Détermination du poids et du conducteur associés aux représentations des points de p-torsion d'une courbe elliptique

(1)

D I S S E R T A T I O N E S

M A T H E M A T I C A E

(ROZPRAWY MATEMATYCZNE)

K O M I T E T R E D A K C Y J N Y A N D R Z E J B I A L Y N I C K I - B I R U L A, B O G D A N B O J A R S K I, Z B I G N I E W C I E S I E L S K I, J E R Z Y L O ´S, Z B I G N I E W S E M A D E N I, J E R Z Y Z A B C Z Y K redaktor, W I E S L A W ˙Z E L A Z K O zast¸epca redaktora

CCCLXIV

A L A I N K R A U S

D´

etermination du poids et du conducteur

associ´

es aux repr´

esentations des points

de p-torsion d’une courbe elliptique

(2)

Alain Kraus

Universit´e de Paris VI

Institut de Math´ematiques, Case 247 4, place Jussieu

F-75252 Paris Cedex 05, France E-mail: kraus@math.jussieu.fr

Published by the Institute of Mathematics, Polish Academy of Sciences Typeset in TEX at the Institute

Printed and bound by

P R I N T E D I N P O L A N D

c

Copyright by Instytut Matematyczny PAN, Warszawa 1997

(3)

Introduction . . . . 5

I. D´etermination du poids . . . . 5

A. ´Enonc´e des r´esultats . . . . 6

B. D´emonstrations . . . . 7

B.1. Le cas p ≥ 5, v(j) ≥ 0 . . . . 7

1. Pr´eliminaires . . . . 7

2. Description de l’action de I sur Ep . . . . 8

3. Ramification sauvage . . . . 15

4. D´emonstration de l’assertion (b) du th´eor`eme 1 . . . . 16

B.2. Le cas p = 3, v(j) ≥ 0 . . . . 20

2. Description de l’action de I sur E3 . . . . 21

3. D´emonstration de l’assertion (b) du th´eor`eme 2 . . . . 24

B.3. Le cas p ≥ 3, v(j) < 0 . . . . 25

1. Description de l’action de I sur Ep . . . . 25

2. D´emonstration des assertions (a) des th´eor`emes 1 et 2 . . . . 26

B.4. Le cas p = 2 . . . . 27

II. D´etermination du conducteur . . . . 28

A. ´Enonc´e du r´esultat . . . . 28

B. D´emonstration . . . . 28

2. D´emonstration de la proposition . . . . 29

III. Appendice sur l’invariant de Hasse . . . . 30

IV. Appendice sur les courbes elliptiques `a r´eduction ordinaire . . . . 34

Bibliographie . . . . 39

R´esum´e

´

Etant donn´es un nombre premier p et une courbe elliptique E d´efinie sur Q, le groupe de Galois G_Q = Gal(Q/Q) agit sur le groupe des points de p-torsion de E(Q) suivant un homo-morphisme continu % : G_Q → GL2(Z/pZ). J.-P. Serre associe à % deux entiers, un poids et un conducteur, qu’il a déterminés dans des cas particuliers. L’objet de ce travail est de les calculer dans tous les cas.

1991 Mathematics Subject Classification: Primary 11G. Received 28.9.1994; revised version 20.6.1996.

(4)

Introduction

Consid´erons un nombre premier p et une courbe elliptique E d´_{efinie sur Q. Soient Q} une clˆoture alg´_{ebrique de Q, et E}p(Q) le sous-groupe des points de p-torsion de E(Q).

L’action du groupe de Galois Gal(Q/Q) sur Ep(Q) d´efinit une repr´esentation continue

%pde Gal(Q/Q) dans un espace vectoriel de dimension 2 sur Z/pZ. A une repr´esentation

de Gal(Q/Q) dans un espace vectoriel de dimension 2 sur un corps de caract´eristique p, J.-P. Serre ([8], §1 et §2) associe un poids qui est un entier ≥ 2, un conducteur N (%p)

qui est un entier ≥ 1 premier à p, et un caractère de Dirichlet. Le caractère de Dirichlet associé de la sorte à %p est le caractère trivial. Le but de cet article est de calculer le

poids k associé à %p et de comparer le conducteur N (%p) associé à %p au conducteur de

la courbe elliptique. Nous rappellerons pour mémoire les cas particuliers dans lesquels le couple (N (%p), k) est déjà connu.

Je remercie J. Oesterlé pour les conseils qu’il a bien voulu me donner au cours de ce travail, ainsi que J.-P. Serre qui m’a adressé une lettre qui me fut très utile.

I. D´

etermination du poids

La définition du poids k ne dépend que de la restriction de la représentation %p au

sous-groupe d’inertie de Gal(Q/Q) d’une place de Q prolongeant la valuation p-adique de Q. C’est pourquoi nous changeons de notations par rapport `a l’introduction et nous nous pla¸cons dans la situation locale suivante :

Nous consid´erons une courbe elliptique E d´_{efinie sur Q}p. Nous notons Qpune clˆoture

alg´_{ebrique de Q}p, Ep le groupe des points de p-torsion de E(Qp), Gp le groupe de Galois

Gal(Qp/Qp), v la valuation de Qp normalis´ee par v(p) = 1, % la repr´esentation continue

de Gpdans le groupe Ep et k le poids qui lui est associ´e par Serre. Il r´esulte de la prop. 2

de [8], et du fait que le d´eterminant de % est le caract`ere donnant l’action de Gp sur

les racines p-i`emes de l’unit´_{e de Q}p, que l’on a k ≡ 2 mod p − 1. J.-P. Serre d´etermine

k lorsque E est à réduction semi-stable : si E a bonne réduction, on a k = 2; si E a mauvaise réduction de type multiplicatif et si j = j(E) est son invariant modulaire, on a

k =    2 si p divise v(j), p + 1 si p ne divise pas v(j) et p 6= 2, 4 si p ne divise pas v(j) et p = 2

(5)

(cf. loc. cit., 2.9, prop. 5; noter que, `a cet endroit, si p ne divise pas v(j) et si p est ´egal `

a 2, la valeur de k est donnée par la définition (2.4.9)). J.-P. Serre indique également la valeur de k dans un cas particulier où E a une réduction de type additif (loc. cit., 2.9, remarque 2, et [9]). L’objet de cette partie est de calculer k dans tous les cas où E a mauvaise réduction de type additif. La méthode suivie est directement inspirée de celle de [9].

A. Énoncé des résultats. Supposons que la courbe elliptique E (d´_{efinie sur Q}p) ait

mauvaise r´eduction de type additif et soit j son invariant modulaire; notons c4, c6, ∆ les

invariants standards associés à un modèle minimal de E ([13], 1). Les invariants relatifs à un autre modèle minimal sont c4u4, c6u6, ∆u12, où u est une unité p-adique; ainsi v(c4),

v(c6) et v(∆) sont ind´ependants du mod`ele choisi.

Théorème 1. Supposons p ≥ 5 (et E à réduction additive). (a) Supposons v(j) < 0. On a

k = (p

2_{+ 3)/2} _{si v(j) ≡ 0 mod p;}

(p + 1)2_/2 _{si v(j) 6≡ 0 mod p.}

(b) Supposons v(j) ≥ 0. On est alors dans l’un des cas suivants : (i) v(∆) = 2 : k =      14 si p = 7, v(c4) = 1; 2 si p = 7, v(c4) 6= 1; (p2_{+ 4p + 7)/6} _{si p ≡ 1 mod 3, p 6= 7;} (p2_{+ 6p + 5)/6} _{si p ≡ 2 mod 3.} (ii) v(∆) = 3 : k =      10 si p = 5, v(c6) = 2; 2 si p = 5, v(c6) 6= 2; (p2_{+ 2p + 5)/4} _{si p ≡ 1 mod 4, p 6= 5;} (p2_{+ 4p + 3)/4} _{si p ≡ 3 mod 4.} (iii) v(∆) = 4 : k = (p 2_{+ p + 4)/3} _{si p ≡ 1 mod 3;} (p2+ 3p + 2)/3 si p ≡ 2 mod 3. (iv) v(∆) = 6 : k = (p2+ 3)/2. (v) v(∆) = 8 : k =    (p2+ 4p + 1)/3 si p ≡ 1 mod 3; (p2_{+ 3p + 2)/3} _{si p ≡ 2 mod 3, v(c} 4) = 3; (p2_{+ 5)/3} _{si p ≡ 2 mod 3, v(c} 4) 6= 3. (vi) v(∆) = 9 : k =    (p2_{+ 6p + 1)/4} _{si p ≡ 1 mod 4;} (p2_{+ 4p + 3)/4} _{si p ≡ 3 mod 4, v(c} 6) = 5; (p2_{+ 7)/4} _{si p ≡ 3 mod 4, v(c} 6) 6= 5.

(6)

(vii) v(∆) = 10 : k =      2 si p = 5; (p2+ 10p + 1)/6 si p ≡ 1 mod 3; (p2+ 6p + 5)/6 si p ≡ 2 mod 3, p 6= 5, v(c4) = 4; (p2+ 11)/6 si p ≡ 2 mod 3, p 6= 5, v(c4) 6= 4.

Théorème 2. Supposons p = 3 (et E à réduction additive). Posons ∆ = 3v(∆)∆0. (a) Supposons v(j) < 0. On a k =    8 si v(∆) 6≡ 0 mod 3; 6 si v(∆) ≡ 0 mod 3 et ∆06≡ ±1 mod 9; 2 si v(∆) ≡ 0 mod 3 et ∆0≡ ±1 mod 9.

(b) Supposons v(j) ≥ 0. On est alors dans l’un des cas du tableau suivant :

v(∆) 3 4 5 6 7 9 10 11 12 13

v(c6) 3 ≥ 4 3 3 4 3 ≥ 5 5 ≥ 6 6 6 7 8 8

k 2 ou 6 (∗) 6 8 8 4 2 ou 6 (∗) 6 8 2 4 4 8 2 4 (∗) On a k = 2 si ∆0≡ ±1 mod 9 et k = 6 sinon.

Théorème 3. Supposons p = 2 (et E à réduction additive). On a k = 4 si v(∆) est impair ;

2 si v(∆) est pair .

B. Démonstrations. On introduit les notations suivantes : • Fp le corps à p éléments;

• Fp le corps r´esiduel de Qp;

• Qp,nr l’extension non ramifi´ee maximale de Qp contenue dans Qp;

• I = Gal(Qp/Qp,nr) le groupe d’inertie de Qpsur Qp;

• Ip le plus grand pro-p-sous-groupe de I, c’est-`a-dire le groupe d’inertie sauvage de

Qp sur Qp;

• µp le groupe des racines p-i`emes de l’unit´e de Qp;

• χ le caract`ere `_{a valeurs dans F}∗

p donnant l’action de I sur µp;

• conformément à ([6], 1.7), on d´_{efinit pour tout α ∈ Q un caractère continu χ}α :

I → F∗p de la fa¸con suivante : si s ∈ I, les éléments sx/x de Qp, où x décrit l’ensemble

des él´_{ements de Q}_p de valuation α, sont congrus modulo l’idéal de v à un même élément de F∗p, qui est par définition χα(s). Le noyau de χαcontient Ip. Tout caractère continu

I → F∗p est de la forme χα pour au moins un α ∈ Q. On a χα+α0 = χ_αχ_α0; on a χ_α=1 si

et seulement si α ∈ Z[1/p]. Les caract`eres ψ = χ1/(p2₋₁₎ et ψ0= ψp de I sont appel´es par

Serre les caract`eres fondamentaux de niveau 2. On a χ = χ1/(p−1) et ψψ0 = χ.

