• Nie Znaleziono Wyników

Pole magnetyczne w cylindrycznych nagrzewnicach indukcyjnych o skończonej długości

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2022

Share "Pole magnetyczne w cylindrycznych nagrzewnicach indukcyjnych o skończonej długości"

Copied!
77
0
0

Pełen tekst

(1)

UTNICTWO z 4

FRANCISZEK FIKUS

3 2 ) 6 2 « / ^ POLE MAGNETYCZNE W CYLINDRYCZNYCH

NAGRZEWNICACH INDUKCYJNYCH 0 SKOŃCZONEJ DŁUGOŚCI

P O L I T E C H N I K A Ś L Ą S K A

(2)

Z E S Z Y T Y N A U K O W E P O L I T E C H N I K I Ś L Ą S K I E J

N r 415

Franciszek Fiku s

POLE MAGNETYCZNE W CYLINDRYCZNYCH NAGRZEWNICACH INDUKCYJNYCH

0 SKOŃGZONEJ DŁUGOŚCI

(3)

REDAKTOR NACZELNY ZESZYTÓW N A U K O W Y C H POLITECHNIKI ŚLĄSKIEJ

Iw o P o lio

REDAKTOR DZIAŁU

M aciej Michałowski

SEKRETARZ REDAKCJI

Anna Blażkiewicz

Dział W ydawnictw Politechniki Śląskiej Gliwice, ul. Kujawska 2

N a k ł . 8 0 + 1 7 5 A r k . w y d . 3,52 A r k . d r u k . 4,62 P a p i e r o f f s e t o w y k l . V , 70X100, 80 g O d d a n o d o d r u k u 3. 6.1 974 P o d p i s , d o d r u k u 28. 6.1974 D r u k u k o ń c z , w l i p c u 1974

Z a m . 770 23. 5. 1974 H-23 C e n a z ł 5,—

Skład, fotokopie, druk i oprawę

wykonano w Zakładzie Graficznym Politechniki Śląskiej w Gliwicach

(4)

SPIS TREŚCI

1 . WSTĘP ... 5 2. NAGRZEWNICE I METODY OBUCZENIOWE ... 6 2.1. Rodzaje wzbudników nagrzewnic cylindrycznych 6 2.1.1. Sposoby nagrzewania i rodzaje wzbudników ... 6 2.1.2. Wzbudniki cylindryczne z polem wzdłużnym i po­

przecznym .... 7

2.2. Obliczenie pola magnetycznego i wzbudników ... 9 2.2.1. Układ wsad-wzbudnik nieskończenie długi ... 10 2.2.2. Układ wsad-wzbudnik o długości skończonej ... 10 2.3. Rozwój metod obliczeniowych pola magnetycznego dla

wzbudników o długości skończonej ... 11 2.3.1. Metoda z szeregiem Fouriera ... 11 2.3.2. Metoda z całką Fouriera ... 13 2.4. Obliczanie parametrów wzbudników ... 13 2.5. Ocena metod obliczeniowych ... 16 3. ROZWINIĘCIE METODY OBIłCZENIOWEJ... 17

3.1. Modele obliczeniowe .... 17

3.1.1. Przekroje poprzeczne, założenia i przynależne

modele .... 17

3.1.2. Przekrój wzdłużny i okład prądowy ... 18 3.2. Równanie ogólne potencjału wektorowego ... 23 3.3. Wzbudnik zewnętrzny bez bocznika magnetycznego ... 28 Str.

(5)

3.3.1* Potencjał wektorowy ... 28

3.3.2. Warunki brzegowe 1 wyznaczenie stałych ... 35

3.3.3. Równanie szczegółowe na potencjał wektorowy ... 38

3.3.4. Równania na indukcję ... 40

3.4. Wzbudnik wewnętrzny z bocznikiem magnetycznym i wsadem rurowym .... 43

3.4.1. Potencjał wektorowy .... 44

3.4.2. Warunki brzegowe i wyznaczenie stałych ... 47

3.4.3. Równania potencjału wektorowego i indukcji .... 53

3.5. Wzbudnik zewnętrzny z bocznikiem magnetycznym i wsadem rurowym ... 54

3.6. Zbieżność równań z wzorami klasycznymi ... 58

4. PRZYKŁAD ZASTOSOWANIA... 59

4.1. Nagrzewnica 1 modele obliczeniowe ... 59

4.2. Uproszczone równanie na Bz i założenia ... 60

4.3. Wyniki obliczeniowe i ich zbieżność z pomiarowymi .... 62

5. OZNACZENIA I SYMBOLE... 66

6. LITERATURA... 68 Str.

(6)

1. WSTĘP

W ostatnia dziesięcioleciu obserwuje się wyraźne tendencje do zwię­

kszania wielkości 1 mocy elektrycznych indukcyjnych urządzeń grzew­

czych. Roeną jednocześnie zarówno ich ceny zakupu jak też koszta eks- ploataojl. Stosowane do niedawna przybliżone metody obliczeniowe prze­

stają wystarczać, a dla nowych nietypowych jednostek nie aa jeszcze wskaźników empirycznych. Stąd stale rcenąca potrzeba doskonalszych i

jednocześnie uniwersalnych metod.

Ostatnio publikowane metody posługują się coraz to bardziej skom­

plikowanym aparatem matematycznym, a w związku z tym mogą w praktyce staó się mało przydatne. Właściwe wyważenie dokładności 1 pracochłon­

ności metody wysuwa się na pierwszy plan.

W pracy została poszerzona pewna metoda obliczeniowa, nad którą pracowano w ostatnich latach w różnych krajach. Objęto nią mianowicie przypadki dalsze 1 bardziej złożone od tych, dla których dotychczas została rozpracowana. Ponadto przeanalizowano możliwości wprowadzenia uproszczeń, które pozwoliłyby stosować ją w praktyce inżynierskiej.

Katodę zastosowano do obliczenia pola magnetycznego w przemysłowym prototypie oryginalnego rozwiązania nagrzewnicy do końców rur. Zbież­

ność wyników obliczeniowych z pomiarowymi okazała się dobra.

5

(7)

2. NAGRZEWNICE I METODY OBLICZENIOWE

2.1. Rodzaje wzbudników nagrzewnic cylindrycznych

2.1.1. Sposoby nagrzewania 1 rodza.le wzbudników

Nagrzewnicą indukcyjną nazywa się urządzenie elektrotermiczne słu­

żące do nagrzewania materiałów (wsadów) o dobrej konduktywnoś ci, w szczególności metali. Najczęściej występują w praktyce nagrzewnice dla wsadów cylindrycznych. Bo nich też, zgodnie zresztą z tytułem, o- graniczone zostały rozważania w tej pracy.

Wsad może byó jednocześnie nagrzewany na całej swej długości lub tylko ca pewnym odcinku. W odniesieniu do przypadku drugiego mówi się o nagrzewaniu miejscowym. Długość wsadu jest wtedy większa od długo­

ści wzbudnika2 \ Przy bardzo długich wsadach stosuje się powszechnie nagrzewanie przelotowe, grzejąc po sobie kolejno jego odcinki.

Przy nagrzewaniu miejscowym występuje wzdłuż długości wsadu bar­

dzo nierównomierny rozkład pola magnetycznego a więc i temperatur. Ce­

lowe korygowanie tych pól jest przy niektórych technologiach hutni­

czych pożądane.

Stosowane są wzbudniki ze wzdłużnym i poprzecznym polem magnetycz­

nym. Pierwsze charakteryzują się na ogół lepszymi parametrami elektro­

termicznymi i są prostsze w budowle & więc i tańsze. Ponadto powodują równomierny rozkład tesiperatury na obwodzie wsadu. Drugie natomiast mogą być wykonane z dwóch oddzielnych uzwojeń, co zezwala na skon­

struowanie wzbudnika otwieralnego. Pa cecha zaś jest pożądana w przy- 2 ^Przez wzbudnik będzie się w tej pracy rozumieć uzwojenie wraz z e-

wentualnymL bocznikami magnetycznymi.

(8)

padkach miejscowego nagrzewania wsadów o średnicy zmiennej wzdłuż dłu­

gości.

2.1.2. Wzbudniki cylindryczne z polem wzdłużnym i poprzecznym

Podstawowe konfiguracje układu wsad-wzbudnik występujące przy na­

grzewaniu miejscowym ze wzbudnikiem skończonym z polem wzdłużnym i wsadem długim (mogącym by<5 rozpatrywanym jako nieskończenie długi) moż­

na podzielić albo ze względu na obecność bocznika magnetycznego albo z uwagi na usytuowanie wzbudnika (rys. 2.1). W pierwszym przypadku rozróżnia się wzbudniki bez bocznika magnetycznego (pozycje a, b, o ) i z bocznikiem magnetycznym (pozycje d, e, f ). W drugim zaś rozróżnia się wzbudniki zewnętrzne (a, b, d, f ) i wewnętrzne (c, a). Wzbudniki wewnętrzne mogą, oczywiście, znaleźć zastosowanie tylko do wsadów ru­

rowych.

