sunkowo duża ogólność, wadą — trudność zbadania (nieraz bardzo duża) otrzymanego równania całkowego.

SERIA I: PRACE MATEMATYCZNE Y (1961)

Л.

(Wrocław)

0 zastosowaniu metody W e y la w zagadnieniu brzegowym zlinearyzowanych równań hydrodynamiki

Jedna z metod rozwiązania zagadnienia brzegowego dla obszernej klasy równań różniczkowych polega na sprowadzeniu tego zagadnienia do równania całkowego typu Fredholma. Zaletą tej metody jest jej sto­

sunkowo duża ogólność, wadą — trudność zbadania (nieraz bardzo duża) otrzymanego równania całkowego.

H. Weyl podał metodę [1] wykorzystującą przejście do równań cał­

kowych, ale pozwalającą uniknąć dyskusji ich rozwiązalności; metodę tę można zastosować tylko wtedy, gdy potrafimy udowodnić jednoznaczność danego zagadnienia brzegowego. W niniejszej pracy będzie pokazane, jak można metodę Weyla, zastosowaną przez niego w teorii sprężystości, przenieść na pewne zagadnienie brzegowe dla zlinearyzowanych równań hydromechaniki cieczy lepkiej. Otrzymany wynik nie jest nowy; został on wyczerpująco przedyskutowany w pracy Odqvista [2]. Sam temat jest jednak na tyle ważny, że wydaje się rzeczą pożyteczną potraktować go inną metodą.

Zlinearyzowanymi równaniami hydromechaniki cieczy lepkiej, nie­

ściśliwej lub krótko — równaniami Stokesa, nazywamy układ równań M 'e - g r a d p = / ,

diva = 0 .

W równaniach tych u jest wrektorem prędkości, p — ciśnieniem, fi — stałą (współczynnik lepkości), / — zadanym polem wektorowym (pole sił).

W dalszym ciągu zajmiemy się tylko przypadkiem trójwymiarowym 1 następującym zagadnieniem brzegowym: Znaleźć rozwiązanie układu (1) w obszarze skończonym /7, takie, aby wektor prędkości u przyjmował na brzegu obszaru П zadaną wartość. Zagadnienie to będziemy nazywać (zgodnie z terminologią Odqvista) pierwszym zagadnieniem brzegowym.

W dalszym ciągu Г1 będzie oznaczać obszar skończony, leżący w prze­

strzeni euklidesowej trójwymiarowej; przez хг, x2, x3 będziemy oznaczać

współrzędne prostokątne punktu x, jeśli punkt będzie należał do obszaru

16 A. K rzy w icki

/7; podobnie ах, а2, а3 będą współrzędnymi punktu a leżącego na brzegu Z obszaru П.

powierzchni Z zakładamy, że jest klasy G^1,h\ to znaczy do­

statecznie małe otoczenie każdego punktu powierzchni przy odpowiednio dobranym układzie współrzędnych może być przedstawione równaniem xx = хз) i funkcja % posiada pochodne I rzędu, spełniające warunek Holdera z dodatnim wykładnikiem h. O wektorze / zakładamy, że spełnia warunek Holdera. Wektory będziemy oznaczać przez u, v, ich składowe przez ux, u2, u3, vx, ...; n będzie oznaczać wektor jednostkowy normalnej wewnętrznej do powierzchni Z: n = n(a). Będziemy używać zarówno symboliki wektorowej, jak i skalarnej. Poza tym, podobnie jak Weyl, będziemy używać symboliki macierzowej. Macierze, jakie występują w dalszym ciągu, są trzech rodzajów: kwadratowe trzeciego rzędu, ozna­

czane wielkimi literami: oraz dwa rodzaje prostokątnych:

1-wierszowe, 3-elementowe oraz 1-kolumnowe, 3-elementowe. Oba ostatnie rodzaje macierzy oznaczać będziemy tak samo jak wektory i nazywać wektorami. Mnożenie macierzy rozumiemy w zwykłym sensie; iloczyn 2 macierzy kwadratowych daje w wyniku taką samą macierz. Mnożenie wektora przez macierz kwadratową,

rozumiemy jako mnożenie macierzy F, w pierwszym przypadku przez macierz 1-wierszową, w drugim — 1-kolumnową. Umawiamy się, że do­

konanie jakiejś operacji na macierzy kwadratowej oznacza dokonanie tej operacji kolejno na 3 kolumnach tej macierzy, traktowanych jako wektory.