B.1. Le cas p ≥ 5, v(j) ≥ 0

1. Préliminaires. Le discriminant ∆ étant celui d’un modèle minimal de E, on a v(∆) ≤ 12 parce que p ≥ 5 et v(j) ≥ 0 ([13], 3, remarque 4). L’égalité c3

(7)

et les in´egalit´es 3v(c4) ≥ v(∆) > 0 impliquent alors que (v(∆), v(c4), v(c6)) est l’un des

triplets intervenant dans le tableau ci-dessous :

v(∆) 2 3 4 6 8 9 10 v(c4) ≥ 1 1 ≥ 2 2 ≥ 3 ≥ 3 3 ≥ 4 v(c6) 1 ≥ 2 2 ≥ 3 3 4 ≥ 5 5 L’´equation (W ) y2= x3− c4 48x − c6 864 est une ´_{equation minimale de E sur Q}p (cf. [13], 1).

Notons L le corps Qp(pv(∆)/12). En effectuant le changement de variables

(1) x = u

2_X,

y = u3_Y avec u = p v(∆)/12_,

on obtient une ´equation sur L de la courbe elliptique EL d´eduite de E par extension des

scalaires : (WL) Y2= X3− c4 48u4X − c6 864u6.

Cette ´equation est `a coefficients entiers et son discriminant est de valuation 0, donc EL

a bonne r´eduction sur L et (WL) est une ´equation minimale de EL sur L.

Les fonctions t = −x/y et T = −X/Y sont des uniformisantes locales au voisinage du point à l’infini O et sont liées par l’égalité

(2) T = pv(∆)/12t.

Notons h la hauteur de la r´eduction de EL sur L (cf. [6], 1.11); par d´efinition, on a

h = 1 si EL est à réduction ordinaire et h = 2 si EL est à réduction supersingulière.

Lemme 1. (a) Supposons que l’on ait v(∆) ∈ {2, 4, 8, 10} ou que (v(∆), v(c4), v(c6))

soit de la forme (6, n, 3) avec n ≥ 3. L’invariant modulaire j( fEL) de la courbe elliptique

f

EL déduite de EL par réduction modulo l’idéal de la valuation de L est 0. On a h = 1 si

p ≡ 1 mod 3, et h = 2 si p ≡ 2 mod 3.

(b) Supposons que l’on ait v(∆) ∈ {3, 9} ou que (v(∆), v(c4), v(c6)) soit de la forme

(6, 2, n) avec n ≥ 4. On a j( fEL) = 1728. On a h = 1 si p ≡ 1 mod 4, et h = 2 si

p ≡ 3 mod 4.

D ´e m o n s t r a t i o n. Sous l’hypoth`ese de (a), on a 3v(c4) > v(∆), donc j(E) = j(EL)

est de valuation > 0 et on a j( fEL) = 0. Sous l’hypoth`ese de (b), on a 2v(c4) > v(∆), donc

j(E) − 1728 = j(EL) − 1728 est de valuation > 0 et on a j( fEL) = 1728. Les assertions

(a) et (b) en r´esultent ([1], p. 252, §4). 2. Description de l’action de I sur Ep

2.1. Rappels. Soient X, Y les fonctions coordonn´ees de Weierstrass de EL dans le

mod`ele (WL). La fonction T = −X/Y est une uniformisante locale de EL au voisinage

(8)

d’une loi de groupe formel sur l’anneau de valuation de L. La multiplication par p dans ce groupe formel est donnée par une série entière

[p](T ) = ∞ X n=1 τnTn `

a coefficients dans l’anneau de valuation de L (loc. cit.). La hauteur de ce groupe formel (cf. [6], 1.9) est ´egale `a h (loc. cit., 1.11).

2.2. Notations. Soient

• Np le groupe des points de p-torsion du groupe formel associé à EL, c’est-à-dire

l’ensemble des ´el´_{ements a de Q}_p tels que v(a) > 0 et [p](a) = 0; • Ep le groupe des points de p-torsion de E(Qp) = EL(Qp);

• fEL la courbe elliptique déduite de EL par réduction modulo l’idéal de la valuation

de L;

• gEL,p le groupe des points de p-torsion de fEL(Fp);

Enfin, si α ∈ Q, mα (resp. m+α) désignera l’ensemble des éléments a de Qp tels que

v(a) ≥ α (resp. v(a) > α). Le quotient mα/m+α est un espace vectoriel de dimension 1

sur m0/m+0 = Fp([6], 1.8). Le groupe Gal(Qp/Qp) op`ere sur le groupe mα/m+α. L’action

du groupe d’inertie I sur mα/m+α est Fp-linéaire, et donnée par s 7→ χα(s), où χαest le

caractère défini au début de B; cela découle de la définition même de ce caractère. 2.3. L’action de I sur Ep

2.3.1. Cas o`u h = 1

Proposition 1. Lorsque h = 1, le nombre α = (p − 1)v(∆)/12 est entier et la repr´esentation de I dans Ep s’´ecrit matriciellement

χ1−α _∗

0 χα

dans une base convenable de Ep sur Fp.

D ´e m o n s t r a t i o n. Si h = 1, le groupe gEL,pest d’ordre p; on dispose d’une

applica-tion de r´eduction Ep→ gEL,p qui est un homomorphisme surjectif de groupes ([6], 1.11).

Soit Cp son noyau. Il est d’ordre p.

Consid´erons un point P ∈ Ep non nul. On a P ∈ Cp si et seulement si v(Y (P )) < 0,

c’est-`a-dire si et seulement si v(y(P )) < v(∆)/4 (formule (1)). Le sous-groupe Cpde Epest

stable par Gp= Gal(Qp/Qp) puisque l’on a les ´egalit´es v(y(σP )) = v(σ(y(P ))) = v(y(P ))

pour tout σ ∈ Gp.

Si P 6= O est un ´el´ement de Cp, posons T (P ) = −X(P )/Y (P ) et t(P ) = −x(P )/y(P ).

Posons par ailleurs T (O) = t(O) = 0. On a v(T (P )) > 0 pour tout P ∈ Cp, et l’application

P 7→ T (P ) est un isomorphisme du groupe Cp sur le groupe Np. L’´etude du polygˆone

de Newton de la s´erie formelle [p] permet de montrer que pour tout P 6= O dans Cp, on

a v(T (P )) = 1/(p − 1) ([6], 1.10). Cela s’´ecrit aussi v(t(P )) = µ, avec

µ = 1

p − 1− v(∆)

12 d’apr`es la formule (2).

(9)

Consid´erons alors l’application f : Cp→ mµ/m+µ d´efinie par f (P ) = t(P ) mod m+µ.

D´emontrons que t est un homomorphisme injectif de groupes compatible `a l’action de Gp. Soient P , P0 deux points de Cp. On a v(T (P + P0) − T (P ) − T (P0)) > 1/(p − 1) ([12],

3, formule (16)), d’où v(t(P + P0) − t(P ) − t(P0)) > µ (formule (2)), et cela prouve que f est un homomorphisme. Le fait que f commute à l’action de Gp résulte de ce que l’on

a t(σP ) =σ(t(P )) pour σ ∈ Gp et P ∈ Cp.

Posons α = (p − 1)v(∆)/12. Le nombre α est entier : c’est clair si v(∆) = 6; si v(∆) 6= 6, on a v(∆) ∈ {2, 3, 4, 8, 9, 10} et cela résulte du lemme 1 et de l’hypothèse h = 1. On a µ = (1 − α)/(p − 1), et le groupe d’inertie I opère sur mµ/m+µ via le

caractère χµ = χ1−α. Il opère donc aussi sur Cp suivant ce caractère. D’autre part, le

déterminant de la représentation de I dans Epest le caractère cyclotomique χ ([6], 1.11).

Par conséquent, I opère sur Ep/Cp par le caractère χα, d’où la proposition.

2.3.2. Cas o`u h = 2. Soit τp le coefficient de Tp dans le d´eveloppement de [p](T ).

Proposition 2. Supposons h = 2. Posons α = (p + 1)v(∆)/12. Le nombre α est entier.

(a) Supposons v(τp) < p/(p+1). Dans une base convenable de Epsur Fpla repr´

esenta-tion de I dans Ep s’´ecrit matriciellement

χ1−α _∗ 0 χα si v(∆) < 6, χ 2−α _∗ 0 χα−1 si v(∆) > 6.

(b) Supposons v(τp) ≥ p/(p + 1). La repr´esentation de I dans Ep est irr´eductible.

La repr´esentation de I dans Ep⊗FpFp qu’on en d´eduit par extension des scalaires est

diagonalisable et repr´esentable matriciellement dans une base convenable par ψα_ψ0p−α ₀

0 ψ0αψp−α

,

où ψ et ψ0 désignent les caractères χ1/(p2₋₁₎ et χ_p/(p2₋₁₎ (appelés caractères

fondamen-taux de niveau 2 dans [6]).

Lemme 2. Supposons h = 2. Si (v(∆), v(c4), v(c6)) est l’un des triplets (2, 1, 1),

(3, 1, 2), (4, 2, 2), (8, 3, 4), (9, 3, 5), (10, 4, 5), on a v(τp) =

v(∆)/6 si v(∆) < 6, (v(∆)/6) − 1 si v(∆) > 6;

on a v(τp) ≥ 1 lorsque (v(∆), v(c4), v(c6)) n’est pas l’un des triplets ci-dessus.

D ´e m o n s t r a t i o n. Soit u = pv(∆)/12_{, et τ (c}

4, c6) le coefficient de Xp−1 dans

l’ex-pression X3− c4 48u4X − c6 864u6 (p−1)/2 ;

on a v(τ (c4, c6) − τp) ≥ 1 (cf. appendice sur l’invariant de Hasse, th´eor`eme et lemme 1).

On en d´eduit que l’on a

(3) v(τp) = v(τ (c4, c6)) si v(τ (c4, c6)) < 1, v(τp) ≥ 1 si v(τ (c4, c6)) ≥ 1.

(10)

On a τ (c4, c6) = X((p − 1)/2)!(−1)l+m k!l!m!(48)l₍₈₆₄₎m c4 u4 l_c 6 u6 m ,

o`u la somme est ´etendue aux triplets (k, l, m) d’entiers ≥ 0 tels que k + l + m = (p − 1)/2 et 3k + l = p − 1. Notons que les coefficients

((p − 1)/2)!(−1)l+m

k!l!m!(48)l₍₈₆₄₎m

sont des unit´es p-adiques.

