ROCZNIKI POLSKIEGO TOW ARZYSTW A MATEMATYCZNEGO Seria I: PRACE MATEMATYCZNE V II (1962)
K. A. Pogorzelski (Providence R.I.)
Łańcuchy wykładnicze liczb naturalnych i funkcje rekurencyjne Vuckovica
Praca niniejsza składa się z dwóch części: arytmetycznej (rozdziały I-III), która jest w pewnym sensie realizacją programu Skolema(1), lecz ma charakter całkiem elementarny, i logicznej (rozdział IV), która zawiera wyniki przeznaczone dla czytelnika nie znającego elementów teorii funkcji rekurencyjnych. Z nowych wyników osiągniętych w niniejszej pracy można wymienić następujące: uogólnienie funkcji Paul du Bois Beymonda:
pojęcie następnika wykładniczego i jego związek z tetracją; pojęcie łańcucha tetracyjnego i jego związek z teorią liczb Mycielskiego; pojęcie tetracji uogólnionej; funkcje rekurencyjne Vuckovica, o których V. Vuckovie zakomunikował autorowi, i ich związek z tetracją uogólnioną.
Praca niniejsza stanowi pierwszą z trzech zaplanowanych części.
Część druga i część trzecia będą stanowiły uzupełnienie części niniejszej.
Będą tam wykorzystane głębsze metody teorii funkcji rekurencyjnych i arytmetyki rekurencyjnej. W jednej z tych części rozwiniemy teorię liczb Mycielskiego jako fragment arytmetyki rekurencyjnej, a w dru
giej części pokażemy związek naszego tematu z metodami teorii słów w alfabecie nieskończonym.
Autor składa serdeczne podziękowanie pp. profesorom A. Mostowskie
mu i V. Vućkovićowi za rady i pomoc, udzielone mu podczas opracowy
wania niniejszej pracy. Autor jest również wdzięczny profesorom D. Buchs- baumowi i Chia Kuei Tsao za rady dane mu w początkowym okresie opracowywania tego artykułu.
Zaznaczmy, że wszystkie rozpatrywane funkcje są określone na zbiorze liczb naturalnych i ich wartościami są liczby naturalne. Zero zaliczamy do liczb naturalnych.
I. Najpierw, chociaż są one dobrze znane, przypomnijmy kilka włas
ności potęgi stosując nową symbolikę.
0) Program Skolema postuluje mianowicie rozwój arytmetyki bez kwantyfi- katorów, tj. tylko przy wprowadzaniu zdań zawierających zmienne wolne za pomocą definiowania indukcyjnego i dowodów indukcyjnych [32], [33].
20 H. A. P o g o r z e l s k i
Potęgę [а, п] = ап (0 < a) definiujemy indukcyjnie wzorami
Р [а, 0] = 1,
[a, w - f i ] = а ’[а, п].
Zauważmy dalej następujące własności:
i t/ezel% 0 ^ o> b ^ to j~_a , ^ №,»]•
(2) Jeżeli 1 < a i m < n, to [a, m] < [a , n \ . (3) [d,j»]'[a,w] = [«,m-j-w] dla 0 < a.
(4) [[«, w], w] = \a, mn] 0 < a.
(5) [лб, w] = [a, ri]- [b, w] dla 0 < a i 0 < b . (6) Jeżeli 0 < a, to 2a < [2, a].
(Dokładniejsze uzasadnienie niektórych spośród podanych wyżej włas
ności znajdzie czytelnik w dodatku Łosia w książce Sierpińskiego [31]).
Obecnie podamy pewne uogólnienie potęgi posługując się symbo
likami Neumera [20] i Bachmanna [2].
Łańcuch wykładniczy liezb naturalnych definiujemy dla liczb natural
nych 0 < ak (1 ^ к < n) w sposób następujący:
— [^1 ? ? • • • > ^Ц] ’ gdzie
M ~ ^ 2 J • • • > t t n + l ] ~ [ ^ 1 ? [ ^ 2 ? ' • • ? ^ M 4 - l ] | •
Tw ie r d z e n ie 1. Jeżeli 0 < a* < bk (1 < к < w), to [&! , . . . , ftw] ^ [6j , . . . , &«.] , to jesi
k s C n 0/]c ^ •
Dowód. Dla n — 1 nierówność jest oczywiście prawdziwa. Załóżmy, że nierówność zachodzi dla n. Wówczas dla n-f i , jeżeli spełnione jest za
łożenie twierdzenia i założenie indukcyjne, na podstawie definicji łańcucha wykładniczego o własności potęgi mamy
L « i , a n + l ] — ~ [^*1? ^ 5
“f [ ^ l j k ^ n ^ k ] ” ^ k ^ n + l ^ k ~ [ ^ 1 5 ■ • • ? ^ w + l ] •
Podobnie dowodzi się następującej własności:
(7) Jeżeli 1 < ah < bk (1 < h < m , 1 < к < w) i m < щ to
[ t t l , • • • j ^ m ] ^ [ ^ l ? ■ • • ? b n ] i
to jest
Łańcuchy wykładnicze liczb naturalnych 23
(W pracach Neumera [20] i Bachmanna [2] określone są łańcuchy wykładnicze dla liczb pozaskończonych).