Boczniki magnetyczne stosowane 7. zasady przy krótkich wzbudnikach dla częstotliwości sieciowej i średniej w sposób radykalny poprawiają własności elektrotermiczne nagrzewnicy.

W układzie wsad-wzbudnik z bocznikiem magnetycznym występują dwie szczeliny. Jedna pomiędzy wsadem i uzwojeniem a druga pomiędzy uzwo­

jeniem i bocznikiem. W układzie wsad-wzbudnik bez bocznika magnetycz­

nego występuje tylko pierwsza.

Wielkości tych szczelin mają zwłaszcza przy wzbudnikach krótkich zasadniczy wpływ na pole magnetyczne układu.

Wzbudnik cylindryczny z polem poprzecznym jest w swojej budowie podobny do sto jena jednofazowej maszyny elektrycznej prądu przemien­

nego. Przewody z prądem, tworzące uzwojenie, ułożone są koncentrycz­

nie. Chwilowe kierunki przepływu prądu wskazują symbole krzyżyk i kropka (rys. 2.2).

Wzbudnik składa się z dwóch oddzielnie zasilanych połówek, może więc być otwierany. To jest jego zaletą, wadą zaś nierównomierny roz­

kład temperatury na obwodzie. W czasie nagrzewania wymagany jest co najmniej jeden obrót wsadu o kąt 90°;

(9)

oo

a

Rys. 2.1. Konfiguracje wsad-wzbudnik w przypadku nagrzewania miejscowego w wzdłużnym polu magnetycz­

nym

Ci * wsad, 2 - uzwojenie, 3 — bocznik magnetyczny), a do o — wzbudniki bez bocznika magnetycznego}

(10)

Rys. 2.2. Przekrój poprzeczny konfiguracji wsad-wzbudnik w przypadku nagrzewania w poprzecznym polu magnetycznym

(1 - wsad. 2 - uzwojenie. 3 - bocznik magnetyczny)

2.2. Obliczani* poi* magnetycznego i wzbudników

Obliczenia pola magnetycznego układów wsad-wzbudnik mają w dzie­

dzinie grzejnictwa indukcyjnego podstawowe znaczenie. Równania na na­

tężenie pola i indukcję stanowią punkt wyjścia do wyznaczenia rozkła­

dów mocy we wsadzie. Te zaś z kolei umożliwiają obliczenie lub ocenie­

nie występujących we wsadzie rozkładów temperatur.

Drugą dziedziną bazującą na znajomości pola magnetycznego jest obliczanie parametrów elektrycznych wzbudników.

0 teorii grzania indukcyjnego pisali Hoon i Spencer w swojej teo­

rii pola£44J jeszcze w 1961 r., że "teoria tego zagadnienia nie jest obecnie w zasadzie bardziej rozwinięta niż w 1884 r., kiedy zostawił ją Haewislde. Jedynym zagadnieniem, zbadanym teoretycznie, jest nie­

skończenie długi metalowy pręt walcowy z nawiniętym przewodem wzbu­

dzającym, w którym płynie prąd przemienny". Krótko po wydaniu cytowa­

nej książki rośnie zainteresowanie tą problematyką. Pojawia się sze­

reg publikacji, które z jednej strony porządkują znany już sposób ob- liozania dla nieskończenie długi oh układów wsad-wzbudnik, a z dru­

(11)

giej przedstawiają netody uwzględniające wpływ końców, w szczególno­

ści wzbudnika.

2.2.1. Układ wsad-wzbudnik nieskończenie długi

Wstępne, pobieżne albo fragmentaryczne omówienie zasad obliczania pola magnetycznego nieskończenie długiego układu wsad-wzbudnik znaleźć można w różnych opracowaniach, np.t [56], [593# [2 3 3# C313» D3*

Systematyczny wykład teorii grzej nic twa indukcyjnego przedstawił E. Langer w L33J. Zaczynając od szczegółowego omówienia przypadku naj­

prostszego, to znaczy od nagrzewania płaskiej półprzeatrzeni, przecho­

dzi kolejno do płyty, walca pełnego i wydrążonego.Podobnie ujęta jest książka E.M. Wajnberga [653* Autor rozpatruje w niej jednak więcej przypadków szczególnych, między innymi nagrzewanie od wewnątrz przy użyciu wzbudnika z bocznikiem magnetycznym. Praca ta ujmuje najbar­

dziej kompleksowo, z punktu widzenia analizy pola magnetycznego w nie­

skończenie długim wsadzie cylindrycznym, problematykę teorii grzej- niotwa indukcyjnego.

Interesujące uzupełnienia do teorii Indukcyjnego nagrzewania rur podają jeszcze [ 4 3 i jjtój. Pierwsza praca poświęcona jest nagrzewaniu rur przy pomocy wzbudnika zewnętrznego, a druga zajmuje się parame­

trami elektrycznymi w przypadku wzbudnika wewnętrznego.

Osobnym problemem jest obliozanie pola magnetycznego i mocy w na­

kładzie wsad-wzbudnik z polem poprzecznym jak na rys. 2.2. Było ano przedmiotem pracy doktorskiej autora a później zostało jeszcze rozwi­

nięte w [143, [153, [173, [183, [203, [473, [483.

2.2.2. Układ wsad-wzbudnik o długości skończonej

Obliczenia dla wzbudników o długości skończonej z wsadem nieskoń­

czenie długim można podzielić na dwie grupyt

1) obliczenia pola magnetycznego w układzie wsad-wzbudnik,

. r

2) obliczenia parametrów elektrycznych wzbudników.

V przypadku wzbudnika o długości skończonej rozkład okładu prądo­

wego wzdłuż osi ma kształt pojedynczego prostokąt a.Przebieg taki jest

(12)

niewygodny z punktu widzenia analizy matematycznej. Możliwe jest ob­

liczanie pola magnetycznego w układzie wsad-wzbudnik przy pomocy cał­

ki Fouriera. W literaturze brak nazwy dla takiej metody obliczenio­

wej. Mogłaby na przykład brzmieć: metoda obliczeniowa dla pola magne­

tycznego w układzie wsad-wzbudnik wykorzystująca całkę Fouriera.W dal­

szym ciągu będzie stosowana nazwa skrócona* metoda z całką Fouriera.

Zasadnicze uproszczenie obliczeń uzyskuje się po zastąpieniu poje­

dynczego wzbudnika systemem identycznych wzbudników ułożonych obok siebie wzdłuż osi wsadu w równych odległościach. Rozkład okładu prą­

dowego stanowiący nieskończony ciąg prostokątów może byó przedstawio­

ny w postaci szeregu Fouriera. Metoda wykorzystująca taki system też nie ma jeszcze nazwy. Przez analogię do poprzedniej będzie się używać określenia: metoda z szeregiem Fouriera.

Obie te metody mogą być stosowane tylko do względnie prostych konfiguracji wsad-wzbudnik, do bardziej złożonych nadają się już tyl­

ko metody numeryczne.

2.3. Rozwój metod obliczeniowych pola magnetycznego dla wzbudników o długości skończonej

2.3.1. Metoda z szeregiem Fouriera

Pierwszą pracę £8] na temat obliczania pola magnetycznego w ukła­

dzie wsad-wzbudnik, gdzie pojedynczy wzbudnik został zastąpiony sy­

stemem wzbudników, opublikował H. Buehholz w "Archiv fur Elektrotech­

nik" w 1958 r. Opracowanie dotyczyło przypadku najprostszego, to zna­

czy nagrzewania od zewnątrz cylindra pełnego (przypadek a na rys.

2

.

1

).

Wzdłuż jednorodnego przewodzącego walca o promieniu a ułożono uzwo­

jenia o promieniu b, długości 2 1 i grubości pomijalnie małej. Od­

stępy pomiędzy nimi wynoszą 2 h, a chwilowy kierunek przepływu prądu w uzwojeniach sąsiednich jest przeciwny.

Autor wychodzi z równań Maxwella, a kończy rozważania na równa­

niach potencjału wektorowego pola magnetycznego .Tok postępowania jest

(13)

21___ 2 h 21 2 h 21

b

© © ©

Rys. 2.3. Konfiguracja wsad-wzbudnik, dla której przeprowadzono obli­

czenia w [8]

przedstawiony skrótowo i niekompletnie, przekształcenia zostały pomi­

nięte, co bardzo utrudnia czytanie artykułu.

Przypadek podobny, różniący się od przedstawionego na rys. 2.3 tym że chwilowe kierunki prądu we wszystkich uzwojeniach były zgodne, pod­

dano analizie we Włoszech w 1971 r. (40]» Autorów interesuje liczbowe ujęcie szeregu zależności, które zostały przedstawione na wykresach.

W tym samym roku pojawia się krótki artykuł J.D. Laversa i P.P.

Bifingera z Kanady [35j|t gdzie autorzy czynią kolejny krok naprzód, wprowadzając bocznik magnetyczny o jk ■(» m zewnątrz uzwojeń. Prócz promieni wsadu (a) i uzwojenia (b), które występowały już w pracy H.

