UTNICTWO z 4
FRANCISZEK FIKUS
3 2 ) 6 2 « / ^ POLE MAGNETYCZNE W CYLINDRYCZNYCH
NAGRZEWNICACH INDUKCYJNYCH 0 SKOŃCZONEJ DŁUGOŚCI
P O L I T E C H N I K A Ś L Ą S K A
Z E S Z Y T Y N A U K O W E P O L I T E C H N I K I Ś L Ą S K I E J
N r 415
Franciszek Fiku s
POLE MAGNETYCZNE W CYLINDRYCZNYCH NAGRZEWNICACH INDUKCYJNYCH
0 SKOŃGZONEJ DŁUGOŚCI
REDAKTOR NACZELNY ZESZYTÓW N A U K O W Y C H POLITECHNIKI ŚLĄSKIEJ
Iw o P o lio
REDAKTOR DZIAŁU
M aciej Michałowski
SEKRETARZ REDAKCJI
Anna Blażkiewicz
Dział W ydawnictw Politechniki Śląskiej Gliwice, ul. Kujawska 2
N a k ł . 8 0 + 1 7 5 A r k . w y d . 3,52 A r k . d r u k . 4,62 P a p i e r o f f s e t o w y k l . V , 70X100, 80 g O d d a n o d o d r u k u 3. 6.1 974 P o d p i s , d o d r u k u 28. 6.1974 D r u k u k o ń c z , w l i p c u 1974
Z a m . 770 23. 5. 1974 H-23 C e n a z ł 5,—
Skład, fotokopie, druk i oprawę
wykonano w Zakładzie Graficznym Politechniki Śląskiej w Gliwicach
SPIS TREŚCI
1 . WSTĘP ... 5 2. NAGRZEWNICE I METODY OBUCZENIOWE ... 6 2.1. Rodzaje wzbudników nagrzewnic cylindrycznych 6 2.1.1. Sposoby nagrzewania i rodzaje wzbudników ... 6 2.1.2. Wzbudniki cylindryczne z polem wzdłużnym i po
przecznym .... 7
2.2. Obliczenie pola magnetycznego i wzbudników ... 9 2.2.1. Układ wsad-wzbudnik nieskończenie długi ... 10 2.2.2. Układ wsad-wzbudnik o długości skończonej ... 10 2.3. Rozwój metod obliczeniowych pola magnetycznego dla
wzbudników o długości skończonej ... 11 2.3.1. Metoda z szeregiem Fouriera ... 11 2.3.2. Metoda z całką Fouriera ... 13 2.4. Obliczanie parametrów wzbudników ... 13 2.5. Ocena metod obliczeniowych ... 16 3. ROZWINIĘCIE METODY OBIłCZENIOWEJ... 17
3.1. Modele obliczeniowe .... 17
3.1.1. Przekroje poprzeczne, założenia i przynależne
modele .... 17
3.1.2. Przekrój wzdłużny i okład prądowy ... 18 3.2. Równanie ogólne potencjału wektorowego ... 23 3.3. Wzbudnik zewnętrzny bez bocznika magnetycznego ... 28 Str.
3.3.1* Potencjał wektorowy ... 28
3.3.2. Warunki brzegowe 1 wyznaczenie stałych ... 35
3.3.3. Równanie szczegółowe na potencjał wektorowy ... 38
3.3.4. Równania na indukcję ... 40
3.4. Wzbudnik wewnętrzny z bocznikiem magnetycznym i wsadem rurowym .... 43
3.4.1. Potencjał wektorowy .... 44
3.4.2. Warunki brzegowe i wyznaczenie stałych ... 47
3.4.3. Równania potencjału wektorowego i indukcji .... 53
3.5. Wzbudnik zewnętrzny z bocznikiem magnetycznym i wsadem rurowym ... 54
3.6. Zbieżność równań z wzorami klasycznymi ... 58
4. PRZYKŁAD ZASTOSOWANIA... 59
4.1. Nagrzewnica 1 modele obliczeniowe ... 59
4.2. Uproszczone równanie na Bz i założenia ... 60
4.3. Wyniki obliczeniowe i ich zbieżność z pomiarowymi .... 62
5. OZNACZENIA I SYMBOLE... 66
6. LITERATURA... 68 Str.
1. WSTĘP
W ostatnia dziesięcioleciu obserwuje się wyraźne tendencje do zwię
kszania wielkości 1 mocy elektrycznych indukcyjnych urządzeń grzew
czych. Roeną jednocześnie zarówno ich ceny zakupu jak też koszta eks- ploataojl. Stosowane do niedawna przybliżone metody obliczeniowe prze
stają wystarczać, a dla nowych nietypowych jednostek nie aa jeszcze wskaźników empirycznych. Stąd stale rcenąca potrzeba doskonalszych i
jednocześnie uniwersalnych metod.
Ostatnio publikowane metody posługują się coraz to bardziej skom
plikowanym aparatem matematycznym, a w związku z tym mogą w praktyce staó się mało przydatne. Właściwe wyważenie dokładności 1 pracochłon
ności metody wysuwa się na pierwszy plan.
W pracy została poszerzona pewna metoda obliczeniowa, nad którą pracowano w ostatnich latach w różnych krajach. Objęto nią mianowicie przypadki dalsze 1 bardziej złożone od tych, dla których dotychczas została rozpracowana. Ponadto przeanalizowano możliwości wprowadzenia uproszczeń, które pozwoliłyby stosować ją w praktyce inżynierskiej.
Katodę zastosowano do obliczenia pola magnetycznego w przemysłowym prototypie oryginalnego rozwiązania nagrzewnicy do końców rur. Zbież
ność wyników obliczeniowych z pomiarowymi okazała się dobra.
5
2. NAGRZEWNICE I METODY OBLICZENIOWE
2.1. Rodzaje wzbudników nagrzewnic cylindrycznych
2.1.1. Sposoby nagrzewania 1 rodza.le wzbudników
Nagrzewnicą indukcyjną nazywa się urządzenie elektrotermiczne słu
żące do nagrzewania materiałów (wsadów) o dobrej konduktywnoś ci, w szczególności metali. Najczęściej występują w praktyce nagrzewnice dla wsadów cylindrycznych. Bo nich też, zgodnie zresztą z tytułem, o- graniczone zostały rozważania w tej pracy.
Wsad może byó jednocześnie nagrzewany na całej swej długości lub tylko ca pewnym odcinku. W odniesieniu do przypadku drugiego mówi się o nagrzewaniu miejscowym. Długość wsadu jest wtedy większa od długo
ści wzbudnika2 \ Przy bardzo długich wsadach stosuje się powszechnie nagrzewanie przelotowe, grzejąc po sobie kolejno jego odcinki.
Przy nagrzewaniu miejscowym występuje wzdłuż długości wsadu bar
dzo nierównomierny rozkład pola magnetycznego a więc i temperatur. Ce
lowe korygowanie tych pól jest przy niektórych technologiach hutni
czych pożądane.
Stosowane są wzbudniki ze wzdłużnym i poprzecznym polem magnetycz
nym. Pierwsze charakteryzują się na ogół lepszymi parametrami elektro
termicznymi i są prostsze w budowle & więc i tańsze. Ponadto powodują równomierny rozkład tesiperatury na obwodzie wsadu. Drugie natomiast mogą być wykonane z dwóch oddzielnych uzwojeń, co zezwala na skon
struowanie wzbudnika otwieralnego. Pa cecha zaś jest pożądana w przy- 2 ^Przez wzbudnik będzie się w tej pracy rozumieć uzwojenie wraz z e-
wentualnymL bocznikami magnetycznymi.
padkach miejscowego nagrzewania wsadów o średnicy zmiennej wzdłuż dłu
gości.
2.1.2. Wzbudniki cylindryczne z polem wzdłużnym i poprzecznym
Podstawowe konfiguracje układu wsad-wzbudnik występujące przy na
grzewaniu miejscowym ze wzbudnikiem skończonym z polem wzdłużnym i wsadem długim (mogącym by<5 rozpatrywanym jako nieskończenie długi) moż
na podzielić albo ze względu na obecność bocznika magnetycznego albo z uwagi na usytuowanie wzbudnika (rys. 2.1). W pierwszym przypadku rozróżnia się wzbudniki bez bocznika magnetycznego (pozycje a, b, o ) i z bocznikiem magnetycznym (pozycje d, e, f ). W drugim zaś rozróżnia się wzbudniki zewnętrzne (a, b, d, f ) i wewnętrzne (c, a). Wzbudniki wewnętrzne mogą, oczywiście, znaleźć zastosowanie tylko do wsadów ru
rowych.
