Elementy przejściowe z rotacyjnymi stopniami swobody

Seria: B U D O W N IC T W O z. 93 N r kol. 1514

Urszula L A S K O W S K A * Politechnika Ś w ię to k rz y sk a

ELEMENTY PRZEJŚCIOWE Z ROTACYJNYMI STOPNIAMI SWOBODY

Streszczenie. W pracy przedstaw iono elem enty tarczow e z uw zględnieniem rotacyjnych stopni sw obody.

Podstawowym założeniem prow adzonych badań b y ła obecność sztyw nego w ęzła, którego przem ieszczenia, tj.

przesunięcia i obroty, w y w o łu ją w płaskim kontinuum tarczow e pole przem ieszczeń i naprężeń. R ozw ażane były czterowęzłowe elem enty tarczow e o 12 i 10 stopniach sw obody.

TRANSITION ELEMENTS WITH DRILLING ROTATIONS

Sum m ary. In this paper an engineering approach to drilling rotations for m em brane finite elem ents is pro­

posed. The approach is based on the follow ing assum ption: in th e area o f m em brane a rigid nodal point exists. A twelve-degrees-of-freedom and ten-degrees-of-freedom four-nodal m em brane elem ent having three or two- degrees-of-freedom p e r no d e w as considered.

1. Wprowadzenie

Metoda e le m e n tó w s k o ń c z o n y c h (M E S ) s ta ła się p o w sz e c h n ie s to s o w a n ą m e to d ą w m o ­ delowaniu i a n a liz ie o b ie k tó w in ży n iersk ich . M e to d a je s t p rz y b liż o n a i d a je w y n ik i o b a rc z o n e błędami. Isto tn y m ź ró d łe m b łę d ó w je s t n ie w ła śc iw e m o d e lo w a n ie b a d a n y c h o b iek tó w . D o ty ­ czy to w sz c z e g ó ln o śc i m o d e lo w a n ia o b sz a ró w , w k tó ry c h w y s tę p u ją p o d o b sz a ry z p ro b le ­ mami opisanym i w ró ż n y c h w y m ia ra c h (np. 2D , 3D ). P o w o d u je to k o n ie c z n o ść sto so w a n ia elementów z ró ż n y m i ro d zajam i sto p n i sw o b o d y . P o łą c z e n ie p o d o b sz a ró w z ró żn y m i sto p ­ niami sw obody w y m a g a w y d z ie le n ia s t r e f p rz e jśc io w y c h i z a m o d e lo w a n ia ich tzw . e le m e n ­ tami przejściow ym i.

‘ Opiekun n au k o w y : P ro f. d r hab. inż. G u staw R ak o w sk i.

2 70 U. Laskowska

R o z ró ż n ia m y d w a ty p y e le m e n tó w p rz e jśc io w y c h [9]:

a) e le m e n ty p rz e jśc io w e , k tó re u m o ż liw ia ją p rzejście m ięd zy strefam i z siatk am i podziału o ró żn ej g ę sto śc i, w ę z ły m a ją te sam e sto p n ie sw o b o d y ,

Rys. 1. E lem enty przejściow e o tych sam ych stopniach sw obody Fig. 1. T ransition elem ents w ith th e sam e degrees-of-freedom

b) e le m e n ty u m o ż liw ia ją c e p rzejście m ięd zy o b szaram i o ró żn y ch sto p n ia c h sw obody (rama - tarcza, ra m a - k o n tin u u m tró jw y m iaro w e ).

tarcza

Rys. 2. E lem enty przejściow e z rotacyjnym i stopniach sw obody Fig. 2. T ransition elem ents with drilling degrees-of-freedom

Z a g a d n ie n ie elem en tó w p rz e jśc io w y c h nie zo stało , j a k d otąd, d o stateczn ie opracowane, L iczb a p u b lik a c ji n a te n te m a t je s t bard zo o g ran iczo n a, w literatu rze św iato w ej nie przekracza k ilk u n a stu , a w k rajo w ej k ilk u p o zy cji.

W o sta tn ic h latach w zro sło za in te re so w a n ie te m a ty k ą d o ty c z ą c ą e le m e n tó w przejścio­

w ych.