Omówimy następnie funkcję, która występuje w wielu pracach z teorii funkcji rekurencyjnych. Funkcja ta jest oznaczona w literaturze różnie: jako <p(a,n, 3) przez Ackermanna [1], na przez Ilonę Bereczki [2], Tet(a,w) przez Goodsteina [6], $3(n,a) przez Kleene [13] i przez Bernaysa i Hilbcrta [11], АкпшгЗ przez Ladriere’a [16], ip3(n,a) przez Rózsę Póter [21] i a*n przez Julię Robinson [25].
Tetraeję [6] [na] = [ « , . . . , « ] (a n razy, 1 < a) definiujemy induk
cyjnie wzorami T J [ o « ] = l ,
1 [ » + l « ] = К [ » « ] ) •
Tetracja ma dwie następujące własności, które są analogiczne do własności podanych w twierdzeniu 1 i własności (7):
(8) Jeżeli 0 < a < b, to [,na] < [w6].
(9) Jeżeli 1 < a i m < n, to [ma] < [na].
Podajmy jeszcze cztery nierówności podane przez Ilonę Bereczki [2]:
( 1 0 ) [ » i ń j i“ ^ fm ax(m ,«) + 1 ^ 3 d i d 1 <C di.
f i l ) \ m ^] [ f j ń ] 5^ [m ax(m,?i)-f 1 ^ ] J l d 1 <C. d .
( 1 2 ) [ [ m ^ J > [ w ^ ] ] ^ [max (m+\,nĄ-2 )^ 1 d i d 1 <Г Л i О <Г Ш .
Twierdzenie 2. Jeżeli 1 < a i 0 < п, to
[n C m ^G ] Сто+21г— 2^*1*
Dowód. Istotnie, dla przypadku n — 1 nierówność jest prawdziwa Załóżmy, że nierówność zachodzi dla liczby n. Wówczas dla w,4-1 stosując założenie indukcyjne i nierówność (12), mamy
\r> 1 = ^ [m+2w—2^®]] ^
4 ; [m ax(m -f 2 » —2)+2)®®l [ ( т + 2 п .—2 )+ 2 ® 0 [т-+-2(»гч-1)— 2 « 3 -
Podamy teraz pewne uogólnienie twierdzenia 2.
Funkcja uogólniona Paul du Bois Beymonda
sm(a,n) = [m[m...[m[ma ]]...]] (m n razy, 2 < a, 1 < m i l^ w ) jest zdefiniowana indukcyjnie wzorami
Гт (й, 1) == [m^l?
К
Obecnie oznaczmy funkcję ra(a,n) krócej przez r(a, w,).
22 H. A. P o g o r z e l s k i
Tw ie r d z e n ie 3. 'Jeżeli 2 < a i 2 < n, to x{a, n) < [a(i+e)-e«]»
n—1
У [2, ft].
Dowód. Istotnie, dla n = 2 nierówność wynika z twierdzenia 2.
Załóżmy, że nierówność zachodzi dla liczby n. Następnie niech
П П
/! = 2 > , ч , у = ! > , * ] •
k=2 fc=1
Wówczas dla w-j-1, stosując założenie indukcyjne, definicję В i twier
dzenie 2, mamy
x(d, n~>r 1) = ^)] ^ [a [a(l-t-a)—a^]| ^ [a + 2{a(l + a)-a}-2<*]
— [ a + 2«(l + a ) - 2 ( l + a)t t ] = [ a + a( 2 + / 3 ) - ( 2 + P ) a ] == [ a ( l + y ) - y a 3 -
Wn io s e k. r2(a , w) < [[2)M]a] Ala 2 < a i 2 < w.
Zauważmy, że funkcja r2(a, a) jest znana jako funkcja Paul du Bois Reymonda [4].
Na zakończenie rozdziału 1 zauważmy, że wspólnikiem algebraicznym funkcji r (a, n) jest tzw. funkcja Ackermanna i Hilberta o poziomie 4 - tym fy(a, n) (1 < a), którą definiuje się indukcyjnie, jak następuje
H o) = i ,
\)(a, n+ 1 ) = [Ь{а,п)аУ
II. Przejdziemy teraz do badania innych rodzajów łańcuchów wykład
niczych liczb naturalnych.
Potęgę iterowaną [[na]; r] lub krócej [rja; r] (1 < a) definiujemy wzo
rami
P I
[0a ; r ] = I , [w-f l^j dj = ,
C»+i«; *•+!] — [»«; [>,
Podamy obecnie kilka łatwych do udowodnienia własności potęgi iterowanej:
(13) Jeżeli 0 < a < b, to [и«; r] < [nb- r],
(14) Jeżeli 1 < a, r < s i 0 < n, to [na ; r] < [„<*; 6*].
(15) Jeżeli 1 < a i m < w, to \ma ; r] < [ил; г].
(•Id) |w« j [r/ł j ~ Ггн -i A 5 1 (I <" ^) •
Łańcuchy wykładnicze liczb naturalnych 23
Stosując pojęcie potęgi iterowanej możemy teraz podać wynik sil
niejszy niż twierdzenie 2. W tym celu wprowadzimy jeszcze jedno pojęcie.
