Zadania przygotowawcze - część druga 1. Zbadaj w jakich punktach odwzorowanie H : R2 →

Zadania przygotowawcze - część druga

1. Zbadaj w jakich punktach odwzorowanie H : R

→ [0, 1] dane wzorem H(x, y) = (y, sin x) jest lokalnie odwracalne. Znajdź możliwie duży zbiór po obcięciu do którego H jest globalnie odwracalne. Znajdź pochodną odwzorowania odwrotnego w punkcie K = (3, cos √

2).

2. Polecenie jak wyżej dla H : R

→ R × R

, H(x, y) = (x + 7, y

), K = (7, 25).

3. Znajdź pochodne:

a) g

(x), jeśli: g(x) = f (x, y(x)), f (x, y) = x

+ 3xy sin x

b)

,

, jeśli f (u − v, u + v) = e

· v + u

;

c) f

, f

jeśli: f (x, z) = xz · lnz, x = x(z, t) = zt

.

3. Znajdź punkty, w których funkcja f zadaje y jako funkcję uwikłaną ϕ(x), jeśli f (x, y) = x

+ y

− 4x − 5. Znajdź punkty zerowania się pochodnej funkcji uwikłanej y = ϕ(x).

Stwierdź, czy w tych punktach jest ekstremum, jeśli tak - określ czy jest to maksimum czy minimum.

4. Dany jest zbiór S = {(x, y) ∈ R

: x − e

+ y

+ y = 0}. Dobierz wartości a, b tak, aby punkty (0, a) i (b, 0) należały do zbioru S. Stwierdź, czy możliwe jest w otoczeniu tych punktów rozwikłanie zmiennej y względem x lub x względem y. Jeśli tak, znajdź wartości pochodnych funkcji uwikłanych w odpowiednich punktach.

5. Udowodnij prawdziwość wzoru na pochodną funkcji złożonej, tzn udowodnij, że jeśli f, g - różniczkowalne oraz złożenie f ◦ g istnieje, A = Df

, B = Dg

, to złożenie jest różniczkowalne oraz: D(f ◦ g)

= A · B.

6. Udowodnij, że jeśli F = (f

, f

, . . . , f

), f

: R

→ R dla i = 1, 2, . . . , n, oraz każda z funkcji f

jest różniczkowalna, to funkcja F jest różniczkowalna.

1