• Nie Znaleziono Wyników

Opracowanie wyników pomiarów Praca w laboratorium fizycznym polega na wykonaniu pomiarów, ich interpretacji i wyciagni

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2021

Share "Opracowanie wyników pomiarów Praca w laboratorium fizycznym polega na wykonaniu pomiarów, ich interpretacji i wyciagni"

Copied!
8
0
0

Pełen tekst

(1)

Opracowanie wyników pomiarów

Praca w laboratorium fizycznym polega na wykonaniu pomiarów, ich interpretacji i wyciagnięciem wniosków. Aby dojść do właściwych wniosków naleŜy szczególną uwagę zwrócić na poprawność wykonania pomiarów i minimalizacji błędów pomiarowych. Bardzo waŜnym elementem pracy w laboratorium jest prezentacja wyników i ich interpretacja.

Przedstawienie uzyskanych rezultatów przejrzyście i zgodnie z ogólnie przyjętymi zasadami ułatwia prawidłową interpretację wyników pomiarowych.

Najczęstszym zadaniem stojącym przed studentem wykonującym pomiary jest fakt, Ŝe wynik pomiaru na ogół nie pokrywa się z jej wartością mierzoną. Przyczyny tego faktu mogą być róŜne i róŜnie się mogą one objawiać. Jeśli wyniki pomiarów wykazują systematyczne przesunięcie w stosunku do wartości rzeczywistej lub odznaczają się niepowtarzalnością przekraczającą znacznie dokładność przyrządów pomiarowych, wówczas mówimy, Ŝe są one obarczone błędami pomiarowymi. Mówimy o błędach systematycznych i przypadkowych (gruby, pomyłka). Oczywiście moŜemy je, jeśli nie wyeliminować to zminimalizować i moŜemy to zrobić poprzez:

1. UŜycie właściwie działających przyrządów pomiarowych.

2. Poprawne przeprowadzenie pomiarów.

3. Stosowanie poprawek matematycznych do wzorów przybliŜonych.

4. Usunięcie z serii pomiarowej wyniku obarczonego błędem grubym.

Eliminacja źródeł błędów opisanych powyŜej niestety nie prowadzi do wyników jednoznacznie pokrywających się z rzeczywistością. KaŜdy pomiar jest obciąŜony niepewnością pomiarową.

RozróŜniamy:

- niepewność przypadkowe (błąd przypadkowy, losowy) - niepewności systematyczne.

W seriach pomiarowych otrzymujemy „rozrzut” wyników, świadczy to o dominacji

niepewności przypadkowych. Źródłem takich błędów jest sama wielkość mierzona jak i sam

eksperymentator.

(2)

PREZENTACJA REZULTATÓW

Wyznaczoną wielkość fizyczną prezentujemy z odpowiednia dokładnością wraz z przedziałem niepewności wynikłej ze stosowanej metody, uŜytych przyrządów pomiarowych czy teŜ własności obiektu mierzonego.

Wyniki pomiarów podajemy wraz z niepewnością bezwzględną i względną.

Bezwzględna niepewność pomiarową ∆∆∆∆ y określa, o ile wynik pomiaru y moŜe róŜnic się od rzeczywistej wartości y

o

y y y

0

≤ ∆

PoniewaŜ wartość rzeczywista zawarta jest w ∆∆∆∆ y wynik nasz zapisujemy:

y y y

0

= ± ∆ .

Niepewność względną określamy jako stosunek niepewności bezwzględnej do wartości wyniku i wyraŜamy w procentach

%

.

100 y y

wzgl

= ∆ y

Wskazane jest by prezentując wyniki przedstawiać błąd bezwzględny i względny.

Końcowe wyniki naleŜy podawać we właściwych jednostkach i z właściwa precyzją.

O precyzji zapisu wyniku świadczy ilość zawartych w niej cyfr znaczących (1…9), zero jest znaczące tylko w przypadku, gdy znajduję się między dwiema cyframi lub na dowolnym miejscu po cyfrze niebędącej zerem, ale zawartej w liczbie z przecinkiem (300 moŜemy zapisać jako 3 * 10

2

– jedno miejsce znaczące, chcąc zaznaczyć trzy miejsca znaczące zapiszemy jako 3,00 * 10

2

)

Niepewności pomiarowe prezentujemy z dokładnością co najwyŜej do dwóch miejsc znaczących.