Następnik wykładniczy Nk tetracji [ma] definiujemy wzorami
NW #0 Em^1] — [m^O ?
- ^ k + l E m ^ l ~ Em^O “Ь 7 -N~k [m^Oj •
Lemat 1. Jeżeli 2 < a i 2 < m, to
[Em**!!? j 2^*5 ni.m— 2^]]] — [2^ 5 -^77+1 Em—2*®jj • Stosując własność (3) i definicje NW, dla N — 0 mamy
[ E m * * ] ? [ 2^ ? ^ o t » - a « ] ] ] ~ [ E m ^ l ? [ 2^7 E m —2^ l ] ] = = [ 2^7 Е т - г * * ] ) • Następnie załóżmy, że równość zachodzi dla liczby n. Dla » + 1, stosując prawo przemienności dodawania, twierdzenie (3), prawo prze- mienności mnożenia, definicje NW i założenie indukcyjne, mamy
^n+1 Em— 2^ll] =
~ ^Em^O? [2 ^ 7 [ » - , < * ] + Ь и Em—2^]J ] j ^
~ ? [2^ ? [ ^ 7 -^7i Em—2^ ] ] “i" Em—2 ^ ] ] J =
— ^[777^ ] 7 [® ? [2 ^ 5 - ^ n Em — 2 ^ ]] ’ 5 Em—2^0] ] j
= J Em ^] , [ ^ 7 [^ ? E777—2 ^ l] * [2^ 7-^ 7 7 Em—2^*]]] j ~
^ ^E m ^l? [ [ m ^ ] ? [2^*7 ^ 7 7 Em—2 ^ ] ] j j ^
~ [ t m ^ l ? [2^*5 77-j-l Em—2^*]]] ~
~ [2 ^ 7 Em —2 ^ ] _r [ ^ j - ^ n + l Em— 2 ^ ] 11
~ [2^®? ^ n + 2 [771— 2 ^ l | •
Tw ie r d z e n ie 4. Jeżeli 2 < a, 2 < m i 0 < n, to
(7iCm ^]J ~ [2^* j -Nn _ 1 .
Dowód. Dla n — 1 twierdzenie jest oczywiście prawdziwe. Przy
puśćmy, że za.chodzi ono dla n. Z założenia indukcyjnego i lematu 1 mamy
jn + iEmt*']! == [tm^]? [77 [777^]] j —
~ [C m ^ ]j [2^5 -^77—l [777-2^*]JI ~
~ [2^7 - ^ n Em—2^]]*
Obecnie podamy pewne uogólnienie łańcucha wykładniczego liczb naturalnych.
24 H. A. P o g o r z e l s k i
Łańcuch ietracyjny definiujemy dla liczb naturalnych 0 < ak ( l ^ k r) i 0 < nk (1 ^ к < r) w sposób następujący:
[Enr^rlj l]i •••? E»^]] ~ Ewr^rj nr^i^r— ij gdzie
E^r+ii ? • • • 5 ^*1] ^ E^r-fij j • • • j ®i!L
Ewr _j_ J^r f 1 j nr®r) n ^ l ] ^ [ n ^ ^ r + l j Enr« r ; • • • > «1^*1 ]| •
Podamy teraz kilka własności łańcucha tetracyjnego.
Twierdzenie 5. Jeżeli 1 < a i 0 < nk (1 < к < r), to
Cwr^5 Ea^3 *
a = ^ n k.
k=l
Dowód. Istotnie, równość zachodzi dla r — 1. Mech teraz
r r + l
fi = %+x + ^ Щ,1 У = ^ Щ ■
k=l kZ1
Załóżmy, że równość jest prawdziwa dla liczby r. Stosując własność (1в) i założenie indukcyjne mamy
Enr_(-i^i nr^y • • • i == \nrĄ.J^) [n/G • • • j “
= [«,+,«; Ea«]] = I>] = Ey«]*
Wniosek. Jeżeli 0 < n — n t = n2 = ... — nr i 1 < a, to
[ r i f f l 'i • • • j ~ Era**] •
Osobno podajemy bez dowodów krótki szkic teorii liczb My- cielskiego [19], by zilustrować związek tej teorii z pojęciem łańcucha tetracyjnego. Jak wspomnieliśmy we wstępie, uzupełnimy tę teorię w dalszym ciągu pracy.
Korzystając z symboliki Goodsteina ^6], czytamy kwantyfikator ograniczony E™ mówiąc „istnieje a? od 0 do w”, a zaś X” mówiąc „naj
mniejsze x od 0 do rb”. Będziemy oznaczać relację „n jest liczbą Myciel- skiego” przez M(n). Zamiast zapisu wPow« używanego przez Julię Ro
binson [25], będziemy pisać a i n, gdzie relacja ta oznacza, że n jest potęgą a, Tak jak w symbolice Mycielskiego [19], a(n) będzie oznaczać najmniejszą podstawę a taką, że n \a . Określimy te pojęcia ściślej jak następuje:
A a \n «-> Щ {[a, a?] = n & x > 0 & a > 1}.