Si v(∆) ∈ {2, 4, 8, 10} (resp.{3, 9}), on a v(c6) = v(∆)/2 = v(u6) (resp. v(c4) =

v(∆)/3 = v(u4_{)). Parce que h = 2, on a p ≡ 2 mod 3 (resp. p ≡ 3 mod 4) (lemme 1).}

Ainsi les triplets (k, l, m) sur lesquels on somme sont tels que l 6= 0 (resp. m 6= 0) et il y en a un seul pour lequel l = 1 (resp. m = 1). Le terme de la somme correspondant a une valuation ´egale `a v(c4) − (v(∆)/3) (resp. v(c6) − (v(∆)/2)) et cette valuation est

strictement inf´erieure `a celle des autres termes. Par suite, on a v(τ (c4, c6)) = v(c4) −

(v(∆)/3) (resp. v(τ (c4, c6)) = v(c6) − (v(∆)/2)); le lemme r´esulte alors de (3). Lorsque

v(∆) = 6, u2 _{est ´}_{egal `}_{a p et appartient `}

a Qp, donc τ (c4, c6) ∈ Zp. D’apr`es (3) on a

v(τp) = 0 ou bien v(τp) ≥ 1. L’hypoth`ese h = 2 entraˆıne que v(τp) 6= 0 ([6], 1.10) d’o`u

v(τp) ≥ 1.

D ´e m o n s t r a t i o n d e l a p r o p o s i t i o n 2. Si h = 2, le groupe gEL,p est r´eduit

`

a l’élément neutre et l’application P 7→ T (P ) (où T (P ) = −X(P )/Y (P ) si P 6= 0 et où T (O) = 0) est un isomorphisme du groupe Ep sur le groupe Np. Par ailleurs, α =

(p+1)v(∆)/12 est entier : c’est clair si v(∆) = 6; si v(∆) 6= 6, on a v(∆) ∈ {2, 3, 4, 8, 9, 10} et cela r´esulte du lemme 1.

Supposons v(τp) < p/(p + 1). L’étude du polygône de Newton de la série formelle [p]

montre que les ´el´ements non nuls de Np ont pour valuation α1= (1 − v(τp))/(p − 1) ou

α2= v(τp)/(p2− p) (cf. [6], 1.10). On a α1> α2et l’ensemble A des ´el´ements P de Ep

pour lesquels v(T (P )) ≥ α1est un sous-groupe d’ordre p de Ep. Si P est un point non nul

de Ep, on a v(t(P )) = α1− v(∆)/12 ou v(t(P )) = α2− v(∆)/12 suivant que P appartient

ou non `a A (formule (1)); ainsi A est stable sous l’action de Gp= Gal(Qp/Qp).

Posons µ1= α1− v(∆)/12. Par une d´emonstration analogue `a celle de la prop. 1, on

v´erifie que l’on d´efinit un homomorphisme injectif de groupes f1 : A → mµ1/m

+ µ1 par

P 7→ t(P ) mod m+

µ1, compatible `a l’action de Gp, puis que la repr´esentation de I dans

Ep s’´ecrit

χµ1 ∗

0 χ/χµ1

dans une base convenable de Ep. D’apr`es le lemme 2, on a soit

v(∆) < 6, µ1= 1 p − 1− v(∆) 6(p − 1)− v(∆) 12 = 1 − α p − 1 et χµ1 = χ 1−α_, soit v(∆) > 6, µ1= 2 p − 1− v(∆) 6(p − 1)− v(∆) 12 = 2 − α p − 1 et χµ1 = χ 2−α_.

(11)

Supposons désormais v(τp) ≥ p/(p + 1). L’étude du polygône de Newton de la série

formelle [p] montre que les ´el´ements non nuls de Npont pour valuation 1/(p2− 1) (cf. [6],

1.10). Si P est un point non nul de Ep, on a donc v(t(P )) = µ avec

µ = 1

p2_{− 1} −

v(∆) 12

(formule (2)). Par une démonstration analogue à celle de la prop. 1, on vérifie que l’ap-plication f : Ep → mµ/m+µ définie par f (P ) = t(P ) mod m+µ est un homomorphisme

injectif de groupes compatible `a l’action de Gp = Gal(Qp/Qp). Si σ ∈ I, on a donc

f (σ_{P ) = χ}

µ(σ)f (P ) pour P ∈ Ep, et f (Ep) est un sous-groupe du Fp-espace vectoriel

mµ/m+µ, stable par l’homoth´etie de rapport χµ(σ).

Soit Fp2 l’unique extension quadratique de Fp contenue dans Fp. Si σ ∈ I, on a

χµ(σ) ∈ Fp2, car l’ordre de χ_µ divise p2− 1. D´emontrons que χ_µ n’est pas d’ordre p − 1.

Si c’´_{etait le cas, on aurait (p − 1)µ ∈ Z[1/p], i.e.} 1 p + 1 − (p − 1)v(∆) 12 ∈ Z 1 p .

Cela entraˆıne que p + 1 divise 6, d’o`u p = 5. Or 1₆ −v(∆)₃ n’appartient pas `_{a Z[1/5].} Puisque χµ n’est pas d’ordre p − 1, le sous-anneau de Fp engendr´e par les χµ(σ), avec

σ ∈ I, est Fp2; ainsi, f (E_p) est stable par multiplication par les ´el´ements de F_p2, et

est un sous-Fp2-espace vectoriel de mµ/m+µ. Comme f est injective, par transport de

structure, on d´_{eduit une unique structure de F}p2-espace vectoriel sur E_p pour laquelle f

est Fp2-linéaire. L’opération du groupe I sur Ep est alors donnée par σ_{P = χ}

µ(σ)P (σ ∈ I, P ∈ Ep).

La repr´esentation de I dans Epest irr´eductible sur Fp. Par contre, en tant que I-module,

Ep⊗FpFp est somme directe de deux Fp-espaces vectoriels de dimension 1 sur lesquels

I agit suivant γ1◦ χµ et γ2◦ χµ, o`u γ1 et γ2 sont les deux plongements de Fp2 dans Fp

(cf. [6], 1.9, d´em. du cor. 3); autrement dit, apr`es extension des scalaires `_{a F}p, l’action de

I est repr´esentable matriciellement dans une base convenable par χµ 0 0 χpµ . Si α est l’entier (p + 1)v(∆)/12, on a µ = 1 p2_{− 1} − v(∆) 12 = α p2_{− 1} + (p − α)p p2_{− 1} − 1,

d’o`u χµ= ψαψ0p−αet χpµ= ψp−αψ0α. Cela d´emontre l’assertion (b) de la prop. 2.

2.4. Le groupe Ep en tant que Ip-module. Rappelons que l’on a pos´e u = pv(∆)/12et

d´esign´_{e par L le corps Q}p(u). Notons Lnr l’extension non ramifi´ee maximale de L dans

Qp. On a Lnr = Qp,nr(u). L’extension L de Qp est totalement ramifi´ee; son degr´e e est

le d´enominateur de v(∆)/12. L’entier e est aussi l’indice de ramification absolu de Lnr.

Posons (4) C4= c4 u4, C6= c6 u6.

(12)

Rappelons que l’´equation (WL) Y2= X3− C4 48X − C6 864

est une ´equation minimale de EL sur L, et que EL a bonne r´eduction sur L.

Soit fEL la courbe déduite de EL par réduction modulo l’idéal de la valuation de L,

et j( fEL) son invariant modulaire. Lorsque EL a bonne r´eduction ordinaire, i.e. lorsque

h = 1, on note jcan( fEL) l’invariant modulaire du rel`evement canonique de fEL(cf. [5], 5);

comme le corps r´_{esiduel de L est F}p, on a j( fEL) ∈ Fp, et jcan( fEL) est un ´el´ement de Zp

qui rel`eve j( fEL) (loc. cit .).

Dans ce paragraphe, nous nous intéressons à la restriction au groupe d’inertie sauvage Ipde la représentation de Gpdans Ep. Comme le degré de L sur Qpdivise 12, il est premier

`

a p, l’extension L de Qp est modérément ramifiée et Ip est contenu dans Gal(Qp/Lnr).

Plus pr´ecis´ement, Ip est le plus grand pro-p-sous-groupe de Gal(Qp/Lnr).

2.4.1. Cas où h = 1. Soit dLnr le complété du corps Lnr. Le groupe d’inertie sauvage

d’une extension galoisienne M de Lnrest ´egal au groupe d’inertie sauvage de l’extension

c

M de dLnr, où cM désigne le complété de M (qui n’est autre que le composé de M et dLnr).

Il résulte alors de l’appendice sur les courbes elliptiques à réduction ordinaire que l’on peut associer à EL un élément λ de dLnr possédant les propriétés suivantes :

Proposition 3. (a) Le groupe Ip op`ere trivialement sur Ep si et seulement si λ est

une puissance p-i`eme dans dLnr.

(b) On a, en notant encore v la valuation de dLnr prolongeant celle de Lnr,

v(λ − 1) =    v(C4) (= v(c4) − v(∆)/3) si j( fEL) = 0, v(C6) (= v(c6) − v(∆)/2) si j( fEL) = 1728, v(j(E) − jcan( fEL)) si j( fEL) 6= 0, 1728.

Pour savoir si λ est une puissance p-i`eme dans dLnr, nous utiliserons le lemme suivant :

Lemme 3. Soit u un ´el´ement de dLnr tel que l’on ait v(u − 1) > 0.

(i) Si u est une puissance p-i`eme dans dLnr, on a v(u − 1) ≥ inf(p/e, 1 + (1/e));

(ii) si on a v(u − 1) > p/(p − 1), u est une puissance p-i`eme dans dLnr.

D ´e m o n s t r a t i o n. Supposons que u soit une puissance p-i`eme dans dLnr. Dans ce

cas u s’écrit (1 + z)p, avec z un élément de dLnr de valuation > 0. On a

u − 1 = p−1 X k=1 k p zk+ zp. Pour chaque indice k, 1 ≤ k ≤ p − 1, p divise k_p et on a v k

pz

k_{≥ v(pz) ≥ 1 + (1/e).}

Par ailleurs on a v(zp) ≥ p/e. L’assertion (i) en r´esulte.

Supposons que l’on ait v(u − 1) > p/(p − 1). On a v(u − 1) − 1 > 1/(p − 1) et u est la puissance p-ième d’un élément z de dLnr satisfaisant à l’inégalité v(z − 1) ≥ v(u − 1) − 1

(cf. [7], p. 219, prop. 9). Cela d´emontre le lemme.

2.4.2. Cas o`u h = 2. On rappelle que τpest le coefficient de Tpdans le d´eveloppement

(13)

Lemme 4. Supposons que EL ait bonne r´eduction supersinguli`ere. L’action de Ip sur

Ep est triviale si et seulement si on a v(τp) ≥ 1.

D é m o n s t r a t i o n. Si on a v(τp) ≥ 1, la représentation de I dans Epest irréductible

(prop. 2(b)) et Ip agit donc trivialement sur Ep ([6], prop. 4). Inversement, si on a

v(τp) < 1, v(τp) est égal à 1/3, 1/2 ou 2/3 (lemme 2) et il existe des éléments de Np

de valuation v(τp)/(p2− p) (cf. d´em. de la prop. 2). En particulier, p divise le degr´e de

Qp,nr(Ep) sur Qp,nret l’action de I sur Epn’est pas modérée, d’où le lemme.

2.4.3. Liste des cas o`u l’action de Ip n’est pas triviale. On conserve les notations des

num´eros 2.4.1 et 2.4.2.