Buchholza, do obliczeń dodatkowo wchodzi trzeci promień - promień bocznika magnetycznego c (rys. 2.4).

BOCZNIK MRGNE7YCZ.NY

Rys. 2.4. Konfiguracja wsad-wzbudnik, dla której przeprowadzono obli­

czenia w £35]

(14)

W odróżnieniu od opracowania poprzedniego tok postępowania przedsta­

wiony jest nadal bardzo skrótowo, ale już przejrzyście, natomiast spo­

sobu wyliczenia stałych również nie pokazano.

W roku 1973 w "Wiadomościach Akademii Nauk ZSRR" ogłoszono artykuł Cholina i Cinclnkiana £V) przynoszący fragmentaryczne rozwiązanie pro­

blemu przy indukcyjnym nagrzewaniu rury (rys. 2.5).

III

r z z zza

'Z/Z/ZZZZZZŹZZZŹZZZZZZZZĄ

1

4

>(S) >

. tu

i

Ci

s

o Rys. 2.5. Konfiguracja wsad-wzbudnik, dla której przeprowadzono frag­

mentaryczne obliczenia w (V). Cyfry rzymskie oznaczają obszary obli­

czeniowe

Do postaci końcowej doprowadzono jedynie równanie na potencjał wek­

torowy dla obszaru U l , to znaczy dla przestrzeni na zewnątrz ruzy.

Dla pozostałych, w tym również dla obszaru U , dla samej rury, napi­

sano jedynie równania ogólne na potencjały wektorowe i układ równań wynikający z warunków brzegowych. TJkładu tego nie rozwiązano, a więc też nie wyznaczono potrzebnych stałych. Nie obliczono także indukcji.

W końcu artykułu zasygnalizowano problem nagrzewania rury od wew­

nątrz (rys. 2.6).

Tu ograniczono się wyłącznie do napisania ogólnych równań na po­

tencjały wektorowe poszczególnych obszarów obliczeniowych (i, U i III) i stwierdzenia, że występujące tam stałe mogą byó obliczone z równań na warunki brzegowe.

2.3.2. Metoda z całka Fouriera

W tej dziedzinie także brak systematycznie opracowanej metodyki li­

czenia. W różnych publikacjach podaje się fragmentaryczne omówienie zagadnienia.

13

(15)

///

Rys. 2.6. Konfiguracja wsad-wzbudnik przy nagrzewaniu od wewnątrz wg (30 • Cyfry rzymskie oznaczają obszary obliczeniowe

Względnie pełny tok postępowania dla układu wsad-wzbudnik składa­

jącego się z nieskończenie długiego wsadu cylindrycznego pełnego i pojedynczego uzwojenia o skończonej długości i o grubości pomijalnie małej przedstawiono w 1966 r. w [13]. Na początku artykułu wspomina się tylko, że rozwiązania bazują na równaniach Haxwella, a od razu rozpisuje się równania na laplasjany potencjałów wektorowych dla wsa­

du i obszaru poza wsadem. Z kolei rozwiązuje się te równania metodą rozdzielenia zmiennych otrzymując rozwiązania cząstkowe, Z uwagi na występującą w układzie symetrię powstaje możliwość ich uproszczenia

(pewne stałe można przyjąć równe zeru).

Następnie posłużono się całką Fouriera rozpisując z osobna rozwią­

zania dla założeń:

- brak wsadu wewnątrz wzbudnika, - brak uzwojenia na zewnątrz wsadu.

Otrzymane wartości potencjałów wektorowych w postaci całki Fouriera sumuje się, stosując zasadę superpozycji pól - osobno dla obu rozpa­

trywanych obszarów, to znaczy dla wsadu i szczeliny.

Dla wyznaczenia stałych występujących w rozwiązaniach korzysta się z warunków brzegowych. Obliczenia doprowadza się do równań na poten­

cjały wektorowe obszarów. Wyrażeń na pole magnetyczne, to znaczy na indukcję magnetyczną lub natężenie pola magnetycznego, już nie poda­

no.

(16)

Całe scharakteryzowane tu obliczenie mieści się na trzech stronach formatu A5. Można sobie więc wyobrazić jak zwięzłe i fragmentaryczne musiało być jego ujęcie.

Kontynuację tematu w równie mało przejrzystym ujęciu przynosi w 1970 r. 061], Rozważania na temat pola magnetycznego kończą się rów­

naniami na składowe natężenia pola magnetycznego. Określające je wy­

rażenia zawierają całkę w przedziale od zera do nieskończoności. Funk­

cja podcałkowa jest bardzo złożona i zawiera kombinacje zmodyfikowa­

nych funkcji Bessela (dla argumentu zespolonego).

Liczbowe wyznaczenie wartości tych składowych możliwe jest tylko na elektronicznej maszynie cyfrowej, przy czym wykonanie potrzebnych programów stanowi oddzielny problem numeryczny.

2.4. Obliczanie parametrów wzbudników

Metody projektowania wzbudników do grzania indukcyjnego można po­

dzielić na empiryczne i obliczeniowe. Pierwsze bazują na doświadczal­

nie sporządzonych wykresach i nomogramach 056]. Obliczeniowe zaś dzie­

lą się na grupy według metod podstawowych:

1. Metoda transformatorowa}

2. Metoda oporów magnetycznych}

3. Metoda bazująca na obliczeniu pola magnetycznego dla układu nie­

skończenie długiego}

4. Metoda bazująca na obliczeniu pola magnetycznego wytworzonego przez wzbudnik o długości skończonej.

Najszerzej stosowane są pierwsze trzy. Poszczególni autorzy wpro­

wadzają różne współczynniki korekcyjne celem uwzględnienia skończonej długości wzbudnika i wsadu 06], 011], 01o], £45], 06 0], 066], 0533*

M . DO, 034], 032], 0 3 ] , 037], 057], 025], 063], [65], 02]. Rów­

nież mnogość publikacji na ten temat świadczy, że metody te nie roz­

wiązany problemu.

W ostatnich latach zaczynają się pojawiać opracowania dotyczące me­

tody czwartej 042], 041], 058]. Uzyskiwane wzory są bardzo skompliko­

wane.

15

(17)

2.5. Ocena metod obliczeniowych

Reasumując można powiedzieć, że metody przybliżone mało nadają się zarówno do analizy pól i zjawisk w układzie wsad-wzbudnik jak również do obliczeń wzbudników.

Metody z całką Fouriera jak też numeryczne wymagają elektronicz­

nych maszyn cyfrowych i specjalistów numeryków. Ha tej drodze uzysku­

je się wprawdzie dla rozpatrywanych własności wsadu i wymiarów wzbud­

nika najdokładniejsze wyniki, ale brak związków (równań) pomiędzy po­

szczególnymi parametrami. Ich analizę można przeprowadzać dopiero w oparciu o liczne krzywe sporządzone dla różnych przypadków. To jest wadą tej metody.

Metoda z szeregiem Fouriera leży pomiędzy wyżej scharakteryzowany­

mi. Z założenia obarczona jest pewnym błędem biorącym się stąd, że w rachunku uwzględnia się wzbudniki sąsiednie, których w rzeczywistości nie ma, ale za to uzyskuje się wyniki w postaci równań. Ze zwalają więc na analityczne badanie wpływu poszczególnych parametrów układ wsad- wzbudnik na rozkład pola magnetycznego, a dalej na moc i wartości pa­

rametrów schematu zastępczego.

Opracowania scharakteryzowane w p.p. 2.3.1 nie obejmują jednak jeszcze wszystkich podstawowych konfiguracji wsad-wzbudnik, jakie w praktyce grzejnictwa indukcyjnego występują. Opisane zostały w lite­

raturze metody dla przypadków a do d (na rys. 2.1). Załatwiony zo­

stał w zasadzie problem układów wsad-wzbudnik bez boczników magne­

tycznych. Z drugiej grupy rozpracowano dotychczas tylko przypadek naj­

prostszy, to znaczy wzbudnik zewnętrzny z bocznikiem, z wsadem pełnym.

Przedmiotem niniejszej pracy jest wykonanie obliczeń dla ostatnich dwóch przypadków e i f.

Jak już wspomniano, podawane w literaturze opisy metod są niekom­

pletne i fragmentaryczne. Dla szczegółowego i ciągłego przedstawienia metody i toku postępowania przedstawi się na początku następnego punk­

tu obliczenia dla najprostszego przypadku, ale w systematycznym uję­

ciu.

(18)

3. ROZWINIĘCIE METODY OBLICZENIOWEJ

3.1. Modele obliczeniowe

3.1.1. Przekroje poprzeczne, założenia 1 przynależne modele

Szczegółowej analizie matematycznej zostaną w dalszym ciągu podda­

ne układy W3ad-wzbudnik oznaczone na rys. 2.1 i rys. 3 .1 literami a, e i f.