Wynik pomiaru zaokrąglamy zawsze do takiej samej liczby miejsc znaczących z jaką podajemy niepewność pomiarową.

Przykład: temperatura – (293 +/- 1)K, ∆ T

wzgl.

= 0,3%

Zasady sporządzania wykresów.

Wykresy odzwierciedlają przeprowadzone pomiary informując o związkach funkcyjnych, a takŜe o błędach pomiarowych. Przygotowując wykres naleŜy zwrócić uwagę na poniŜsze wyszczególnienie:

1. Wartości zmiennej niezaleŜnej powinny być odkładane na osi poziomej X. Obie osie powinny być oznaczone symbolem lub nazwą zmiennej wraz z nazwa lub symbolem jednostki w jakiej jest ona wyraŜona.

2. Skale obu osi powinny być tak dobrane, aby krzywa wykresu przebiegała moŜliwie przez całą jego powierzchnię. Oznacza to, Ŝe nie muszą one zaczynać się od zera, tylko od wartości nieco mniejszej od najmniejszej zmierzonej wartości. Podziałki skali powinny być wyraźnie zaznaczone i tak dobrane, aby umoŜliwiały łatwe odczytanie jakiegokolwiek punktu na wykresie.

3. Punkty doświadczalne powinny być przedstawione w taki sposób, aby były widoczne na tle

przeprowadzonej krzywej. Wielkość zaznaczonego punktu (prostokąt, krzyŜyk) powinna

odpowiadać wartości niepewności.

(3)

4. Na wykresie naleŜy zaznaczyć niepewności pomiarowe reprezentowane przez poszczególne punkty. Jeśli tylko jedna wielkość jest obarczona niepewnością, np. zmienna zaleŜna Y, to zaznaczamy to pionową kreską o długości 2∆y, której środek przypada w danym punkcie. W przypadku, gdy obie zmienne obarczone są niepewnościami pomiarowymi, zaznaczamy to w postaci krzyŜyka o ramionach 2∆x i 2∆y, na przecięciu których znajduje się punkt reprezentujący dany pomiar.

5. Prowadząc krzywą, mającą określić charakter przebiegu punktów doświadczalnych, naleŜy przede wszystkim zwrócić uwagę na wielkości niepewności pomiarowych. Punkty wytyczające krzywą nie muszą na niej leŜeć, a powinny być raczej równomiernie rozmieszczone powyŜej i poniŜej krzywej. NaleŜy jednak dbać o to, by krzywa mieściła się w granicach zaznaczonych niepewności pomiarowych.

6. Wykres tworzymy rysując linię która nie powinna mieć ostrych załamań i przebiegać jak najbliŜej punktów pomiarowych.

Metody obliczeń błędów:

W zaleŜności od sposobu pomiaru wielkości mierzonej obliczenia błędów dzielimy na dwie grupy: bezpośredni pomiar wielkości fizycznej, np. wysokość krzesła – pomiary bezpośrednie, pomiary na podstawie których wyliczamy poszukiwaną wielkość – pomiary pośrednie.

Błąd bezpośredni:

Wartość rzeczywistą x

o

najlepiej przybliŜa wartość średnia arytmetyczna x (wartość oczekiwana)

n x x

n

i

i

=

=1

σ - określa rozrzut wyników wokół wartości rzeczywistej x

o

przybliŜamy wielkością σ

x

liczoną na podstawie wzoru

( )

n x x

n

i

i o x

=

=

1

2

σ

PoniewaŜ nie znamy jednak wartości rzeczywistej x

o

, a jedynie jej oszacowanie przez średnią arytmetyczną , posłuŜymy się zatem wzorem

( )

1

1

2

= ∑

=

n x x S

n

i

i x

Tak zdefiniowana niepewność pomiarowa nosi nazwę odchylenia standardowego pojedynczego pomiaru; stosuje się równieŜ nazwę średniego błędu kwadratowego.