Proposition 4. Pour que Ip n’op`ere pas trivialement sur Ep, il faut et il suffit que

l’une des conditions suivantes soit r´ealis´ee :

(i) on a (v(∆), v(c4)) ∈ {(2, 1), (4, 2), (8, 3), (10, 4)}; (ii) on a (v(∆), v(c6)) ∈ {(3, 2), (9, 5)}; (iii) on a (v(∆), v(c4)) = (6, 3) et p ≡ 1 mod 3; (iv) on a (v(∆), v(c6)) = (6, 4) et p ≡ 1 mod 4; (v) on a (v(∆), v(c4), v(c6)) = (6, 2, 3), h = 1 et v(j(E) − jcan( fEL)) = 1. D ´e m o n s t r a t i o n. 1) Supposons v(∆) ≥ 8. On a v(c4) ≥ 3 et v(c6) ≥ 4. Il existe

une courbe elliptique E0_{sur Q}pdont les invariants sont c4(E0) = c4/p2, c6(E0) = c6/p3et

∆(E0) = ∆/p6_{. Les courbes E et E}0 _{se d´}_{eduisent l’une de l’autre par torsion quadratique}

par√p. Ainsi, Ip agit trivialement sur Ep si et seulement si il en est de mˆeme sur E0p.

Il suffit donc de démontrer la prop. 4 sous l’hypothèse v(∆) < 8, hypothèse que nous faisons désormais.

2) Cas o`u (v(∆), v(c4), v(c6)) 6= (6, 2, 3) et h = 1. Supposons h = 1. La prop. 3, les

lemmes 1 et 3 permettent de vérifier les résultats indiqués dans le tableau ci-dessous :

v(∆) 2 3 4 6 e 6 4 3 2 v(c4) 1 ≥2 1 2 ≥3 2 3 ≥4 v(c6) 1 1 2 ≥3 2 2 4 ≥5 3 3 v(λ−1) 1/3 ≥4/3 1/2 ≥3/2 2/3 ≥5/3 1 ≥2 1 ≥2 inf(p/e,1+1/e) 7/6 5/4 4/3 3/2 3/2 p/(p−1) ≤7/6 ≤5/4 ≤7/6 ≤5/4 ≤7/6 λ 6∈( dLnr)p∈( dLnr)p6∈( dLnr)p∈( dLnr)p6∈( dLnr)p∈( dLnr)p6∈( dLnr)p∈( dLnr)p6∈( dLnr)p∈( dLnr)p

Dans le cas où nous sommes, la prop. 4 résulte alors de la prop. 3 et du lemme 1. 3) Cas où h = 2. Lorsque h = 2, on a d’après le lemme 2 le tableau suivant :

v(∆) 2 3 4 6

v(c4) 1 ≥ 2 1 1 2 ≥ 3 ≥ 2

v(c6) 1 1 2 ≥ 3 2 2 ≥ 3

v(τp) 1/3 ≥ 1 1/2 ≥ 1 2/3 ≥ 1 ≥ 1

(14)

4) Cas où (v(∆), v(c4), v(c6)) = (6, 2, 3) et h = 1. D’après l’égalité c34− c26= 1728∆,

on a j( fEL) 6= 0, 1728. D’après la prop. 3, on a v(λ − 1) = v(j(E) − jcan( fEL)). L’élément

jcan( fEL) appartient `a Zp (cf. [5], 5). Si v(λ − 1) ≥ 2, on a v(λ − 1) > p/(p − 1), donc λ

est une puissance p-i`eme dans dLnr (lemme 3) et Ip op`ere trivialement sur Ep (prop. 3).

Par contre, si v(λ − 1) = 1, on a v(λ − 1) < inf(p/e, 1 + (1/e)) = 3/2, donc λ n’est pas une puissance p-i`eme dans dLnr (lemme 3) et Ip n’op`ere pas trivialement sur Ep. Cela

d´emontre la prop. 4 dans le cas o`u nous sommes, et qui est le dernier cas que nous avions `

a consid´erer.

3. Ramification sauvage. Dans ce numéro, exceptionnellement, p désigne un nombre premier quelconque (pas nécessairement ≥ 5).

Supposons que Ip n’op`ere pas trivialement sur Ep et que la repr´esentation de I dans

Ep s’´ecrive matriciellement sous la forme

χβ _∗

0 χα

,

α et β étant normalisés de telle sorte que 0 ≤ α ≤ p − 2, 1 ≤ β ≤ p − 1. Si β est égal à α + 1, il existe x ∈ Q∗p,nr tel que l’on ait Qp,nr(Ep) = Qp,nr(µp, x1/p) ([8], 2.4, (ii)). Dans

cette situation, Serre dit que l’extension Qp,nr(Ep) est peu ramifi´ee si x peut ˆetre choisi

parmi les unit´_{es de Q}p,nr, et tr`es ramifi´ee dans le cas contraire.

L’extension Qp,nr(Ep)/Qp,nr(µp) est par hypoth`ese cyclique de degr´e p. Notons w la

valuation normalis´_{ee de Q}p,nr(Ep) (´egale `a p(p − 1)v). Si π est une uniformisante de

Qp,nr(Ep), notons, pour i ≥ 0, Gi le sous-groupe de Gal(Qp,nr(Ep)/Qp,nr(µp)) form´e des

´

eléments s satisfaisant à l’inégalité

w(sπ − π) ≥ i + 1.

Le groupe Gi est réduit à l’élément neutre pour i assez grand. Posons δ = w(D), où D

est la diff´_{erente de l’extension Q}p,nr(Ep)/Qp,nr(µp). On a

(5) δ =X

i≥0

(|Gi| − 1).

(Voir [7], p. 61, prop. 10. On prendra garde que dans cette référence, les corps locaux considérés sont supposés complets, ce qui n’est pas le cas ici. Cependant, on peut appliquer cette référence en remarquant que les groupes Gi et la valuation de la différente sont

inchangés par passage au complété.)

Proposition 5. Si l’extension Qp,nr(Ep) est tr`es ramifi´ee, on a δ = p2− 1; on a

δ ≤ p2_{− p sinon.}

D ´_{e m o n s t r a t i o n. 1) Supposons que Q}p,nr(Ep) soit tr`es ramifi´ee. Il existe alors un

´

el´_{ement x de Q}p,nrtel que p ne divise pas v(x) et que Qp,nr(Ep) = Qp,nr(µp, x1/p). Quitte

`

a remplacer x par xm_prp _{avec m et r des entiers convenables, on se ram`}_{ene au cas o`}_u

v(x) = 1. On a [Qp,nr(Ep) : Qp,nr] = p(p − 1). Soit ζ une racine primitive p-i`eme de

l’unit´e. Posons π = (ζ − 1)/x1/p. On a v(π) = 1 p − 1− 1 p= 1 p(p − 1);

(15)

par suite, π est une uniformisante de Qp,nr(Ep). Si σ est un élément distinct de l’identité

de Gal(Qp,nr(Ep)/Qp,nr(µp)), on a σ(ζ) = ζ et il existe z ∈ µp, z 6= 1 tel que σ(x1/p) =

x1/p_{/z; on a donc σπ − π = (z − 1)π et v(σπ − π) est ´}_{egal `}_a

1 p − 1+ 1 p(p − 1) = p + 1 p(p − 1).

Alors w(σπ − π) = p + 1, d’o`u |Gi| = p pour i ≤ p et Gi = (1) pour i > p. D’apr`es la

formule (5), on a δ = (p − 1)(p + 1) = p2− 1. Cela prouve la premi`ere assertion de la proposition.

2) Supposons Qp,nr(Ep) peu ramifiée. On a l’égalité Qp,nr(Ep) = Qp,nr(µp, u1/p), où

u est un ´el´_{ement de Q}p,nr de valuation 0. Soit σ ∈ Gal(Qp,nr(Ep)/Qp,nr(µp)), σ 6= 1. Il

existe z ∈ µp, z 6= 1, tel que l’on ait σu1/p− u1/p = (z − 1)u1/p, et v(σu1/p− u1/p) est

´

egal `_{a 1/(p − 1). Si π est une uniformisante de Q}p,nr(Ep), on a donc v(σπ − π) ≤ 1/(p − 1)

(cf. [7], p. 69, lemme 1), d’o`u w(σπ −π) ≤ p et, par d´efinition, Gpest trivial. Cela entraˆıne

l’inégalité δ ≤ (p − 1)p = p2− p d’après la formule (5); d’où la proposition.

4. Démonstration de l’assertion (b) du théorème 1. Rappelons que, sauf lorsque (v(∆), v(c4), v(c6)) = (6, 2, 3)), la valeur de h est donnée dans le lemme 1.

4.1. Cas où h = 1. La représentation de I dans Ep s’écrit matriciellement sous la

forme

χ1−α _∗

0 χα

avec α = (p − 1)v(∆)/12 (prop. 1). Posons β = p − α. Le caract`ere χ1−α _{est ´}_{egal `}_{a χ}β_.

1) Supposons v(∆) = 2. On a alors p ≡ 1 mod 3 (lemme 1). On a α = (p − 1)/6 et β = (5p+1)/6. Les entiers α et β satisfont aux in´egalit´es 0 ≤ α ≤ p−2 et α+1 < β ≤ p−2, sauf si p = 7.

Si on a p 6= 7, les d´efinitions (2.3.2) et (2.4.5) de [8] montrent que l’on a k = 1+pα+β, i.e. k = (p2_{+ 4p + 7)/6.}

Supposons p = 7. On a α = 1 et β = 6. Si v(c4) = 1, le groupe I7 n’op`ere pas

trivialement sur E7 (prop. 4), d’o`u k = 14 (cf. [8], (2.4.5)). Si v(c4) 6= 1, I7 op`ere

trivialement sur E7 (prop. 4); la repr´esentation de I dans E7 s’´ecrit matriciellement

1 0

0 χ

et l’on a k = 2 (cf. [8], (2.3.2)).

2) Supposons v(∆) = 3. On a alors p ≡ 1 mod 4 (lemme 1). On a α = (p − 1)/4 et β = (3p + 1)/4; α et β satisfont aux in´egalit´es 0 ≤ α ≤ p − 2 et α + 1 < β ≤ p − 2, sauf si p = 5.

Si p 6= 5, on a k = 1 + pα + β, i.e. k = (p2+ 2p + 5)/4 (loc. cit., (2.3.2) et (2.4.5)). Supposons p = 5. On a α = 1 et β = 4. Si v(c6) = 2, d’apr`es la prop. 4, I5n’op`ere pas

trivialement sur E5, d’o`u k = 10 (loc. cit., (2.4.5)). Si v(c6) 6= 2, I5 op`ere trivialement

sur E5 (prop. 4); la repr´esentation de I dans E5 s’´ecrit matriciellement

1 0

0 χ

, d’o`u k = 2 (cf. [8], (2.3.2)).