Przekroje układów wsad-wzbudnik stanowiące lewą kolumnę rysunku pokazują jedynie istotne z punktu widzenia obliczeń elementy wzbudni­

ka. to znaczy wsad. uzwojenie 1 ewentualnie bocznik magnetyczny. Po­

minięto w nich wykładziny żaroodporne i ciepłoizolacyjne. konstrukcje wsporcze, przewody doprowadzające prąd lub wodę chłodzącą itp. Mimo to są dla obliczeń nadal za bardzo złożone. Cytowani w p.p. 2.3 auto­

rzy zastąpili rozpatrywane przez siebie układy modelami,w których za­

stosowali następujące uproszczenia:

1) uzwojenie o skończonej grubości zastąpiono folią o grubości po- mijalnie małej. (Rozkłady pól magnetycznych wytworzonych obydwo­

ma uzwojeniami będą przy identycznych okładach prądowych do siebie zbliżone, w miarę oddalania się od uzwojeń zbliżenie to będzie dokładniejsze)}

2) wsad zastąpiono jednorodnym cylindrem elektrycznie przewodzącym którego parametry nie zależą ani od temperatury ani od natęże­

nia pola magnetycznego}

3) boczniki magnetyczne o skończonej przenikalności magnetycznej otaczające uzwojenie zastąpiono przestrzenią o » o o , (w przy padku wzbudników stosuje się boczniki o dużej przenikalności ma­

(19)

gnetycznej, a wpływ tego uproszczenia maleje ponadto ze wzro­

stem wielkości szczeliny, która ze względu na wykładziny żaro­

odporne i ciepłoizolacyjne musi być znaczna).

W oparciu o przytoczone uproszczenia zbudowane zostały modele ob­

liczeniowe dla przypadków a i f (rys, 3.1). Stosując ostatnie u- proszczenie również do bocznika wewnętrznego i zakładając dodatkowo, że stopniowany bocznik zostanie zastąpiony kołowym o równej powierz­

chni, otrzyma się model dla przypadku e.

Wpływ przedstawianych uproszczeń na zakres obliczeń omówi się po­

krótce na przykładzie przypadku e. Po zaniedbaniu niekorzystnego dla obliczeń kształtu bocznika magnetycznego i zastąpieniu go kołowym, w układzie można wyodrębnić sześć koncentrycznych warstw (wliczając w to również otaczające wsad powietrze). Ze względu na to, że grubość folii przyjmujemy równą zero, uzwojenie przestaje być obszarem obli­

czeniowym. Do bocznika o = oo strumień magnetyczny nie wnika, a więc i bocznik odpada jako obszar obliczeniowy. Ilość obszarów zredu­

kowała się zatem z sześciu do czterech.

3.1.2. Przekrój wzdłużny i okład prądowy

Istotą metody jest, jak wspomniano w p.p. 2.3.1, zastąpienie poje­

dynczego wzbudnika (rys. 3.2a) określonym systemem wzbudników,

Pole magnetyczne we wsadzie jak i w szczelinie na długości wzbudni­

ka środkowego 2 1 nie ulegnie większej zmianie, gdy pojedynczy wzbu­

dnik zastąpi się zaproponowanym przez Bucholza (p.p. 2,3.1) systemem wzbudników. Wpływ wzbudników sąsiednich będzie tym mniejszy im więk­

szy będzie stosunek 2 h s 21.

Korzyścią wynikającą z tego zastąpienia jest możliwość przedsta­

wienia przebiegu l(z) za pomocą szeregu Fouriera,

Rozkład okładu prądowego I(z) jako funkcja od z według (rys.

3.2) posiada okres 4 (l + h) i może być opisany:

(20)

Rys. 3.1. Przekroją poprzeczne układów wsad-wzbudnik i przynależne so­

dę le obliczeniowe

1 - uzwojenie, 2 - szczelina pomiędzy wsadem i uzwojeniem, 3 - wsad, 4 - szczelina pomiędzy bocznikiem magnetycznym i uzwojeniem, 5 - bocz­

nik magnetyczny, litery a, e, t - oznaczają układy jak na rys. 2 .1

(21)

1L

a

21 2h 21 2h 21 2h 21 2h 2[

® ©

©

©

©

+ 1 z

- I 4-d+h) ł J

Rys. 3.2. Długi wsad z pojedynczym wzbudnikiem (a) i z systemem wzbud­

ników (b) wraz z przynależnymi rozkładami okładu prądowego

- I dla - 2(1 + h ) < z < - (1 + 2 h) 0 dla - U + 2 h ) < z < - 1

1 dla - l < z < l O d i a 1 < z < l + 2 h - I dla 1 + 2 h < z < 2(1 + h) Szereg Fouriera w postaci zespolonej £7]

1(0

oo -

■ST I 3 L Z

> i an 6 n— oo

(3-1)

(22)

gdzie

-L

,5Tn - i •?“ z e L dz

I - 2tl + h)

(3-1a)

C3-1b)

Ze względu na symetrię względem osi z

a m 0 O Dla

\ a T Z

-(l+h) .3[tl

/ ' - 3 T “ z e 11 dz + O

-2(l+h)

L . 3Tn „

♦ L 41 - /

-L

2(l+h) . 31n /* “ 3 t.

dz l+2h

(3-2)

Po scałkcwaniu i podstawieniu granic

I L I ^ U + 2h) i3^ 2U+h)

jfe [*

ł « *

- 3 'hH 1 - j ^ 2 ( i + h ) 3^Cl»-2h)l

+ e - e - e + e

21

(23)

a po uporządkowaniu składników w nawiasie kwadratowym

j ^ 2 ( l + h ) - j ^ 2 C l + h ) ^

j^(l».2h) - j f £ ( l + 2 h ) j ^ l - 3 ? ^

+ e Ł - e L + e - e L

Korzystając ze związku

J x _ #-3*

*— T 3 - - - • * "

można wyrażenie na a^ zapisać w postaci

s . ] ■

2 I 4 ^ n ^ja Ł ' JtrT ~ 1

Podstawiając (3-3) do (3-1)

-4-5“ 4?[E*

.sin w— . j w- z w > 2 I ^ Sln T~ JTnh 3 “ K s ) - cos l

i korzystając ze związków

a m a ze względu na symetrię n —n

sin ęp - 0 3Tn dla n parzystego

sin iSSŁliC t_i )P dla n nieparzystego

]

(3-4)

(24)

można (3-4) zapisać « ostatecznej postaci

3.2. Rćwnanie ogólne potencjału wektorowego

Punktem wyjścia do obliczeń są równania Jtenrella dla pola elektro­

magnetycznego w ujęciu

gdziei

fi - natężenie pola elektrycznego, fi - natężenie pola magnetycznego, fi - indukcja magnetyczna,

fi - Indukcja elektryczna, 3 - gęstość prądowa.

Przy czym

(3-5) DbO

V x i ♦ 0 a

b (3-6)

c

V . fi ■ o d

5 -/tfi

5 b (3-7)

a

3 ■ g fi c

23

(25)

gdzie t

- współczynnik przenikalności magnetycznej ośrodka,

£ - współczynnik przenikalności elektrycznej ośrodka, 6 - konduktywność.

Wielkości S i l będzie się szukać za pośrednictwem potencjału wek­

torowego 1 spełniającego zależności

5 • V x J a

- A l ■ fi 7 b 13-8)

s 9?

«nr

W rozpatrywanych modelach (rys, 3.1 i rys. 3.2) wszystkie prądy i gęstości prądowe posiadają tylko składową kątową

a

zaś pozostałe składowe 13-9)

J - J - 0 r z

Kierunek potencjału wektorowego jest zgodny z kierunkiem prądu,któ­

ry go wywołuje, a więc

Ir,z) > o a

13-10)

Ap . Az - 0 b

Dla napisania równania potencjału wektorowego wychodzi się z (3-6b).

Po uwzględnieniu równań (3-7) kolejno

V t ( V x I) “C e (3-1 1)

(26)

Przy założeniu przebiegów sinusoidalnych prądu, czasową zależność I można przedstawić

I . 1 eJWt (3-1 2)

Stąd zgodnie z (3-8c)

I - - - jo* eJUt (3-13)

a po zaniedbaniu zależności czasowej

S - - jtoA (3-14)

Po uwzględnieniu (3-14) równanie (3-11) przyjmuje postać

£ V x ( 7 x D + E § f - - J«6X (3-15)

Z kolei zostanie rozwinięty pierwszy jego wyraz. Zgodnie z [24]

7 X ( V x A) - V (7 . I) - A A (3-16)

a gradient diwergencji w układzie współrzędnych walcowych

7 (7. 1) 17. I) 1r + 17 . I) V +

gdzie

V * 1 * r [ ń t r Ar } + I T t ] * T T t3_18)

25

(27)

Pierwszy składnik w klamrze, z uwagi na Ay ■ O zgodnie z (3-1 Ob), równa się zero. A

^

jest wprawdzie różne od zera, ale stałe na całym obwodzie, a więc i drugi składnik w nawiasie kwadratowym jest równy zero. Ze względu na (3-1 Ob) także A « 0, zatem również ostatni skła- dnik równania (3-18) równa się zero. A więc w rozpatrywanym układzie

V. A - 0 (3-19)

Ostatecznie sprowadza się (3-16) do laplasjanu wektorowego, który dla współrzędnych walcowych ma postaó [Y], [jS2^)j

4 1 . |aa. - \ (ir • 2 *

(3-20)

W laplasjanie wektorowym występują laplasjany skalarne, które w roz­

patrywanym układzie współrzędnych wyrażają się wzorem:

. . 1 5 T 3a1 1 a 2A 3 2A

U ‘ 2 , )

Z tych samych powodów, co w przypadku równania (3-18), przedostatni składnik' jest równy zero, a więc laplasjan (3-21) zredukował się do swojej składowej kątowej i można go zapisaó krócej

a V 7 & [ r 5 r ] ł 7 7

a po wykonaniu różniczkowania

, 3A^ a2A<p 32A,p

a ^ - 7 5 r * r r ł r r - i3-21* ’ dr d z

(28)

- Składowa promieniowa:

Ze względu na ■ 0 jest również A = 0„ Podobnie jak w równa­

niu (3-18) równy zeru jest także drugi składnik w nawiasie kwadra­

towym* bo A^>= const. A zatem w rozpatrywanym przypadku składowa promieniowa laplasjanu wektorowego równa się zeru.

