Points entiers sur les courbes hyperelliptiques par

LXII.1 (1992)

Points entiers sur les courbes hyperelliptiques

par

Dimitrios Poulakis (Th´essalonique)

1. Introduction. Soient k un corps de nombres et A son anneau des entiers. On notera k une clˆoture alg´ebrique de k. Soit F un polynˆome absolument irr´eductible de k[X, Y ] tel que la courbe F (X, Y ) = 0 soit de genre non nul. On sait, d’apr`es Siegel [8], qu’il n’existe qu’un nombre fini de couples (x, y) ∈ A × A tels que F (x, y) = 0. La m´ethode de Siegel ne permet pas de d´eterminer de fa¸con effective ces couples.

Dans le cas o`u F ∈ Z[X, Y ] et le genre de la courbe F (X, Y ) = 0 est 1, Baker et Coates [1] ont donn´e un majorant de la hauteur max{|x|, |y|} des points entiers de la courbe, explicitement calculable en fonction des coef- ficients de F . Schmidt [4] a r´ecemment am´elior´e ce r´esultat de Baker et Coates, et l’a ´etendu `a un corps de nombres k quelconque.

Dans ce travail on s’int´eresse aux majorations de la hauteur des points entiers sur des courbes hyperelliptiques. Rappelons qu’une courbe C sur k est dite hyperelliptique si son corps de fonctions k(C) contient une fonction f de degr´e 2 ([9]); il en r´esulte que k(C) poss`ede un k(f )-automorphisme τ tel que τ 6= Id et τ<sup>2</sup> = Id. Supposons maintenant que la courbe C d´efinie par F (X, Y ) = 0 soit hyperelliptique de genre g ≥ 2. Notons Σ l’ensemble des anneaux de valuation discr`ete de k(C) qui contiennent k et Σ∞ l’ensemble des ´el´ements de Σ qui se trouvent au-dessus de l’anneau de valuation discr`ete de k(X) d´efinie par 1/X.

Consid´erons l’ensemble V (Q) de valeurs absolues de Q, qui contient la valeur absolue ordinaire et pour tout premier p ∈ Z la valeur absolue | · |p

d´efinie par |pⁿa/b|p= p⁻ⁿ pour a, b ∈ Z avec (a, b) = 1. Soit V (k) = {| · |υ : υ ∈ M (k)} l’ensemble des valeurs absolues de k qui prolongent les ´el´ements de V (Q). Si x = (x0, . . . , xn) est un point de l’espace projectif Pⁿ(k) et υ ∈ M (k), on note |x|υ = max{|x0|_υ, . . . , |xn|_υ}. On appelle la quantit´e

Hk(x) = Y

υ∈M (k)

|x|^d_υ^υ

o`u dυ sont les degr´es locaux, hauteur de x (relativement au corps de

nombres k) et la quantit´e

H(x) = Hk(x)^1/d

o`u d est le degr´e de k, hauteur absolue de x ([7]). Si f ∈ k[X1, . . . , Xn] on d´efinit |f |υ, Hk(f ) et H(f ) en termes du vecteur des coefficients de f . Aussi quand a ∈ k on note Hk(a) = Hk((1, a)).

Dans [7], chap. 8, J.-P. Serre montre que s’il existe V ∈ Σ∞ tel que τ (V ) ∈ Σ_∞, le probl`eme de la recherche d’un majorant effectif pour la hauteur des couples (x, y) ∈ A × A qui v´erifient F (x, y) = 0 peut ˆetre r´eduit

`

a l’application de la m´ethode de Baker. Dans ce travail on calcule un tel majorant. Plus pr´ecis´ement, on montre le r´esultat suivant :

Th´eor`eme. Soient N le degr´e total de F et Dk le discriminant de k.

On suppose qu’il existe V ∈ Σ_∞ tel que τ (V ) ∈ Σ_∞. Alors si (x, y) ∈ A × A v´erifie F (x, y) = 0 on a

max{Hk(x), Hk(y)} < exp{c(d, N )W^{3·105N332gd2g2g+3}} o`u

c(d, N ) < (3N )^{d32N 2N5N 2} et W = |Dk|H_k(F )^2·1043gN15.

Exemples. 1. Soit F un polynˆome absolument irr´eductible de k[X, Y ] tel que F = Fg+2+ Fg+1+ Fg o`u Fi est un polynˆome homog`ene de degr´e i et g ≥ 2. On suppose que la courbe C d´efinie par l’´equation F (X, Y ) = 0 n’a pas d’autres singularit´es que le point (0, 0) qui est un point multiple ordinaire. Alors on v´erifie facilement que C est une courbe hyperelliptique de genre g.

L’automorphisme τ de k(C) est donn´e par l’application X → −XFg(X, Y )/(Fg+1(X, Y ) + Fg(X, Y )) , Y → −Y Fg(X, Y )/(Fg+1(X, Y ) + Fg(X, Y )) .

Si Fg+1 = 0 on a τ (V ) = V pour tout V ∈ Σ∞; aussi si les polynˆomes Fg+2(X, 1), Fg+1(X, 1) ont une racine en commun, il existe V ∈ Σ∞tel que τ (V ) = V ; par cons´equent on peut appliquer le th´eor`eme. Dans les autres cas la condition du th´eor`eme n’est pas satisfaite.

2. Soit C la courbe d´efinie par l’´equation

Y²ⁿ⁺² = a0Xⁿ⁺²+ a1Xⁿ⁺¹Y²+ . . . + anX²Y²ⁿ

o`u n ≥ 5, ai∈ k. On suppose que les racines du polynˆome a0X<sup>n</sup>+a1X<sup>n−1</sup>+ . . . + an sont deux-`a-deux distinctes. L’application X → Y /X = W , Y → X/Y²= T d´efinit une application birationnelle de la courbe C sur la courbe d´efinie par l’´equation

W²= a0Tⁿ+ a1Tⁿ⁻¹+ . . . + an.

Donc C est une courbe hyperelliptique de genre g = [(n − 1)/2] ≥ 2. Les points `a l’infini de C sont les points

[x, y, z] = [1, 0, 0], [1, ±√

an, 0] si an 6= 0,

[1, 0, 0], [1, ±√

an−1, 0], [1, ±i√

an−1, 0] si an = 0

(en coordonn´es homog`enes). Sauf [1, 0, 0], ce sont des points non singuliers.