Boczniki magnetyczne stosowane 7. zasady przy krótkich wzbudnikach dla częstotliwości sieciowej i średniej w sposób radykalny poprawiają własności elektrotermiczne nagrzewnicy.
W układzie wsad-wzbudnik z bocznikiem magnetycznym występują dwie szczeliny. Jedna pomiędzy wsadem i uzwojeniem a druga pomiędzy uzwo
jeniem i bocznikiem. W układzie wsad-wzbudnik bez bocznika magnetycz
nego występuje tylko pierwsza.
Wielkości tych szczelin mają zwłaszcza przy wzbudnikach krótkich zasadniczy wpływ na pole magnetyczne układu.
Wzbudnik cylindryczny z polem poprzecznym jest w swojej budowie podobny do sto jena jednofazowej maszyny elektrycznej prądu przemien
nego. Przewody z prądem, tworzące uzwojenie, ułożone są koncentrycz
nie. Chwilowe kierunki przepływu prądu wskazują symbole krzyżyk i kropka (rys. 2.2).
Wzbudnik składa się z dwóch oddzielnie zasilanych połówek, może więc być otwierany. To jest jego zaletą, wadą zaś nierównomierny roz
kład temperatury na obwodzie. W czasie nagrzewania wymagany jest co najmniej jeden obrót wsadu o kąt 90°;
oo
a
Rys. 2.1. Konfiguracje wsad-wzbudnik w przypadku nagrzewania miejscowego w wzdłużnym polu magnetycz
nym
Ci * wsad, 2 - uzwojenie, 3 — bocznik magnetyczny), a do o — wzbudniki bez bocznika magnetycznego}
Rys. 2.2. Przekrój poprzeczny konfiguracji wsad-wzbudnik w przypadku nagrzewania w poprzecznym polu magnetycznym
(1 - wsad. 2 - uzwojenie. 3 - bocznik magnetyczny)
2.2. Obliczani* poi* magnetycznego i wzbudników
Obliczenia pola magnetycznego układów wsad-wzbudnik mają w dzie
dzinie grzejnictwa indukcyjnego podstawowe znaczenie. Równania na na
tężenie pola i indukcję stanowią punkt wyjścia do wyznaczenia rozkła
dów mocy we wsadzie. Te zaś z kolei umożliwiają obliczenie lub ocenie
nie występujących we wsadzie rozkładów temperatur.
Drugą dziedziną bazującą na znajomości pola magnetycznego jest obliczanie parametrów elektrycznych wzbudników.
0 teorii grzania indukcyjnego pisali Hoon i Spencer w swojej teo
rii pola£44J jeszcze w 1961 r., że "teoria tego zagadnienia nie jest obecnie w zasadzie bardziej rozwinięta niż w 1884 r., kiedy zostawił ją Haewislde. Jedynym zagadnieniem, zbadanym teoretycznie, jest nie
skończenie długi metalowy pręt walcowy z nawiniętym przewodem wzbu
dzającym, w którym płynie prąd przemienny". Krótko po wydaniu cytowa
nej książki rośnie zainteresowanie tą problematyką. Pojawia się sze
reg publikacji, które z jednej strony porządkują znany już sposób ob- liozania dla nieskończenie długi oh układów wsad-wzbudnik, a z dru
giej przedstawiają netody uwzględniające wpływ końców, w szczególno
ści wzbudnika.
2.2.1. Układ wsad-wzbudnik nieskończenie długi
Wstępne, pobieżne albo fragmentaryczne omówienie zasad obliczania pola magnetycznego nieskończenie długiego układu wsad-wzbudnik znaleźć można w różnych opracowaniach, np.t [56], [593# [2 3 3# C313» D3*
Systematyczny wykład teorii grzej nic twa indukcyjnego przedstawił E. Langer w L33J. Zaczynając od szczegółowego omówienia przypadku naj
prostszego, to znaczy od nagrzewania płaskiej półprzeatrzeni, przecho
dzi kolejno do płyty, walca pełnego i wydrążonego.Podobnie ujęta jest książka E.M. Wajnberga [653* Autor rozpatruje w niej jednak więcej przypadków szczególnych, między innymi nagrzewanie od wewnątrz przy użyciu wzbudnika z bocznikiem magnetycznym. Praca ta ujmuje najbar
dziej kompleksowo, z punktu widzenia analizy pola magnetycznego w nie
skończenie długim wsadzie cylindrycznym, problematykę teorii grzej- niotwa indukcyjnego.
Interesujące uzupełnienia do teorii Indukcyjnego nagrzewania rur podają jeszcze [ 4 3 i jjtój. Pierwsza praca poświęcona jest nagrzewaniu rur przy pomocy wzbudnika zewnętrznego, a druga zajmuje się parame
trami elektrycznymi w przypadku wzbudnika wewnętrznego.
Osobnym problemem jest obliozanie pola magnetycznego i mocy w na
kładzie wsad-wzbudnik z polem poprzecznym jak na rys. 2.2. Było ano przedmiotem pracy doktorskiej autora a później zostało jeszcze rozwi
nięte w [143, [153, [173, [183, [203, [473, [483.
2.2.2. Układ wsad-wzbudnik o długości skończonej
Obliczenia dla wzbudników o długości skończonej z wsadem nieskoń
czenie długim można podzielić na dwie grupyt
1) obliczenia pola magnetycznego w układzie wsad-wzbudnik,
. r
2) obliczenia parametrów elektrycznych wzbudników.
V przypadku wzbudnika o długości skończonej rozkład okładu prądo
wego wzdłuż osi ma kształt pojedynczego prostokąt a.Przebieg taki jest
niewygodny z punktu widzenia analizy matematycznej. Możliwe jest ob
liczanie pola magnetycznego w układzie wsad-wzbudnik przy pomocy cał
ki Fouriera. W literaturze brak nazwy dla takiej metody obliczenio
wej. Mogłaby na przykład brzmieć: metoda obliczeniowa dla pola magne
tycznego w układzie wsad-wzbudnik wykorzystująca całkę Fouriera.W dal
szym ciągu będzie stosowana nazwa skrócona* metoda z całką Fouriera.
Zasadnicze uproszczenie obliczeń uzyskuje się po zastąpieniu poje
dynczego wzbudnika systemem identycznych wzbudników ułożonych obok siebie wzdłuż osi wsadu w równych odległościach. Rozkład okładu prą
dowego stanowiący nieskończony ciąg prostokątów może byó przedstawio
ny w postaci szeregu Fouriera. Metoda wykorzystująca taki system też nie ma jeszcze nazwy. Przez analogię do poprzedniej będzie się używać określenia: metoda z szeregiem Fouriera.
Obie te metody mogą być stosowane tylko do względnie prostych konfiguracji wsad-wzbudnik, do bardziej złożonych nadają się już tyl
ko metody numeryczne.
2.3. Rozwój metod obliczeniowych pola magnetycznego dla wzbudników o długości skończonej
2.3.1. Metoda z szeregiem Fouriera
Pierwszą pracę £8] na temat obliczania pola magnetycznego w ukła
dzie wsad-wzbudnik, gdzie pojedynczy wzbudnik został zastąpiony sy
stemem wzbudników, opublikował H. Buehholz w "Archiv fur Elektrotech
nik" w 1958 r. Opracowanie dotyczyło przypadku najprostszego, to zna
czy nagrzewania od zewnątrz cylindra pełnego (przypadek a na rys.
2
.
1).
Wzdłuż jednorodnego przewodzącego walca o promieniu a ułożono uzwo
jenia o promieniu b, długości 2 1 i grubości pomijalnie małej. Od
stępy pomiędzy nimi wynoszą 2 h, a chwilowy kierunek przepływu prądu w uzwojeniach sąsiednich jest przeciwny.
Autor wychodzi z równań Maxwella, a kończy rozważania na równa
niach potencjału wektorowego pola magnetycznego .Tok postępowania jest
21___ 2 h 21 2 h 21
b
© © ©
Rys. 2.3. Konfiguracja wsad-wzbudnik, dla której przeprowadzono obli
czenia w [8]
przedstawiony skrótowo i niekompletnie, przekształcenia zostały pomi
nięte, co bardzo utrudnia czytanie artykułu.
Przypadek podobny, różniący się od przedstawionego na rys. 2.3 tym że chwilowe kierunki prądu we wszystkich uzwojeniach były zgodne, pod
dano analizie we Włoszech w 1971 r. (40]» Autorów interesuje liczbowe ujęcie szeregu zależności, które zostały przedstawione na wykresach.
W tym samym roku pojawia się krótki artykuł J.D. Laversa i P.P.
Bifingera z Kanady [35j|t gdzie autorzy czynią kolejny krok naprzód, wprowadzając bocznik magnetyczny o jk ■(» m zewnątrz uzwojeń. Prócz promieni wsadu (a) i uzwojenia (b), które występowały już w pracy H.