(16)

3) Supposons v(∆) = 6. On a α = (p − 1)/2 et β = (p + 1)/2. Les entiers α et β sont compris entre 1 et p − 2 et satisfont à l’égalité β = α + 1. Déterminons la ramification de l’extension Qp,nr(Ep) (cf. no3). Les inégalités v(c4) ≥ 2, v(c6) ≥ 3 impliquent l’existence

d’une courbe elliptique E0 _{sur Q}p, dont les invariants standards associ´es sont ∆(E0) =

∆/p6_{, c}

4(E0) = c4/p2 et c6(E0) = c6/p3. La courbe E0 a bonne r´eduction sur Qp. La

repr´esentation de I d´efinie par les points de p-torsion de E0est de poids 2 (cf. [8], prop. 5). La courbe E0est isomorphe `_{a E sur Q}p(

√

p). Le groupe Gal(Qp,nr(µp)/Qp,nr) est cyclique

d’ordre p−1 et Qp,nr(

√

p) est l’unique extension quadratique de Qp,nr. Par suite, Qp,nr(

√ p) est contenu dans Qp,nr(µp) et en particulier dans Qp,nr(Ep). Elle est de mˆeme contenue

dans Qp,nr(Ep0). L’extension de Qp,nrengendr´ee par les points de p-torsion de E0est donc

´

egale `_{a Q}p,nr(Ep). D’apr`es la prop. 3 de [8], l’action de Ip sur Ep0 est soit triviale, soit

peu ramifiée, et il en est donc de même de l’action de Ip sur Ep. Les définitions (2.3.2)

et (2.4.8) de loc. cit. montrent alors que l’on a k = 1 + pα + β = (p2+ 3)/2. 4) Supposons que l’on soit dans l’un des cas suivants :

(a) v(∆) ∈ {4, 8, 10} (ce qui entraˆıne p ≡ 1 mod 3 d’après le lemme 1); (b) v(∆) = 9 (ce qui entraˆıne p ≡ 1 mod 4 d’après le lemme 1). On a le tableau suivant : v(∆) 4 8 9 10 α (p − 1)/3 2(p − 1)/3 3(p − 1)/4 5(p − 1)/6 β (2p + 1)/3 (p + 2)/3 (p + 3)/4 (p + 5)/6 Si v(∆) = 4 et p ≡ 1 mod 3, on a 1 ≤ α ≤ p − 2 et α + 1 < β ≤ p − 2; d’où k = 1 + pα + β = (p2_{+ p + 4)/3 (cf. [8], (2.3.2) et (2.4.5)).}

Dans les autres cas ci-dessus, les entiers α et β satisfont aux égalités 1 ≤ β ≤ α ≤ p−2. D’où k = 1+pβ+α (loc. cit.), ce qui conduit aux valeurs de k annoncées dans le théorème.

4.2. Cas o`u h = 2. 1) Supposons que l’on soit dans l’un des cas suivants : (a) (v(∆), v(c4), v(c6)) = (2, 1, 1) (et donc p ≡ 2 mod 3, d’apr`es le lemme 1)

(b) (v(∆), v(c4), v(c6)) = (3, 1, 2) (et donc p ≡ 3 mod 4, d’apr`es le lemme 1)

(c) (v(∆), v(c4), v(c6)) = (4, 2, 2) (et donc p ≡ 2 mod 3, d’apr`es le lemme 1).

La repr´esentation de I dans Ep s’´ecrit matriciellement

χ1−α _∗

0 χα

avec α = (p + 1)v(∆)/12 (lemme 2 et prop. 2(a)). Le groupe Ip n’op`ere pas trivialement

sur Ep (prop. 4). Le caractère χ1−α est égal à χβ où β = p − α. On a pour α et β les

valeurs indiqu´ees ci-dessous :

v(∆) 2 3 4

α (p + 1)/6 (p + 1)/4 (p + 1)/3

(17)

Dans les cas (a) et (b), on a les inégalités 0 ≤ α < β ≤ p − 1 et β 6= α + 1. Cela conduit à k = 1 + pα + β (cf. [8], (2.4.5)), ce qui donne les valeurs de k indiquées dans l’énoncé du théorème.

Supposons maintenant que l’on soit dans le cas (c) ci-dessus, i.e. que l’on ait p ≡ 2 mod 3 et (v(∆), v(c4), v(c6)) = (4, 2, 2). On a 1 ≤ α < β ≤ p − 1 et β 6= α + 1 sauf pour

p = 5.

Si p 6= 5, on a k = 1 + pα + β, i.e. k = (p2+ 3p + 2)/3 (loc. cit.).

Supposons p = 5. On a α = 2 et β = 3. Pour déterminer k, il nous faut étudier la ramification sauvage de Q5,nr(E5). Calculons pour cela la valuation normalisée δ sur

Q5,nr(E5) de la diff´erente D de l’extension Q5,nr(E5)/Q5,nr(µ5) (cf. no3). Dans une base

convenable (P1, P2) de E5sur F5, le groupe Gal(Q5/Lnr(µ5)) op`ere matriciellement par

1 ∗

0 1

;

en particulier, il existe σ ∈ Gal(Lnr(E5)/Lnr(µ5)) tel que l’on ait σP1 = P1 et σP2 =

P1+P2. On a v(T (P1)) = 1/12 et v(T (P2)) = 1/30 (cf. d´em. de la prop. 2(b) et lemme 2).

Le degré de Lnr sur Q5,nr (qui est le dénominateur de v(∆)/12) est égal à 3 et, de

l’écriture matricielle de la représentation de I dans E5, on déduit que Q5,nr(E5) est une

extension de degr´_{e 20 de Q}5,nr. Par suite, le degré de Lnr(E5) sur Q5,nr est égal à 60 et

l’´el´ement π = T (P1)/T (P2)2 est une uniformisante de Lnr(E5). Posons P3 = P1+ P2.

On a σπ − π = T (P1) ₁ T (P3)2 − 1 T (P2)2 .

Par ailleurs, on a T (P3) = T (P1) + T (P2) + des termes de valuation > 1/12 (cf. [12],

for-mule (16)), d’o`u v(T (P3)−T (P2)) = v(T (P1)) = 1/12, et v(T (P3)) = v(T (P3)+T (P2)) =

1/30. Il en résulte l’égalité v(σπ −π) = 1/15. Si v0est la valuation normalisée de Lnr(E5),

´

egale `a 60v, on a v0(σπ − π) = 4, donc les groupes de ramification sup´erieurs Gi de

l’extension Lnr(E5)/Lnr(µ5) sont d’ordre 5 pour i ≤ 3 et d’ordre 1 pour i ≥ 4. D’apr`es

la formule (5) (ou plus correctement, par son analogue relatif à l’extension considérée ici), la différente de l’extension Lnr(E5)/Lnr(µ5) est (π16). Puisque Lnr(µ5)/Q5,nr(µ5)

est une extension modérément ramifiée de degré 3, sa différente est (π02), où π0 est une uniformisante de Lnr(µ5) et engendre l’idéal (π10) de Lnr(E5). Par suite, la différente

de l’extension Lnr(E5)/Q5,nr(µ5) est (π26). Comme Lnr(E5)/Q5,nr(E5) est une extension

modérément ramifiée de degré 3, sa différente est (π2) et la différente D de l’extension Q5,nr(E5)/Q5,nr(µ5) engendre l’idéal (π24) de Lnr(E5). Si w désigne la valuation

norma-lis´_{ee de Q}5,nr(E5) et δ l’entier w(D), on a δ = 24/3 = 8. D’apr`es la prop. 5, Q5,nr(E5) est

peu ramifiée, et cela implique que l’on a k = 14 (cf. [8], (2.4.8)). La valeur de k calculée pour p 6= 5, à savoir k = (p2_{+ 3p + 2)/3, est donc valable si p = 5.}

2) Supposons que l’on soit dans l’un des cas suivants :

(a) (v(∆), v(c4), v(c6)) = (8, 3, 4) (et donc p ≡ 2 mod 3, d’apr`es le lemme 1);

(b) (v(∆), v(c4), v(c6)) = (9, 3, 5) (et donc p ≡ 3 mod 4, d’apr`es le lemme 1);

(18)

La repr´esentation de I dans Ep s’´ecrit matriciellement

χ2−α _∗

0 χα−1

avec α = (p + 1)v(∆)/12 (lemme 2 et prop. 2(a)). Le groupe Ip n’op`ere pas trivialement

sur Ep(prop. 4). Posons β = p − (α − 1); on a χβ= χ2−α. Les valeurs de α − 1 et β sont

calcul´ees ci-dessous :

v(∆) 8 9 10

α (2p − 1)/3 (3p − 1)/4 (5p − 1)/6

β (p + 1)/3 (p + 1)/4 (p + 1)/6

Considérons les cas (a) et (b). Les entiers α − 1 et β vérifient les inégalités 1 ≤ β < α − 1 ≤ p − 2; d’où k = 1 + pβ + α − 1 (cf. [8], (2.4.5)), ce qui donne les valeurs de k annoncées.

Supposons que l’on soit dans le cas (c), i.e. que l’on ait (v(∆), v(c4), v(c6)) = (10, 4, 5)

et p ≡ 2 mod 3. On a 1 ≤ β < α − 1 ≤ p − 2, sauf pour p = 5.

Si p 6= 5, on a k = 1 + pβ + α − 1, i.e. k = (p2_{+ 6p + 5)/6 (loc. cit.).}

Si p est égal à 5, l’image de I dans Aut(E5) est représentable matriciellement sous la

forme

χ ∗

0 1

,

et pour déterminer k, on est amené à ´_{etudier la ramification sauvage de Q}5,nr(E5). Soit E0

la courbe elliptique déduite de E par torsion quadratique par√5; l’extension engendrée par les points de 5-torsion de E0 est égale `_{a Q}5,nr(E5) (la démonstration est la même que

celle du n◦ 3). On a les égalités v(∆(E0)) = 4, v(c4(E0)) = 2 et v(c6(E0)) = 2. Il résulte

alors de l’étude du cas 1)(c) du no _{4.2 que Q}5,nr(E5) est peu ramifiée, d’où k = 2 (loc.

cit ., (2.4.8)).

3) Supposons que (v(∆), v(c4), v(c6)) ne soit pas l’un des triplets (2, 1, 1), (3, 1, 2),

(4, 2, 2), (8, 3, 4), (9, 3, 5), (10, 4, 5). La repr´esentation de I dans Ep⊗FpFpque l’on d´eduit

par extension des scalaires de celle de I dans Ep s’´ecrit matriciellement

ψα_ψ0p−α ₀

0 ψ0αψp−α

où ψ et ψ0 sont les caractères fondamentaux de niveau 2 et où α est égal à (p + 1)v(∆)/12 (lemme 2 et prop. 2(b)). Dans cette situation on est dans l’un des cas suivants :

• v(∆) ∈ {2, 4, 8, 10} et p ≡ 2 mod 3; • v(∆) ∈ {4, 9} et p ≡ 3 mod 4; • v(∆) = 6.

(19)

Les valeurs de α et p − α sont indiqu´ees ci-dessous :

v(∆) 2 3 4 6 8 9 10

α (p + 1)/6 (p + 1)/4 (p + 1)/3 (p − 1)/2 2(p + 1)/3 3(p + 1)/4 5(p + 1)/6

β (5p − 1)/6 (3p − 1)/4 (2p − 1)/3 (p + 1)/2 (p − 2)/3 (p − 3)/4 (p − 5)/6

Si v(∆) ∈ {2, 3, 4, 6}, les entiers α et p−α satisfont aux inégalités 1 ≤ α < p−α ≤ p−1. D’après la définition de (2.2.4) de [8], on a k = 1 + pα + p − α et l’on obtient les valeurs de k annoncées.

Si v(∆) ∈ {8, 9}, on a les inégalités 1 ≤ p − α < α ≤ p − 1; d’où k = 1 + p(p − α) + α (cf. [8], (2.2.4)) et l’on obtient encore les valeurs de k annoncées.