Mówiąc, że macierze V, q spełniają równania Stokesa mamy na myśli, że kolejne kolumny tych macierzy traktowane jako układ: wektor i skalar, spełniają równania Stokesa; oczywiście q jest wtedy macierzą o 1 wierszu.

Iloczyn skalarny dwu wektorów u, v oznaczać będziemy m?; dx ozna­

cza element objętości; da — element powierzchni, óik — symbol Kronec- kera; rxx, oznacza odległość punktów x i x'. Wreszcie „iloczyn macierzowy”

dwu wektorów: u x v daje w wyniku macierz kwadratową V o elementach:

= •

Następująca tożsamość Greena będzie wykorzystana w dalszym ciągu (p. Odqvist [2]): niech u i v oznaczają dowolne wektory o ciągłych pochod­

nych II rzędu w /7 i ciągłych pochodnych I rzędu w П -f 27; p , q — dowolne funkcje ciągłe w IJ \ Z, o ciągłych pochodnych I rzędu w П. Jeśli ponadto oznaczymy

uV lub Vu

(2)

wówczas wspomniana tożsamość ma postać (3) J {(fiAii — gradjH,agraddivw)i? — gdiv u —

u

— (pAv-\- gradg-f ^graddiy v)u — pdivv}dx =

= ~ 2 j I { T ik('u ) n k V i - T ' i k ( v ) n k Ui}d(T.

k,i 2

Z postaci szczególnej tego wzoru, gdy podstawimy w nim u = v, p = q, można wywnioskować twierdzenie o jednoznaczności I zagadnienia brze­

gowego: jednorodne równania Stokesa

fjtAu — gradp = 0 , divw = 0 ,

przy założeniu, że u znika na Z, mają wewnątrz IJ jedynie rozwiązanie zerowe (co oznacza, że u — 0, a p = const, gdyż p jest wyznaczone z rów­

nań Stokesa z dokładnością do stałej).

W poniższej konstrukcji korzystamy z rozwiązań fundamentalnych układu równań (4); tak nazywamy układ macierzy V(x,x'), q(x,x') o wyrazach postaci

Vik{x, x')

^{\ \k}

&TV[A i Txx, Vxx>

qk{x, x')

^ rxxt które są rozwiązaniami równań (4):

/jlA V

—gradqr = 0 , d iv 7 = 0 .

Utwórzmy z kolejnych kolumn macierzy 7, q — ustalając uprzed­

nio punkt x' na powierzchni Z i oznaczając go przez a — wektory

—^ T ik[V(x, a)]nk(a)', traktując każdy z nich jako kolumnę macierzy к

kwadratowej, otrzymamy w ten sposób macierz K(x,a) o elementach

(

) 3 ^ (a><— ai){xj — <jj)

47Г rZ J? (®A-— <Ук)пк{<У)- Oznaczmy dalej przez k(x, a) wektor o składowych

ki{x, a) = — d (xk— ok)

2tc dX i Z -j r l a Roczniki PTM - Prace Matematyczne V

18 A. K r z y w i c k i

a przez у>(ст) wektor określony na 27. Jak łatwo sprawdzić, układ u(x) = j K(x, a) if (or) da,

(6)

p{x) = j k(x, o)y(o)do

z

przedstawia wewnątrz П rozwiązanie jednorodnych równań Stokesa (4).

Odqvist pokazał, p. [2], że I zagadnienie brzegowe dla równań jednorod­

nych przy zadanym na brzegu wektorze prędkości u (a) można sprowadzić do równania całkowego

(7) u(a) = y(cr)+ f K(a, o')*p(a')do',

ż

jeśli założymy, że szukane rozwiązanie jest postaci ((>).