Notons τ l’automorphisme de k(C) d´efini par l’application X → X, Y →

−Y . Dans le cas o`u an 6= 0, notons V₊, V− les ´el´ements de Σ∞ qui sont associ´es aux points [1, ±√

an, 0]; alors τ (V+) = V−. Dans le cas o`u an = 0 notons V+, V−, V₊⁰, V₋⁰ les ´el´ements de Σ∞ qui sont associ´es aux points [1, ±√

an, 0], [1, ±i√

an, 0] respectivement. On a τ (V+) = V−et τ (V₊⁰) = V₋⁰. Dans tous les cas on peut donc appliquer le th´eor`eme.

Nous utilisons les r´esultats de [5] et [6] et le th´eor`eme de Riemann–Roch pour construire une courbe birationnelle `a F (X, Y ) = 0 d’´equation Y₁² = G(X1) telle que les coefficients de G(X1) soient des entiers alg´ebriques d’un corps de nombres fix´e K et que les solutions de F (X, Y ) = 0 en entiers de k soient d´etermin´ees par les solutions de Y₁²= G(X1) en entiers de K. Une majoration de la taille des solutions enti`eres de l’´equation hyperelliptique ([3], th´eor`eme 1) nous permet d’obtenir notre r´esultat.

2. Lemmes auxiliaires. Soit u ∈ Σ. On note ordu(f ) l’ordre d’une fonction f ∈ k(C) en u.

Lemme 1. Soit V ∈ Σ. Alors

(i) si τ (V ) = V , il existe f ∈ k(C) tel que ordV(f ) = −2 et ordu(f ) ≥ 0 pour tout u ∈ Σ − {V },

(ii) si τ (V ) 6= V , il existe f ∈ k(C) tel que ordV(f ) = −1, ordτ (V )(f ) =

−1 et ordu(f ) ≥ 0 pour tout u ∈ Σ − {V, τ (V )}.

D ´e m o n s t r a t i o n. Soit L le sous-corps de k(C) fix´e par τ . Alors il existe h ∈ k(C) tel que L = k(h). Si ordV(h) ≥ 0 et si t est un param`etre local en V on a h = a0+ a1t + . . . Donc h<sup>0</sup> = h − a0 ∈ V et h<sup>0</sup> est un param`etre local en V ∩ L. De mˆeme si ordV(h) < 0, alors h⁰ = 1/h est un param`etre local en V ∩ L. Par cons´equent, si τ (V ) = V on a ordV(h⁰) = 2, tandis que si τ (V ) 6= V on a ordV(h⁰) = 1 et ord_{τ (V )}(h⁰) = 1. Posons f = 1/h⁰. Comme [k(C) : k(f )] = 2, la fonction f n’a pas d’autres pˆoles que V et τ (V ).

Soient u1, . . . , ur ∈ Σ et µ₁, . . . , µr ∈ Z; au diviseur D = Pr

i=1µiui est associ´e le k-espace lin´eaire suivant :

L(D) = {h ∈ k(C) | ordui(h) ≥ −µi, i = 1, . . . , r , et

ordu(h) ≥ 0 ∀u ∈ Σ − {u1, . . . , ur}} . On note l(D) sa dimension.

Lemme 2. Posons E = 2V si V = τ (V ) et E = V + τ (V ) si V 6= τ (V ).

Alors l(µE) = µ + 1 pour µ = 0, 1, . . . , g − 1.

D ´e m o n s t r a t i o n. D’apr`es le lemme 1 il existe f ∈ k(C) − k tel que f ∈ L(E). Alors les fonctions 1, f, . . . , f<sup>µ</sup>∈ L(µE), o`u µ ∈ N, 1 ≤ µ ≤ g −1, sont k-lin´eairement ind´ependantes. Il en r´esulte que l(µE) ≥ µ + 1. En particulier l((g − 1)E) ≥ g.

D’autre part, le th´eor`eme de Riemann–Roch montre que l((g − 1)E + V )

= g. On a donc l((g − 1)E) = g et L((g − 1)E) = L((g − 1)E + V ). Cela entraˆıne que les fonctions 1, f, . . . , f^g−1constituent une base de L((g − 1)E).

Alors les fonctions 1, f, . . . , f^µ forment une base de L(µE), d’o`u le r´esultat.

Soient υ ∈ M (k) et x un r´eel positif. Notons

υ(x) =nx si | · |υ est archim´edienne, 1 sinon.

Lemme 3. Soient n ∈ N et uij ∈ k (1 ≤ i, j ≤ n) avec |uij|υ ≤ A pour tout υ ∈ M (k). Si le syst`eme

n

X

j=1

uijXj = 0 (i = 1, . . . , n)

a une solution non triviale, alors il existe une solution x1, . . . , xn ∈ k telle que

|x_j|_υ ≤ Aⁿ⁻¹υ((n − 1)!) (j = 1, . . . , n) pour tout υ ∈ M (k).

D ´e m o n s t r a t i o n. La d´emonstration est la mˆeme que celle du lemme 2 de [2].

D´efinitions. On appelle k-syst`eme une famille {Aυ}_{υ∈M (k)}de nombres r´eels ≥ 1 index´ee par M (k), tels que Aυ = 1 presque pour tout υ ∈ M (k) et Aυ est un ´el´ement du groupe des valeurs de | · |υ pour tout υ ∈ M (k).

On appelle norme du k-syst`eme {Aυ}_{υ∈M (k)} la quantit´e Nk{A_υ} = Y

υ∈M (k)

A^d_υ^υ.

Lemme 4. Soit F (X, Y ) ∈ k[X, Y ] de degr´e n en Y et de degr´e total N.

On suppose que F n’a pas de facteur multiple de degr´e positif en Y. Soit Z = a0+ a1X + . . .

une s´erie telle que F (X, Z) = 0. Alors

(i) Le corps K = k(a0, a1, . . .) engendr´e sur k par les coefficients de Z est un corps de nombres et [K : k] ≤ n.

(ii) K = k(a0, a1, . . . , a2n²).

(iii) Il existe un k-syst`eme {Aυ}_{υ∈M (k)} tel que

|a_s|_υ ≤ A^{N +s}_υ (s = 0, 1, 2, . . .)

pour tout υ ∈ M (k) et chaque extension de | · |υ sur K. On a aussi Nk{A_υ} < (2¹⁴N⁶)^8N3dHk(F )^8n2N.

(iv) Si DK est le discriminant de K on a

|D_K| < N^{N d}(2¹⁴N⁶)^48dN7|D_k|ⁿHk(F )^48n5N2.