Si enfin v(∆) = 10, on a les inégalités 1 ≤ p − α < α ≤ p − 1 sauf si p est égal à 5. Si p 6= 5, on trouve k = (p2_{+ 11)/6 (loc.cit.). Si p = 5, la repr´}_{esentation de I dans E}

5⊗F5F5 s’´ecrit matriciellement ψ 0 0 ψ0 ;

d’où k = 2 (loc. cit .). Cela termine la démonstration de l’assertion (b) du théorème 1. B.2. Le cas p = 3, v(j) ≥ 0

1. Préliminaires. Les invariants ∆ et c6étant relatifs à un modèle minimal de E, le

couple (v(∆), v(c6)) ne peut être égal à (12, 6) ni être de la forme (m, n) avec m ≥ 12

et n ≥ 9 ([3], th. 1 et 3(1)). L’´egalit´e c3

4− c26= 1728∆, les in´egalit´es 2v(c6) ≥ v(∆) > 0

et le corollaire du th. 1 de [3] impliquent alors que (v(∆), v(c6)) est l’un des couples

intervenant dans le tableau ci-dessous :

v(∆) 3 4 5 6 7 9 10 11 12 13 v(c6) 3 ≥ 4 3 3 4 3 ≥ 5 5 ≥ 6 6 6 7 8 8 L’´equation (W ) y2= x3− c4 48x − c6 864 est une ´_{equation minimale de E sur Q}3(cf. [13], 1).

Puisque l’on a v(j) ≥ 0, il y a potentiellement bonne r´eduction, autrement dit, il existe une extension finie de Q3 sur laquelle E acquiert bonne r´eduction ([11], p. 181,

prop. 5.5). La lettre L d´esignera une telle extension. On note EL la courbe d´eduite de E

par extension des scalaires `a L; EL a bonne r´eduction sur L.

Rappelons pour m´emoire le r´esultat suivant :

Lemme 5. Soit K une extension finie de Q3; la courbe elliptique E a bonne r´eduction

sur K si et seulement si il existe u ∈ K avec v(u) = v(∆)/12 tel que c4/u4 et c6/u6

soient les invariants c4(WK) et c6(WK) d’une ´equation de Weierstrass

(WK) y2+ a1xy + a3y = x3+ a2x2+ a4x + a6

(20)

D é m o n s t r a t i o n. Si la condition de l’énoncé est satisfaite, le discriminant de (WK),

´

egal `a ∆/u12_{, est une unit´}_{e et (W}

K) est l’´equation d’une courbe elliptique isomorphe `a

E sur K, donc E a bonne réduction sur K. La réciproque est immédiate.

Lemme 6. Il existe des éléments entiers u et z de L avec v(u) = v(∆)/12 tels que la cubique (WL) d’équation (WL) Y2= X3+ z 4u2X 2₊z2− c4 48u4 X + z3_{− 3zc} 4− 2c6 1728u6

soit une équation minimale de EL sur L. L’élément z est tel que l’on ait v(z) = v(c6)/3

si v(∆) ≤ 2v(c6) < 6 + v(∆) et peut être choisi égal à 0 si 2v(c6) ≥ 6 + v(∆).

D é m o n s t r a t i o n. La courbe E a bonne réduction sur L. Considérons un élément u satisfaisant à l’énoncé du lemme 5. Il existe alors un élément Z de L de valuation ≥ 0, tel que l’on ait

Z3_{− 3Zc}

4/u4− 2c6/u6≡ 0 mod 27,

c4/u4≡ Z2mod 3

(cf. [3], d´em. du th. 1).

Les ´el´ements u et z = Zu2_{satisfont `}_{a l’´}_enonc´_{e du lemme. En effet, le syst`}_{eme pr´}_ec´_edent

s’´ecrit

z3_{− 3zc}

4− 2c6≡ 0 mod 27u6,

c4− z2≡ 0 mod 3u4.

Par suite, la cubique (WL) est à coefficients entiers; les invariants standards associés à

(WL) sont c4(WL) = c4/u4, c6(WL) = c6/u6 et ∆(WL) = ∆/u12; son discriminant est

donc de valuation 0. Cela montre que (WL) est une ´equation minimale de EL sur L.

Si 2v(c6) = v(∆), on a v(c6) = 3 et v(c4) = 2, comme on peut le constater dans

le tableau pr´eliminaire, et cela entraˆıne v(z) = 1. Si v(∆) < 2v(c6) < 6 + v(∆), on a

0 < v(c6(WL)) < 3 et la remarque qui suit le th. 1 de [3] entraˆıne l’´egalit´e 3v(z) = v(c6). Si

enfin on a 2v(c6) ≥ 6+v(∆), l’´egalit´e c34−c26= 1728∆ montre que l’on a 3v(c4) ≥ 3+v(∆)

et l’élément u défini ci-dessus, avec z = 0, satisfait à l’énoncé du lemme; cela termine la démonstration.

R e m a r q u e. Les formules de transformation entre les mod`eles (W ) et (WL) sont de

la forme

(6) x = u

2_{X + z/12,}

y = u3Y (cf. [13], 1, 2). Soit h la hauteur de r´eduction de EL sur L.

Lemme 7. On a h = 1 si et seulement si 2v(c6) = v(∆).

D é m o n s t r a t i o n. Une courbe elliptique définie sur un corps de caractéristique 3 est supersingulière si et seulement si son invariant modulaire est nul. Pour que l’on ait h = 2, il faut et il suffit que l’invariant modulaire j( fEL) de la courbe elliptique fEL déduite de

EL par réduction modulo l’idéal de valuation de L soit nul, c’est-à-dire que la valuation

de j(EL) = j(E) soit > 0, ou encore que celle de j(E) − 1728 = c26∆ soit > 0. Comme

on a par hypoth`ese 2v(c6) ≥ v(∆), le lemme en r´esulte.

2. Description de l’action de I sur E3. Soient X, Y (resp. x, y) les fonctions

(21)

fonctions T = −X/Y et t = −x/y sont des uniformisantes locales au voisinage du point `

a l’infini O. On conserve avec p = 3 les notations de la partie B.1, 2. En particulier, on d´esigne par :

• [3] la s´erie enti`ereP∞

n=1τnTndonnant la multiplication par 3 dans le groupe formel

associ´e `a EL;

• N3 le groupe des points de 3-torsion du groupe formel associ´e `a EL;

• E3 le groupe des points de 3-torsion de E(Q3) = EL(Q3);

• fEL la courbe elliptique déduite de EL par réduction modulo l’idéal de la valuation

de L;

• gEL,3le groupe des points de 3-torsion de fEL(F3).

Lemme 8. Supposons v(∆) ≤ 2v(c6) ≤ 4 + v(∆). Il existe un sous-groupe H de E3

d’ordre 3, stable sous l’action de G3, tel que si P est un point non nul de H, on ait

v(y(P )) = (v(c6) − 3)/2.

D é m o n s t r a t i o n. 1) Supposons 2v(c6) = v(∆). D’après le tableau préliminaire,

v(∆) est ´egal `a 6. On a h = 1 (lemme 7) et le groupe gEL,3 est d’ordre 3. L’application

de r´eduction E3→ gEL,3 est un homomorphisme surjectif de groupes. Son noyau C3 est

d’ordre 3. Si P est un point non nul de E3, on a P ∈ C3 si et seulement si v(Y (P )) < 0,

c’est-`a-dire si et seulement si v(y(P )) < 3/2 (formule (6)). Le sous-groupe C3de E3 est

donc stable par G3.

L’application P 7→ T (P ) (où T (P ) = −X(P )/Y (P ) si P 6= 0 et où T (O) = 0) est un isomorphisme du groupe C3sur le groupe N3. Soit P un point de C3 non nul; l’étude

du polygone de Newton de la série formelle [3] montre que v(T (P )) est égal à 1/2 ([6], 1.10). On a v(Y (P )) = −3v(T (P )) = −3/2. L’égalité y(P ) = u3Y (P ) où v(u) = 1/2 (car v(∆) = 6) implique alors v(y(P )) = 0; comme on a v(c6) = 3, le groupe C3 vérifie

l’assertion du lemme.

2) Supposons maintenant v(∆) < 2v(c6) ≤ 4 + v(∆). On a h = 2 (lemme 7). Le

groupe gEL,3 est trivial et l’application P 7→ T (P ) est un isomorphisme du groupe E3

sur le groupe N3. Par ailleurs, τ3 est ´egal `a −2z/u2(cf. [11], p. 121, 4.5) et sa valuation

est v(τ3) = v(z) − 2v(u) = (2v(c6) − v(∆))/6 d’après le lemme 6. De l’inégalité 2v(c6) ≤

4 + v(∆) on déduit v(τ3) ≤ 2/3. L’étude du polygone de Newton de la série formelle

[3] montre que les ´el´ements non nuls de N3 ont pour valuation α1 = (1 − v(τ3))/2 ou

α2= v(τ3)/6 (cf. [6], 1.10). On a α1 > α2 et l’ensemble H des ´el´ements P de E3 pour

lesquels v(T (P )) ≥ α1 est un sous-groupe d’ordre 3 de E3. Soit P un point non nul de

E3; puisque l’on a v(Y (P )) = −3v(T (P )) et y(P ) = u3Y (P ) o`u v(u) = v(∆)/12, le point

P appartient à H si et seulement si v(y(P )) est égal à (v(c6) − 3)/2; en particulier, le

sous-groupe H de E3est stable sous l’action de G3 et il satisfait à l’énoncé du lemme.

Proposition 6. Supposons v(∆) ≤ 2v(c6) ≤ 4 + v(∆). Dans une base convenable

de E3 sur F3, la repr´esentation de I dans E3 s’´ecrit matriciellement 1 ∗

0 χ si v(c6) est

impair , et χ ∗_{0 1} si v(c6) est pair.

D é m o n s t r a t i o n. Considérons un sous-groupe H de E3 satisfaisant à l’énoncé du

(22)

χ, il suffit de d´emontrer que I agit trivialement sur H si v(c6) est impair et que I agit

sur H suivant χ si v(c6) est pair.

Soit P un point non nul de H. Posons α = (v(c6) − 3)/2. On a v(y(P )) = α (lemme

8). Le groupe H ´etant d’ordre 3, on aσ_{P = ε(σ)P pour tout σ ∈ I avec ε(σ) ∈ {−1, 1}}

et σ(y(P ))/y(P ) est donc égal à ε(σ). Par définition du caractère χα, χα(σ) est l’image

de ε(σ) dans F3. Par suite, I op`ere sur H par la formule σ_{P = χ}

α(σ)P (σ ∈ I, P ∈ H).

Si v(c6) est impair, α appartient à Z et χαest égal au caractère trivial. Si v(c6) est pair,

α appartient `_{a (1/2) + Z et χ}αest ´egal au caract`ere cyclotomique χ.

Rappelons que ψ et ψ0 d´esignent les caract`eres fondamentaux de niveau 2; on a ψ = χ1/8 et ψ0= χ3/8.

Proposition 7. Supposons 2v(c6) > 4 + v(∆). La repr´esentation de I dans E3 est

irréductible. La représentation de I dans E3⊗F3 F3 qu’on en déduit par extension des

scalaires est diagonalisable et repr´esentable matriciellement dans une base convenable par

ψ 0

0 ψ0 si v(∆) ≡ 1 mod 4, et par

ψ2ψ0 0

0 ψ02ψ si v(∆) 6≡ 1 mod 4.