- Składowa wzdłużna jest równa zero z uwagi na A =0.

Z - Składowa kątowa:

Jej pierwszy składnik określa (3-21b). Drugi składnik w nawiasie o- krągłyia równa się zero ze względu na Ay * 0.

A więc laplasjan wektorowy (3-20) sprowadza się do zapisu Analiza równania (3-20) prowadzi do następujących wniosków:

a po uwzględnieniu (3-21b) w A I równanie (3-1 6) przyjmie postać

7 x ( 7 x I ) . - [ 0 ł l | i ł 0 - i j A ] ł v 0 - 2 3 )

W równaniu (3-23) po prawej stronie znaku równości opuszczono indeks f przy literze A, ponieważ składowa k y jest jedyną różną od zera składową potencjału wektorowego. Również w dalszym ciągu będzie się stosować zapis skrócony (a ■ A ^ ).

Występujący w (3-15) składnik

c ŁŁ c 3t

można, korzystając z zależności (3-14), przedstawić w postaci

(29)

Ostatecznie więc, po uwzględnieniu (3-23) i (3-24) oraz uporządko­

waniu, równanie (3-15) można zapisać

02A 1 3A ć£ą

Sr2 + r 3r + 3z2 + ( £ ^ 3 - j{t6co- J-) A - 0 (3-25) r

lub krócej

gdzie:

a 2

(3-25b) jb2 -Kp-co

3.3, Wzbudnik zewnętrzny bez bocznika magnetycznego z wsadem pełnym

3.3.1. Potencjał wektorowy

Model układu wsad-wzbudnik odpowiadający przypadkowi a na (rys.

3,1) pokazany jest na (rys. 3.3).

Przyjmuje się dwuetapowy tok obliczenia. W pierwszej kolejności bę­

dzie się poszukiwać równań na potencjał wektorowy dla poszczególnych obszarów, a na ich podstawie napisze się potem wg (3-8a) równania na indukcję.

Wygodnie jest poszukiwać potencjału wektorowego o postaci podob­

nej do wyrażenia na okład prądowy. Wyrażenie (3-5) ma postać szeregu i zawiera funkcję trygonometryczną

(2nf1 )X z 1

(30)

®

a

W ?

21

2h

21

2 h

21

Rys. 3.3. Model wzbudnika bez bocznika magnetycznego z wsadem pełnym.

Cyfry w kółkach oznaczają obszary obliczeniowe (i i 2 - powietrze, 3 - przewodnik)

Poszukiwane wyrażenie na potencjał wektorowy można więc zapisać

*Cr..) A ^ C r ) c (3-26)

n-o

(31)

9 A2m 1^ + 1_ ^ A2m-1^r ' + [ _ ę3T(2n+1) ? +|^_ (SSatLl)2

4.0Ć2 - j£2 - -L-J A g ^ ^ r ^ c o s l 2i^ 1 f e = 0 (3-27)

Każdy składnik svaąy jest iloczynem nawiasu wężykowego i funkcji cosi- nus. Można więc przyrównać do zera wyrażenie w nawiasie

8 A2 n f l ^ 1 3A2 n » 1 ^ f , (2nfl )^2 T 1 + 7 5? + L" 1 L + Po podstawieniu (3-26), równanie (3-25a) przyjmie postać

+ - j / - A2nł..,(r) « 0 (3-28)

A po wprowadzeniu dodatkowych oznaczeń

gdzie \? = 2n+1

A ^ t r ) = A(r,>?) (3-29)

wyrażenie (3-28) można zapisać krócej

9 2A(r..<7) + 1 d A jr .O ) 9r2 r 3r

+ (- q2 +0c2 - jf ? - ^ ) ACr,v>) - 0 (3-30)

Jest to ogólna postać równania potencjału wektorowego.

i

(32)

Występują w nim współczynniki <x i fi> . Współczynnik zawierający £ będzie zgodnie z (3-25b) różny od zera tylko w powietrzu szczelin tzn.

w obszarach 1 i 2 , (Dla powietrza będzie się przyjmować wartość ta­

ką samą jak dla próżni, tzn, £ =£ Q ).

Współczynnik A zaś zawiera 6", a więc będzie różny od zera tylko w przewodzącym wsadzie, tzn. w obszarze 1.

Wobec tego dla obszarów 1 1 2 oraz dla obszaru 3 równanie (3-30) przyjmie szczególne postacie.

Dla obszarów 1 i 2 z uwagi na A = 0 otrzyma się

U 2 . „ 2 , 1 . , 4llv, , . 0 0 .31,

3r r

Jest to równanie różniczkowe Bessela. Celem znalezienia jego roz-

2 2 r “i

wiązań, trzeba zbadać znale wyrażenia (ą ■»-&') - np. 1431.

* 2 p

Dla zorientowania się w rzędzie wartości ą ę i Oi dla typowych parametrów występujących w przemysi owym grzejnictwie indukcyjrym, wy- konano pomocnicze obliczenia.. Okazuje się, że wartości 2 są w za­

sadzie znacznie większe od Ot2. Powstaje więc pytanie, dla jakich pa- rametrów ww, różnica określana dalej jako współczynnik k)7

4 = y - C C 2 (3-32)

/

będzie większa od zera.

^ 2

Wartość współczynnika maleje wraz z i? , a wartość współczyn­

nika Ot 2 rośnie wraz z f. Celowe więc jest badanie znaku współczyn- 2

nika k^ dla najmniejszego i? oraz dla najwyższych w praktyce wy­

stępujących częstotliwości, tzn. dla J = 1

oraz (3-33)

f = 107 Hz

(33)

Po uY/zględnienlu (3-33) wyrażenie na qv według (3-29) przyjmie po­

stać

Budowane w praktyce wzbudniki, szczególnie dla wysokich częstotli­

wości, są wielokrotnie krótsze od Dla częstotliwości niższych, wartości I ^ n będą jeszcze znacznie większe. Można zatem stwierdzić

że dla przemysłowego grzejnictwa indukcyjnego jest zawsze spełniony warunek

a warunek

(3-34)

można wtedy zapisać

(3-35)

ky = q^ - « 2 > 0, (3-36)

co zezwala napisać równanie (3-31) w postaci

- (k* + \ ) A(r,tf) - 0 (3-37)

3r r

(34)

Jest to równanie typu [43], [36]:

£ 2 + l 3 V _ , 2! + & * . o 3 t 2 + t aT w + x 2 ‘ °

dla ^ = 1, a więc jest to równanie różniczkowe Bessela, którego roz­

wiązanie zawierają zmodyfikowane funkcje Bessela I^(kT) oraz K^(kT), W równaniu C3-37) licznik ułamka w nawiasie równa się jedności, więc f m 1, a zatem w rozwiązaniu wystąpią zmodyfikowane funkcje Bessela rzędu pierwszego I ^ k ^ r ) oraz Kj(k^r).

Równanie (3-37) ważne jest dla obszarów 1 i 2, Kolejno przeanalizu­

je się rozwiązania dla każdego z nich.

W o b s z a r z e 1

- C^i?) I^tyrO + V* ; ) KjCk^r) (3-3B)

Funkcja (k^r) dla t-^-OO rośnie do nieskończoności [?]. Poten­

cjał wektorowy zaś przy wzroście r powinien maleć. Z tego względu v rozwiązaniu (3-38) trzeba położyć

ct (P) - 0

Rozwiązanie uprości się wtedy do

^(r,*) = D^tf) K^k^r) (3-39)

W o b s z a r z e 2

A2(r,v>) - C2(^) I1 (k^r) + D2(tf) K ^ r ) (3-40)

Rozwiązanie na musi zachować postać ogólną, bo nie ma kryterium dla jej uproszczenia.