Pour une d´emonstration de ce r´esultat on peut consulter [4], §5.

3. Construction d’une ´equation hyperelliptique. Soient N le degr´e total de F (X, Y ) et n le degr´e de F (X, Y ) en Y . On suppose que X est une variable et Φ une fonction alg´ebrique telle que F (X, Φ) = 0.

Soient V ∈ Σ∞ tel que τ (V ) ∈ Σ∞, e l’indice de ramification de V et XV = (1/X)^1/e. Alors

Φ =

∞

X

s=s0

asX_V^s .

La fonction Φ a un pˆole d’ordre ≤ Ne en V ; on a donc s0 ≥ −Ne. En ajoutant des coefficients nuls on peut poser s0= −Ne.

Posons

Φ = X_V^NeΦ = as0+ as0+1XV + . . . Il en r´esulte

X_V^NenF (X_V^−e, X_V^−NeΦ) = 0 .

Le polynˆome F⁰(U, W ) = U^Ne(n+1)F (U^−e, U^−NeW ) est sans facteur multi- ple et de degr´e positif en W . Son degr´e en W est n et son degr´e total est

≤ nN². Alors, d’apr`es le lemme 4, on voit que le corps engendr´e par les ai, K = k(as0, as0+1, . . .), est un corps de nombres, de degr´e [K : k] ≤ n et de discriminant major´e par

(3.1) |D_K| < (2N )^865dN21|D_k|ⁿHk(F )^48N11.

Supposons d’abord que τ (V ) = V . D’apr`es le th´eor`eme de Riemann–

Roch, l’espace L((2g + 1)V ) est de dimension g + 2. Le th´eor`eme A2 de [6]

entraˆıne qu’il existe des entiers π1, . . . , πt ≥ 0 tels qu’une base de L((2g + 1)V ) soit de la forme

X^hgi (1 ≤ i ≤ t, 0 ≤ h ≤ πi) .

Comme le diviseur (2g + 1)V est rationnel sur K, on d´eduit du th´eor`eme B2 de [6] que g1, . . . , gt ∈ K(X, Φ). D’apr`es le th´eor`eme C2 de [6] le

d´eveloppement de gi en V est gi=

∞

X

s=−(2g+1)

aisX_V^s

avec ais ∈ K; de plus il existe des K-syst`emes {Aυ(V )} et {Bυ(i)}, d´efinis pour tout υ ∈ M (K), tels que

|a_is|_υ ≤ A_υ(V )^s+4N3Bυ(i) et

NK{Aυ(V )} < (2⁷N⁵H(F ))^9N5degK, (3.2)

NK{B_υ(i)} < (9N⁴H(F ))^365N11degK. (3.3)

Notons f1, . . . , fg+2 la base de l’espace L((2g + 1)V ) et ´ecrivons fi=

∞

X

s=−(2g+1)

bisX_V^s (i = 1, . . . , g + 2) . On a bis= ai,s+ke, o`u k ≤ g + 1. Alors

|b_is|_υ ≤ A_υ(V )^s+4N3+(g+1)nBυ (i = 1, . . . , g + 2) o`u Bυ est le produit des Bυ(i).

D’apr`es le th´eor`eme de Riemann–Roch on a l(2gV ) = g + 1. Donc il existe i tel que bi,−2g−16= 0. Soit b_1,−2g−16= 0; alors ord_V(f1) = −2g − 1 et ordu(f1) ≥ 0 pour tout u ∈ Σ − {V }.

Consid´erons les fonctions

w1= b1,−2g−1f2− b_2,−2g−1f1, . . . , wg+1 = b1,−2g−1fg+1− b_{g+1,−2g−1}f1. Il est facile de v´erifier que w1, . . . , wg+1 constituent une base de l’espace L(2gV ). Soient

wi=

∞

X

s=−2g

wisX_V^s (i = 1, . . . , g + 1) . Alors

|w_is|_υ ≤ A_υ(V )^{s+8N3+2(g+1)n}B²_υυ(2) .

Comme l((2g − 1)V ) = g, en utilisant le mˆeme proc´ed´e on obtient une base {t1, . . . , tg} de l’espace L((2g − 1)V ). Le d´eveloppement de ti en V est

ti=

∞

X

s=−2g+1

tisX_V^s (i = 1, . . . , g) avec

|t_is|_υ ≤ A_υ(V )^{s+16N3+4(g+1)n}B_υ⁴υ(4) .

Le lemme 2 entraˆıne

k = L(V ) L(2V ) = L(3V ) . . . L(2kV )

= L((2k + 1)V ) . . . L((2g − 2)V ) = L((2g − 1)V ) .

Par suite, en utilisant successivement la m´ethode pr´ec´edente on obtient une base {h1, h2} de L(2V ). Le d´eveloppement de hi en V est

hi=

∞

X

s=−2

hisX_V^s (i = 1, 2) avec

|h_is|_υ ≤ A_υ(V )^{s+2g(g+1)n+2g+2N3}B_υ^2gυ(2^g) .

Sans restreindre la g´en´eralit´e on peut supposer que h1,−26= 0; donc ord_V(h1)

= −2 et ordu(h1) ≥ 0 pour tout u ∈ Σ − {V }.

Les fonctions

l0= 1, l1= h1, l2= h²₁, . . . , l2g+1= h^2g+1₁ , l2g+2= f1, l2g+3 = f₁², l2g+4= f1h1, . . . , l3g+3= f1h^g₁ sont des ´el´ements de l’espace L((4g +2)V ) qui est de dimension 3g +3. Donc elles sont K-lin´eairement d´ependantes.

Le d´eveloppement de li en V est li=

∞

X

s=−4g−2

lisX_V^s (i = 0, . . . , 3g + 3) .

Comme (N − 1)(N − 2) ≥ 2g il en r´esulte que N³≥ 2(g + 1)n; donc 2^g(g + 1)n + 2^g+2N³≤ 9 · 2^g−1N³.

On obtient facilement

|l_is|_υ ≤ A_υ(V )^{s+9(2g+1)2g−1N3}B_υ^2g(2g+1)υ(2^g(2g+1)(s + 4g + 3)^2g) . La d´ependance lin´eaire des fonctions li (i = 1, . . . , 3g + 4) entraˆıne que le syst`eme

3g+3

X

j=0

xjljk = 0 (−4g + 2 ≤ k ≤ 0)

a une solution non triviale dans K. Il r´esulte alors du lemme 3 qu’il existe une solution du syst`eme non triviale x0, . . . , x3g+3 ∈ K telle que

|xj|υ ≤ Aυ(V )27(g+1)(2g+1)2^g−1N³B3(g+1)(2g+1)2^g υ

×υ(23g(2g+1)(g+1)(4g + 3)^6g(g+1)(3g + 3)!) .