D é m o n s t r a t i o n. On a h = 2 (lemme 7). L’application P 7→ T (P ) est un isomorphi-sme du groupe E3sur le groupe N3. Puisque l’on a v(τ3) = (v(c6)−(v(∆))/2)/3, l’inégalité

2v(c6) > 4 + v(∆) implique que l’on a 2v(c6) ≥ 5 + v(∆), d’o`u v(τ3) ≥ 5/6 > 3/4. L’´etude

du polygone de Newton de la série formelle [3] montre que les éléments non nuls de N3

ont pour valuation 1/8 (cf. [6], 1.10).

Soit P un point non nul de E3; on a v(T (P )) = 1/8. D’apr`es les formules de

trans-formation (6), on a (7) t(P ) = T (P ) u − z 12u3_{Y (P )}, o`u u est de valuation v(∆)/12 et o`u v(z) ≥ 0.

1) Supposons v(c6) < 6+v(∆). Par hypoth`ese cela entraˆıne 2v(c6) = 5+v(∆), c’est-`

a-dire (v(∆), v(c6)) ∈ {(3, 4), (9, 7)} (cf. le tableau préliminaire). Des égalités 3v(z) = v(c6)

(lemme 6) et 3v(T (P )) = −v(Y (P )), on déduit les égalités v T (P ) u − v _z 12u3_{Y (P )} = v(∆) − 2v(c6) + (9/2) 6 = − 1 12. Par suite, on a (8) v T (P ) u < v _z 12u3_{Y (P )} et v(t(P )) = µ avec µ = v(T (P )) u = 1 8 − v(∆) 12 .

Consid´erons l’application f : E3 → mµ/m+µ d´efinie par f (P ) = t(P ) mod m+µ.

D´emontrons que f est un homomorphisme injectif de groupes compatible `a l’action de G3. Soient P , P0 deux points de E3. On a v(T (P + P0) − T (P ) − T (P0)) > 1/8 (cf. [12],

(23)

formule (16)), v T (P + P 0₎ u − T (P ) u − T (P0) u > 1 8− v(∆) 12 = µ.

L’inégalité (8) et la formule (7) entraˆınent alors v(t(P + P0) − t(P ) − t(P0)) > µ; cela prouve que f est un homomorphisme; f est injectif car v(t(P )) est égal à µ pour tout P non nul de E3 et il commute à l’action de G3 puisque l’on a t(σP ) =σt(P ) pour σ ∈ G3

et P ∈ E3. L’action du groupe I sur f (E3) est donc donn´ee par la formule

f (σP ) = χµ(σ)f (P ) (P ∈ E3, σ ∈ I).

Si v(∆) = 3, on a µ = −1/8 ≡ 7/8 mod Z, d’o`u χµ = ψψ02. Si v(∆) = 9, on a µ = −5/8 ≡

3/8 mod Z, d’où χµ = ψ0. Dans chacun des deux cas, χµ(I) est égal à F∗9; ainsi f (E3)

est stable par multiplication par les ´el´_{ements de F}9 et est un sous-F9-espace vectoriel

de mµ/m+µ (o`u F9 est l’extension quadratique de F3 contenue dans F3). Puisque f est

injectif, on en d´_{eduit une unique structure de F}9-espace vectoriel sur E3 pour laquelle f

est F9-lin´eaire. Le groupe I op`ere donc sur E3 par la formule σ_{P = χ}

µ(σ)P (P ∈ E3, σ ∈ I).

En particulier, la représentation de I dans E3 est irréductible, et après extension des

scalaires `_{a F}3, l’action de I dans E3⊗F3 F3 est repr´esentable matriciellement dans une

base convenable par

χµ 0

0 χ3µ

(cf. [6], 1.9, d´em. du cor. 3).

2) Supposons 2v(c6) ≥ 6 + v(∆). On peut prendre z = 0 (lemme 6) et alors v(t(P ))

est égal à µ, avec µ = 1/8 − (v(∆)/12). L’application f : E3 → mµ/m+µ définie par

f (P ) = t(P ) mod m+

µ est un homomorphisme de groupes injectif compatible avec l’action

de G3(cf. d´em. de la prop. 1). Si σ ∈ I et P ∈ E3, on a donc f (σP ) = χµ(σ)f (P ). On a

µ = 1 8+ v(∆) 4 − v(∆) 3 ≡ 1 8 + v(∆) 4 mod Z 1 3 , donc le caractère χµ est égal à ψ1+2v(∆)et l’on a

χµ=    ψ0 si v(∆) ≡ 1 mod 4, ψ2_ψ0 _{si v(∆) ≡ 2 mod 4,} ψ02ψ si v(∆) ≡ 3 mod 4

(sous l’hypoth`ese 2v(c6) ≥ 6 + v(∆), 4 ne divise pas v(∆) comme on peut le constater

dans le tableau préliminaire). On a ainsi χµ(I) = F∗9et par une démonstration analogue à

celle du cas 1) ci-dessus, on en déduit que la représentation de I dans E3est irréductible,

et que la représentation de I dans E3⊗F3F3est diagonalisable et donnée par les caractères

χµ et χ3µ. Cela d´emontre la proposition.

3. Démonstration de l’assertion (b) du théorème 2. On note % la représentation de I dans E3.

Lemme 9. ∆ est un cube dans Q3,nr si et seulement si on a v(∆) ≡ 0 mod 3 et

(24)

D ´e m o n s t r a t i o n. Toute unit´_{e de Q}3,nrcongrue `a ±1 mod 9 est un cube dans Q3,nr

(cf. [7], p. 219, prop. 9). Donc la condition est suffisante. Montrons qu’elle est n´ecessaire. Supposons que ∆ soit un cube de Q3,nr. On a alors v(∆) ≡ 0 mod 3 et ∆0 est le cube

d’un ´el´_{ement x de Q}3,nr. Puisque l’on a ∆0 ≡ ±1 mod 3, on a x ≡ ±1 mod 3, d’o`u

x3_{≡ ±1 mod 9. Cela prouve le lemme.}

Proposition 8. Si la repr´esentation % s’´ecrit matriciellement 1 ∗0 χ, on a

k =    8 si v(∆) 6≡ 0 mod 3, 6 si v(∆) ≡ 0 mod 3 et ∆0 6≡ ±1 mod 9, 2 si v(∆) ≡ 0 mod 3 et ∆0 ≡ ±1 mod 9.

D ´e m o n s t r a t i o n. L’ordre de %(I) est ´egal `_{a 2 ou 6. On a Q}3,nr(E3) = Q3,nr(µ3, ∆1/3)

(cf. [6], 5.3.b)).

Supposons que ∆ ne soit pas un cube dans Q3,nr. On a |%(I)| = 6 et I3 n’op`ere pas

trivialement sur E3. On est dans l’un des deux cas suivants :

(a) v(∆) 6≡ 0 mod 3;

(b) v(∆) ≡ 0 mod 3 et ∆06≡ ±1 mod 9.

Dans le cas (a), Q3,nr(E3) est très ramifiée et, par définition, on a k = 8 (cf. [8],

(2.4.9)). Dans le cas (b), Q3,nr(E3) est peu ramifi´ee et l’on a k = 6 (loc. cit ., (2.4.8)).

Lorsque ∆ est un cube dans Q3,nr, i.e. lorsque l’on a v(∆) ≡ 0 mod 3 et ∆0≡ ±1 mod

9, l’action de I3 sur E3 est triviale, et l’on a k = 2 (loc. cit ., (2.9.2)). Cela prouve la

proposition.

Proposition 9. Si la repr´esentation de I dans E3 s’´ecrit matriciellement χ ∗ 0 1,

on a

k = 4 si v(∆) 6≡ 0 mod 3, 2 si v(∆) ≡ 0 mod 3.

D é m o n s t r a t i o n. Elle est identique à celle de la prop. 8. Si on a v(∆) 6≡ 0 mod 3, l’égalit´_{e Q}3,nr(E3) = Q3,nr(µ3, ∆1/3) montre que Q3,nr(E3) est très ramifiée, d’où k = 4

(cf. [8], (2.4.9)). Si on a v(∆) ≡ 0 mod 3, Q3,nr(E3) est modérément ramifiée ou peu

ramifi´ee, auquel cas on a k = 2 (loc. cit ., (2.4.8)). Cela prouve la proposition.

Consid´erons alors un couple (v(∆), v(c6)) 6= (6, 5) intervenant dans le tableau pr´

eli-minaire. Si on a v(∆) ≤ 2v(c6) ≤ 4 + v(∆), la valeur de k indiquée dans le théorème

s’obtient en appliquant les prop. 6, 8 et 9. Si 2v(c6) > 4 + v(∆), la valeur de k s’obtient

en appliquant la prop. 7 et la d´efinition (2.2.4) de [8]. Supposons (v(∆), v(c6)) = (6, 5).

L’´egalit´e c3

4− c26= 1728∆ implique ∆0 ≡ c034 − 3c026 ≡ ±1 − 3 mod 9; d’apr`es les prop. 6

et 8, on a k = 6. Cela termine la démonstration de l’assertion (b) du théorème 2. B.3. Le cas p ≥ 3, v(j) < 0

1. Description de l’action de I sur Ep. On suppose v(j) < 0. Il existe une unique

extension quadratique ramifi´_{ee L de Q}p sur laquelle E devient isomorphe `a la courbe

de Tate Gm/qZ, où q est l’élément de Q∗p déterminé par l’égalité j(E) = (1/q) + 744 +

196884q + . . . ([11], p. 355, 14). On a v(q) = −v(j(E)). Notons Tate(q) la courbe Gm/qZ.

(25)

Lemme 10. Il existe un isomorphisme de groupes θ de E(Qp) sur Q∗p/qZ tel que pour tout σ ∈ Gp on ait θ(σP ) =   

σ_{(θ(P ))} _{si la restriction de σ `}_{a L est l’identit´}_e,

(σ_{θ(P ))}−1 _{si la restriction de σ `}_{a L}

est l’´el´_{ement non trivial de Gal(L/Q}p).

D ´e m o n s t r a t i o n. Les courbes E et Tate(q) sont d´_{efinies sur Q}p, non isomorphes

sur Qpet isomorphes sur l’extension quadratique L de Qp; elles se d´eduisent donc l’une de

l’autre par torsion quadratique par l’extension L/Qp. Soit d ∈ Q∗p tel que L = Qp

√ d. Soit F un polynôme séparable de degré 3 `_{a coefficients dans Q}p tel que

(W ) y2= F (x)

soit une ´_{equation de E sur Q}p; alors dy2= F (x) est une ´equation de Tate(q) sur Qp. Soient

x, y les fonctions coordonnées de Weierstrass de E dans le modèle (W ). L’application f : E(Qp) → Tate(q)(Qp) donnée dans les modèles de E et Tate(q) définie par les

´

equations ci-dessus par f (P ) = x(P ), y(P )/√d est un isomorphisme de groupes. Pour P ∈ E(Qp) et σ ∈ Gp, on a f (σP ) = σ

√

d/√dσ_{f (P ). L’homomorphisme θ, obtenu en}

composant l’isomorphisme canonique de Tate(q)(Qp) sur Q∗p/qZ avec f , satisfait alors `a

l’´enonc´e du lemme.

Proposition 10. Supposons p ≥ 3 et v(j) < 0; dans une base convenable de Ep sur

Fp, la repr´esentation de I dans Ep s’´ecrit matriciellement

χp−α _∗

0 χα

avec α = (p − 1)/2.