Odqvist przedyskutował zagadnienie rozwiązaliiości równania (7);

pokażemy, jak można uniknąć tego, stosując metodę podaną przez Weyla.

Opiera się ona na konstrukcji tensora Greena rozpatrywanego zagadnie­

nia brzegowego.

Tensorem Greena obszaru П dla układu równań (1) i I zagadnienia brzegowego nazywać będziemy układ macierzy Г(х, x’), y(x,x') — postaci F i q — spełniających następujące warunki: jeśli ustalimy w П punkt У, wówczas macierze Г, у jako funkcje punktu x

1° spełniają w obszarze П' = (П z wyjętym punktem x') równania (4), przy czym w П' elementy macierzy Г posiadają ciągle pochodne rzędu drugiego, a macierzy у — ciągłe pochodne rzędu pierwszego;

2° jeśli oznaczymy przez 3{г),х') macierz otrzymaną z tensora r{rj, x') , у (г], x') przez dokonanie operacji ^ T iknk(rj), gdzie nk(rj) oznacza

к

składowe wektora normalnej wewnętrznej w punkcie r/ powierzchni 27е(У) kuli o środku w punkcie x' i promieniu e, wówczas dla dowolnego wektora v o ciągłych pochodnych rzędu pierwszego w П zachodzi wzór (8) lim J , x')v(rj)da — lim J v(r)) 2{r), x’)da = v(x').

z e(x') £ >0 zAx’)

Zauważmy przy tym, że obliczając tę granicę dla analogicznego wy­

rażenia otrzymanego z V i q zamiast F, у (identycznego z macierzą

—K(rj, x')) — otrzymamy ten sam wynik, co wynika wprost z własności całki (6) (por. [2]);

3° macierz Г(х,х') spełnia następujący warunek brzegowy

(9)

“ 0 ;

4° dla x Ф x'

(10) \Г(х, x')\ < const

^ x x '

przy czym \Г\ oznacza pierwiastek kwadratowy z sumy kwadratów wszyst­

kich elementów macierzy Г.

Aby znaleźć tensor Г, 7, zakładamy, że jest on postaci Г(х, x') — V(x,

— A

'), 7 (®, x') — q(x, x')—a(x, x').

V i q będziemy nazywać częściami osobliwymi tensora Greena, A, a — częściami kompensacyjnymi. Ustalając punkt x' w 77, wyznaczymy część kompensacyjną z warunków:

1. A{x,x'), a{x,x') jako funkcje punktu x, spełniają jednorodne równania Stokesa (4);

2. wartości brzegowe spełniają związek A(o, x') — F(<r,

').

Tak więc wyznaczenie tensora Greena sprowadza się do I zagadnienia brzegowego. Zakładając, że szukane rozwiązanie jest postaci (6)

( U f

A(x, x') = J К (x, a) Ф(о, x')da,

£

n(x, x') —- J k(x, о)Ф(а, x')do,

£

gdzie Ф(<г, x') jest niewiadomą funkcją (macierzą kwadratową), docho­

dzimy ostatecznie do równań całkowych postaci (7) (

) Ф(о,х')-{- J К ( в , а')Ф(а', x ' ) d o ' = V ( o , x ' ) .

£

Jeśli równanie jednorodne, odpowiadające równaniu (7), (13) v>(<x)-j- J K (a, o')<p(<y')do' — 0 ,

£

ma jedynie rozwiązanie zerowe, na pewno istnieje rozwiązanie równania (12); w przypadku przeciwnym — załóżmy, że równanie (13) ma n liniowo niezależnych rozwiązań.

Mech -'чФп oznaczają wszystkie liniowo niezależne rozwiązania równania sprzężonego. Warunkiem koniecznym i dostatecznym istnienia rozwiązań równania (12) jest ortogonalność prawej strony do wszyst­

kich wektorów Aby spełnić ten warunek, zastąpimy równanie (12) następującym

(14) Ф(о, a>')+ / K(o, о')Ф{о', x')da' =

27

П

= V(o , a?') — ]?<>t{o)xh*k {x'),

fc= 1

20 A. K rzy w ick i

gdzie

(15) h*k{x') = J <!>k{e)V{e, я’)do,

£

а <J>k1 к — 1 , . ..,w , jest układem n dostatecznie regularnych wektorów, stanowiących z wektorami V'* układ biortogonalny, tzn.