.. P> a (n) <-» La {a 1 n & a > 1}.
O M(n) <-» a(n) = v .
Łańcuchy wykładnicze liczb nałwralnych 2S
Liczby Mycielskiego tworzą ciąg nieskończony
2, 3, 5, 6, 7, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 17, ...,*
Każda liczba pierwsza spełnia równość a(p) = p, a więc mamy następującą własność:
(17) Każda liczba pierwsza jest liczbą MycielsMego.
Zauważmy także, że z wyników Hampela [9] i Sierpińskiego [30]
wynikają dwie następujące własności:
(18) Każda liczba Fermata [22 ; w ] + l (n = 0 , 1 , 2, ...) jest liczbą My
cielsMego.
(19) Każda liczba [n2 ] + l ( n —0 , 1 , 2 , . . . ) jest liczbą MycielsMego.
Podajmy jeszcze trzy własności dla 1 < a:
(20) Jeżeli a\b, to a \ b.
(21) Jeżeli a \b i b \c , to a\c.
(22) Jeżeli a \b , to przy 0 < k mamy a \ [ b , к].
Na zakończenie tego rozdziału sformułujemy następujące
Twierdzenie 6. Każda liczba naturalna n > 1 daje się przedstawić, i to tylko w jeden sposób, jako łańcuch tetracyjny
n = [ a j ^ l 5 a2^ 2 5 * * * ? a ^ r \ 1
gdziemk{k — 1 , 2 , . . . , r ) sąliczbami MycielsMego i 0 < ak (k = 1 , 2 , , . . , r).
III. Przejdźmy obecnie do rozpatrywania funkcji, którą w końcu tego rozdziału uogólnimy.
Funkcją Woepckego (zob. [37]) [2a: r] = [2a; r — .1] (1 < а, 0 < r) definiujemy wzorami
UT ( [а« : 1 ] = л ,
[2a : r + 1] = \[2a: r], a\ .
Podamy teraz kilka jej własności:
(23) Jeżeli 0 < a < b, to [2a: r] < [2&: r], (24) Jeżeli 0 < a i m < n, to [2a: m] < [2a: n].
Twierdzenie 7. [2a: m + ri] — \[2a: w ], [a, n]\ (1 < a).
Dowód. Dla n = 1 równość jest oczywiście prawdziwa. Załóżmy, ze równość zachodzi dla liczby n. Wówczas dla n-f-1, uwzględniając za
łożenie indukcyjne i własności potęgi, mamy
[2a: m4~ w4-1] = [[2«: m + n \, a] = [[[2«: m], [a, w]], a] =
= [[2a: m], а - [a, n]] == [[2a: w ], [a, » + l ] | .
26 FI. A. P o g o r z e l s k i
Twierdzenie 8. Dla 1 < a i 1 < b,
[■2ab: n] = [[>: w], [b, w—1]] •[[„&: -л], [a, n - l j ] .
Dowód. Istotnie, równość zachodzi dla n = 1. Załóżmy, że zachodzi ona dla n. Wówczas dla n-\-l mamy stosując założenie indukcyjne
[oab: = [[2ab: n\, ab] —
= [ [ [ C a « = 'W-], Ib, — ' | [ 25 : w ] , [a, w - l ] ) J , ab\ -
= f [ 2a : n ] , ab [b, n — l ] j • j [ 26 : ri\ , ab [a, n — 1 ] ] —
= [ C a « : w - f 1 ] , [ 6 , w ] ] • \[2b : n - 1 ] , [ a , # ] ] . A oto kilka dalszych własności:
(25) [2 [a, w ]: w] = [[2a : ш (^—1) -j-1 ], шj . (26) [[2a: m], [2a: n]] = [2a: w. -f \a , w—1]].
(27) [2[2a:m]:w| = [2a: (w —1 )[a, m —1] -f wa] •
Przy pomocy funkcji Woepckego zdefiniujemy funkcję wprowadzoną przez Schulzego [29].
Funkcję Schulzego $(a, w) (1 < a, 0 < n) definiujemy indukcyjnie jak następuje
3(a, 1) = a,
ź(a, n-\-l) = [2s>(a, w): «].
Podamy teraz pewną własność tej funkcji, ale najpierw zauważmy, że następnik wykładniczy N xa — F x [,«.) może być iterowany w sposób następujący:
I №ха = 1 , NI I
I N^+1a = N^a-JTja).
Twierdzenie 9. Jeżeli 1 < a t 2 < n, to
• *(«, n) = [2a; ( a - l ) * W ? - 2( a - l ) ] .
Dowód. Dla w = 2, stosując definicje S, W i Ш, mamy 3(«, 2) = [za: a] = [2a; я —1] = [2a; (a—l)*Wj(a—1)].