(35)

Na tym została wyczerpana problematyka związana z równaniem (3-31) ważny® dla obszarów z powietrzem. W przypadku obszaru 3 stanowiącego przewodnik, w równaniu (3-30) współczynnik OC będzie równy zero, zaś współczynnik f i różny od zera. W związku z tym

32A3(r,tf) 1 3Aj(r,,?) 3 r 2 + r “ 3 7 “ -

- Uji + 5ft2 + \ ) A-Cr.i?) = 0 (3-41) r

2 2

Dla sumy wyrazów + j/S wprowadza się, analogicznie jak przy rozpatrywaniu równania (3-31)» współczynnik X J

X 2 = 4 + JA2 (3-42)

który jest odpowiednikiem k2 wg (3-32).

Rozwiązanie równania (3-41) przyjmuje wtedy postać

A^(r,v?) - C3(y) I ^ r ) + D3(tf) ^(tyr) (3-43)

Funkcja K^(\^r) dla r— *-0 rośnie do nieskończoności [2^. Poten­

cjał wektorowy w środku wsadu musi byó mniejszy niż na jego powierz­

chni. W rozwiązaniu (3-43) należy więc położyć

Dj(l?) = 0

i otrzymuje się ostatecznie d l a o b s z a r u 3

^(r.N?) - C30?) I ^ r ) (3-44)

(36)

3.3.2. Warunki brzegowe i wyznaczenie stałych

Dla pełnego określenia potencjałów wektorowych , Ag 1 Aj za­

chodzi potrzeba znalezienia współczynników CgO?), i D2(0). Współczynniki te, dalej zwane stałymi, można wyznaczyć z wa­

runków brzegowych dla granic obszarów 1, 2 1 3. Równania dla tych wa­

runków, dla poszczególnych granic mają postać [30], [24], [62], [l8]t

r ■ b

Warunek na składową normalną

^ ^ - 0 l3-45a)

Warunek na składową styczną

1 1 3lr A2) 1 1 Aj )

łio r 3r r

3r

m U , i ^ L eoaĄ l k t3-45b)

Warunek na składową normalną

Aj - Ag ■ 0 C3-46a)

Warunek na składową styczną

1 1 9(r Aj) 1 ^ C r y o

^ r 3r r 3r (3-46b)

Podstawiając rozwiązania (3-39), (3-40) oraz (3-44) do warunków brzegowych (3-45a), (3-45b), (3-46a) oraz (3-46b) i uwzględniając wzo­

ry na pochodną z iloczynu "argument razy zmodyfikowana funkcja Besse-

(37)

la", uzyskuje się układ 4 równań zawierających poszukiwane poszczególnych obszarów

C2 1,0*^) + D2 K^bk^) - D1 ^(bk^) = O

C2 I^bk,?) - C2 Ko(bk^) + D1 KoCbkv') «

4 c-iy1 j j h - n 7 ^ r ~ c 08

C3 I1CaXł?) - C2 I^ak^) - Dg ^ ( a k ^ = O

p r / 3 - c? ♦ »2 - °

Uzyskaną z wyrażenia (3-47) zależność

V bV

D1 " D2 + C2 f^bięr

podistawia się do (3-48) otrzymując

r I (bk,) *1

k ‘M ^ * d2 KotWt<)

- \ *0l V ■ cos ^

Uo wprowadzeniu oznaczenia

4 I^o(-l)n J ^ h , _ _ 4^ r - c°s _ =

stałe dla

(3-47)

(3-40)

(3-49)

(3-50)

(3-51)

(3-52)

(3-53)

(38)

) + :

"2 Kjtbk^) " k^

równanie (3-52) przybierze postać

Ie(bkł?) K|(bk^) + I^bk,) Ko(bk^) _

C_ ... ■ "■i— ■■» - r— u v?

a stąd

C2 - b J ^ Q KjCbk^) (3-54)

Otrzymane wyrażenie na wprowadza się z kolei do równań (3-49) i (3-50)

C3 I1 (aX^) - D2 Kj (ak^) = b I.,(ak^) ^(bk^) (3-55)

F ^ C3 IoCaXń * =2 Ko<«* > -

- - b I0(ak^) K^bk^) (3-56)

a wyznaczoną z (3-55) zależność na stałą

^iCsk^) ^-j(a^ ' . .

D2 J>? ^o ^ ( a k ^ T Kitbk^ + C3 K " [ a k j l C > 5 7 )

uwzględnia się w (3-56) uzyskując

V Iotalv?) + Ilta X g ) K°Cakv?)] “

= b ty ^L0 K,(bk^)jl0(ak^) ^(ak^) + I.,(aky) K0(ak^)J

37

(39)

a stąd

c , - i f --- « - » >

/ ^ I otaX^; K^ak^) + I ^ a ^ ) Ko(ak^)

Dale^ można już wyznaczyć stałą Dg przez wprowadzenie (3-58) do (3-57)

^Cak^) I . U ^ ) D2 = b Jv ^■(■ak^y V bV + Kj(ak^) x

V 0taV K^(ak^) + kc,I1CaX^) K ^ a k j ) &

a po uporządkowaniu

d2 - J^ 0 Ti (ak ^ +

V 0C a V K^(ak^) + k^ I ^ a * ^ K0(ak^) ^ii.

o

]

13-59)

ten sposób wyznaczono stałe C2 i Dg oraz wchodzące do równań na potencjały wektorowe obszarów 2 i 3* Ho wsadu i przylegają­

cej do niego szczeliny ograniczy się analizę w tym jak i w dalszych przypadkach. Pole magnetyczne na zewnątrz wzbudnika jest z punktu wi­

dzenia zjawisk występujących w grzanym wsadzie mniej interesujące.

3.3.3. Równania szczegółowe na potencjał wektorowy

Podstawiając (3-58) przy uwzględnieniu (3-53) do (3-44) a potem do (3-26) otrzymuje się równanie szczegółowe na potencjał wektorowy ob­

szaru 3» tzn. dla wsadu

(40)

C2n»1)Tz

x

g (3-60)

gdzie

M = M bk2n+1 ^ T1 ^r \nf1 ^____________________

*2nf1 ) M ^ i h - 1 ^ + ^2nf1 Ko^b]£2ih-1 ^ fi"

(3-60a) przy czym

* * * - « 2'

______________ | (3-60b)

*2» , ♦ a ?

Podobnie podstawiając (3-59) i (3-54) przy uwzględnieniu (3-53) do (3-40) a potem do (3-26) otrzymuje się równanie szczegółowe na poten­

cjał wektorowy obszaru 2, tzn. dla szczeliny

13-60 n*o

gdzie J .

- t ^ K » r K1tbkg" l)Kl(rŁg°> lU

(41)

\ n t - 1 To^ai2w 1 ' K1 ^ak2n*‘l' * k2m1 I/ a\i>fl'! ^ O

t \

V o Ki‘“W

lub po uporządkowaniu wg ^(rkgnł-l ^ 1 Kl^rk2nt-1^

Kibk. J

* - tK1 > *1 } b J1 Cak2 m 1 5 +

£ __________ fell(a^2 w 1 )

a ^ o X 2n*1 Io^'a^2nf1^ ^ ^ 2 1 * 1 } + ^ k2n»-1 I1^a\ n f 1 } ^ ^ n f l ^

x K 1^rk2M-1^ (3-61 a)

współczynniki k2nł-1 1 ^2n+1 Wg ^3"60b^*

3.3.4. Równania na indukc.ie

Wektor indukcji 5 w polu dwuwymiarowym można przedstawić za po­

mocą jego składowych

I

5 ■ B T + B T (3-62)

r r z z

gdzie 1 i ? są wektorami jednostkowymi.

Rozpisując równanie B « V x I wg (3-8a) uzyskuje się podobne co do budowy wyrażenie na indukcję

« /1 ^Az i . (l3(r A<p) 1 t a B " (r W " r + T r “ r 1z C>63)

(42)

Uwzględniając, że zgodnie z (3-10) tylko składowa + 0, otrzymuje się z porównania równań (3-62) i (3-63) wyrażenia na składowe wektora indukcji

1 8(r A<p) 1 3(r A) \

z = r 3r--- ? a T ^ C3’65b)

Celem uzyskania równania na składową promieniową indukcji we wsa­

dzie B^r podstawia się (3-60) do (3-64a)

b, , . i ^ Ł V i = l £ c o s C ^ l J r a , 3 r a / 12n+1 L

n«o

x jl H 2Ł1I 8ln ią»rlg

oo I U ' L a

n=o

. ^ c_, f eo» ilsąkLii« sln n=o

Po uwzględnieniu M wg (3-60a) ostatecznie

n=o

x ____________________

^ 2 m 1 Io^a>2nf1^ ' + k2nł.1 ^ Iń aA2ra-1 ^ ro ^ 2 » 1 ' O

x sin tettj p Ł s (3-66)

(43)

Analogicznie uzyskuje 3ię równanie na składową promieniową induk­

cji w szczelinie Bp^, podstawiając (3-6 1) do (3-64a)

. . . C03 to-.;iffi *

2r 31 / 12nf1 1

n=o

[- i y u . sln IT] .