D ´_{e m o n s t r a t i o n. Soit θ un isomorphisme de groupes de E(Q}p) sur Q∗p/qZ, comme

indiqu´e dans le lemme 10. Par d´efinition, θ(Ep) est le noyau de la multiplication par p

dans Q∗p/qZ. L’image r´eciproque de µpqZ/qZ par θ est un sous-groupe Cp d’ordre p de

Ep. Parce que l’on a p ≥ 3, Qp,nr(

√

p) est l’unique extension quadratique de Qp,nr; c’est

donc le compos´_{e de L et Q}p,nr. Le groupe I agit par le caract`ere cyclotomique χ sur le

groupe µpqZ/qZ, et il r´esulte du lemme 10 que l’on a, pour P ∈ Cp et σ ∈ I,

θ(σP ) = θ(P )

χ(σ) _{si σ(}√_{p) =}√_p,

θ(P )−χ(σ) si σ(√p) = −√p.

L’application θ restreinte à Ep étant Fp-linéaire injective, on en déduit que l’on aσP =

χ(σ)P si σ(√p) =√p etσP = −χ(σ)P si σ(√p) = −√p. En particulier, Cp est stable

sous l’action de I. On a en fait σ(√p) = χ(σ)(p−1)/2√_{p, donc I agit sur C}

p suivant le

caractère χ(p+1)/2 = χp−α; le déterminant de la représentation de I dans Ep étant le

caract`ere χ = χp_{, I op`}_{ere sur E}

p/Cp par le caract`ere χα; cela d´emontre la proposition.

2. Démonstration des assertions (a) des théorèmes 1 et 2

Lemme 11. Supposons p ≥ 3 et v(j) < 0; on a Qp,nr(Ep) = Qp,nr(µp, q1/p).

D ´_{e m o n s t r a t i o n. Puisque p ≥ 3, on voit que Q}p,nr(

√

p), qui est l’unique extension quadratique de Qp,nr, est contenu dans Qp,nr(µp), donc dans Qp,nr(Ep) et Qp,nr(Tate(q)p).

(26)

Comme E et Tate(q) sont isomorphes sur Qp(

√

p), on a Qp,nr(Ep) = Qp,nr(Tate(q)p) =

Qp,nr(µp, q1/p).

Rappelons que l’on a v(j) = −v(q). Posons α = (p − 1)/2 et β = p − α. La repr´esentation de I dans Ep s’´ecrit matriciellement

χβ _∗

0 χα

(prop. 10). On a β = α + 1.

Supposons p ≥ 5. Si p divise v(j), d’apr`es le lemme 11, l’action de Ip sur Ep est

soit triviale, soit peu ramifiée. Les entiers α et β sont compris entre 1 et p − 2; d’où k = 1 + pα + β = (p2+ 3)/2 (cf. [8], (2.3.2) ou (2.4.8)). Si p ne divise pas v(j), l’extension Qp,nr(Ep) est très ramifiée et cela conduit à k = (p + 1)2/2 (loc. cit ., (2.4.9)). Cela

démontre l’assertion (a) du théorème 1.

Si p est égal à 3, la représentation de I dans E3 s’écrit matriciellement sous la forme

1 ∗

0 χ

.

La valeur de k s’obtient alors en appliquant la prop. 8 (qui est valable si v(j) < 0); cela prouve l’assertion (a) du th´eor`eme 2.

B.4. Le cas p = 2. On rappelle que % est la repr´esentation de I dans E2. D’apr`es [8],

no 2, trois cas sont possibles :

(a) La représentation % est irréductible. Dans ce cas, la représentation déduite de % par extension des scalaires `_{a F}2 est représentable matriciellement dans une base convenable

par

ψ 0

0 ψ0

,

o`u ψ et ψ0 sont les caract`eres fondamentaux de niveau 2. On a |%(I)| = 3 et k = 2 (loc. cit ., (2.2.4)).

(b) On a |%(I)| = 1. Dans ce cas, on a k = 2 (loc. cit ., (2.3.2)).

(c) La repr´esentation % est repr´esentable matriciellement dans une base convenable de E2 sur F2par

1 λ

0 1

,

o`_{u λ : I → F}2 est un homomorphisme non nul. On a alors |%(I)| = 2. On a k = 2 si

l’extension Q2,nr(E2) de Q2,nr est peu ramifiée, et k = 4 si elle est très ramifiée.

Si v(∆) est impair, ∆ n’est pas un carr´_{e dans Q}2,nr, donc %(I) est pair ([6], 5.3, a)).

On est alors dans le cas (c), et on a [Q2,nr(E2) : Q2,nr] = 2. Comme Q2,nr(E2) contient le

corps Q2,nr

√

∆_{, il est égal à ce corps, et est une extension très ramifiée de Q}2,nr. On a

donc k = 4.

Supposons v(∆) pair. Si on est dans le cas (a) ou le cas (b), on a k = 2. Si on est dans le cas (c), les mêmes arguments que ceux de l’alinéa précédent permettent de prouver que le corps Q2,nr(E2) est égal à Q2,nr

√

∆_{et est une extension peu ramifi´ee de Q}2,nr,

(27)

II. D´

etermination du conducteur

Consid´erons comme dans l’introduction une courbe elliptique E d´_{efinie sur Q et un} nombre premier p. Notons N (E) le conducteur de E et Ep le groupe des points de

p-torsion de E(Q) (où Q est une clôture algébrique de Q); Ep est un Z/pZ-espace vectoriel

de dimension 2. Si l est un nombre premier 6= p, on note Ql,nr l’extension non ramifi´ee

maximale de Qldans une clˆoture alg´ebrique Qlet fll’exposant de l dans N (E). Rappelon

que l’on a

fl=

(₀ _{si E a bonne r´}_{eduction en l,}

1 si E a une r´eduction multiplicative en l, 2 + δl si E a une r´eduction additive en l,

o`u δl est l’invariant sauvage du Gal(Ql/Ql,nr)-module Ep (cf. [11], p. 361 et [4]); δl est

´

egal `_{a 0 si et seulement si l’extension Q}l,nr(Ep)/Ql,nr est de degr´e premier `a l. Nous

nous intéressons à comparer N (E) au conducteur N (%p) associé par Serre ([8], 1.2) à la

repr´esentation %p : Gal(Q/Q) → GL2(Ep) d´efinie par les points de p-torsion de E.

A. Énoncé du résultat. Soient ∆ le discriminant minimal de E et vl(∆) l’exposant

de l dans ∆.

Proposition. Le conducteur N (%p) divise N (E). Plus pr´ecis´ement , on a

N (%p) =

Y

l6=p

lfl−fl(p)_,

o`u fl(p) est donn´e dans la table ci-dessous :

(a) Si E a bonne r´eduction en l, alors fl(p) = 0.

(b) Si E a mauvaise r´eduction de type multiplicatif en l, alors fl(p) =

0 si p ne divise pas vl(∆),

1 si p divise vl(∆).

(c) Supposons que E ait mauvaise r´eduction de type additif en l. (i) Si p ≥ 5, on a fl(p) = 0.

(ii) On a fl(3) =

n₁ _{si E a en l une r´}_{eduction de type IV ou IV}∗_, 0 sinon.

(iii) On a fl(2) =

(2 si E a en l une r´eduction de type I∗

ν avec ν entier pair ≥ 0,

1 si E a en l une r´eduction de type III, III∗ ou I∗

ν avec ν impair,

0 si E a en l une r´eduction de type II, IV, IV∗, ou II∗.

B. Démonstration. Dans toute la suite, la lettre l désignera un nombre premier différent de p. _{On note E(Q}l,nr) le groupe des points de E définis sur Ql,nr et par

E(Ql,nr)[p] le noyau de la multiplication par p dans E(Ql,nr). Si n(l, %p) est l’exposant de

N (%p) en un nombre premier l 6= p, on a par d´efinition ([8], (1.2.2) et (1.2.3))

(28)

1. Pr´eliminaires. Rappelons d’abord le r´esultat suivant :

Lemme 1. Si E a mauvaise r´eduction de type multiplicatif en l, on a dim_Z/pZ_E(Ql,nr)[p] = 2 si p divise vl(∆), 1 si p ne divise pas vl(∆), et [Ql,nr(Ep) : Ql,nr] = 1 si p divise vl(∆), p si p ne divise pas vl(∆).

D é m o n s t r a t i o n. Soit µple groupe des racines p-ièmes de l’unité de Ql. La courbe

E est isomorphe sur Ql,nrà une courbe de Tate Gm/qZ, où q est un élément de Q∗l dont

la valuation vl(q) est ´egale `a vl(∆) (cf. [11], p. 357, th. 14.1). Le groupe Ep s’identifie

`

a (µpqZ/p)/qZ comme Gal(Ql/Ql,nr)-module; µp est contenu dans Ql,nr, et q est une

puissance p-i`_{eme dans Q}l,nrsi et seulement si p divise vl(q); cela d´emontre le lemme.

Supposons maintenant que E ait mauvaise r´eduction de type additif en l. La cubique e

E d´eduite de E par r´eduction modulo l a un unique point singulier P . Posons gEns =

e

E − {P }; rappelons que l’on dispose d’une application de r´_{eduction E(Q}l,nr) → eE(Fl)

(o`_{u F}lest le corps r´esiduel de Ql,nr). L’ensemble E0(Ql,nr) des points de E(Ql,nr) dont la

r´eduction est diff´_{erente de P est un sous-groupe de E(Q}l,nr); l’application de r´eduction

E0(Ql,nr) → gEns(Fl) est un homomorphisme surjectif de groupes dont le noyau E1(Ql,nr)

s’identifie à l’ensemble des points du groupe formel associé à E, à valeurs dans l’idéal de valuation de Ql,nr.

Lemme 2. Supposons E à réduction additive en l. Le noyau de la multiplication par p dans E(Ql,nr)/E0(Ql,nr) est isomorphe à E(Ql,nr)[p].

D ´e m o n s t r a t i o n. On ´ecrit la suite exacte (cf. [11], prop. 2.1, p. 174) : 0 → E1(Ql,nr) → E0(Ql,nr) → gEns(Fl) → 0;

le groupe E1(Ql,nr) est la limite inductive d’une suite de pro-l-groupes. Il est donc

p-divisible sans p-torsion; comme par hypoth`ese E a r´eduction de type additif, le groupe g

Ens(Fl) est isomorphe au groupe additif Fl, donc p-divisible sans p-torsion; d’apr`es le

lemme du serpent, E0(Ql,nr)[p] et E0(Ql,nr)/pE0(Ql,nr) sont r´eduits `a 0. Il suffit ensuite

de r´eappliquer le lemme du serpent, de nouveau avec la multiplication par p, `a la suite exacte

0 → E0(Ql,nr) → E(Ql,nr) → E(Ql,nr)/E0(Ql,nr) → 0

pour obtenir le lemme.

2. D´emonstration de la proposition. 1) Si E a bonne r´_{eduction en l, on a Q}l,nr(Ep) =

Ql,nrd’après le critère de Néron–Ogg–Shafarevitch ([11], p. 184, th. 7.1); δl est égal à 0,

d’o`u n(l, %p) = 0 (formule (1)). Comme on a fl= 0, cela montre l’assertion (a).

2) Supposons que E ait mauvaise r´eduction de type multiplicatif en l. D’apr`es le lemme 1, on a

dim_Z/pZ_E(Ql,nr)[p] =

1 si p ne divise pas vl(∆),