Wykonując pomiary istotna jest rozbieŜność między wartościami x

o

i x . Wielkością

oceniającą tę rozbieŜność jest odchylenie standardowe średniej, noszące równieŜ nazwę

średniego błędu kwadratowego średniej, zdefiniowane wzorem.

(4)

( )

( n ) n

x x S

n

i

i

x

1

1

2

= ∑

=

Błąd z pomiarów pośrednich:

Chcąc wyznaczyć niepewność systematyczną wielkości Y = f(x

1

, x

2

,…x

n

), musimy obliczyć zmianę ∆Y tej funkcji spowodowaną zmianami jej argumentów o ∆x

1

, ∆x

2

,..., ∆x

n

, które to wielkości są niepewnościami systematycznymi mierzonych bezpośrednio wielkości x

1

,x

2

,...,x

n

. Wyznaczana wielkość Y = f(x) jest funkcją tylko jednej zmiennej x obarczonej niepewnością pomiarową +/-∆x. Chcemy obliczyć zmianę +/-∆Y funkcji f(x) przy zmianie jej argumentu o +/-∆x.

( x x )

f Y

Y ± ∆ = ± ∆ Stosując rozwinięcie Taylora

( ) ( )

2

( )

2

...

2

+

∆ +

∆ +

=

± x

dx f x d dx

x x df

f Y Y

PoniewaŜ Y = f(x) otrzymujemy dx x

x Y = df

∆ ( )

gdzie zaniedbaliśmy wyrazy w których ∆x występuje w wyŜszych potęgach.

Uogólniając ten przypadek na funkcję zmiennych Y = f(x

1

,x

2

,...,x

n

) i postępując w ten sam sposób jak w przypadku funkcji jednej zmiennej, otrzymujemy

2

...

2 1 1

+

∂ ∆ + ∂

∂ ∆

= ∂

x

x x f x Y f

Występujące we wzorze symbole nazywamy pochodnymi cząstkowymi. Oblicza się je w taki sam sposób jak zwykłe pochodne funkcji jednej zmiennej przy załoŜeniu, Ŝe zmienną jest tylko x

1

, a pozostałe zmienne są wielkościami stałymi.

PowyŜsze wyraŜenie przypomina róŜniczkę zupełną, dlatego często ten sposób obliczania niepewności nazywamy metodą róŜniczki zupełnej. W rzeczywistości róŜni się ono od róŜniczki zupełnej występowaniem we wzorze bezwzględnych wartości pochodnych cząstkowych i przyrostów zmiennych

Omawiane metody obliczania niepewności wielkości złoŜonych stosowane są, gdy niepewności systematyczne pomiarów bezpośrednich są znacznie większe od niepewności przypadkowych. Zakładamy przy tym najbardziej niekorzystną z punktu widzenia eksperymentatora sytuację, w której niepewności pomiarów bezpośrednich nie kompensują się nawzajem. Dlatego w ten sposób wyznaczamy maksymalne systematyczne niepewności pomiarowe, noszące równieŜ nazwę błędów maksymalnych.

Literatura:

H. Szydłowski: Pomiary fizyczne. PWN, Warszawa 1979 r.

H. Szydłowski: Pracownia fizyczna. PWN, Warszawa 1975 r.

T. Dryński: Ćwiczenia laboratoryjne z fizyki. PWN, Warszawa 1967 r.

(5)

GRAFICZNE OPRACOWANIE WYNIKÓW POMIARÓW METODA NAJMNIEJSZYCH KWADRATÓW

Kiedy wykonujemy serię pomiarów wielkości y w zaleŜności od innej wielkości x otrzymując wyniki (x

1

,y

1

),...,(x

N

,y

N

) i przewidujemy Ŝe y i x są związane liniowo, to interesuje nas znalezienie takiej linii prostej y = Ax + B która jest najlepiej dopasowana do wyników pomiarów. Jest to równowaŜne znalezieniu najlepszego przybliŜenia stałych A i B opartego na otrzymanych wynikach. Jeśli dwie zmienne y i x są powiązane relacją liniową postaci:

y = Ax + B (1)

to wykres tej zaleŜności jest prostą o nachyleniu A, przecinającą oś y w punkcie y = B a oś x w punkcie x

0

= − B / A . Jedną z metod dopasowania takiej prostej jest zastosowanie metody największego prawdopodobieństwa. W przypadku normalnego rozkładu wyników pomiarów metoda ta sprowadza się do tzw. metody najmniejszych kwadratów.