La fonctionP3g+3

j=0 xjlj n’a pas de pˆoles et s’annule en V ; donc (3.4)

3g+3

X

j=0

xjlj = 0 . Si x2g+3= 0, les fonctions

x0+ x1h1+ . . . + x2g+1h^2g+1₁ et x2g+2f1+ x2g+4f1h1+ . . . + x3g+3f1h^g₁, si elles ne sont pas nulles, ont pour valuation en V , 4g + 2 et 4g + 1 respec- tivement; c’est impossible. Donc x2g+36= 0.

Posons

X⁰ = h1, Φ⁰= 2x2g+3f1+ x2g+2+

g

X

j=1

x2g+3+jh^j₁.

Il r´esulte de (3.4) que Φ⁰² = x²_2g+2− 4x_2g+3

g

X

j=0

xjX^0j +

g

X

j=1

x²_2g+3+jX^02j

+ 2x2g+2 g

X

j=1

x2g+3+jX^0j + 2x2g+4 g

X

j=2

x2g+3+jX^0j+1

+ 2x2g+5 g

X

j=3

x2g+3+jX^0j+2+ . . . + 2x3g+2x3g+3X^02g−1. Alors on a

Φ⁰²= a⁰_2g+1X^02g+1+ a⁰_2gX^02g+ . . . + a⁰₀ o`u

a⁰₀= x²_2g+2− 4x2g+3x0,

a⁰_2λ+1= −4x2g+3x2λ−1+ 2x2g+2x2g+2λ+2+ 2

µ

X

j=λ

x2g+3+jx2g+2λ+2−j

avec µ = 2λ − 2 si 2λ − 1 ≤ g et µ = g si 2λ − 1 > g, et a⁰_2λ = −4x2g+3x2λ+ x²_2g+3+λ+ 2x2g+2x2g+3+2λ

+2

µ

X

j=λ+1

x2g+3+jx2g+3+2λ−j

avec µ = 2λ − 1 si 2λ ≤ g et µ = g si 2λ > g (λ = 1, . . . , g + 1).

Supposons que le polynˆome

E(X⁰) = a⁰_2g+1X^02g+1+ a⁰_2gX^02g+ . . . + a⁰₀

ait une racine multiple; alors si %1= %2, . . . , %2g+1 sont ses racines on a (Φ/(X⁰− %1))²= a⁰_2g+1(X⁰− %3) . . . (X⁰− %2g+1) .

Les fonctions X⁰− %_i (i = 3, . . . , 2g + 1) ont un seul pˆole en V ; il en r´esulte que Φ⁰/(X⁰− %₁) poss`ede un seul pˆole en V . De plus ordV(Φ⁰/(X⁰− %₁)) =

−2g + 1. D’apr`es la d´emonstration du lemme 2 on a L((2g − 1)V ) = L((2g − 2)V ) .

Comme Φ⁰/(X⁰− %₁) ∈ L((2g − 1)V ) et Φ⁰/(X⁰− %₁) 6∈ L((2g − 2)V ) on obtient une contradiction. Donc les racines de E(X⁰) sont deux-`a-deux distinctes.

Les coefficients de E(X⁰) : a⁰₀, a⁰₁, . . . , a⁰_2g+1 sont des ´el´ements de K; on a aussi

|a⁰₀|υ, . . . , |a⁰_2g+1|υ ≤ Aυ(V )54(g+1)(2g+1)2^g−1N³

B_υ^{6(g+1)2g(2g+1)}υ(2^7(2g+1)3) . Supposons maintenant que τ (V ) 6= V . Posons V1 = V et V2 = τ (V ).

Soit eil’indice de ramification de Vi; notons XVi = (1/X)^1/ei (i = 1, 2). On v´erifie, sans peine, que le diviseur (g + 1)V1+ (g + 1)V2 est rationnel sur K. Il r´esulte comme pr´ec´edemment qu’il existe des fonctions f1, . . . , fg+3 ∈ K(X, Φ) qui constituent une base de l’espace L((g + 1)V1+ (g + 1)V2). Le d´eveloppement de fi en Vj est

fi=

∞

X

s=−g−1

bisjX_V^s_j (i = 1, . . . , s, j = 1, 2) .

Il y a des K-syst`emes {Aυ(Vj)} et {Bυ(i)} (j = 1, 2, i = 1, . . . , g + 3) tels que

|bisj|υ ≤ Aυ(Vj)^s+4N3+(g+1)nBυ

o`u Bυ est le produit des Bυ(i), et

NK{A_υ(Vj)} < (2⁷N⁵H(F ))^9N5degK, (3.5)

NK{B_υ(i)} < (9N⁴H(F ))^365N11degK. (3.6)

D’apr`es le th´eor`eme de Riemann–Roch on a

l(gV1+ (g + 1)V2) = l((g + 1)V1+ gV2) = g + 2 .

Donc il existe i1, i2 tels que bi1,−g−1,16= 0 et b_{i2,−g−1,2}6= 0. Soit b_{i1,−g−1,2}

= bi2,−g−1,1= 0. Alors on a

ordV1(fi1+ fi2) = −(g + 1) et ordV2(fi1+ fi2) = −(g + 1) . On remplace ensuite dans la base l’´el´ement fi1 par fi1+ fi2. Alors quitte

`

a multiplier le majorant de |bisj|_υ par υ(2) on peut supposer, sans restrein- dre la g´en´eralit´e, que b1,−g−1,1 6= 0 et b_1,−g−1,2 6= 0. Donc ord_V1(f1) = ordV2(f1) = −g − 1 et ordu(f1) ≥ 0 pour tout u ∈ Σ − {V1, V2}.

Proc´edant comme dans le cas pr´ec´edent et compte tenu du fait que le lemme 2 implique

k = L(V1) = L(V2) L(V¹+ V2) = L(2V1+ V2) = L(V1+ 2V2) . . . . . . L((g − 1)V1+ (g − 1)V2) = L(gV1+ (g − 1)V2) = L((g − 1)V1+ gV2) on obtient une base {h1, h2} de L(V₁+ V2) telle que le d´eveloppement de hi

en Vj soit

hi=

∞

X

s=−1

hisjX_V^s_j avec

|h_isj|_υ ≤ A^s+2_υ ^{g+1(g+1)n+2g+3N3}B_υ^2g+1υ(2^g+2)

o`u Aυ = max{Aυ(V1), Aυ(V2)}. On peut prendre h1,−1,16= 0 et h_1,−1,26= 0.