(16) j M k d o = dik.

Niech Ф(а,х') oznacza jakieś rozwiązanie równania (14). Tworząc przy jego pomocy macierze A *, a* według wzorów (11) widzimy, że ma­

cierze Г* = V — A*, r* = q — a* spełniają jednorodne równania Stokesa.

Natomiast na skutek zmiany wyrazu wolnego równania Całkowego (12) macierz Г* na brzegu nie jest zerem, lecz przyjmuje wartość

П

(17) Г*(а,х‘) =

k= 1

Wprowadzamy nowe dwa układy wektorów: dk(a) i hk(x), к — 1 , . . . , n,

przy czym zakładamy, że dk{a) jest kombinacją liniową wektorów <!>k(a), hk(x) — kombinacją liniową wektorów h*k{x)-, ponadto wektory hk{x) stanowią układ ortonormalny w IJ,

f hi (a?) hk (x) dx = dik,

n

oraz spełniona jest równość

П Ш

J? X ht(x)dx = dk(a)xhk(x);

k =1 k =l

oczywiście, m ^ n. Jeśli macierz Г* zastąpimy macierzą Г** postaci

*') = Г (a, x')~ X ht(x'),

i --1

gdzie

/<(a?) = f r *(x i so')hi(x')dai',

wówczas, jak łatwo sprawdzić, biorąc pod uwagę wzór (17) i postać ma- cierzy Г ,

(18)

Г**{ а, х' )

Macierz / ’** wraz z macierzą

y**{x,x') == r*(®, a?') — j r*(x, %')hi(x")dx" hiix'),

i = 1 li

gdzie

r*{x,x') = q {x, x’) — a*(x, x' ) , spełnia niejednorodne równania Stokes a :

m

[гЛхГ**(х,х')--%тъ&хг**{ос,х') = — (а?) X /*;(#'),

(19) г = 1

diYa.i',**(a?, ж') = О,

Wynika to wprost z faktu, że układ

м(ж) = f V(x, x')f(x')dxr,

ii

p(x) — J q(x, x')/(xf)dx',

i i

przy dostatecznie regularnym wektorze / (np. spełniającym warunek Holder a z wykładnikiem ii > 0), spełnia równania

V 1 du k

fiAu—gtaAp = / , 2 " Э ^ ^ 0

(patrz Odqvist [2]). Kolę wektora / odgrywają w równaniach (19) wek­

tory hk(x)-, z (15) widać, że są one typu potencjału warstwy pojedynczej.

Skorzystajmy teraz z tożsamości Grcena (3), podstawiając: u =

= Г**(х, x')y v = Г**(х, x"), p — r**{x, x'), ą = r**(#, x") — przy czym x\ x" są ustalonymi punktami obszaru П. Usuwamy przy tym z ob­

szaru całkowania П dwie kuleczki o środkach w punktach x’ i x" i promie­

niach e -> 0. Biorąc pod uwagę, że zachodzi wzór (8) przy 3 obliczonym dla macierzy fundamentalnych rozwiązań równań Stokesa i uwzględnia­

jąc wartości brzegowe macierzy Г** (p. (18)), widzimy, że macierz

m

l \( x, x ’) = и * * ( а ? , а ? ' ) + f h i(x")r**(x,' , x ) d x " x h i(x')

г= 1 II

jest symetryczna, przez co rozumiemy, że 1\ {x' , x) jest równa macierzy

transponowanej Г 7 *(х, x') (zmiana rolami argumentów w Г* daje macierz

transponowaną). Z postaci macierzy Г* wynika wprost, że wiersze macierzy

Г*, traktowane jako wektory względem drugiego argumentu, spełniają —

z odpowiednio dobraną macierzą ciśnień r* — jednorodne równania Sto-

22 A. K r z y w i c k i

kęsa. Stąd i z symetrii macierzy F* wnosimy, że jej kolumny spełniają jednorodne równania Stokesa względem pierwszego argumentu. Ozna­

czając

f hi(x")r**{so", x)dx" = gdx)

II

odczytujemy z postaci I\ jej wartości brzegowe

m

r * { o , x ' ) = ^ g d ^ X h i i x ' ) .