U / i -oo

2 ] (-1 y1 cos ffA TT sin If o t O Ł s n»o

Po wprowadzeniu TT wg (3-61 a) ostatecznie

i I Ł a 2 c-1

r co,te*?*

[ « ( , t„ W l ) I , C r ^ , ! - B2r

n»o

£ \

* 1 V aW * V . Ko ^ « , J 1

1 *1 trk2n*1 ’] si” D .67 )

Z kolei zostaną wyznaczone równania na składową wzdłużną indukcji.

B^z dla wsadu otrzymuje się z (3-65) po wprowadzeniu (3-60)

(44)

OO

U 4 I^'b V 1 1-1 )° eoa (2IH-1

)X

h

hz

"

JC

a ^_jA2nf1 2n+1 L n»o

x _________________ ¥ bk2T»i > J0tr W __________________

X ^2n+1 IoCa\>»1) K1Cak2nf1) + ^ l X1 ^a^2nf1 ^ ^ ^ l ^

X cos iia i a jł

B2z dla szczeliny wyznacza się analogicznie z (3-65b) po podsta­

wieniu (3-61)

B* . i - £ * y \ ^ c -Cs b uS ł , 2z

JT /

i 2nf1 2n+1 1

n»o

x [ bl^ (bk2nf1) ) + b U k 2»f15 +

£ __________ T1 ^a ^t?nf1 ______ V

a /ło X 2nf1 Io^a^2nf1 ^ S ^ ^ ih-I5 ^ w-1 ^ ^ m -1 ^ V ak2 » l V

Wyrażenia (3-66) do (3-69) stanowią konęlet równań ogólnych dla ob­

liczenia indukcji we wsadzie i szczelinie.

3.4, Wzbudnik wewnętrzny z bocznikiem magnetycznym i wsadem rurowymx )

W nagrzewnicy wewnętrznej (rys. 2*1e) w odróżnieniu od zewnętrz­

nej wsad znajduje się na zewnątrz uzwojenia. Przy ustalaniu równań na

. . i ■ . i . i. . i — . .

* Podpunkt ten został w skrócie przedstawiony w postaci referatu na 7 Międzynarodowym Kongresie Elektrotermii [21], Jego omówienie przed­

stawione w dyskusji zawiera £27].

(45)

rozkład okładu prądowego Jak i potencjał wektorowy nie czyniono żad­

nych założeń odnośnie wzajemnego położenia wzbudnika i wsadu. Podane w p. 3.2 równania będą więc ważne i dla nagrzewnicy wewnętrznej po­

siadającej wzbudnik wewnętrzny.

Model wzbudnika wewnętrznego z wsadem rurowym pokazany na rys. 3*4 zawiera 4 obszary obliczeniowe.

1) otaczające wsad powietrze o promieniu wewnętrznym d,

2) rurowy Jednorodny wsad przewodzący określony promieniami d i c , 3) szczelina powietrzna pomiędzy wsadem i uzwojeniem (szczelina II)

określona promieniami c i b,

4) szczelina powietrzna pomiędzy uzwojeniem i bocznikiem magnetycz­

nym (szczelina i) określona promieniami b i a.

Bocznik magnetyczny nie stanowi obszaru, bo jak wspomniano już wy­

żej, do przestrzeni o

[i

■ 00 linie magnetyczne nie wnikają.

Własności poszczególnych obszarów i elementów modelu wg założeń z punktu 3.1.1.

Obliczenia będzie się przeprowadzać analogicznie jak w p.p. 3.3.

Uzasadnienia tam przytoczone nie będą już powtarzane.

3.4.1. Potencjał wektorowy

Rozkład okładu prądowego jest identyczny jak na rys. 3*2, więc mo­

że być przedstawiony przy pomocy szeregu (3-5)

Mł, . ... llatllŁŁ OM f e lf c C

3

— ?o)

n»o

gdzie

L - 2(1 + h).

(46)

Rys. 3.4. Przekroje modelu wzbudnika wewnętrznego z bocznikiem mag­

netycznym i wsadem rurowym. Cyfry arabskie w kółkach oznaczają obsza­

ry obliczeniowe

45

(47)

Z tych samych względów, co w p.p. 3.3.1, potencjału wektorowego bę­

dzie się szukać w postaci (3-26)

oo

A(r,z) - W l tr) 008 ^ Y ^ -- (3-71) n»o

Dla uproszczenia zapisu równań (3-31) oraz (3-41) wprowadza się od razu współczynniki (3-60b):

przy czym 1? » 2»f1.

Wtedy równanie potencjału wektorowego dla obeżarów z powietrzem (3-31), tzn. dla obszarów 1, 3, 4 przyjmie postać

i h t f U „ i . U 2 , . 0 {3_M )

3 r r

Z kolei zostaną analogicznie jak w p.p. 3.3.1 sformułowane rozwią­

zania tego równania dla poszczególnych obszarów.

W o b s z a r z e 1

A1 (r,V?) - Djltf) K^tk^r) * (3-75)

Uwaga: Opuszczana stała jest równa zero ze względów analogicz­

nych jak w przypadku równania (3-39).

(3-72)

(3-73)

(48)

W o b s z a r z e 3

A^(r,i?) - I.jtk^r) + D ^ } K,U^r) 0-76)

V/ o b s z a r z e 4

A4(r,»?) - C4(v>) I ^ r ) + D ^ ) K ^ r ) 0-77)

Równanie potencjału wektorowego dla przestrzeni przewodzącej 0-41) dla wsadu rurowego, przy uwzględnieniu (3-73) przyjmie postać:

3*4*2. Warunki brzegowe i wyznaczenie stałych

Analogicznie jak w p.p. 3.3.2 wypisuje się warunki brzegowe dla składowych normalnych i stycznych na poszczególnych granicaph okre­

ślonych promieniami

r * d

i w związku z tym rozwiązanie w o b s z a r z e 2

A ^r

,y?)

- C2t f ) 1 ,0 .^ ) + d2^ W 5 t3‘ 79)

a2 - a1 -.0 (3-80)

0-81)

(49)

r

-

b

- Ag * O (3-82)

1 1 3(r V 1 1 3tr V ,, m , jT" r łr --- 0 D "8 3 '

A3 - A4 - O (3-84)

1 1 9 (r

V

1 1 9 ^r

V

4 1 l-lf JT>?h r %

^ “ 7 — a r - “ / ę F “ T 7 “ - t V 003 “ T * u "85)

r - a

, . 9(r A.)

i _ l — _— — = O (3-86)

(lo t tr

Przestrzeń o r < a posiada

[L = oo

więc dla niej 1 - 0. Stąd zero po prawej stronie znaku równości w warunku granicznym na składową styczną w (3-86).

Przez wprowadzenie rozwiązań A^, Ag, A^, A^ do poszczególnych wa­

runków brzegowych uzyska się układ równań zezwalający wyznaczyć stałe C± i

Dla uproszczenia zapisu równań będzie się w dalszym ciągu opusz­

czać argument przy stałych i kłaść

zamiast C^(i?)

oraz

Dł zamiast D^tf)

(50)

JL\

^ol

Podstawiając (3-75) i (3-79) do (3-80) otrzymuje się

C2 I.,(d*^ + D2 ^(dł.j) - D1 ^(dk^) - 0 (3-87)

Po wprowadzeniu tych samych wyrażeń w (3-81 )

’ W o tdV + i r W W - 0 t3-88)

*0

Podstawiając analogicznie (3-76) i (3-79) do (3-82) i (3-83)

C3 I^ck^) + D3 ^(ck^) - C2 I^cl^) - D2 « O (3-89)

- ^ k ^ o l c k ^ ) - D3k^K0(ckł?)J - C2X ^ 0(cX^) +

+ D2X^Ko(cX ^ . O (3-90)

oraz (3-76) i (3-77) do (3-84) i (3-85)

C4 1,(1)^) + D4 K1(dkx?) - C3 I^bk.^) - D3 ^(bkj?) = O (3-91)

c4 Io^bk0) * D4 Kotbk^} “ C3 IoCbkv?) + °3 Ko(bkvP “

^ o 4 I t-lf JTJ h /,

“ F jT r ^ r ^ 008 ^ : ^

° 9 )

oras (3-77) do (3-86)

C4 IotakV ) ” °4 KotaV " 0 t3"93)

otrzymuje się ostatecznie układ równań dla wyznaczenia wszystkich sta­

łych C± i n^. Jednak zgodnie z przyjętym ograniczeniem rozważań do wsadu i przylegającej szczeliny wylicza się tylko stałe Cg i C3 oraz D2 i d3.

40

(51)

Celem rozwiązania, przepisuje się układ równań (3-87) do (3-92) w układzie Cramera w postaci jak w tabl. 3-1•

Ten układ równań rozwiązuje się metodą wyznaczników. Poszczególne stałe wyrażą się wtedy w postaci

C, . i

2 Y (3-94a)

» Xg

2 u t (3-94b)

C - i

3 Y (3-94c)

X

D3 - r (3-94d)

gdzie Y jest wyznacznikiem charakterystycznym układu równań a X^

wyznacznikiem przynależnym do szukanej niewiadomej.

