ry . T h e b a s ic id e a o f T a b o o S e a rc h is to re p la c e a n e le m e n t X w ith e le m e n t Y s N ( X ) \ { X ) s u c h th a t Y is fe a s ib le a n d i(Y ) is m in im u m a m o n g a ll s u c h fe a s ib le e le m e n ts . It m ig h t h a p p e n th a t f( Y ) < f( X ) , so w e c a n e s c a p e fro m lo c a lly o p tim a l s o lu tio n X b y m e a n s o f th is m e th o d . H o w e v e r, h a v in g r e p la c e d X b y T i n th is c a s e , it is h ig h ly lik e ly th a t n e x t s te p w o u ld b e to re p la c e Y b y X . T h is is n o t d e s ira b le , s in c e th e a lg o r ith m w o u ld e n te r in in fin ite lo o p fro m w h ic h c a n n o t e s c a p e . H e n c e , w e n e e d to fin d a w a y to a v o id th is s itu a tio n a n d o th e r s im ila r p ro b le m s s u c h c y c lin g . T h is is a c c o m p lis h e d b y m e a n s o f ta b u lis t. B y a s s ig n in g to e a c h s o lu tio n n o n n e g a tiv e w e ig h t ( p ro b a b ility - w h ic h s u m all is e q u a l 1), w e c a n c o n s id e r d o m a in o f Q A P p ro b le m a s p r o b a b ility s p a c e , w h e r e / ( f i t n e s s f u n c tio n ) is ra n d o m v a ria b le . In s u c h s itu a tio n , w e c a n d e a l w ith th e e x p e c ta tio n E f o f / as w e ll a s its c o n d itio n a l e x p e c ta tio n . S u c h in te r p r e ta tio n o f d o m a in o f Q A P a n d / a l l o w s u s to a p p ly th e d e r a n d o m iz a tio n m e th o d o f c o n d itio n a l p ro b a b ilitie s . U s in g th is c o n d itio n a l e x p e c ta tio n o f fitn e s s fu n c tio n , w e c a n d e te rm in e fle x ib le ta b u tim e .