Donc ordV1(h1) = ordV2(h1) = −1 et ordu(f1) ≥ 0 pour tout u ∈ Σ − {V₁, V2}.

On consid`ere les fonctions

l0= 1, l1= h1, . . . , l2g+2 = h^2g+2₁ , l2g+3= f1, l2g+4= f₁², l2g+5= f1h1, . . . , l3g+5 = f1h^g+1₁ .

Le d´eveloppement de li en Vj est li=

∞

X

s=−2g+2

lisjX_V^s_j (i = 1, . . . , 3g + 5, j = 1, 2) et on a

|lisj| ≤ Aυ(Vj)^{s+18(g+1)2gN3}B_υ^2g+2(g+1)υ(4^(g+2)2(s + 2g + 2)^2g+1) . Les fonctions li appartiennent `a l’espace L((2g + 2)V1+ (2g + 2)V2) dont la dimension est l((2g + 2)V1+ (2g + 2)V2) = 3g + 5. Donc ces fonctions li (i = 0, 1, . . . , 3g + 5) sont k-lin´eairement d´ependantes. Par cons´equent le syst`eme

3g+5

X

i=0

xilis1 = 0 ,

3g+5

X

i=0

xilis2 = 0 (s = −2g − 2, . . . , 0)

poss`ede une solution non triviale dans K. Alors le lemme 3 implique qu’il existe une solution du syst`eme non triviale x0, x1, . . . , x3g+5 ∈ K telle que

|x_j|_υ ≤ A18(3g+4)(g+1)2^gN³

υ B^2g+2(g+1)(3g+4) υ

×υ(4^(g+2)2(3g+4)(2g + 2)(2g+1)(3g+4)

(3g + 4)!) . Il en r´esulte que P3g+5

i=0 xili= 0 avec x2g+46= 0.

On pose

X⁰= h1, Φ⁰= 2x2g+4f1+ x2g+3+

g+1

X

j=1

x2g+4+jh^j₁ et on obtient l’´equation

Φ⁰² = a⁰_2g+2X^02g+2+ a⁰_2g+1X^02g+1+ . . . + a⁰₀ o`u

a⁰₀= x²_2g+3− 4x_2g+4x0,

a⁰_2λ−1= −4x2g+4x2λ−1+ 2x2g+3x2g+3+2λ+ 2

µ

X

j=λ

x2g+4+jx2g+4+2λ−j

avec µ = 2λ − 2 si 2λ − 1 < g + 1 et µ = g + 1 si 2λ − 1 > g + 1, et a⁰_2λ = −42g+4x2λ+ x²_2g+4+λ+ 2x2g+3x2g+4+2λ+ 2

µ

X

j=λ+1

x2g+4+jx2g+4+2λ−j

avec µ = 2λ − 1 si 2λ ≤ g + 1 et µ = g + 1 si 2λ > g + 1 (λ = 1, . . . , g + 1).

Supposons que le polynˆome

E(X⁰) = a⁰_2g+2X^02g+2+ a⁰_2g+1X^02g+1+ . . . + a⁰₀

ait une racine multiple; alors si %1= %2, %3, . . . , %2g+2 sont ses racines on a (Φ⁰/(X⁰− %₁))²= a⁰_2g+2(X⁰− %₃) . . . (X⁰− %_2g+2) .

Il en r´esulte que les seuls pˆoles de Φ⁰/(X⁰− %₁) se trouvent en V1 et V2 et on a

ordVj(Φ⁰/(X⁰− %₁)) = −g (j = 1, 2) .

Comme ordVj(X⁰ − %₁) = −1 (j = 1, 2), ordu(X⁰ − %₁) ≥ 0 pour tout u ∈ Σ − {V1, V2} et l(gV₁+ gV2) = g + 1 on en d´eduit que les fonctions

1, X⁰− %₁, . . . , (X⁰− %₁)^g

constituent une base de l’espace L(gV1+ gV2). Par cons´equent il existe c0, c1, . . . , cg ∈ k tels que

(3.7) Φ⁰/(X⁰− %₁) = c0+ c1(X⁰− %₁) + . . . + cg(X⁰− %₁)^g.

D’autre part, soit M le sous-espace de L((g + 1)V1+ (g + 1)V2) engendr´e par 1, h1, . . . , h^g+1₁ . Comme l((g + 1)V1+ (g + 1)V2) = g + 3 il existe i tel que fi6∈ M . Si i 6= 1 on a

f1+ fi∈ L((g + 1)V₁+ (g + 1)V2) et

ordVj(f1+ fi) = −(g + 1) (j = 1, 2) ,

ordu(f1+ fi) ≥ 0 pour tout u ∈ Σ − {V1, V2} .

On peut donc supposer, sans restreindre la g´en´eralit´e, que f1 n’est pas une combinaison lin´eaire de 1, h1, . . . , h^g+1₁ . La relation (3.7) entraˆıne que f1est une combinaison lin´eaire des 1, h1, . . . , h^g+1₁ , ce qui est contradictoire. Donc les racines de G(X⁰) sont toutes simples.

Les coefficients a⁰₀, a⁰₁, . . . , a⁰_2g+2 de E(X⁰) sont des ´el´ements de K; on a

|a⁰₀|_υ, . . . , |a⁰_2g+2|_υ ≤ A36(3g+4)(g+1)2^gN³

υ B^2g+3(g+1)(3g+4)

υ υ(2^7(2g+1)3) . Soit V1= V2. Alors le degr´e de la fonction f1est 2g + 1 et le degr´e de h1

est 2. Donc [K(C) : K(f1)] = 2g + 1 et [K(C) : K(h1)] = 2. On en d´eduit que K(C) = K(h1, f1) = K(X⁰, Φ⁰).

Soit V1 6= V₂. Si f1 ∈ K(h₁) il existe G(T ), H(T ) ∈ K[T ] avec pgcd (G, H) = 1 tels que f1= G(h1)/H(h1).