Następnie przypuśćmy, że twierdzenie zachodzi dla n. Wówczas stosując definicję W, własność (3), prawo przemienności mnożenia oraz definicje NW i Ш , mamy
Ца, w + 1) = [a$(a, n): a] = [a[aa; (a—1 )‘N x~2(a—1)]: a] —
= [[2a; (a—l ) ' N i ~ 2(a—l)], [2a ; (a—1) *J\T”-2(a—1)], (a—1)| -
= [2a; (о -1 )-{ (в -1 )-.Д тГ_ ,( в - 1 ) + [«. ( a - l) j v r - * ( e - 2 ) ] } | = - [2«; (a -l)-{ J V 1( ( « - l) - J V r J( « - l ) ) | | =
Łańcuchy wykładnicze liczb naturalnych 27
Obecnie należy zauważyć, że wspólnikiem algebraicznym funkcji
${a,n) jest funkcja p(a, n) ( 1 < a), którą definiuje'się indukcyjnie wzo
rami:
J p( e, 1 ) = a ,
l p (a, n + 1) = [aa: p ( a, n)].
Określimy obecnie uogólnienie funkcji Woepckego, które będziemy badać dalej w rozdziale IV.
Tetrację uogólnioną [na: r] = r~~(n—1)] (1 < a, 0 < n К r) de
finiujemy indukcyjnie wzorami
TU
1] = a ,
O : r +1] = [a, r +1], К [na : r]j r + l ] —
[« + !«]
dla n < r, dla n — r.
Podamy teraz kilka własności tetracji uogólnionej:
(28) Jeżeli 2 < a i 1 < m < n < r, to [ma: r] < [na : r].
(29) Jeżeli .1 < m < n < r, to [m2: r] < [n2 : r].
(30) [m«; [»«: »■]] = [m+»«: r + m] ( 1 < a).
IV. W tym paragrafie będzie mowa o funkcjach pierwotnie rekureń- cyjnych, funkcjach podwójnie rekurencyjnych i funkcjach częściowo re- kurencyjnych. Aby zdefiniować te funkcje, należy wprowadzić cztery funkcje wyjściowe i schematy (S0)-(S3) jak następuje.
Następnik S jest funkcją jednej zmiennej x. 8x jest więc liczbą następną po x, mianowicie 8x = a?+l. Funlceję stalą Tn definiujemy dla n > 0 w sposób następujący: Tn{x11.. . , xn) — q, gdzie q jest liczbą naturalną.
Funlceję neutralną Ł7* definiujemy dla każdej pary liczb n i Tc jak nastę
puje: TJn (хг, . . . xn) — xk. Odejmowanie ograniczone określamy wzorami x - y x —у dla x > y ,
0 dla x < у .
Aby uprościć symbolikę, oznaczmy układ zmiennych liczb natural
nych . . . , x n przez f oraz układ parametrów ul t ..., un przez u.
(S0) Schemat superponowania: Jeżeli А г, ..., A m są pewnymi już znanymi funkcjami n zmiennych i В jest pewną już znaną funkcją m zmien
nych, to funkcja n zmiennych F może być określona przez schemat
gdzie r oznacza układ ..., xn,
28 H. A. P o g o r z e l s k i
' (Sj).Schemat rekursji pierwotnej: Jeżeli A jest pewną już znaną funkcją n zmiennych i В pewną funkcją n + 2 zmiennych, to funkcja n -L1 zmiennych F może byd określona przez schemat
■*4 0, u) = A ( n ) , F(Sx, u) = B(x, u, F(x, u)),
gdzie układ u oznacza ult . un. O rekursji tej mówimy, że jest wzglę
dem x, a układ u traktujemy jako parametry.
(52) Schemat rekursji podwójnej: Jeżeli A x i A 2 są pewnymi już zna
nymi funkcjami w +1 zmiennych, B x jest pewrą znaną funkcją nĄ-4 zmiennych i B z jest pewną znaną funkcją n + 3 zmiennych, to funkcja w-+ 2 zmiennych F może byd określona przez schemat
Р(У, 0 ,u ) = A x{y, u).
F(0, Sx, u) = A z(x, u),
F(Sy, Sx, u) = Bx(y, x, u, F(BV, x, u), Fv\.
gdzie
Fy — F (y , Sx, u), By — B 2(y, x , u, Fy).
Oczywiście schemat ten określa F ( y , x , u ) dla każdej pary liczb x i y, gdyż jeśli mamy wartośd F { y , x , u ) dla pewnego x i każdego y, to F(Sy, 8 x , u) jest określona, gdyż znamy F ( y , S x , u ) i F (0 , Sx, u). Znamy więc F( y , S x , u ) dla każdego y\ ponadto, ponieważ F(y, 0 ,u ) jest określona dla każdego y, więc F( y, x, u) jest określona dla każdej pary x i y.
(53) Schemat operacji minimum: Jeżeli Q{y,£) jest funkcją n -fl zmiennych przebiegających zbiór wszystkich n-1 -1 układów liczb natural
nych i jeśli M = min {Q ( y , j) = 0} oznacza (1) najmniejszą spośród у
liczb у , dla których Q{y,%) = 0, o ile takie liczby istnieją, i (2) jeśli nie ma takich liczb y, że Q( y, X) — 0, to M pozostaje nie zdofiniowana, to funkcja n zmiennych F może byd określona przez schemat
F(y) = min {Q(y, £) = 0},
V
gdzie £ oznacza układ хг, . . . , xn.
Obecnie zdefiniujemy funkcje pierwotnie, podwójnie i częściowo re- kurencyjne.