Buchholza, do obliczeń dodatkowo wchodzi trzeci promień - promień bocznika magnetycznego c (rys. 2.4).
BOCZNIK MRGNE7YCZ.NY
Rys. 2.4. Konfiguracja wsad-wzbudnik, dla której przeprowadzono obli
czenia w £35]
W odróżnieniu od opracowania poprzedniego tok postępowania przedsta
wiony jest nadal bardzo skrótowo, ale już przejrzyście, natomiast spo
sobu wyliczenia stałych również nie pokazano.
W roku 1973 w "Wiadomościach Akademii Nauk ZSRR" ogłoszono artykuł Cholina i Cinclnkiana £V) przynoszący fragmentaryczne rozwiązanie pro
blemu przy indukcyjnym nagrzewaniu rury (rys. 2.5).
III
r z z zza
'Z/Z/ZZZZZZŹZZZŹZZZZZZZZĄ
1
4
>(S) >
. tu
i
Cis
o Rys. 2.5. Konfiguracja wsad-wzbudnik, dla której przeprowadzono fragmentaryczne obliczenia w (V). Cyfry rzymskie oznaczają obszary obli
czeniowe
Do postaci końcowej doprowadzono jedynie równanie na potencjał wek
torowy dla obszaru U l , to znaczy dla przestrzeni na zewnątrz ruzy.
Dla pozostałych, w tym również dla obszaru U , dla samej rury, napi
sano jedynie równania ogólne na potencjały wektorowe i układ równań wynikający z warunków brzegowych. TJkładu tego nie rozwiązano, a więc też nie wyznaczono potrzebnych stałych. Nie obliczono także indukcji.
W końcu artykułu zasygnalizowano problem nagrzewania rury od wew
nątrz (rys. 2.6).
Tu ograniczono się wyłącznie do napisania ogólnych równań na po
tencjały wektorowe poszczególnych obszarów obliczeniowych (i, U i III) i stwierdzenia, że występujące tam stałe mogą byó obliczone z równań na warunki brzegowe.
2.3.2. Metoda z całka Fouriera
W tej dziedzinie także brak systematycznie opracowanej metodyki li
czenia. W różnych publikacjach podaje się fragmentaryczne omówienie zagadnienia.
13
///
Rys. 2.6. Konfiguracja wsad-wzbudnik przy nagrzewaniu od wewnątrz wg (30 • Cyfry rzymskie oznaczają obszary obliczeniowe
Względnie pełny tok postępowania dla układu wsad-wzbudnik składa
jącego się z nieskończenie długiego wsadu cylindrycznego pełnego i pojedynczego uzwojenia o skończonej długości i o grubości pomijalnie małej przedstawiono w 1966 r. w [13]. Na początku artykułu wspomina się tylko, że rozwiązania bazują na równaniach Haxwella, a od razu rozpisuje się równania na laplasjany potencjałów wektorowych dla wsa
du i obszaru poza wsadem. Z kolei rozwiązuje się te równania metodą rozdzielenia zmiennych otrzymując rozwiązania cząstkowe, Z uwagi na występującą w układzie symetrię powstaje możliwość ich uproszczenia
(pewne stałe można przyjąć równe zeru).
Następnie posłużono się całką Fouriera rozpisując z osobna rozwią
zania dla założeń:
- brak wsadu wewnątrz wzbudnika, - brak uzwojenia na zewnątrz wsadu.
Otrzymane wartości potencjałów wektorowych w postaci całki Fouriera sumuje się, stosując zasadę superpozycji pól - osobno dla obu rozpa
trywanych obszarów, to znaczy dla wsadu i szczeliny.
Dla wyznaczenia stałych występujących w rozwiązaniach korzysta się z warunków brzegowych. Obliczenia doprowadza się do równań na poten
cjały wektorowe obszarów. Wyrażeń na pole magnetyczne, to znaczy na indukcję magnetyczną lub natężenie pola magnetycznego, już nie poda
no.
Całe scharakteryzowane tu obliczenie mieści się na trzech stronach formatu A5. Można sobie więc wyobrazić jak zwięzłe i fragmentaryczne musiało być jego ujęcie.
Kontynuację tematu w równie mało przejrzystym ujęciu przynosi w 1970 r. 061], Rozważania na temat pola magnetycznego kończą się rów
naniami na składowe natężenia pola magnetycznego. Określające je wy
rażenia zawierają całkę w przedziale od zera do nieskończoności. Funk
cja podcałkowa jest bardzo złożona i zawiera kombinacje zmodyfikowa
nych funkcji Bessela (dla argumentu zespolonego).
Liczbowe wyznaczenie wartości tych składowych możliwe jest tylko na elektronicznej maszynie cyfrowej, przy czym wykonanie potrzebnych programów stanowi oddzielny problem numeryczny.
2.4. Obliczanie parametrów wzbudników
Metody projektowania wzbudników do grzania indukcyjnego można po
dzielić na empiryczne i obliczeniowe. Pierwsze bazują na doświadczal
nie sporządzonych wykresach i nomogramach 056]. Obliczeniowe zaś dzie
lą się na grupy według metod podstawowych:
1. Metoda transformatorowa}
2. Metoda oporów magnetycznych}
3. Metoda bazująca na obliczeniu pola magnetycznego dla układu nie
skończenie długiego}
4. Metoda bazująca na obliczeniu pola magnetycznego wytworzonego przez wzbudnik o długości skończonej.
Najszerzej stosowane są pierwsze trzy. Poszczególni autorzy wpro
wadzają różne współczynniki korekcyjne celem uwzględnienia skończonej długości wzbudnika i wsadu 06], 011], 01o], £45], 06 0], 066], 0533*
M . DO, 034], 032], 0 3 ] , 037], 057], 025], 063], [65], 02]. Rów
nież mnogość publikacji na ten temat świadczy, że metody te nie roz
wiązany problemu.
W ostatnich latach zaczynają się pojawiać opracowania dotyczące me
tody czwartej 042], 041], 058]. Uzyskiwane wzory są bardzo skompliko
wane.
15
2.5. Ocena metod obliczeniowych
Reasumując można powiedzieć, że metody przybliżone mało nadają się zarówno do analizy pól i zjawisk w układzie wsad-wzbudnik jak również do obliczeń wzbudników.
Metody z całką Fouriera jak też numeryczne wymagają elektronicz
nych maszyn cyfrowych i specjalistów numeryków. Ha tej drodze uzysku
je się wprawdzie dla rozpatrywanych własności wsadu i wymiarów wzbud
nika najdokładniejsze wyniki, ale brak związków (równań) pomiędzy po
szczególnymi parametrami. Ich analizę można przeprowadzać dopiero w oparciu o liczne krzywe sporządzone dla różnych przypadków. To jest wadą tej metody.
Metoda z szeregiem Fouriera leży pomiędzy wyżej scharakteryzowany
mi. Z założenia obarczona jest pewnym błędem biorącym się stąd, że w rachunku uwzględnia się wzbudniki sąsiednie, których w rzeczywistości nie ma, ale za to uzyskuje się wyniki w postaci równań. Ze zwalają więc na analityczne badanie wpływu poszczególnych parametrów układ wsad- wzbudnik na rozkład pola magnetycznego, a dalej na moc i wartości pa
rametrów schematu zastępczego.
Opracowania scharakteryzowane w p.p. 2.3.1 nie obejmują jednak jeszcze wszystkich podstawowych konfiguracji wsad-wzbudnik, jakie w praktyce grzejnictwa indukcyjnego występują. Opisane zostały w lite
raturze metody dla przypadków a do d (na rys. 2.1). Załatwiony zo
stał w zasadzie problem układów wsad-wzbudnik bez boczników magne
tycznych. Z drugiej grupy rozpracowano dotychczas tylko przypadek naj
prostszy, to znaczy wzbudnik zewnętrzny z bocznikiem, z wsadem pełnym.
Przedmiotem niniejszej pracy jest wykonanie obliczeń dla ostatnich dwóch przypadków e i f.
Jak już wspomniano, podawane w literaturze opisy metod są niekom
pletne i fragmentaryczne. Dla szczegółowego i ciągłego przedstawienia metody i toku postępowania przedstawi się na początku następnego punk
tu obliczenia dla najprostszego przypadku, ale w systematycznym uję
ciu.
3. ROZWINIĘCIE METODY OBLICZENIOWEJ
3.1. Modele obliczeniowe
3.1.1. Przekroje poprzeczne, założenia 1 przynależne modele
Szczegółowej analizie matematycznej zostaną w dalszym ciągu podda
ne układy W3ad-wzbudnik oznaczone na rys. 2.1 i rys. 3 .1 literami a, e i f.
