1. Ciało o masie jednostkowej umieszczono w polu sił o nieznanym stałym napr þeúzeniu θ. W chwilach t

(1)

STATYSTYKA

DLA STUDENTÓW III ROKU

MATEMATYKI EKONOMICZNEJ, MATEMATYKI Z INFORMATYK þ A I MATEMATYKI NAUCZYCIELSKIEJ

Lista 3

1. Ciało o masie jednostkowej umieszczono w polu sił o nieznanym stałym napr þeúzeniu θ. W chwilach t

1

, t

₂

, . . . , t

_n

zmierzono połoúzenia ciała Y

₁

, Y

₂

, . . . , Y

_n

w tym polu. Warto´s´c Y

_i

róúzni si þe od prawdziwej warto´sci (θ/2) t

²_i

o bł þ ad losowy ε

_i

maj þ acy rozkład o ´sredniej 0 i stałej a nieznanej wariancji. Zakładaj þ ac, úze bł þedy losowe s þ a niezaleúzne, oblicz metod þ a najm- niejszych kwadratów estymator parametru θ.

2. Niech

Y

_i

=

½ θ

₁

+ ε

_i

dla i = 1, 2, . . . , n

₁

θ

₂

+ ε

_i

dla i = n

₁

+ 1, n

₁

+ 2, . . . , n

₁

+ n

₂

oraz ε

_i

s þ a niezaleúzne o ´sredniej 0 i stałej a nieznanej wariancji. Znajd´z estymatory najmniejszych kwadratów dla θ

₁

i θ

₂

.

3. W chwilach t

1

, t

2

, . . . , t

n

zmierzono warto´sci pewnej cechy Y

1

, Y

2

, . . . , Y

n

. Załóúzmy, úze zwi þ azek mi þedzy warto´sciami Y a zmienn þ a t jest opisany przez model regresji liniowej. Znajd´z, metod þ a najmniejszych kwadratów, esty- mator warto´sci Y w chwili t

n+1

i pokaúz, úze minimalizuje on ´sredni bł þ ad kwadratowy.

4. Dla estymatorów b θ

₁

, c θ

₂

, b θ

₃

parametru θ w rozkładzie Hardy’ego - Wein- berga z zad.1, lista 2 oblicz w przypadku n = 2:

(a) obci þ aúzenia (b) wariancje

(c) ´srednie bł þedy kwadratowe

i porównaj, który z nich jest najlepszy

5. Niech X

^T

= [x

1

, x

2

, . . . , x

n

] b þed þ a prób þ a prost þ a z rozkładu o ´sredniej µ i odchyleniu standardowym σ i oba parametry s þ a nieznane. Rozwaúzmy rodzin þe estymatorów n

bθ (X) = P

ⁿ_i=1

c

_i

x

_i

: c

_i

∈ R o

. Udowodnij, úze:

(a) b θ jest estymatorem nieobci þ aúzonym µ ⇐⇒ gdy P

n

i=1

c

_i

= 1,

(b) spo´sród estymatorów z punktu (a) ´srednia arytmetyczna ma najm- niejsz þ a wariancj þe (a wi þec i najmniejszy ´sredni bł þ ad kwadratowy) 6. Niech X = [x

1

] b þedzie prób þ a jednoelementow þ a o rozkładzie normalnym

N (µ, 1) . Rozwaúzmy estymatory warto´sci ´sredniej µ postaci bµ (X) = ax

¹

+ b.

(a) Oblicz ´sredni bł þ ad kwadratowy takiego estymatora

31

(2)

(b) Czy istnieje taki układ parametrów (a

0

, b

0

), úze estymator bµ (X) = a

⁰

x

1

+ b

0

ma jednostajnie, wzgl þedem µ, najmniejszy ´sredni bł þ ad kwadratowy spo´sród wszystkich estymatorów opisanych w tym zadaniu?

(c) Znajd´z wszystkie nieobci þ aúzone estymatory postaci bµ (X) = ax

¹

+ b.

7. W praktyce statystycznej respondent cz þesto musi odpowiada´c na trudne pytania, na przykład: Czy próbowałe´s kiedykolwiek narkotyków? Badacza interesuje, jakie jest prawdopodobie´ nstwo θ odpowiedzi TAK w populacji.

Aby zachowa´c dyskrecj þe, stosuje si þe nast þepuj þ ace metody:

(a) metoda neutralnego pytania:

Zadaje si þe respondentowi dwa pytania: Q

₁

(trudne pytanie, np Czy próbowałe´s kiedykolwiek narkotyków? ) i pytanie Q

₂

(o znanym prawdopodobie´ nstwie odpowiedzi TAK np Rzu´c ko´sci þ a. Czy otrzy- małe´s szóstk þ e?). Nast þepnie kaúze si þe respondentowi w tajemnicy rzu- ci´c dwukrotnie ko´sci þ a. Je´sli za pierwszym razem wypadnie 1 lub 2 to odpowiada on na pytanie Q

1

, w przeciwnym razie odpowiada na pytanie Q

2

dostosowuj þ ac odpowied´z do drugiego rzutu ko´sci þ a.

(b) metoda Warnera:

Respondent odpowiada na pytanie trudne Q

1

lub na jego negacj þe Q

11

w zaleúzno´sci od wyniku np rzutu ko´sci þ a (Je´sli wypadnie 1 lub 2 to odpowiada on na pytanie Q

1

, w przeciwnym razie odpowiada na pytanie Q

₁

).

Znajd´z metod þ a porównania cz þesto´sci estymatory θ dla obu metod, opisanych w (a) i (b), gdy dysponujesz odpowiedziami od n respondentów. Zbadaj nieobci þ aúzono´s´c tych estymatorów i porównaj ich ´srednie bł þedy kwadra- towe.