Zarówno wyniki pomiarów x jak i y obarczone są pewnymi błędami ale dla uproszczenia dyskusji zakładamy Ŝe błędy wielkości x są zaniedbywalnie małe. Zakładamy, Ŝe wyniki pomiarów wielkości y podlegają rozkładowi normalnemu (Gaussa) wokół swojej prawdziwej wartości, a losowy rozrzut zmiennej y opisany jest odchyleniem standardowym σ

y

. Tak więc prawdopodobieństwo otrzymania zmierzonej wartości y

i

jest proporcjonalne do wielkości:

2 2/2 ) (

,

) 1

(

yi Axi B y

y i B

A

y e

P

σ

σ

(2)

gdzie indeksy A i B wskazują, Ŝe prawdopodobieństwo to zaleŜy od wartości nieznanych parametrów A i B. Prawdopodobieństwo otrzymania zbioru wyników y

1

, y

2

,...,y

N

jest równe iloczynowi tych prawdopodobieństw

P

A,B

(y

1

,...,y

N

) = P

A,B

(y

1

)...P

A,B

(y

N

) 1

χ2/2

, σ

N

e

y

(3)

gdzie χ

2

określone jest wzorem:

=

=

N

i y

i

i

Ax B

y

1

2 2

2

( )

χ σ (4)

Prawdopodobieństwo to jest największe kiedy χ

2

jest najmniejsze. Aby znaleźć wartości

A i B , róŜniczkujemy χ

2

względem tych parametrów i przyrównujemy otrzymane

pochodne do zera:

(6)

0 ) (

) / 2 (

1 2

2

= − − − =

∂ ∑

= N

i

i i

y

y Ax B

A σ

χ (5)

=

=

∂ =

N

i

i i i

y

x y Ax B

B

1

2 2

0 ) (

) / 2

( σ

χ (6)

Równania te moŜna napisać w postaci układu równań na parametry A i B:

x

i

+ BN =y

i

A (7) Bx

i

+ Ax

i2

=x

i

y

i

(8) Rozwiązanie tych równań daje nam najlepsze, w sensie metody najmniejszych kwadratów, przybliŜenie stałych A i B:

∑ ∑

∑ ∑ ∑

=

2

2

) ( ) (

) )(

( ) (

i i

i i

i i

x x

N

y x y

x

A N (9)

∑ ∑

∑ ∑ ∑ ∑

=

2

2

2

) ( ) (

) )(

( ) )(

(

i i

i i i i

i

x x

N

y x x y

B x (10)

Mając wyznaczone stałe A i B moŜna, korzystając z prawa propagacji błędów [1], określić błędy wyznaczenia stałych A i B ( σ

A

, σ

B

) oraz błąd wyznaczenia x

0

( δ x

0

). Wynoszą one odpowiednio:

=

2 2 2

2

) ( )

(

i i

A

N x x

N σ

σ (11)

∑ ∑

=

2

2

2 2 2

) ( )

(

i i

i

B

N x x

σ x

σ (12)

gdzie

2

= ( )

2

2

1 y Ax B

N

i i

σ (13) oraz

2 2

0

0

 

 + 

 

 

= 

B x A

x σ

A

σ

B

δ (14)

W ten sposób stosując metodę najmniejszych kwadratów moŜna wyznaczyć zarówno

wartości parametrów szukanej prostej y = Ax+B , jak i ich błędy.

(7)

PRZYKŁAD: Wyznaczanie temperatury zera bezwzględnego.