Przekroje układów wsad-wzbudnik stanowiące lewą kolumnę rysunku pokazują jedynie istotne z punktu widzenia obliczeń elementy wzbudni
ka. to znaczy wsad. uzwojenie 1 ewentualnie bocznik magnetyczny. Po
minięto w nich wykładziny żaroodporne i ciepłoizolacyjne. konstrukcje wsporcze, przewody doprowadzające prąd lub wodę chłodzącą itp. Mimo to są dla obliczeń nadal za bardzo złożone. Cytowani w p.p. 2.3 auto
rzy zastąpili rozpatrywane przez siebie układy modelami,w których za
stosowali następujące uproszczenia:
1) uzwojenie o skończonej grubości zastąpiono folią o grubości po- mijalnie małej. (Rozkłady pól magnetycznych wytworzonych obydwo
ma uzwojeniami będą przy identycznych okładach prądowych do siebie zbliżone, w miarę oddalania się od uzwojeń zbliżenie to będzie dokładniejsze)}
2) wsad zastąpiono jednorodnym cylindrem elektrycznie przewodzącym którego parametry nie zależą ani od temperatury ani od natęże
nia pola magnetycznego}
3) boczniki magnetyczne o skończonej przenikalności magnetycznej otaczające uzwojenie zastąpiono przestrzenią o » o o , (w przy padku wzbudników stosuje się boczniki o dużej przenikalności ma
gnetycznej, a wpływ tego uproszczenia maleje ponadto ze wzro
stem wielkości szczeliny, która ze względu na wykładziny żaro
odporne i ciepłoizolacyjne musi być znaczna).
W oparciu o przytoczone uproszczenia zbudowane zostały modele ob
liczeniowe dla przypadków a i f (rys, 3.1). Stosując ostatnie u- proszczenie również do bocznika wewnętrznego i zakładając dodatkowo, że stopniowany bocznik zostanie zastąpiony kołowym o równej powierz
chni, otrzyma się model dla przypadku e.
Wpływ przedstawianych uproszczeń na zakres obliczeń omówi się po
krótce na przykładzie przypadku e. Po zaniedbaniu niekorzystnego dla obliczeń kształtu bocznika magnetycznego i zastąpieniu go kołowym, w układzie można wyodrębnić sześć koncentrycznych warstw (wliczając w to również otaczające wsad powietrze). Ze względu na to, że grubość folii przyjmujemy równą zero, uzwojenie przestaje być obszarem obli
czeniowym. Do bocznika o = oo strumień magnetyczny nie wnika, a więc i bocznik odpada jako obszar obliczeniowy. Ilość obszarów zredu
kowała się zatem z sześciu do czterech.
3.1.2. Przekrój wzdłużny i okład prądowy
Istotą metody jest, jak wspomniano w p.p. 2.3.1, zastąpienie poje
dynczego wzbudnika (rys. 3.2a) określonym systemem wzbudników,
Pole magnetyczne we wsadzie jak i w szczelinie na długości wzbudni
ka środkowego 2 1 nie ulegnie większej zmianie, gdy pojedynczy wzbu
dnik zastąpi się zaproponowanym przez Bucholza (p.p. 2,3.1) systemem wzbudników. Wpływ wzbudników sąsiednich będzie tym mniejszy im więk
szy będzie stosunek 2 h s 21.
Korzyścią wynikającą z tego zastąpienia jest możliwość przedsta
wienia przebiegu l(z) za pomocą szeregu Fouriera,
Rozkład okładu prądowego I(z) jako funkcja od z według (rys.
3.2) posiada okres 4 (l + h) i może być opisany:
Rys. 3.1. Przekroją poprzeczne układów wsad-wzbudnik i przynależne so
dę le obliczeniowe
1 - uzwojenie, 2 - szczelina pomiędzy wsadem i uzwojeniem, 3 - wsad, 4 - szczelina pomiędzy bocznikiem magnetycznym i uzwojeniem, 5 - bocz
nik magnetyczny, litery a, e, t - oznaczają układy jak na rys. 2 .1
1L
a
21 2h 21 2h 21 2h 21 2h 2[
® ©
©©
©+ 1 z
- I 4-d+h) ł J
Rys. 3.2. Długi wsad z pojedynczym wzbudnikiem (a) i z systemem wzbud
ników (b) wraz z przynależnymi rozkładami okładu prądowego
- I dla - 2(1 + h ) < z < - (1 + 2 h) 0 dla - U + 2 h ) < z < - 1
1 dla - l < z < l O d i a 1 < z < l + 2 h - I dla 1 + 2 h < z < 2(1 + h) Szereg Fouriera w postaci zespolonej £7]
1(0
oo -
■ST I 3 L Z
> i an 6 n— oo
(3-1)
gdzie
-L
,5Tn - i •?“ z e L dz
I - 2tl + h)
(3-1a)
C3-1b)
Ze względu na symetrię względem osi z
a m 0 O Dla
\ a T Z
-(l+h) .3[tl
/ ' - 3 T “ z e 11 dz + O
-2(l+h)
L . 3Tn „
♦ L 41 - /
-L Ił
2(l+h) . 31n /* “ 3 t.
dz l+2h
(3-2)
Po scałkcwaniu i podstawieniu granic
I L I ^ U + 2h) i3^ 2U+h)
jfe [*
ł « *- 3 'hH 1 - j ^ 2 ( i + h ) 3^Cl»-2h)l
+ e - e - e + e
21
a po uporządkowaniu składników w nawiasie kwadratowym
j ^ 2 ( l + h ) - j ^ 2 C l + h ) ^
j^(l».2h) - j f £ ( l + 2 h ) j ^ l - 3 ? ^
+ e Ł - e L + e - e L
Korzystając ze związku
J x _ #-3*
*— T 3 - - - • * "
można wyrażenie na a^ zapisać w postaci
s . ] ■
2 I 4 ^ n ^ja Ł ' JtrT ~ 1
Podstawiając (3-3) do (3-1)
-4-5“ 4?[E*
.sin w— . j w- z w > 2 I ^ Sln T~ JTnh 3 “ K s ) - — cos l •
i korzystając ze związków
a m a ze względu na symetrię n —n
sin ęp - 0 3Tn dla n parzystego
sin iSSŁliC t_i )P dla n nieparzystego
]
(3-4)
można (3-4) zapisać « ostatecznej postaci
3.2. Rćwnanie ogólne potencjału wektorowego
Punktem wyjścia do obliczeń są równania Jtenrella dla pola elektro
magnetycznego w ujęciu
gdziei
fi - natężenie pola elektrycznego, fi - natężenie pola magnetycznego, fi - indukcja magnetyczna,
fi - Indukcja elektryczna, 3 - gęstość prądowa.
Przy czym
(3-5) DbO
V x i ♦ 0 a
b (3-6)
c
V . fi ■ o d
5 -/tfi
5 b (3-7)
a
3 ■ g fi c
23
gdzie t
- współczynnik przenikalności magnetycznej ośrodka,
£ - współczynnik przenikalności elektrycznej ośrodka, 6 - konduktywność.
Wielkości S i l będzie się szukać za pośrednictwem potencjału wek
torowego 1 spełniającego zależności
5 • V x J a
- A l ■ fi 7 b 13-8)
s 9?
«nr
W rozpatrywanych modelach (rys, 3.1 i rys. 3.2) wszystkie prądy i gęstości prądowe posiadają tylko składową kątową
a
zaś pozostałe składowe 13-9)
J - J - 0 r z
Kierunek potencjału wektorowego jest zgodny z kierunkiem prądu,któ
ry go wywołuje, a więc
Ir,z) > o a
13-10)
Ap . Az - 0 b
Dla napisania równania potencjału wektorowego wychodzi się z (3-6b).