Comme

[K(C) : K(f1)] = [K(C) : K(h1)][K(h1) : K(f1)]

on en d´eduit que [K(h1) : K(f1)] = g + 1. Le polynˆome irr´eductible de h1

sur K(f1) est G(T ) − f1H(T ). Donc max{deg G, deg H} = g + 1. D’autre part, on a

−(g + 1) = ord_Vj(f1) = ordV1(G(h1)/H(h1)) = − deg G + deg H . Alors deg H = 0. Il en r´esulte que f1 est une combinaison lin´eaire de 1, h1, . . . , h^g+1₁ , ce qui n’est pas le cas. Donc f1 6∈ K(h₁) et on a K(C) = K(f1, h1) = K(X⁰, Φ⁰). Par cons´equent les courbes F (X, Φ) = 0 et Φ⁰² = F (X⁰) sont birationnelles sur K.

4. Une ´equation satisfaite par X⁰ sur K[X]. Soient u1, . . . , ur

les ´el´ements de Σ∞ et e1, . . . , er ses indices de ramification. Soient Xui = (1/X)^1/ei et Ui le groupe des ei-i`emes racines de 1. Notons

(4.1) ϑuiζ =

∞

X

s=t0(ui)

γs(ui)ζ^sX_u^s_i,

o`u ζ ∈ Ui, le d´eveloppement de Puiseux de X⁰ dans le corps des s´eries formelles K((Xuiζ)). Alors X⁰ est racine du polynˆome

P (X, T ) = Y

ui∈Σ∞

ζ∈Ui

(T − ϑuiζ) = Tⁿ+ p1Tⁿ⁻¹+ . . . + pn

o`u pi sont les polynˆomes ´el´ementaires sym´etriques en ϑuiζ `a signe pr`es.

Alors pi ∈ K(X). Comme les pˆoles de X⁰ se trouvent `a l’infini on d´eduit que pi∈ K[X].

Si V = τ (V ), le seul pˆole de la fonction X⁰ se trouve en V et il est d’ordre 2; alors on a t0(V ) = −2 et t0(u) = 0 pour u 6= V . Si V 6= τ (V ), les seuls pˆoles de X⁰ se trouvent en V et τ (V ) et ils sont d’ordre 1; on a donc

t0(V ) = −1, t0(τ (V )) = −1 et t0(u) = 0 pour u 6= V, τ (V ). Par cons´equent chaque pi contient seulement des puissances de (1/X)^µ avec µ ≥ −2. Donc pi est un polynˆome quadratique en X. Soit

pi=

2

X

s=0

πisX^s=

0

X

s=−2

πi,−s(1/X)^s. On a

(4.2) πi,−s= (−1)ⁱ X . . .X

u1,ζ1,s1,...,ui,ζi,si

s1/e1+...+si/ei=s

γs1(u1)ζ₁^s1. . . γsi(ui)ζ_i^si

o`u u1, . . . , ui∈ Σ<sub>∞</sub>, ζj ∈ U<sub>j</sub> et les paires uj, ζj sont deux-`a-deux distinctes.

Soit u ∈ Σ∞. Etudions d’abord le cas o`u τ (V ) = V . Consid´erons la base {f<sub>1</sub>, . . . , fg+2} de l’espace L((2g + 1)V ). Le th´eor`eme C.2 de [6] entraˆıne que le d´eveloppement de Puiseux de fi en u est

fi=

∞

X

s=−(2g+1)

bis(u)X_u^s

o`u bis(u) sont des ´el´ements d’un corps de nombres K(u) ⊇ K; il existe des K-syst`emes {Aυ(u)} et {Bυ(i)} tels que

(4.3) |bis(u)|υ ≤ Aυ(u)^s+4N3+(g+1)nBυ (i = 1, . . . , g + 2)

o`u Bυ est le produit des Bυ(i); on a aussi des relations analogues `a (3.2), (3.3) le d´eveloppement de Puiseux de hi en u est

hi=

∞

X

s=−2

his(u)X_u^s o`u his(u) ∈ K(u) et on a

|his(u)|υ ≤ Aυ(u)^{s+2g−1(g+1)n+2g+1N3}Aυ(V )^{2g−1(g+1)n+2g+1N3}B_υ^2gυ(2^g) . Comme X⁰= h2pour tout υ ∈ M (K) et tout prolongement de | · |υ `a K(u) on a

|γ_s(u)|υ ≤ A_υ(u)^s+2g−29N3Cυ

o`u

Cυ = Aυ(V )^2g−29N3B_υ^2gυ(2^g) .

Soit L un corps de nombres tel que K(ui) ⊆ L et Ui ⊆ L (i = 1, . . . , r).

Alors pour tout υ ∈ M (L) la valeur absolue de chacun des termes de la somme (4.2) est major´ee par

Aυ(u1)^s1+2g−29N3. . . Aυ(ui)^si+2g−29N3C_υⁱ.

On a sj ≥ −2 si u_j = V et sj ≥ 0 si u_j 6= V . Il en r´esulte que chaque partie de la somme s1/e1+ . . . + si/ei est ≥ −2; alors sj ≤ 2e_j ≤ 2n. Donc

la valeur absolue de chacun des termes de la somme (4.2) est major´ee par C_υⁿDυ o`u

Dυ =

r

Y

j=1

Aυ(uj)^2g−210N3ej. Cela entraˆıne

(4.4) |π_is|_υ ≤ C_υⁿDυυ((5n²)ⁿ) .

Consid´erons maintenant le cas o`u τ (V ) 6= V . Soit {f1, . . . , fg+3} la base de l’espace L((g + 1)V + (g + 1)τ (V )). Le d´eveloppement de Puiseux de fi

en u est

fi=

∞

X

s=−g−1

bis(u)X_u^s

o`u bis(u) sont des ´el´ements d’un corps de nombres K(u) ⊇ K. Il existe un K-syst`eme {Aυ(u)} v´erifiant des relations analogues `a (4.3) et (3.5). Le d´eveloppement de Puiseux de hi en u est

hi=

∞

X

s=−1

his(u)X_u^s o`u his(u) ∈ K(u) et on a

|his(u)|υ ≤ Aυ(u)^{s+2g(g+1)n+2g+2N3}A²_υ^{g(g+1)n+2g+2N3}B_υ^2g+1υ(2^g+1) . On proc`ede comme dans le cas o`u τ (V ) = V et on obtient

(4.5) |π_is|_υ ≤ C_υⁿDυυ((4n²)ⁿ) o`u

Cυ = A²_υ^g−19N3B_υ^2g+1υ(2^g+1) et Dυ =

r

Y

j=1

Aυ(uj)^2g−110N3ej.