Jeśli gaz idealny umieścimy w naczyniu o stałej objętości, to jego temperatura T jest liniową funkcją ciśnienia P ( przemiana izochoryczna),

B

AP

T = + (14) gdzie:

A – stała zaleŜna od masy i objętości gazu.

B – temperatura zera bezwzględnego, mierzona w

0

C.

Zbiór pięciu wyników pomiarów przedstawia poniŜsza tabela:

Numer pomiaru I

Ciśnienie P

i

(mm Hg)

Temperatura T

i

(

0

C)

AP

i

+ B

1 65 -20 -22.2

2 75 17 14,9

3 85 42 52,0

4 95 94 89,1

5 105 127 126,2

Zakładając, Ŝe punkty pomiarowe powinny układać się na prostej postaci T = AP + B naleŜy skorzystać ze wzorów (9) i (10) zastępując jedynie x

i

przez P

i

i y

i

przez T

i

.

71 . ) 3

( ) (

) )(

( ) (

2

2

=

= −

∑ ∑

∑ ∑ ∑

i i

i i i

i

P P

N

T P T

P A N

P C P

N

T P P T

B P

i i

i i i i

i 0

2 2

2

) 263 (

) (

) )(

( ) )(

( = −

= −

∑ ∑

∑ ∑ ∑ ∑

W ten sposób otrzymaliśmy najlepsze ( według metody najmniejszych kwadratów) przybliŜenie temperatury zera bezwzględnego B = - 263

0

C. Znając stałe A i B, moŜna następnie obliczyć wartości AP

i

+ B, temperatury „oczekiwanej” na podstawie najlepszego dopasowania wyników prostą T = AP + B. Wyniki tego rachunku przedstawione są w ostatniej kolumnie tabeli. MoŜna teraz obliczyć róŜnice między liczbami w ostatnich dwóch kolumnach tabeli i znaleźć

= −

2

2

( )

2

1 T AP B

N

i i

σ

co daje odchylenie standardowe σ = 6

0

C. Korzystając ze wzoru (11) moŜna teraz obliczyć

błąd wyznaczenia B

331 )

( ) (

) (

2 2

2 2

2

=

= −

∑ ∑

i i

i T

B

N P P

σ P

σ (

0

C)

2

(8)

stąd σ

B

= 18

0

C . Wyniki powyŜsze stają się bardziej czytelne jeŜeli naniesie się je na wykres.

temperatura [oC]

100

× ×

×

0

×

20 40 60

×

80 100 ciśnienie [mmHg]

-100

-200

znaleziona wartość B

-300

Aby znaleźć wartość zera bezwzględnego, prostą przedłuŜono poza wszystkie punkty pomiarowe, aŜ do przecięcia z osią T. Zatem ostateczny wynik wynosi B = − 263 ± 18

0

C , co zgadza się z wartością tablicową –273

0

C.

Literatura:

[1] J.R. Taylor, Wstęp do analizy błędu pomiarowego, PWN, Warszawa 1995.

Cytaty

Powiązane dokumenty

Zarazem należy wyrazić nadzieję, że udział Hildegardy w rozwoju medycyny i farmacji klasztornej doczeka się w naszym piśmiennictwie jeszcze innych, bardziej naukowych,

[r]

Autor: Ryszard Poprawski, Włodzimierz Salejda Format: html.

• Adres: http://www.if.pwr.wroc.pl/dydaktyka/LPF/1spis.htm Autor: Ryszard Poprawski Włodzimierz Salejda. Format: html

Regulation changes, increase the uncertainty of team performance during the season because they change/shift the available solution space for engineers, especially if they are as

W zeszycie znajdujemy nazwiska wielu wybitnych i ogólnie zna- nych uczonych i techników—praktyków, szczególnie zasłużonych, jak пр.: Henryk Czopowski (1863-1935), prof,

Koncepcja niepewności maksymalnej zakłada, że można określić przedział wokół wielkości mierzonej x, w którym na pewno znajduje się wielkość

Błąd przypadkowy - różnica między wynikiem pomiaru a średnią arytmetyczną nieskończonej liczby wyników pomiarów tej samej wielkości mierzonej, wykonanych w