Po uwzględnieniu równań (3-7) kolejno
V t ( V x I) “C e (3-1 1)
Przy założeniu przebiegów sinusoidalnych prądu, czasową zależność I można przedstawić
I . 1 eJWt (3-1 2)
Stąd zgodnie z (3-8c)
I - - - jo* eJUt (3-13)
a po zaniedbaniu zależności czasowej
S - - jtoA (3-14)
Po uwzględnieniu (3-14) równanie (3-11) przyjmuje postać
£ V x ( 7 x D + E § f - - J«6X (3-15)
Z kolei zostanie rozwinięty pierwszy jego wyraz. Zgodnie z [24]
7 X ( V x A) - V (7 . I) - A A (3-16)
a gradient diwergencji w układzie współrzędnych walcowych
7 (7. 1) 17. I) 1r + 17 . I) V +
gdzie
V * 1 * r [ ń t r Ar } + I T t ] * T T t3_18)
25
Pierwszy składnik w klamrze, z uwagi na Ay ■ O zgodnie z (3-1 Ob), równa się zero. A
^
jest wprawdzie różne od zera, ale stałe na całym obwodzie, a więc i drugi składnik w nawiasie kwadratowym jest równy zero. Ze względu na (3-1 Ob) także A « 0, zatem również ostatni skła- dnik równania (3-18) równa się zero. A więc w rozpatrywanym układzieV. A - 0 (3-19)
Ostatecznie sprowadza się (3-16) do laplasjanu wektorowego, który dla współrzędnych walcowych ma postaó [Y], [jS2^)j
4 1 . |aa. - \ (ir • 2 *
(3-20)
W laplasjanie wektorowym występują laplasjany skalarne, które w roz
patrywanym układzie współrzędnych wyrażają się wzorem:
. . 1 5 T 3a1 1 a 2A 3 2A
U ‘ 2 , )
Z tych samych powodów, co w przypadku równania (3-18), przedostatni składnik' jest równy zero, a więc laplasjan (3-21) zredukował się do swojej składowej kątowej i można go zapisaó krócej
a V 7 & [ r 5 r ] ł 7 7
a po wykonaniu różniczkowania
, 3A^ a2A<p 32A,p
a ^ - 7 5 r * r r ł r r - i3-21* ’ dr d z
- Składowa promieniowa:
Ze względu na ■ 0 jest również A = 0„ Podobnie jak w równa
niu (3-18) równy zeru jest także drugi składnik w nawiasie kwadra
towym* bo A^>= const. A zatem w rozpatrywanym przypadku składowa promieniowa laplasjanu wektorowego równa się zeru.
- Składowa wzdłużna jest równa zero z uwagi na A =0.
Z - Składowa kątowa:
Jej pierwszy składnik określa (3-21b). Drugi składnik w nawiasie o- krągłyia równa się zero ze względu na Ay * 0.
A więc laplasjan wektorowy (3-20) sprowadza się do zapisu Analiza równania (3-20) prowadzi do następujących wniosków:
a po uwzględnieniu (3-21b) w A I równanie (3-1 6) przyjmie postać
7 x ( 7 x I ) . - [ 0 ł l | i ł 0 - i j A ] ł v 0 - 2 3 )
W równaniu (3-23) po prawej stronie znaku równości opuszczono indeks f przy literze A, ponieważ składowa k y jest jedyną różną od zera składową potencjału wektorowego. Również w dalszym ciągu będzie się stosować zapis skrócony (a ■ A ^ ).
Występujący w (3-15) składnik
c ŁŁ c 3t
można, korzystając z zależności (3-14), przedstawić w postaci
Ostatecznie więc, po uwzględnieniu (3-23) i (3-24) oraz uporządko
waniu, równanie (3-15) można zapisać
02A 1 3A ć£ą
Sr2 + r 3r + 3z2 + ( £ ^ 3 - j{t6co- J-) A - 0 (3-25) r
lub krócej
gdzie:
a 2
(3-25b) jb2 -Kp-co
3.3, Wzbudnik zewnętrzny bez bocznika magnetycznego z wsadem pełnym
3.3.1. Potencjał wektorowy
Model układu wsad-wzbudnik odpowiadający przypadkowi a na (rys.
3,1) pokazany jest na (rys. 3.3).
Przyjmuje się dwuetapowy tok obliczenia. W pierwszej kolejności bę
dzie się poszukiwać równań na potencjał wektorowy dla poszczególnych obszarów, a na ich podstawie napisze się potem wg (3-8a) równania na indukcję.
Wygodnie jest poszukiwać potencjału wektorowego o postaci podob
nej do wyrażenia na okład prądowy. Wyrażenie (3-5) ma postać szeregu i zawiera funkcję trygonometryczną
(2nf1 )X z 1
®
a
<»
W ?
21
2h
21
2 h
21
Rys. 3.3. Model wzbudnika bez bocznika magnetycznego z wsadem pełnym.
Cyfry w kółkach oznaczają obszary obliczeniowe (i i 2 - powietrze, 3 - przewodnik)
Poszukiwane wyrażenie na potencjał wektorowy można więc zapisać
*Cr..) A ^ C r ) c (3-26)
n-o
9 A2m 1^ + 1_ ^ A2m-1^r ' + [ _ ę3T(2n+1) ? +|^_ (SSatLl)2
4.0Ć2 - j£2 - -L-J A g ^ ^ r ^ c o s l 2i^ 1 f e = 0 (3-27)
Każdy składnik svaąy jest iloczynem nawiasu wężykowego i funkcji cosi- nus. Można więc przyrównać do zera wyrażenie w nawiasie
8 A2 n f l ^ 1 3A2 n » 1 ^ f , (2nfl )^2 T 1 + 7 5? + L" 1 L ’ + Po podstawieniu (3-26), równanie (3-25a) przyjmie postać
+ - j / - A2nł..,(r) « 0 (3-28)
A po wprowadzeniu dodatkowych oznaczeń
gdzie \? = 2n+1
A ^ t r ) = A(r,>?) (3-29)
wyrażenie (3-28) można zapisać krócej
9 2A(r..<7) + 1 d A jr .O ) 9r2 r 3r
+ (- q2 +0c2 - jf ? - ^ ) ACr,v>) - 0 (3-30)
Jest to ogólna postać równania potencjału wektorowego.
i
Występują w nim współczynniki <x i fi> . Współczynnik zawierający £ będzie zgodnie z (3-25b) różny od zera tylko w powietrzu szczelin tzn.
w obszarach 1 i 2 , (Dla powietrza będzie się przyjmować wartość ta
ką samą jak dla próżni, tzn, £ =£ Q ).
Współczynnik A zaś zawiera 6", a więc będzie różny od zera tylko w przewodzącym wsadzie, tzn. w obszarze 1.
Wobec tego dla obszarów 1 1 2 oraz dla obszaru 3 równanie (3-30) przyjmie szczególne postacie.
Dla obszarów 1 i 2 z uwagi na A = 0 otrzyma się
U 2 . „ 2 , 1 . , 4llv, , . 0 0 .31,
3r r
Jest to równanie różniczkowe Bessela. Celem znalezienia jego roz-
2 2 r “i
wiązań, trzeba zbadać znale wyrażenia (ą ■»-&') - np. 1431.
* 2 p
Dla zorientowania się w rzędzie wartości ą ę i Oi dla typowych parametrów występujących w przemysi owym grzejnictwie indukcyjrym, wy- konano pomocnicze obliczenia.. Okazuje się, że wartości 2 są w za
sadzie znacznie większe od Ot2. Powstaje więc pytanie, dla jakich pa- rametrów ww, różnica określana dalej jako współczynnik k)7
4 = y - C C 2 (3-32)
/
będzie większa od zera.
^ 2
Wartość współczynnika maleje wraz z i? , a wartość współczyn
nika Ot 2 rośnie wraz z f. Celowe więc jest badanie znaku współczyn- 2
nika k^ dla najmniejszego i? oraz dla najwyższych w praktyce wy
stępujących częstotliwości, tzn. dla J = 1
oraz (3-33)
f = 107 Hz
Po uY/zględnienlu (3-33) wyrażenie na qv według (3-29) przyjmie po
stać
Budowane w praktyce wzbudniki, szczególnie dla wysokich częstotli
wości, są wielokrotnie krótsze od Dla częstotliwości niższych, wartości I ^ n będą jeszcze znacznie większe. Można zatem stwierdzić
że dla przemysłowego grzejnictwa indukcyjnego jest zawsze spełniony warunek
a warunek
(3-34)
można wtedy zapisać
(3-35)
ky = q^ - « 2 > 0, (3-36)
co zezwala napisać równanie (3-31) w postaci
- (k* + \ ) A(r,tf) - 0 (3-37)
3r r
Jest to równanie typu [43], [36]:
£ 2 + l 3 V _ , 2! + & * . o 3 t 2 + t aT w + x 2 ‘ °
dla ^ = 1, a więc jest to równanie różniczkowe Bessela, którego roz
wiązanie zawierają zmodyfikowane funkcje Bessela I^(kT) oraz K^(kT), W równaniu C3-37) licznik ułamka w nawiasie równa się jedności, więc f m 1, a zatem w rozwiązaniu wystąpią zmodyfikowane funkcje Bessela rzędu pierwszego I ^ k ^ r ) oraz Kj(k^r).
Równanie (3-37) ważne jest dla obszarów 1 i 2, Kolejno przeanalizu
je się rozwiązania dla każdego z nich.