Po v/yliczeniu i uporządkowaniu wyznacznika na Y, otrzymuje się za­

stępujące wyrażenie:

Y + ^ ^ KoCdk^ Ti t dV ] 1

x K ^ c A ^ + Kj(dk^) - J ^ ^ K ^ d k ^ ) ^ ( d ł ^ J x

z I l t c V j >x(^o^ckl?) * 0^ ^ " Ko^ck^ +

+ Xo< 4 ^ +

+ £

4

^ , ) V dV ] KoCc^ - [^Cdk;) Ko(dłj) -

x

[i/ck^) K0(ak^) + I0(ak^) K ^ c k ^ J (3-95)

(52)

Układ równań do wyznaczenia współczynników C 1 D w przypadku modelu wzbudnika wewnętrznego

D1 K^dk^) - C2 . I ^ d ^ ) - D2 . ^ ( d ^ ) . o

D1 k* j r K0^ + W o (iV - ° 2 ^ KoCdV - 0

•o

C2 + D2 *S (°*\P ’ C3 XiCck^ " D3 - 0

C2X^ Io ^ ^ " D2X^ Ko^°X^ ” C3 ktf ju“ Io^ek»?) + °3 fT * 0

^3 + °3 ^|'CWt^) “ C4 I^(bk^) - Kj(bk^) » O

0, 1 ^ ) - D3 K^bk^) . 04 I0(W V ) ♦ D4 K0(bk^) -

°4 I0(aV * ®4 Ko ^ ' 0 Tablica 3-1

VJ1

(53)

*5 ■ V 4X*> - Po wyliczeniu i uporządkowaniu wyznacznika na

s?1

x [^(ak^) 1/bk^) + I0(akl7) ^(bk,)]

podobnie w przypadku Xg

x6 ■ ł

V*

u v i , u v ]

x [ ^ ( ^ l i/bk^) + I0(iJt^ K.tbk^j

Wyrażenia na ^ i ^ po uporządkowaniu:

X1 ^(ak^) + Io(ak^) K^(bk^)]

x ( ^ ( d k ^ ^ ^ C c k , , ) ^ ^ ) Ko(dX^ -

- I0(d^)

K0(° V ]+^

K0(ckv?) x

x I0( d V ^(cX^) + Ko(dA^) l ^ o l Ą -

k Ke ( d k , ) ^ ( c k , ) [ K 0C c ^ ) I ^ d t y +

(3-96)

(3-97)

(54)

♦ K,(d^) l / o ^ ) ] + KoC ° V x

X [i,(c V K,(dl^) - I1 (dl^) C c A ^ j (3-98)

*2 " [ W + hW W ] x

x ^ ( d k ^ l A ^ C o ^ j j l o C c A ^ Ke(dA^) -

- « w ] - £ 7 ( c V J o( d V +

+ K0(dA^) 1 / c A ^ j j -

“£ r K°(dV { V cV [ Ko<cV V dV +

+ K, (dA^) I0(oAł?)J - £- ^ I0(ck^) x

x [l1 (oA^) K, (dAv) - I1 (dAj) ^ (c X,)]j) (3-99

3.4.3. Równania potencjału wektorowego i indukcji

Po podstawieniu wyrażeń na Y i wg (3-95) - (3-99) do roz­

wiązań równania potencjału wektorowego (3-78), (3-74), przy uwzględ­

nieniu związków (3-94a) - (3-94d), otrzymuje się równania potencjału wektorowego w postaci

A^r.z) - ę ^ ( V ) + Y" K1 (V )] 008 C3-100 )

53

(55)

w szczelinie

^(r.z) = 2 \j- ^ C ^ r ) + ^ lę, ( k ^ )]cos ^ 2 _ (3_-| 0 1)

Z bardziej szczegółowego rozpisania tych równań zrezygnowano ze względów technicznych (nie zmieściłyby się na jednej kartce).

Indukcję wylicza się analogicznie jak w p.p. 3.3.4 wg wzorów (3-64a) i (3-64b).

We wsadzie

Br

Bz __

\?

+ ? v v } sin^ ] C3- 102)

- I o(V ) - r K0( ^ )] cos T 2- (> 1 0 3 )

w szczelinie

Br

Bz

■ f ę o[ t l i i (K r )ł ^ K' Ck^ si“ '’‘? (3- io,j

■ ę

kv>[^l i ocv ) - r Ko(k^ ° “ v^ (3-io5>

gdzie Y oraz określane są wyrażeniem (3-95) - (3-99).

3.5. Wzb»drr<k zewnętrzny z bocznikiem magnetycznym i wsadem rurowym

Model wzbudnika zewnętrznego z bocznikiem magnetycznym i wsadem ru­

rowym (odpowiadający nagrzewnicy zewnętrznej), pokazany na rys. 3.5 zawiera 4 obszary obliczeniowe*

1) pusta przestrzeń cylindryczna (powietrze) wewnątrz wsadu o pro­

mieniu d.

(56)

/ / / / / / / /

/ / / /

i

21

2h

21

2h

21

-i ■'

*

V

z

's 's

/ /

2

Ui

3

N

V)

<C

$

£

ul N

Rys. 3.5. Przekroje modelu wzbudnika zewnętrznego z bocznikiem magne­

tycznym i wsadem rurowym. Cyfry arabskie w kółkach oznaczają obszary obliczeniowe

2) przewodzący wsad rurowy określony promieniami c i d,

3) szczelina powietrzna pomiędzy uzwojeniem i wsadem (szczelina U) określona promieniami b i c,

4) szczelina powietrzna pomiędzy bocznikiem magnetycznym i uzwo­

jeniem (szczelina I ) określona promieniami a i b.

(57)

Własności poszczególnych obszarów i elementów modelu wg założeń z

Obliczenia przeprowadza się analogicznie jak w przypadku wzbudnika zewnętrznego bez bocznika i wzbudnika wewnętrznego z bocznikiem ma­

gnetycznym.

Uzyskane równania na składowe indukcji we wsadzie i w szczelinie w przypadku wzbudnika zewnętrznego mają taką samą budowę jak odpowied­

nie równania dla wzbudnika wewnętrznego (3-102) do (3-105). Odmienne wzory określają jednak występujące w nich współczynniki Y, , X p.p. 3.2.1.

Poniżej podaje się ich końcowe postacie

[ v aV

x [ W Ko W “ Ko K P I o^ak 1>)l +

X [l1(ck^) K0(ak^) + I0(ak^) K, (ck^)] (3-106)

(58)

* 1

" ' ^ s T K°iak<f) + IoCaki?) *i(v ]

X ( i

1

(akł?) |A ^ C c k ^ f i

0

( ci ^ Ko(dX0) -

- I 0C d V

K 0 (c\j]

K

0

(ckł?) [ i0( d V K^CcV

+ Ko( d ^ iy(c v ] } ♦ ~ C o i s ? ^ C c V

X 1 / d ^ ) + K,(d^) IjjCcA ^ + ^ - ^ K ^ )

[ V c V V dV ' I i^aV *iŁov j } )

X

*2 - - ^ p E i (dV KoCak^ + ToCaV v bk/ h

X ( i ^ d k ^ j ^ C c k ^ C c ^ ) K0CdAv) -

- *0Cd*lP V ° V ] V ck^I?o(dV V ° V +

C d V 1 ^ ] + & 10^ Ą I^ck,) [koCcA ^ X

V d V + V dV x

x [ I it° V V aV ■ V aV K,CeX^]})

+ Ko

(3-107)

(3-108)

Cytaty

Powiązane dokumenty

Przenoszenie zakażenia COVID-19 z matki na dziecko rzadkie Wieczna zmarzlina może zacząć uwalniać cieplarniane gazy Ćwiczenia fizyczne pomocne w leczeniu efektów długiego

2 lata przy 38 to pestka… Izrael był na finiszu i to właśnie wtedy wybuch bunt, dopadł ich kryzys… tęsknota za Egiptem, za niewolą, za cebulą i czosnkiem przerosła Boże

W edukacji przedszkolnej i wczesnoszkolnej te wymiary łączą się ze sobą, gdyż dorosły kieruje jednocześnie procesem uczenia się wszystkich dzieci w grupie i każdego dziecka

Konieczne jest przygotowanie młodych ludzi do najważniejszych zmian związanych z procesem glo- balizacji: coraz większej liczby interakcji międzykulturowych, podobieństwa proble-

Oczywiście jest, jak głosi (a); dodam — co Profesor Grzegorczyk pomija (czy można niczego nie pominąć?) — iż jest tak przy założeniu, że wolno uznać

Zwracając się do wszystkich, Ojciec Święty raz jeszcze powtarza słowa Chrystusa: „Bóg nie posłał swego Syna na świat po to, aby świat potępił, ale po to, by

Tragedja miłosna Demczuka wstrząsnęła do głębi całą wioskę, która na temat jego samobójstwa snuje

Zgodnie jednak z inną tezą, która mówi, że niemożliwe jest dokonanie całościowego oszacowania tego, co się dostało, ani oddanie w słowach całej wdzięczności wobec tych,