Elementy u m o ż liw ia ją c e p rz e c h o d z e n ie m ię d z y o b sz a ra m i z siatk am i p o d z ia łu o różnej g ę ­ stości i tym i sam y m i sto p n iam i sw o b o d y z o sta ły o p isa n e m .in. przez: G u p ta [1], k tó ry z ap ro ­ ponował p ro sto k ątn y o śm io w ę z ło w y ele m e n t z c z te re m a w ęzłam i p rz e jśc io w y m i leżą cy m i w połowie d łu g o ści b oków . Je y a c h a n d ra b o se i K irk h o p e [2] p rzed staw ili ro d z in ę e le m e n tó w trójkątnych z w ęz ła m i p rz e jśc io w y m i w e w n ą trz ele m e n tu i w z d łu ż je g o k raw ęd zi.

Elementy, d zięk i k tó ry m m o ż liw e sta je się p rz e jśc ie m ięd zy o b sz a ra m i o ró żn y ch sto p ­ niach sw obody, p rz e d s ta w io n e z o sta ły m .in. w p racach : A llm a n a [3], z a p ro p o n o w a ł on e le ­ ment trójkątny o d z ie w ię c iu sto p n ia c h sw o b o d y z fu n k cjam i k ształtu d ru g ie g o sto p n ia. P o ­ dobne elem enty z o sta ły o p is a n e przez: B e rg a n a i F e llip a [4] o raz C o o k a [5]. W ele m e n ta c h tych dośw iadczalnie d o b ra n e z o sta ły d o d a tk o w e (s w o b o d n e ) p a ra m e try , k tó re z a p ew n iły optymalne ro z w ią z a n ie sz c z e g ó ln y c h p ro b lem ó w . H u g h e s i B rezzi [6] z a p re z e n to w a li z m o d y ­ fikowany m ie sz a n y i p rz e m ie s z c z e n io w y m odel sfo rm u ło w a ń w a ria c y jn y c h sto su ją c n ie z a ­ leżne pola ro tacy jn e.

2. Zakres tematyczny dysertacji

Tematykę m o jej p racy s ta n o w ią e le m e n ty u m o ż liw ia ją c e p rz e c h o d z e n ie m ięd zy strefam i o różnych sto p n iach sw o b o d y . P o d sta w o w y m za ło ż e n ie m p ro w a d z o n y c h b adań je s t o b ecn o ść sztywnego w ęzła, k tó re g o p rz e m ie sz c z e n ia , tj. p rz e s u n ię c ia i o b ro ty , w y w o łu ją w p łask im kontinuum ta rc z o w e p o le p rz e m ie sz c z e ń i n ap rężeń , a w k o n tin u u m tró jw y m ia ro w y m o d p o ­ wiednie p rz e strz e n n e stan y n a p rę ż e ń i o d k sz ta łc e ń , w y łą c z a ją c b lisk ie są s ie d z tw o w ęzła, gdzie zan ik a ją o d k sz ta łc e n ia p o stacio w e.

ut*.yl. VM • przemieszczenia (współrzędne) pola

Rys. 3. Element ze sztyw nym w ęzłem Fig. 3. Element w ith rigid point

2 72 U. Laskowska

3. Rozpatrywane elementy przejściowe

D o ty c h c z a s zo stały o p ra c o w a n e d w a p ro sto k ątn e czte ro w ę z ło w e e lem en ty tarczowe u w z g lę d n ia ją c e w p ły w ro tacy jn y ch sto p n i sw o b o d y . P o d sta w o w ym i je d n o c ze śn ie najtrud­

n iejszym p ro b le m e m w b u d o w ie m a cierzy szty w n o śc i elem entu j e s t opis p o la przemieszczeń - c z y li d o b ó r o d p o w ied n ich fu n k cji kształtu.

P r o s t o k ą t n y e le m e n t o c z te r e c h w ę z ła c h s z ty w n y c h 4 R

Rys. 4. E lem ent 4R , opis pola przem ieszczeń dla w ęzła 1 Fig. 4. E lem ent 4R, unit-displacem ents States for node 1

N a ry s u n k a c h 4b, 4 c, 4 d, p o k a z a n o p o sta c ie z d e fo rm o w a n e g o e le m e n tu w stan ach jednost­

k o w y c h d la w ę z ła 1. F u n k cje o p isu ją c e z d e fo rm o w a n e b rzeg i to w ie lo m ia n y L agrange’a i H erm ita, p rz e d s ta w ia ją one je d n o c z e ś n ie fu n k c je kształtu.