W o b s z a r z e 1
- C^i?) I^tyrO + V* ; ) KjCk^r) (3-3B)
Funkcja (k^r) dla t-^-OO rośnie do nieskończoności [?]. Poten
cjał wektorowy zaś przy wzroście r powinien maleć. Z tego względu v rozwiązaniu (3-38) trzeba położyć
ct (P) - 0
Rozwiązanie uprości się wtedy do
^(r,*) = D^tf) K^k^r) (3-39)
W o b s z a r z e 2
A2(r,v>) - C2(^) I1 (k^r) + D2(tf) K ^ r ) (3-40)
Rozwiązanie na musi zachować postać ogólną, bo nie ma kryterium dla jej uproszczenia.
Na tym została wyczerpana problematyka związana z równaniem (3-31) ważny® dla obszarów z powietrzem. W przypadku obszaru 3 stanowiącego przewodnik, w równaniu (3-30) współczynnik OC będzie równy zero, zaś współczynnik f i różny od zera. W związku z tym
32A3(r,tf) 1 3Aj(r,,?) 3 r 2 + r “ 3 7 “ -
- Uji + 5ft2 + \ ) A-Cr.i?) = 0 (3-41) r
2 2
Dla sumy wyrazów + j/S wprowadza się, analogicznie jak przy rozpatrywaniu równania (3-31)» współczynnik X J
X 2 = 4 + JA2 (3-42)
który jest odpowiednikiem k2 wg (3-32).
Rozwiązanie równania (3-41) przyjmuje wtedy postać
A^(r,v?) - C3(y) I ^ r ) + D3(tf) ^(tyr) (3-43)
Funkcja K^(\^r) dla r— *-0 rośnie do nieskończoności [2^. Poten
cjał wektorowy w środku wsadu musi byó mniejszy niż na jego powierz
chni. W rozwiązaniu (3-43) należy więc położyć
Dj(l?) = 0
i otrzymuje się ostatecznie d l a o b s z a r u 3
^(r.N?) - C30?) I ^ r ) (3-44)
3.3.2. Warunki brzegowe i wyznaczenie stałych
Dla pełnego określenia potencjałów wektorowych , Ag 1 Aj za
chodzi potrzeba znalezienia współczynników CgO?), i D2(0). Współczynniki te, dalej zwane stałymi, można wyznaczyć z wa
runków brzegowych dla granic obszarów 1, 2 1 3. Równania dla tych wa
runków, dla poszczególnych granic mają postać [30], [24], [62], [l8]t
r ■ b
Warunek na składową normalną
^ ^ - 0 l3-45a)
Warunek na składową styczną
1 1 3lr A2) 1 1 Aj )
łio r 3r r
3rm U , i ^ L eoaĄ l k t3-45b)
Warunek na składową normalną
Aj - Ag ■ 0 C3-46a)
Warunek na składową styczną
1 1 9(r Aj) 1 ^ C r y o
^ r 3r r 3r (3-46b)
Podstawiając rozwiązania (3-39), (3-40) oraz (3-44) do warunków brzegowych (3-45a), (3-45b), (3-46a) oraz (3-46b) i uwzględniając wzo
ry na pochodną z iloczynu "argument razy zmodyfikowana funkcja Besse-
la", uzyskuje się układ 4 równań zawierających poszukiwane poszczególnych obszarów
C2 1,0*^) + D2 K^bk^) - D1 ^(bk^) = O
C2 I^bk,?) - C2 Ko(bk^) + D1 KoCbkv') «
4 c-iy1 j j h - n 7 ^ r ~ c 08
C3 I1CaXł?) - C2 I^ak^) - Dg ^ ( a k ^ = O
p r / 3 - c? ♦ »2 - °
Uzyskaną z wyrażenia (3-47) zależność
V bV
D1 " D2 + C2 f^bięr
podistawia się do (3-48) otrzymując
r I (bk,) *1
k ‘M ^ * d2 KotWt<)
- \ *0l V ■ cos ^
Uo wprowadzeniu oznaczenia
4 I^o(-l)n J ^ h , _ _ 4^ r - c°s _ =
stałe dla
(3-47)
(3-40)
(3-49)
(3-50)
(3-51)
(3-52)
(3-53)
) + :
"2 Kjtbk^) " k^
równanie (3-52) przybierze postać
Ie(bkł?) K|(bk^) + I^bk,) Ko(bk^) _
C_ ... ■ "■i— ■■» - r— u v?
a stąd
C2 - b J ^ Q KjCbk^) (3-54)
Otrzymane wyrażenie na wprowadza się z kolei do równań (3-49) i (3-50)
C3 I1 (aX^) - D2 Kj (ak^) = b I.,(ak^) ^(bk^) (3-55)
F ^ C3 IoCaXń * =2 Ko<«* > -
- - b I0(ak^) K^bk^) (3-56)
a wyznaczoną z (3-55) zależność na stałą
^iCsk^) ^-j(a^ ' . .
D2 J>? ^o ^ ( a k ^ T Kitbk^ + C3 K " [ a k j l C > 5 7 )
uwzględnia się w (3-56) uzyskując
V Iotalv?) + Ilta X g ) K°Cakv?)] “
= b ty ^L0 K,(bk^)jl0(ak^) ^(ak^) + I.,(aky) K0(ak^)J
37
a stąd
c , - i f --- « - » >
/ ^ I otaX^; K^ak^) + I ^ a ^ ) Ko(ak^)
Dale^ można już wyznaczyć stałą Dg przez wprowadzenie (3-58) do (3-57)
^Cak^) I . U ^ ) D2 = b Jv ^■(■ak^y V bV + Kj(ak^) x
V 0taV K^(ak^) + kc,I1CaX^) K ^ a k j ) &
a po uporządkowaniu
d2 - J^ 0 Ti (ak ^ +
V 0C a V K^(ak^) + k^ I ^ a * ^ K0(ak^) ^ii.
o
]
13-59)ten sposób wyznaczono stałe C2 i Dg oraz wchodzące do równań na potencjały wektorowe obszarów 2 i 3* Ho wsadu i przylegają
cej do niego szczeliny ograniczy się analizę w tym jak i w dalszych przypadkach. Pole magnetyczne na zewnątrz wzbudnika jest z punktu wi
dzenia zjawisk występujących w grzanym wsadzie mniej interesujące.
3.3.3. Równania szczegółowe na potencjał wektorowy
Podstawiając (3-58) przy uwzględnieniu (3-53) do (3-44) a potem do (3-26) otrzymuje się równanie szczegółowe na potencjał wektorowy ob
szaru 3» tzn. dla wsadu
C2n»1)Tz
x
g (3-60)gdzie
M = M bk2n+1 ^ T1 ^r \nf1 ^____________________
*2nf1 ) M ^ i h - 1 ^ + ^2nf1 Ko^b]£2ih-1 ^ fi"
(3-60a) przy czym
* * * - « 2'
______________ | (3-60b)
*2» , ♦ a ?
Podobnie podstawiając (3-59) i (3-54) przy uwzględnieniu (3-53) do (3-40) a potem do (3-26) otrzymuje się równanie szczegółowe na poten
cjał wektorowy obszaru 2, tzn. dla szczeliny
13-60 n*o
gdzie J .
- t ^ K » r K1tbkg" l)Kl(rŁg°> lU
\ n t - 1 To^ai2w 1 ' K1 ^ak2n*‘l' * k2m1 I/ a\i>fl'! ^ O
t \
V o Ki‘“W
lub po uporządkowaniu wg ^(rkgnł-l ^ 1 Kl^rk2nt-1^
Kibk. J
* - tK1 > *1 } b J1 Cak2 m 1 5 +
£ __________ fell(a^2 w 1 )
a ^ o X 2n*1 Io^'a^2nf1^ ^ ^ 2 1 * 1 } + ^ k2n»-1 I1^a\ n f 1 } ^ ^ n f l ^
x K 1^rk2M-1^ (3-61 a)
współczynniki k2nł-1 1 ^2n+1 Wg ^3"60b^*
3.3.4. Równania na indukc.ie
Wektor indukcji 5 w polu dwuwymiarowym można przedstawić za po
mocą jego składowych
I
5 ■ B T + B T (3-62)
r r z z
gdzie 1 i ? są wektorami jednostkowymi.