5. L’´equation canonique. Supposons d’abord τ (V ) = V . Con- sid´erons la quantit´e

Wυ = Aυ(V )^2g−29N4+54(g+1)(2g+1)2^g−1N³B^2gN +6(g+1)(2g+1)2^g υ

×

r

Y

j=1

Aυ(uj)^2g−210N3ejυ(2^7(2g+1)3(2^g5n²)ⁿ) . Alors {Wυ} est un K-syst`eme.

Soient M_∞(K) et M0(K) les ensembles des indices des valeurs absolues archim´ediennes et non archim´ediennes respectivement. Notons

NKj{W_υ} = Y

υ∈Mj(K)

W_υ^δυ, j = 0, ∞ ,

o`u δυ est le degr´e local de υ. Le lemme 4 de [4] entraˆıne qu’il existe un entier alg´ebrique α ∈ K, α 6= 0, tel que

(5.1) |α|_υ ≤ W_υ⁻¹ pour tout υ ∈ M0(K) et

(5.2) |α|_υ ≤ (|D_K|^1/2NK0{W_υ})^{1/deg K} pour tout υ ∈ M∞(K) . Posons

X1= α²a⁰_2g+1X⁰, Φ1= α^2g+1a^0g_2g+1Φ⁰. Alors on a

Φ²₁= X₁^2g+1+ a1X₁^2g+ . . . + a2g+1

o`u

ai= α²ⁱa⁰_2g+1−ia⁰ⁱ⁻¹_2g+1 (i = 1, . . . , 2g + 1) . Comme

|a_i|_υ = |α²ⁱ|_υ|a⁰_2g+1−i|_υ|a⁰ⁱ⁻¹_2g+1|_υ ≤ (W_υ⁻¹)ⁱ< 1

pour tout υ ∈ M0(K) il en r´esulte que les ai (i = 1, . . . , 2g + 1) sont des entiers alg´ebriques de K.

Consid´erons le polynˆome Q(T ) = αⁿP (T /α). Alors Q(αX⁰) = 0. Les coefficients de Q(T ) sont des polynˆomes quadratiques

qi(X) = αⁱπi0+ αⁱπi1X + αⁱπi2X².

Alors |αⁱπis|υ ≤ 1, pour tout υ ∈ M0(K). Par cons´equent αⁱπis ∈ OK, o`u OK est l’anneau des entiers de K. Il en r´esulte que αX⁰ est un ´el´ement entier sur OK[X]. Comme αa⁰_2g+1 est un entier de K, X1 est entier sur OK[X]. Par cons´equent si X, Φ sont des entiers de k, alors X1, Φ1 sont des entiers de K.

Notons f (X1) = X₁^2g+1+ a1X₁^2g+ . . . + a2g+1. Alors

|f |υ ≤ W_υ^2g+1(|DK|^1/2NK0{Wυ})^{4g+2/deg K}

pour tout υ ∈ M∞(K). Comme les ai(i = 1, . . . , 2g + 1) sont des entiers de K on a

HK(f ) ≤ Y

υ∈M∞(K)

(W_υ^(2g+1)δυ(|DK|^1/2NK0{W_υ})^{(4g+2)δυ/deg K})

≤ |D_K|^2g+1(NK{W_υ})^4g+2. D’autre part, on a

(5.3) NK{W_υ} < c₁(d, N )HK(F )^{6·103(g+2)2g−2N15} o`u

c1(d, N ) < (3N )^{24·103d2N 2N18},

ce qui donne

(5.4) HK(f ) < c2(d, N )|Dk|^(2g+1)NHk(F )^2·104(2g+1)(g+2)2^g−2N¹⁶

avec

c2(d, N ) < (3N )^{6·104d2N 2N20}.

Supposons maintenant τ (V ) 6= V . Consid´erons la quantit´e Wυ = A^2g−19N4+36(3g+4)(g+1)2^gN³

υ B^{2g+1N +2g+3}(g+1)(3g+4)

υ

×

r

Y

j=1

Aυ(uj)^2g−110N3ejυ(2^7(2g+1)3(2^g+14n²)ⁿ) . Alors {Wυ} est un K-syst`eme.

Comme pr´ec´edemment il existe un entier alg´ebrique α ∈ K, α 6= 0, v´erifiant des relations analogues `a (5.1) et (5.2). Posons

X1= a⁰_2g+2α²X⁰, Φ1= (

√

a⁰_2g+2)^2g+1α^2g+2Φ⁰. Alors on a

Φ²₁= X₁^2g+2+ a1X^2g+1+ . . . + a2g+2

o`u

ai= a⁰_2g+2−iα²ⁱa⁰ⁱ⁻¹_2g+2 (i = 1, . . . , 2g + 2) .

Les coefficients ai sont des entiers alg´ebriques de K. Il r´esulte aussi que X1

est entier sur OK[X]. Donc si X, Φ sont des entiers de k, alors X1, Φ1 sont des entiers de K⁰= K(√

a⁰_2g+2).

Notons f (X1) = X₁^2g+2+ a1X₁^2g+1+ . . . + a2g+2. Alors

|f |υ ≤ W_υ^2g+2(|DK|^1/2NK0{Wυ})^{4g+4/deg K}

pour tout υ ∈ M∞(K). Comme les ai(i = 0, . . . , 2g + 2) sont des entiers de K on a

HK(f ) ≤ Y

υ∈M_∞(K)

(W_υ^(2g+2)δυ(|DK|^1/2NK0{Wυ})^{(4g+4)δυ/deg K})

≤ |D_K|^2g+2(NK{W_υ})^4g+4. On a aussi

(5.5) NK{W_υ} < c₃(d, N )HK(F )^{12·1032g−2(g+3)N15} o`u

c3(d, N ) < (3N )^{48·103d2N 2N18}. On en d´eduit que

(5.6) HK(f ) < c4(d, N )|Dk|^(2g+2)NHK(F )^5·1042g−2(g+1)(g+3)N¹⁶

o`u

c4(d, N ) < (3N )^{6·104d2N 2N20}.

6. D´emonstration du th´eor`eme. Nous allons utiliser le r´esultat suivant :

Th´eor`eme A. Soient L un corps de nombres de degr´e λ, B l’anneau des entiers de L et DL son discriminant. Soit f (X) un polynˆome de L[X] de degr´e n ayant au moins trois racines d’ordre impair. Alors si (x, y) ∈ B × B est une solution de l’´equation Y²= f (X) on a

max{HL(x), HL(y)} < exp{c(λ, n)(W₁ⁿⁿW₂^λnn} o`u

W1= D_L¹²HL(f )^1000λ2, W2= (log^∗|D_L|)³(log^∗HL(f ))⁵ et

c(λ, n) < 2^300λ2n2n (pour z r´eel positif on note log^∗z = max(1, log z)).