Funkcja jest pierwotnie rekurćncyjna, jeśli jest zdefiniowana za po
mocą schematów (S0) i (Sx), wychodząc od funkcji S, funkcji Tn i fun- kcji V l
Funkcja jest podwójnie rekurencyjna, jeśli jest zdefiniowana za po
mocą schematu (S2) oraz schematów (S0) i (Sj) wychodząc od funkcji S, funkcji Tn i funkcji Z7*.
Łańcuchy wykładnicze liczb naturalnych 29
.Funkcja jest częściowo rekurencyjną, jeśli jest zdefiniowana za po
mocą schematu (S0) i (S3), wychodząc od funkcji S, funkcji Z7J-, odejmo
wania ograniczonego, funkcji - j - i funkcji x . O układzie f, dla którego funkcja F ma wartość F(£), mówimy, że F jest dla niego określona, a o ukła
dzie n liczb naturalnych, dla którego F nie ma wartości, mówimy, że F jest dla niego nieokreślona.
Podamy teraz kilka przykładów funkcji rekurencyjnych. Funkcje [a, n\, [na], xm{a, n), §{a, n), [2a: n], ś( a, n) i p(a,n) są funkcjami pier
wotnie rekurencyjnymi. Funkcja [na:r] jest funkcją pierwotnie rekuren- cyjną, a poza tym funkcja [wa:r] jest funkcją częściowo rekurencyjną.
Zauważmy obecnie, że będziemy używać liter х, у i p zamiast a, n i r, by zachować symbolikę używaną dla pewnych funkcji pomocniczych w teorii funkcji rekurencyjnych. Dalej, będziemy oznaczać funkcję [px: y]
krócej przez P( p , y ) , gdzie x jest parametrem. Dla wygody powtarzamy definicję funkcji P ( p , y ) w jej obecnej skróconej formie za pomocą nastę pujących wzorów:
P { 1, 1) = X .
P ( ł i У 4"1) = [х, у
P{pĄ~ \, y +1) = [ x , P ( p , y ) ] dla P < y . [y+1x] dla p = y .
Oczywiście ten układ wzorów definiuje funkcję częściowo rekurencyjną, gdyż funkcja P { p , y ) nie jest zdefiniowana dlakażdoj pary (p , y ). Dalej funkcja ta istotnie nie jest pierwotnie rekurencyjną.
Zd finiujemy obecnie funkcję podwójnie rekurencyjną, a miano
wicie funkcję Yuckovića V{p, y), która jest identyczna z funkcją P ( p , y) dla każdej pary (p, y), dla której P ( p , y ) jest określona. Aby zdefiniować funkcję V(p, y), wprowadzimy następujące funkcje pierwotnie rekuren- cyjne:
x, y\.
a(x) — 1— (1— x)
(x-y)-\-{;y—x) = \ x~y\ ,
0 dla x — 0 ,
1 dla x > 0.
Funkcję rekurencyjną Vućkovića V( p, y) definiujemy wzorami V{p, 0) = A(p).
V { 0 , y + 1 ) = * B x{y),
v i P + l , y +1) = ( 1 - а ( р ) ) ( 1 - а ( у ) ) я ? - к ( 1 - а ( р ) ) а ( у ) [ я ? ,^ + 1 ] a {p)a(y){a(y— p)[x, V{p, y)) + ( l - a ( \ p , y\)[y^ x ] + a { p- - y ) B2{p, y)},
U. A. P o g o r z e l s k i W
gdzie A(p), Bx(y) i B2(p, y) są pewnymi funkcjami pierwotnie rekuren- cyjnymi. Aby wykazać, że funkcja V { p , y) jest podwójnie rekurencyjna.
zauważmy, że
II
•1 0 dla
dla
У /Л 43
11 У > р
0 dla У = V a(lp, y\) =
dla
1 У Ф р
Poza tym mamy
Г (1,1) = x, F (l, y + 1) = [я?, у 4-1]
dla p > 0 , у > 0
V{p 1 • у-'-1.)
[ x , V ( p , y ) ] dla p < y , [y+1x] dla p = y , B2{ p, y) dla p > y, a więc funkcja V(p , y) jest podwójnie rekurencyjna.
Problem znalezienia podobnej funkcji, lecz pierwotnie rekurencyj- nej, prowadzi nas do innej funkcji rekurencyjnej Vuckovica V* ( p , y ), różniącej się nieco od funkcji V{p, y) , ale pozostającej z funkcją P(p, y) w analogicznym stosunku.
Funkcję rekurencyjną Vuckovića V*(p, y) definiujemy wzorami V * ( p , 0 ) = A ( p ) ,
V*(p, y + l ) = B 1( p , y , V * ( p ~ l , y)),
gdzie A(p) i Bx( x , y , t ) są funkcjami pierwotnie rekurencyjnymi, mia
nowicie
У*(Р, У+1) = { l —a{\p, l|) ) ( l— a(y))ay-4-(l~ a(\p, l\))a(y) [x, y 4 -l]-f + «(l Pj l\)a[y)\a(y—[p — l))[x, V * ( p - 1, y)'] A
~((1“ a\p— 1, y\)) lv+i0c ] A a ( { p - l ) ~ y ) B 2(p, y)}.