Rozpisując równanie B « V x I wg (3-8a) uzyskuje się podobne co do budowy wyrażenie na indukcję
« /1 ^Az i . (l3(r A<p) 1 t a B " (r W " r + T r “ r 1z C>63)
Uwzględniając, że zgodnie z (3-10) tylko składowa + 0, otrzymuje się z porównania równań (3-62) i (3-63) wyrażenia na składowe wektora indukcji
1 8(r A<p) 1 3(r A) \
z = r 3r--- ? a T ^ C3’65b)
Celem uzyskania równania na składową promieniową indukcji we wsa
dzie B^r podstawia się (3-60) do (3-64a)
b, , . i ^ Ł V i = l £ c o s C ^ l J r a , 3 r a / 12n+1 L
n«o
x jl H 2Ł1I 8ln ią»rlg
oo I U ' L a
n=o
. ^ c_, f eo» ilsąkLii« sln n=o
Po uwzględnieniu M wg (3-60a) ostatecznie
n=o
x ____________________
^ 2 m 1 Io^a>2nf1^ ' + k2nł.1 ^ Iń aA2ra-1 ^ ro ^ 2 » 1 ' O
x sin tettj p Ł s (3-66)
Analogicznie uzyskuje 3ię równanie na składową promieniową induk
cji w szczelinie Bp^, podstawiając (3-6 1) do (3-64a)
. . . C03 to-.;iffi *
2r 31 / 12nf1 1
n=o
[- i y u . sln IT] .
U / i -oo
2 ] (-1 y1 cos ffA TT sin If o t O Ł s n»o
Po wprowadzeniu TT wg (3-61 a) ostatecznie
i I Ł a 2 c-1
r co,te*?*
[ « ( , t„ W l ) I , C r ^ , ! - B2rn»o
£ \
* 1 V aW * V . Ko ^ « , J 1
1 *1 trk2n*1 ’] si” D .67 )
Z kolei zostaną wyznaczone równania na składową wzdłużną indukcji.
B^z dla wsadu otrzymuje się z (3-65) po wprowadzeniu (3-60)
OO
U 4 I^'b V 1 1-1 )° eoa (2IH-1
)X
hhz
"JC
a ^_jA2nf1 2n+1 L n»ox _________________ ¥ bk2T»i > J0tr W __________________
X ^2n+1 IoCa\>»1) K1Cak2nf1) + ^ l X1 ^a^2nf1 ^ ^ ^ l ^
X cos iia i a jł
B2z dla szczeliny wyznacza się analogicznie z (3-65b) po podsta
wieniu (3-61)
B* . i - £ * y \ ^ c -Cs b uS ł , 2z
JT /
i 2nf1 2n+1 1n»o
x [ bl^ (bk2nf1) ) + b U k 2»f15 +
£ __________ T1 ^a ^t?nf1 ______ V
a /ło X 2nf1 Io^a^2nf1 ^ S ^ ^ ih-I5 ^ w-1 ^ ^ m -1 ^ V ak2 » l V
Wyrażenia (3-66) do (3-69) stanowią konęlet równań ogólnych dla ob
liczenia indukcji we wsadzie i szczelinie.
3.4, Wzbudnik wewnętrzny z bocznikiem magnetycznym i wsadem rurowymx )
W nagrzewnicy wewnętrznej (rys. 2*1e) w odróżnieniu od zewnętrz
nej wsad znajduje się na zewnątrz uzwojenia. Przy ustalaniu równań na
. . i ■ . i . i. . i — . .
* Podpunkt ten został w skrócie przedstawiony w postaci referatu na 7 Międzynarodowym Kongresie Elektrotermii [21], Jego omówienie przed
stawione w dyskusji zawiera £27].
rozkład okładu prądowego Jak i potencjał wektorowy nie czyniono żad
nych założeń odnośnie wzajemnego położenia wzbudnika i wsadu. Podane w p. 3.2 równania będą więc ważne i dla nagrzewnicy wewnętrznej po
siadającej wzbudnik wewnętrzny.
Model wzbudnika wewnętrznego z wsadem rurowym pokazany na rys. 3*4 zawiera 4 obszary obliczeniowe.
1) otaczające wsad powietrze o promieniu wewnętrznym d,
2) rurowy Jednorodny wsad przewodzący określony promieniami d i c , 3) szczelina powietrzna pomiędzy wsadem i uzwojeniem (szczelina II)
określona promieniami c i b,
4) szczelina powietrzna pomiędzy uzwojeniem i bocznikiem magnetycz
nym (szczelina i) określona promieniami b i a.
Bocznik magnetyczny nie stanowi obszaru, bo jak wspomniano już wy
żej, do przestrzeni o
[i
■ 00 linie magnetyczne nie wnikają.Własności poszczególnych obszarów i elementów modelu wg założeń z punktu 3.1.1.
Obliczenia będzie się przeprowadzać analogicznie jak w p.p. 3.3.
Uzasadnienia tam przytoczone nie będą już powtarzane.
3.4.1. Potencjał wektorowy
Rozkład okładu prądowego jest identyczny jak na rys. 3*2, więc mo
że być przedstawiony przy pomocy szeregu (3-5)
Mł, . ... llatllŁŁ OM f e lf c C
3— ?o)
n»o
gdzie
L - 2(1 + h).
Rys. 3.4. Przekroje modelu wzbudnika wewnętrznego z bocznikiem mag
netycznym i wsadem rurowym. Cyfry arabskie w kółkach oznaczają obsza
ry obliczeniowe
45
Z tych samych względów, co w p.p. 3.3.1, potencjału wektorowego bę
dzie się szukać w postaci (3-26)
oo
A(r,z) - W l tr) 008 ^ Y ^ -- (3-71) n»o
Dla uproszczenia zapisu równań (3-31) oraz (3-41) wprowadza się od razu współczynniki (3-60b):
przy czym 1? » 2»f1.
Wtedy równanie potencjału wektorowego dla obeżarów z powietrzem (3-31), tzn. dla obszarów 1, 3, 4 przyjmie postać
i h t f U „ i . U 2 , . 0 {3_M )
3 r r
Z kolei zostaną analogicznie jak w p.p. 3.3.1 sformułowane rozwią
zania tego równania dla poszczególnych obszarów.
W o b s z a r z e 1
A1 (r,V?) - Djltf) K^tk^r) * (3-75)
Uwaga: Opuszczana stała jest równa zero ze względów analogicz
nych jak w przypadku równania (3-39).
(3-72)
(3-73)
W o b s z a r z e 3
A^(r,i?) - I.jtk^r) + D ^ } K,U^r) 0-76)
V/ o b s z a r z e 4
A4(r,»?) - C4(v>) I ^ r ) + D ^ ) K ^ r ) 0-77)
Równanie potencjału wektorowego dla przestrzeni przewodzącej 0-41) dla wsadu rurowego, przy uwzględnieniu (3-73) przyjmie postać:
3*4*2. Warunki brzegowe i wyznaczenie stałych
Analogicznie jak w p.p. 3.3.2 wypisuje się warunki brzegowe dla składowych normalnych i stycznych na poszczególnych granicaph okre
ślonych promieniami
r * d
i w związku z tym rozwiązanie w o b s z a r z e 2
A ^r
,y?)
- C2t f ) 1 ,0 .^ ) + d2^ W 5 t3‘ 79)a2 - a1 -.0 (3-80)
0-81)
r
-
b- Ag * O (3-82)
1 1 3(r V 1 1 3tr V „ ,, m , jT" r łr --- 0 D "8 3 '
A3 - A4 - O (3-84)
1 1 9 (r
V
1 1 9 ^rV
4 1 l-lf JT>?h r %^ “ 7 — a r - “ / ę F “ T 7 “ - t V 003 “ T * u "85)
r - a
, . 9(r A.)
i _ l — _— — = O (3-86)
(lo t tr
Przestrzeń o r < a posiada
[L = oo
więc dla niej 1 - 0. Stąd zero po prawej stronie znaku równości w warunku granicznym na składową styczną w (3-86).Przez wprowadzenie rozwiązań A^, Ag, A^, A^ do poszczególnych wa
runków brzegowych uzyska się układ równań zezwalający wyznaczyć stałe C± i
Dla uproszczenia zapisu równań będzie się w dalszym ciągu opusz
czać argument przy stałych i kłaść
zamiast C^(i?)
oraz
Dł zamiast D^tf)
JL\
^ol
Podstawiając (3-75) i (3-79) do (3-80) otrzymuje się
C2 I.,(d*^ + D2 ^(dł.j) - D1 ^(dk^) - 0 (3-87)
Po wprowadzeniu tych samych wyrażeń w (3-81 )
’ W o tdV + i r W W - 0 t3-88)
*0
Podstawiając analogicznie (3-76) i (3-79) do (3-82) i (3-83)
C3 I^ck^) + D3 ^(ck^) - C2 I^cl^) - D2 « O (3-89)
- ^ k ^ o l c k ^ ) - D3k^K0(ckł?)J - C2X ^ 0(cX^) +
+ D2X^Ko(cX ^ . O (3-90)
oraz (3-76) i (3-77) do (3-84) i (3-85)
C4 1,(1)^) + D4 K1(dkx?) - C3 I^bk.^) - D3 ^(bkj?) = O (3-91)
c4 Io^bk0) * D4 Kotbk^} “ C3 IoCbkv?) + °3 Ko(bkvP “
^ o 4 I t-lf JTJ h /,
“ F jT r ^ r ^ 008 ^ : ^
° 9 )oras (3-77) do (3-86)
C4 IotakV ) ” °4 KotaV " 0 t3"93)
otrzymuje się ostatecznie układ równań dla wyznaczenia wszystkich sta
łych C± i n^. Jednak zgodnie z przyjętym ograniczeniem rozważań do wsadu i przylegającej szczeliny wylicza się tylko stałe Cg i C3 oraz D2 i d3.