P ro sto k ątn y e le m e n t o d w ó c h w ę z ła c h s z ty w n y c h i d w ó c h w ę z ła c h p r z e g u b o w y c h 2 R 2 H

a) b)

2

Ar4"„=(3oJ - 2 o 'X i—ą)

N I =0

A C = i(2 -3 i! + i !>)

AŁ=M5 ¡¿eĄ

a£ .=o

N“„ =*(')!- Tl'X, -4)

Rys. 5. Elem ent 2R 2H , opis p o la przem ieszczeń d la w ęzła 4 i 2 Fig. 5. Element 2R2H , unit-displacem ent states for node 4 and hinge 2

Na ry su n k ach 5b, 5c, 5d p o k azan o p o sta c ie z d e fo rm o w a n e g o e lem en tu w stan ach je d n o s t­

kowych d la sz ty w n e g o w ę z ła n r 4, n a to m ia s t n a ry su n k a c h 5e, 5 f d la w ę z ła p rzeg u b o w e g o nr 2. Pole p rz e m ie s z c z e ń e le m e n tu 2 R 2 H p o d o b n ie ja k w ele m e n c ie 4 R o p isa n e zo stało w ie lo ­ mianami L a g ra n g e ’a i H erm ita.

M acierze sz ty w n o ś c i elem en tó w : 4 R i 2 R 2 H zo sta ły z b u d o w a n e w e d łu g stan d ard o w eg o pięciopunktow ego a lg o ry tm u M E S p ro w a d z ą c e g o do zn an eg o w zoru:

274 U . Laskowska

(

1

gdzie:

ke

D e - m a c ie rz szty w n o ści m ateriału .

Ja w n e p o sta c ie m a c ie rz y szty w n o ści p rz e d sta w io n y c h e le m e n tó w 4 R i 2 R 2 H zostały p o d an e w p racy [8],

4. Analiza numeryczna

A n a liz ę k o m p u te ro w ą k o n stru k cji z u w z g lę d n ie n ie m n o w y ch e le m e n tó w przejściowych p rz e p ro w a d z o n o s a m o d z ie ln ie n a p isa n y m p ro g ra m e m b a z u ją c y m n a sy stem ie Math-Cad, W y k o n a n o sz e re g te s tó w sp ra w d z a ją c y c h p o p ra w n o ść n u m e ry c z n ą m a c ie rz y sztyw ności ba­

d a n y c h e le m e n tó w , k tó re p o tw ie rd z iły ich p rz y d a tn o ść w m o d e lo w a n iu w aru n k ó w podparcia.

B ad an o u g ięcie k o ń c a w sp o rn ik a (p u n k t A n a ry s.6 ), o b c iąż o n eg o p io n o w ą s iłą skupioną p rz y ło ż o n ą w z d łu ż sw o b o d n e g o brzegu.

Rys. 6. W spornik obciążony p io n o w ą siłą P Fig. 6. In-plane bending o f a plate

O b lic z e n ia p rz e p ro w a d z o n o d la trzech p rzy p a d k ó w z a m o d e lo w a n ia w sp o rn ik a:

1) w sp o rn ik z a m o d e lo w a n y e lem en tam i o w sz y stk ic h w ęzłach szty w n y ch [4H ],

2) p o d p a rc ie w sp o rn ik a z a m o d e lo w a n e elem en tam i o d w ó ch w ęzłach sz ty w n y c h i dwóch p rz e g u b o w y c h [2R 2H ] ja k o p rz e jśc ie do k lasy czn y ch elem en tó w tarczo w y ch ,

3) w sp o rn ik z a m o d e lo w a n y k lasy czn y m i e le m e n ta m i ta rc z o w y m i [4R ], p rzy sia tk a c h p o d z ia łu zilu stro w a n y c h n a rys. 6.

y ( v ) P = 6 0 0 0 k G

1 = 1 2 0 0 m m 2 h = 6 0 0 m m

u E = 2 0 0 0 0 k G /m m '

t = 10 m m

u = 0.3

e l e8 e 16

e32 e64

Rys. 7. Siatki podziału n a elem enty badanego w spornika

Fig. 7. Selected m esh refinem ent for vertical displacem ent vA calculation for elem ents: 4R. 2R2H , 4H