Zauważmy następnie, że Eózsa Pćter [21] podała następujące twier
dzenie:
Jeśli funkcja F (y , x) jest określona wzorami F(0, x) = A{x),
F ( y A l , x ) = B1( y?x 1F( y JB s( yt x))j1
Łańcuchy wykładnicze liczb naturalnych 31
gdzie A(x), B^y, x, z) i B 2( y, x) są pierwotnie rekurencyjne, to funkcja F(y,x) jest także pierwotnie rekurencyjna. A więc z założenia B 2(y, x) —
— x — 1 wynika, natychmiast, że funkcja V*(p, y) jest pierwotnie reku
rencyjna.
Na zakończenie niniejszej pracy podajemy pewien problem.
Zwróćmy najpierw uwagę na następującą klasę funkcji pierwotnie rekurencyjnych P S :
l>» //]
^ \
\2x: //] [vx]
/ \ / \
*(x, у) р(ж, у) Y{x, у) Цх, у) / \ j/ \ s \ / \
Niech teraz
= х-у, £а(ЗУ> «О = [я, у], $з(У,х) = [у%Ъ =* Ь(х,у), i dalej niech ta klasa funkcji rekurencyjnych będzie zdefiniowana wzo
rami następującymi:
TT £j3-ji (o > З') — Aid
^ x(y/-H • *) = $p(£p+i(yt x),x).
Tę klasę funkcji nazywamy klasą funkcji pierwotnie rekurencyjnych Acker - manna i Hilberta [1], [1 0]. Następnie, niech (3(p, x) będzie określona wzo
rami
JO dla p — 0 . (t(p, x) — | 1 dla p — 1 , l x dla 1 < p .
Zauważmy teraz, że Ackermann [1], [2 2] skonstruował funkcję podwój
nie rekureńcyjną, za pomocą której określił całą klasę funkcji Ackermanna i Hilberta, mianowicie funkcję £ { p , y , x ) zdefiniowaną wzorami:
£ ( 0 , y , x ) = x + y, A £ { p +1, o,®) = P(p,x),
i ( p + l , y + l , x ) = £{p, £{p + l , y , x ) , x ) .
Pr o blem. Skonstruować funkcję rekurencyjną w sensie Ackermanna, która określi klasę funkcji pierwotnie rekurencyjnych PS. .
32 H. A. P o g o r z e l s k i
Notatka bibliograficzna
W paragrafie tym postaramy się podać odsyłacze do literatury oma wianego w niniejszej pracy tematu. Zauważmy, że istnieje analogiczny i obszerniejszy paragraf pod tytułem „Wskazówki do dalszej lektury”
w książce Grzegorczyka [8].
A r y tm e ty k a rek u ren cy jn a . Praca Goodsteina [6] jest pierw
szą monografią całkowicie poświęconą arytmetyce rekurencyjnej. Teoria ta, zwana także rekurencyjną teorią liczb, była stworzona przez Skolema [32]. Należy także zauważyć, że istnieją prace Skolema [33], [34], które zawierają ogólny przegląd arytmetyki rekurencyjnej oraz teorii funkcji rekurencyjnych. Czytelnika interesującego się uogólnieniami i zastoso
waniami arytmetyki rekurencyjnej odsyłamy do prac Yućkovića [35], [36].
T eoria fu n k c ji rek u r en cy jn y c h . Książka Grzegorczyka [8] stanowi doskonały wstęp do teorii funkcji rekurencyjnych. Monografie Kleene [13] i Pćter [21], a także do pewnego stopnia praca Davisa [o]
poruszają prawie wszystkie zagadnienia teorii funkcji rekurencyjnych.
Skromny przegląd tej teorii znajdzie czytelnik w pracy Lacombe [15].
Istnieje także monografia, napisana przystępnie przez Grzegorczyka [7], o pewnej klasie funkcji rekurencyjnych. Z bardziej szczegółowych prac należy wymienić następujące: P ra ce o fu n k c ja c h p ie r w o tn ie rek u ren cy jn y ch : В. M. Bobinson [26], [27] i Moh Shaw-Kwei [17]. P race 0 fu n k c ja c h p o d w ó jn ie r e k u r en cy jn y c h : В. M. Bobinson [28]
1 Bózsa Pćter [23]. P ra ce o fu n k c ja c h czę ścio w o rek u ren cy jn y ch : Kleene [14] i Janiczak [12]. Na zakończenie należy zauważyć, że istnieje praca Mostowskiego [18], w której autor podaje wiele cennych uwag o funkcjach rekurencyjnych i ich związku z badaniami nad podstawami matematyki, a także prace Ladriere [16] i Porte [24], które zawierają przystępny przegląd teorii funkcji rekurencyjnych.
Prace cytowane
[1] W. A ckerm ann, Zum Hilbertschen Aufbau der reellen Zahlen, Math. Annalen 99 (1928), str. 118-133.