40
Celem rozwiązania, przepisuje się układ równań (3-87) do (3-92) w układzie Cramera w postaci jak w tabl. 3-1•
Ten układ równań rozwiązuje się metodą wyznaczników. Poszczególne stałe wyrażą się wtedy w postaci
C, . i
2 Y (3-94a)
» Xg
2 u t (3-94b)
C - i
3 Y (3-94c)
X
D3 - r (3-94d)
gdzie Y jest wyznacznikiem charakterystycznym układu równań a X^
wyznacznikiem przynależnym do szukanej niewiadomej.
Po v/yliczeniu i uporządkowaniu wyznacznika na Y, otrzymuje się za
stępujące wyrażenie:
Y + ^ ^ KoCdk^ Ti t dV ] 1
x K ^ c A ^ + Kj(dk^) - J ^ ^ K ^ d k ^ ) ^ ( d ł ^ J x
z I l t c V j >x(^o^ckl?) * 0^ ^ " Ko^ck^ +
+ Xo< 4 ^ +
+ £
4
^ , ) V dV ] KoCc^ - [^Cdk;) Ko(dłj) -x
[i/ck^) K0(ak^) + I0(ak^) K ^ c k ^ J (3-95)Układ równań do wyznaczenia współczynników C 1 D w przypadku modelu wzbudnika wewnętrznego
D1 K^dk^) - C2 . I ^ d ^ ) - D2 . ^ ( d ^ ) . o
D1 k* j r K0^ + W o (iV - ° 2 ^ KoCdV - 0
•o
C2 + D2 *S (°*\P ’ C3 XiCck^ " D3 - 0
C2X^ Io ^ ^ " D2X^ Ko^°X^ ” C3 ktf ju“ Io^ek»?) + °3 fT * 0
^3 + °3 ^|'CWt^) “ C4 I^(bk^) - Kj(bk^) » O
0, 1 ^ ) - D3 K^bk^) . 04 I0(W V ) ♦ D4 K0(bk^) -
°4 I0(aV * ®4 Ko ^ ' 0 Tablica 3-1
VJ1
*5 ■ V 4X*> - Po wyliczeniu i uporządkowaniu wyznacznika na
s?1
x [^(ak^) 1/bk^) + I0(akl7) ^(bk,)]
podobnie w przypadku Xg
x6 ■ ł
V*
u v i , u v ]
x [ ^ ( ^ l i/bk^) + I0(iJt^ K.tbk^j
Wyrażenia na ^ i ^ po uporządkowaniu:
X1 ^(ak^) + Io(ak^) K^(bk^)]
x ( ^ ( d k ^ ^ ^ C c k , , ) ^ ^ ) Ko(dX^ -
- I0(d^)
K0(° V ]+^
K0(ckv?) xx I0( d V ^(cX^) + Ko(dA^) l ^ o l Ą -
k Ke ( d k , ) ^ ( c k , ) [ K 0C c ^ ) I ^ d t y +
(3-96)
(3-97)
♦ K,(d^) l / o ^ ) ] + KoC ° V x
X [i,(c V K,(dl^) - I1 (dl^) C c A ^ j (3-98)
*2 " [ W + hW W ] x
x ^ ( d k ^ l A ^ C o ^ j j l o C c A ^ Ke(dA^) -
- « w ] - £ 7 ( c V J o( d V +
+ K0(dA^) 1 / c A ^ j j -
“£ r K°(dV { V cV [ Ko<cV V dV +
+ K, (dA^) I0(oAł?)J - £- ^ I0(ck^) x
x [l1 (oA^) K, (dAv) - I1 (dAj) ^ (c X,)]j) (3-99
3.4.3. Równania potencjału wektorowego i indukcji
Po podstawieniu wyrażeń na Y i wg (3-95) - (3-99) do roz
wiązań równania potencjału wektorowego (3-78), (3-74), przy uwzględ
nieniu związków (3-94a) - (3-94d), otrzymuje się równania potencjału wektorowego w postaci
A^r.z) - ę ^ ( V ) + Y" K1 (V )] 008 C3-100 )
53
w szczelinie
^(r.z) = 2 \j- ^ C ^ r ) + ^ lę, ( k ^ )]cos ^ 2 _ (3_-| 0 1)
Z bardziej szczegółowego rozpisania tych równań zrezygnowano ze względów technicznych (nie zmieściłyby się na jednej kartce).
Indukcję wylicza się analogicznie jak w p.p. 3.3.4 wg wzorów (3-64a) i (3-64b).
We wsadzie
Br
Bz __
\?
+ ? v v } sin^ ] C3- 102)
- I o(V ) - r K0( ^ )] cos T 2- (> 1 0 3 )
w szczelinie
Br
Bz
■ f ę o[ t l i i (K r )ł ^ K' Ck^ si“ '’‘? (3- io,j
■ ę
kv>[^l i ocv ) - r Ko(k^ ° “ v^ (3-io5>gdzie Y oraz określane są wyrażeniem (3-95) - (3-99).
3.5. Wzb»drr<k zewnętrzny z bocznikiem magnetycznym i wsadem rurowym
Model wzbudnika zewnętrznego z bocznikiem magnetycznym i wsadem ru
rowym (odpowiadający nagrzewnicy zewnętrznej), pokazany na rys. 3.5 zawiera 4 obszary obliczeniowe*
1) pusta przestrzeń cylindryczna (powietrze) wewnątrz wsadu o pro
mieniu d.
/ / / / / / / /
/ / / /
i
21
2h
21
2h
21
-i ■'
*
V
z's 's
/ /
2
Ui
3
NV)
<C
$
£
ul NRys. 3.5. Przekroje modelu wzbudnika zewnętrznego z bocznikiem magne
tycznym i wsadem rurowym. Cyfry arabskie w kółkach oznaczają obszary obliczeniowe
2) przewodzący wsad rurowy określony promieniami c i d,
3) szczelina powietrzna pomiędzy uzwojeniem i wsadem (szczelina U) określona promieniami b i c,
4) szczelina powietrzna pomiędzy bocznikiem magnetycznym i uzwo
jeniem (szczelina I ) określona promieniami a i b.
Własności poszczególnych obszarów i elementów modelu wg założeń z
Obliczenia przeprowadza się analogicznie jak w przypadku wzbudnika zewnętrznego bez bocznika i wzbudnika wewnętrznego z bocznikiem ma
gnetycznym.
Uzyskane równania na składowe indukcji we wsadzie i w szczelinie w przypadku wzbudnika zewnętrznego mają taką samą budowę jak odpowied
nie równania dla wzbudnika wewnętrznego (3-102) do (3-105). Odmienne wzory określają jednak występujące w nich współczynniki Y, , X p.p. 3.2.1.
Poniżej podaje się ich końcowe postacie
♦
[ v aV
x [ W Ko W “ Ko K P I o^ak 1>)l +
X [l1(ck^) K0(ak^) + I0(ak^) K, (ck^)] (3-106)
* 1
" ' ^ s T K°iak<f) + IoCaki?) *i(v ]
X ( i
1
(akł?) |A ^ C c k ^ f i0
( ci ^ Ko(dX0) -- I 0C d V
K 0 (c\j]
K0
(ckł?) [ i0( d V K^CcV+ Ko( d ^ iy(c v ] } ♦ ~ C o i s ? ^ C c V
X 1 / d ^ ) + K,(d^) IjjCcA ^ + ^ - ^ K ^ )
[ V c V V dV ' I i^aV *iŁov j } )
• X
*2 - - ^ p E i (dV KoCak^ + ToCaV v bk/ h
X ( i ^ d k ^ j ^ C c k ^ C c ^ ) K0CdAv) -
- *0Cd*lP V ° V ] V ck^I?o(dV V ° V +
C d V 1 ^ ] + & 10^ Ą I^ck,) [koCcA ^ X
V d V + V dV x
x [ I it° V V aV ■ V aV K,CeX^]})
+ Ko
(3-107)
(3-108)