Ceci raffine un r´esultat de Brindza (Acta Math. Hungar. 44 (1984), 133–

139), dans lequel la d´ependance de la majoration en λ, n, DLet HL(f ) n’est pas donn´e explicitement. On peut consulter [3] pour une d´emonstration du th´eor`eme A.

P r e m i e r c a s : τ (V ) = V . La fonction X1= α²a⁰_2g+1X⁰v´erifie l’´equa- tion R(X, T ) = 0, o`u R(X, T ) = (α²a⁰_2g+1)ⁿP (X, T /α²a⁰_2g+1). Les coeffi- cients de R(X, T ) sont les πis(α²a⁰_2g+1)ⁱ qui sont des entiers de K. Comme R(X, T ) n’a pas de facteur ind´ependant de X, pour tout x1 le polynˆome R^∗(X) = R(X, x1) est non nul de degr´e ≤ 2. Alors pour tout υ ∈ M∞(K) on a

|R^∗|_υ ≤ (max

i,s |π_i,s|_υ|α²a⁰_2g+1|ⁱ_υ)(max(1, |x1|ⁿ_υ))υ(n + 1) .

Si x1 est un entier de K alors les coefficients de R^∗ sont des entiers de K;

on a donc

HK(R^∗) ≤ (|DK|^1/2NK{W_υ})²ⁿHK(x1)ⁿ(n + 1)^degK. Les majorations (3.1) et (5.3) entraˆınent

HK(R^∗) < c5(d, N )|Dk|^N2Hk(F )^{2·104(g+2)2g−2N17}HK(x1)ⁿ o`u

c5(d, N ) < (3N )^{5·104d2N 2N19}.

Soit Ω l’application birationnelle de la courbe F (X, Y ) = 0 sur la courbe Φ²₁ = f (X1). Soit (x, y) ∈ A × A un point non singulier sur F (X, Y ) = 0;

alors Ω(x, y) = (x1, y1) et il en r´esulte que R(x, x1) = 0; par cons´equent on

a R^∗(x) = 0. Le lemme 3 de [5] entraˆıne que H(x) ≤ 3H(R^∗). Alors on a (x1, y1) ∈ OK× O_K et

(6.1) HK(x) < 3^dNc5(d, N )|Dk|^N2Hk(F )^{2·104(g+2)2g−2N17}HK(x1)ⁿ. D’autre part, le th´eor`eme A entraˆıne

(6.2) HK(x1) < exp{c6(d, N )[D_K¹²HK(f )^1000d2N2]^(2g+1)2g+1

×[(log^∗|D_K|)³(log^∗HK(f ))⁵]^{dN (2g+1)2g+1}} o`u

c(d, N ) < 2^{300d2N2N4N 2}.

Alors les majorations (3.1), (5.4), (6.1) et (6.2) entraˆınent le r´esultat.

D e u x i `e m e c a s : τ (V ) 6= V . La fonction X1 = a<sup>0</sup><sub>2g+2</sub>α<sup>2</sup>X<sup>0</sup> v´erifie l’´equation R(X, T ) = 0, o`u R(X, T ) = (α²a⁰_2g+2)ⁿP (X, T /α²a⁰_2g+2). Les coefficients de R(X, T ) sont les πis(α²a⁰_2g+2)ⁱ qui sont des entiers de K.

Pour tout x1 le polynˆome R^∗(X) = R(X, x1) est non nul de degr´e ≤ 2.

Alors si x1 est un entier de K on a

HK(R^∗) ≤ (|DK|^1/2NK{W_υ})²ⁿHK(x1)ⁿ(n + 1)^degK. Les majorations (3.1) et (5.5) entraˆınent

HK(R^∗) < c7(d, N )|Dk|^N2Hk(F )^{3·104(g+3)2g−2N17}HK(x1)ⁿ o`u

c7(d, N ) < (3N )^{105d2N 2N19}.

Soit (x, y) ∈ A×A un point non singulier sur F (x, y) = 0; alors Ω(x, y) = (x1, y1) et il en r´esulte que R(x, x1) = 0; donc R^∗(x) = 0. De plus (x1, y1) ∈ OK× O_K⁰. Comme H(x) ≤ 3H(R^∗) on conclut que

(6.3) HK(x) < 3^dNc7(d, N )|Dk|^N2Hk(F )^{3·104(g+3)2g−2N17}HK(x1)ⁿ. En utilisant le th´eor`eme A et les majorations (3.1), (5.6) et (6.3) on obtient le r´esultat.

Dans le cas o`u (x, y) est un point singulier de F (X, Y ) = 0 on obtient d’une fa¸con ´el´ementaire une meilleure majoration.

Remerciements. Je remercie le professeur Michel Waldschmidt pour les discussions utiles que j’ai eues avec lui pendant la pr´eparation de ce travail.

R´ef´erences

[1] A. B a k e r and J. C o a t e s, Integer points on curves of genus 1, Proc. Cambridge Philos. Soc. 67 (1970), 595–602.

[2] J. C o a t e s, Construction of rational functions on a curve, ibid. 68 (1970), 105–123.

[3] D. P o u l a k i s, Solutions enti`eres de l’´equation Y^m= f (X), S´em. Th´eorie des Nom- bres de Bordeaux 3 (1991), 187–199.

[4] W. M. S c h m i d t, Integer points on curves of genus 1, Compositio Math. 81 (1992), 33–59.

[5] —, Eisenstein’s theorem on power series expansions of algebraic functions, Acta Arith. 56 (1990), 161–179.

[6] —, Construction and estimation of bases in function fields, J. Number Theory 39 (1991), 181–224.

[7] J. P. S e r r e, Lectures on the Mordell–Weil Theorem, Vieweg, 1989.

[8] C. L. S i e g e l, ¨Uber einige Anwendungen diophantischer Approximationen, Abh.

Preuss. Akad. Wiss. 1 (1929).

[9] R. W a l k e r, Algebraic Curves, Springer, 1978.

D ´EPARTEMENT DE MATH ´EMATIQUES UNIVERSIT ´E DE TH ´ESSALONIQUE 54006 TH ´ESSALONIQUE, GR `ECE

Re¸cu le 2.4.1991 (2131)