Wyniki o d n o śn ie do u g ię c ia k o ń c a w s p o rn ik a p rz e d sta w io n o n a ry s .8

Rys. 8. Z bieżność w yników badanego ugięcia w punkcie A

Fig. 8. C onvergence o f calculated vertical displacem ent at th e point A

5. Możliwości zastosowań praktycznych i uwagi końcowe

■ S tosow anie e le m e n tó w p rz e jśc io w y c h m a isto tn e z n aczen ie d la m in im a liz o w a n ia b łęd ó w o b liczen io w y ch , b o w ie m u m o ż liw ia b u d o w a n ie b ard ziej re a listy c z n y c h m o d eli.

■ Przy u ż y c iu e le m e n tó w p rz e jśc io w y c h m o ż liw a sta je się an a liz a p o łą c z e ń w ę z ło w y c h z u w z g lę d n ie n ie m w y m ia ró w i o d k sz ta łc a ln o śc i w ę z ła tra k to w a n e g o ja k o e le m e n t p łaski lub e le m e n t p rz e strz e n n y , p o d a tn o śc i p o d ło ż a tra k to w a n e g o ja k o p ó łp rz e strz e ń sp ręży sta.

276 U . Laskowska

L IT E R A T U R A

1. G u p ta A .K .: A fin ite e le m e n t fo r tran sitio n fo rm a fin e to co arse grid, Int. Jour. Num.

M eth . E ng. 12, 1978, 35-45.

2. Je y a c h a n d ra b o se C ., K irk h o p e J.: C o n stru c tio n o f tra n sitio n fin ite e le m e n ts fo r the plane tria n g u la r fam ily , C o m .& S tru c t. 18, 1984, 1127-1134.

3. A llm an D .J.: E v a lu a tio n o f th e c o n sta n t strain s trian g le w ith d rillin g ro tatio n s, Int. J.Num.

M eth . E n g rg . 26, 1988, 2645 -5 5 .

4. B erg an P .G ., F e llip a C .A .: A tria n g u la r m e m b ra n e e le m e n t w ith ro ta tio n a l degrees-of- fre e d o m , C o m p . M eth. A ppl. E ngrg, 50, 1985, 25-69.

5. C o o k R .D .: A p lan e h y b rid ele m e n t w ith ro tatio n al D .O .F an d ad ju sta b le stiffness, Int. J.

N u m . M eth. E ngrg. 24, 1987, 1499-1508.

6. H u g h e s T .J.R , B rezzi F.: O n d rillin g d eg re e s-o f-fre e d o m , C om . M eth . A p p l. Engrg., 72, 1989, 105-121.

7. C h in o si C ., C o m o d i M .J., S acch i G .: A new fin ite e le m e n t w ith „ d rillin g ” D .O .F , Comp.

M eth . A p p l. E n g rg , 149, 1997, 1-14.

8. R a k o w sk i G . L a sk o w sk a U. : A n e n g in e e rin g ap p ro ach to d rillin g ro ta tio n s fo r membrane fin ite elem en ts, 2 nd E C C M 2 0 0 1 , K rak ó w 2 6 -2 9 .0 6 .2 0 0 1 , N o 92

9. R ak o w sk i G .: M e to d a e le m e n tó w sk o ń c z o n y c h -w y b ra n e p ro b lem y , O fic y n a Wydawnicza P o lite c h n ik i W a rsz a w sk ie j, W a rs z a w a l9 9 6 .

R ecenzent: Prof. d r hab. inż. P io tr Konderla

A b s tr a c t

T h e a p p ro a c h is b ased on th e assu m p tio n o f e x istin g a rig id nodal p o in t in th e area of m em b ran e. T h e n o d al d isp la c e m e n ts c au se on all ov er th e m e m b ra n e d isp la c e m e n ts and strain s fie ld s ty p ical fo r in - p la n e p ro b lem s. U sin g th e stan d ard p ro ced u re, the 12x12 and 10x10 stiffn e ss m atrix es fo r fo u r n o d es e le m e n t w ere o b tain ed . A series o f n u m erical verifi­

c a tio n stu d y has b een carried out.