[2] H. B ach m an n , Transfinite Zahlen, Berlin-Gioettingen-Heidelberg 1955- [3] Ilona Be ręcz ki, Existenz einer nichtelemenłaren rekursiven Funktion, Oomptes Bendus du Premier Congrós des Mathematiciens Hongrois 27 Aoftt — 2 Sep tember 1950, str. 415-417.
[4] E. B orel, Les Nombres Inaccessibles, Paris 1952.
[5] M a rtin D avis, Computability and Unsolvability, Нелу York 1958.
[6] R. L. G oodstein, Recursive Number Theory, Amsterdam 1957.
[7] A. G rzegorczyk, Some classes of recursive functions, Bozprawy Mat. 4 (1953).
[8] — Zagadnienia rozstrzygalności, Warszawa 1957.
[9] B. H am pel, On the solution in natural numbers of the equation xm — yn = 1, Ann. Polon. Math. 3 (1956), str. 1-4
Łańcuchy wykładnicze liczb naturalnych 33
[10] D. H ilb e rt, Ueber das Unendliche, Math. Annalen 95 (1925), str. 161-190.
[11] D. H ilb e r t i P. B ern ay s, Grundlagen der Mathematik, Berlin 1934.
[12] A. J a n ic z a k , Some remarks on partially recursive functions, Colloq. Math.
3 (1954), str. 37-38.
[13] S. C. K leene, Introduction to Metamathematics, Amsterdam 1952.
[14] — Recursive predicates and quantifiers, Trans. Amer. Math. Soc. 53 (1943), str. 41-73.
[15] I). Lacom be, La theorie des fonctions recursives et ses applications, Bull.
Soc. Math. France 88 (1960), str. 393-468.
[16] J. L a d rie re , Les limitations internes des formalismes, Louvain-Paris 1957.
[17] Moh Shaw -K w ei, On the definition of primitive recursive functions, Acta Math. Sinica 5 (1955), str. 115.
[18] A. M ostow ski, Współczesny stan badań nad podstawami matematyki, Prace Mat. 1 (1955), str. 13-55.
[19] J. M ycielski, On powers, Bull. Acad. Polon. Sci. 3 (1955), str. 129-132.
[20] W. N eum er, Einige Eigenschaften und Anwendungen der ó und e-Zahlen, Math. Zeitsch. 53 (1951), str. 419-449.
[21] Rózsa P e te r, Eekursive Funktionen, Budapest 1957.
[22] — Konstruktion nichtrekursiver Funktionen, Math. Annalen 111 (1935), str. 42-60.
[23] — Ueber die mehrfache Eekursion, Math. Annalen 113 (1936), str. 489-527.
[24] J. P o rte , Systemes de Post, algorithmes de Markov, Cybernetica 1 (1958), str. 114-149.
[25] Julia R obinson, Existential definability in arithmetic, Trans. Amer.
Math. Soc. 72 (1952), str. 437-449.
[26] R. M. R obinson, Primitive recursive functions, Bull. Amer. Math. Soc.
53 (1947), str. 925-942.
[27] — Primitive recursive functions I I , Proc. Amer. Math. Soc. 6 (1955), str.
663-666.
[28] — Recursion and double recursion, Bull. Amer. Math. Soc. 54 (1948), str. 987 - 993.
[29] E. Schulze, Die vierte Rechenstufe, Archiv der Math, und Physik (2) 3 (1886), str. 302-314.
[30] W. S ie rp iń sk i, O rozwiązywaniu równań w liczbach całkowitych, War
szawa 1956.
[31] — (Dodatek J. Łosia), Arytmetyka teoretyczna, Warszawa 1959.
[32] Th. Skolem , Begriindung der Elementaren Arithmetik, Yidenskapsselska- pets Skrifter, I. Math.-Natury. Klasse, No. 6 (1923), str. 1-38.
[33] — The development of recursive arithmetic, Den 10. Skandinaviske Math.
Kongres 26-30 August 1946, (1946), str. 1-16.
[34] — Some considerations concerning recursive arithmetic, Bull. Soc. Math.
Belg. 6 (1953), str. 35-46.
[35] Y. Y uckovic, Partially ordered recursive arithmetics, Math. Scand. 7 (1959), str. 305-320.
[36] — Recursive Wortarithmetik, Acad. Serbe. Sci. Publ. Inst. Math. 14 (1960), str. 9-60.
* [37] F. W oepcke, Rote sur Vexpression \(aa)a‘ J et les fonctions inverses cor- l respondantes, J. reine und angew. Math. 42 (1851), str. 83-90.
R oczniki PTM — P ra ce M a tem atyczn e VII J
34 H. A. P o g o r z e l s k i
X. А. Погожельски (Провиденце)
ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНЫЕ ЦЕПИ НАТУРАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ И РЕКУРРЕНТ НЫЕ ФУНКЦИИ ВУЧКОВИЧА
РЕЗЮМЕ
Предлагаемая статья является первой из трех частей труда по рекуррентной арифметике и теории рекуррентных функций.
Н. A. Pogorzelski (Providence)
EXPONENT CHAINS OF NATURAL NUMBERS AND THE RECURSIVE FUNCTIONS OF VUCKOVIĆ
SUMMARY
This paper is the first of three parts on recursive arithmetic and recursive func
tion theory.