г = 1

Jeśli teraz przejdziemy z punktem x' do brzegu, x' -> or', a następnie skorzystamy z symetrii macierzy Г*, otrzymamy równość

m m

(20) £ д Л < у ) х К { о ' ) = ^ h M x g d o ' ) .

г = 1 i = 1

Skorzystamy teraz z faktu, że I zagadnienie brzegowe jest jednoznacz­

nie rozwiązalne. Fakt ten zastosujemy do wektorów h,L{x)\ każdy z nich, będąc kombinacją liniową wektorów h* (x), jest — z odpowiednio dobra­

nym ciśnieniem — rozwiązaniem jednorodnych równań Stokesa.

Stąd wniosek: wektory ЛДсг), rozpatrywane na 27, są liniowo nieza­

leżne. W przeciwnym razie jakaś kombinacja liniowa tych wektorów zni­

kałaby tożsamościowo w П wbrew założeniu liniowej niezależności ЛДа?).

Stąd i z (20) wnioskujemy, że «/Дог) jest kombinacją liniową hДог),

Ш

9 i H = 2 ] Gikhk{o).

k = l Macierz

m

Г(х,х') = I\(x, x')— JT Gikhk{x)xhi{x') i,k=l

i odpowiednio do niej skonstruowana macierz ciśnień y, jest szukanym tensorem Greena.

Z tożsamości (3), stosując ją podobnie jak poprzednio w odniesieniu do macierzy Г**, wynika symetria macierzy Г, co wobec symetrii I\

i liniowej niezależności ht{x) daje symetrię macierzy współczynników cik:

Gik Gki •

W powyższym dowodzie symetrii tensora Г(х, x') skorzystaliśmy z istnienia na powierzchni 27 wyrażeń ]?Tiknk obliczonych dla znalezio-

k

nego tensora Greena. Oznaczmy je, jak wyżej przy definicji tensora Greena,

przez 3(o,x). Otóż można w następujący sposób udowodnić istnienie

3 (er, x) — powtarzając analogiczne rozumowanie Weyla. Dla prostoty

załóżmy, że równanie (13) ma tylko rozwiązanie zerowe. Założenie to jest

nieistotne, ogólny przypadek wymaga tylko formalnej modyfikacji po­

danego dowodu. Oznaczając przez К (a, a') rezolwentę jądra К {a, a') i oznaczając

(21) 0(x, a) — K(x, a)— j K(x, a')K(a' , a)da' ,

z

możemy część kompensaoyjną A (x, x') tensora Г przedstawić w postaci (22) A(x,x') = J 0(x, cr)V(ff, x')da.

Wiersze macierzy A(x, x') traktowane jako wektory zależne od punktu x', spełniają — z odpowiednio dobraną macierzą ciśnień - jednorodne równania Stokesa. Stąd wynika, że

A (x, x') = j A(x, a) O1 (x' , a')da'.

z

Podstawiając w prawą stronę tego wzoru wyrażenie A(x,cr') dane wzorem (22), otrzymujemy

A(x,x') = j j 0(x, a)V{a, а') &1 (x ' , a')da'da,

z z

skąd od razu odczytujemy symetrię macierzy A. Możemy więc napisać (23) Г(х,х/) — V{x,x')— J V(x, a)0T{x’ , a)da

z

i z tego wzoru wprost wynika istnienie wyrażenia S(a,x').

Wreszcie wykorzystując postać (22) części kompensacyjnej i powta­

rzając dosłownie rozumowanie Weyla, otrzymujemy oszacowanie Г{х, x')\ < const

T' X X *

Jeśli teraz do tożsamości Greena (3) za v{x) i ą{x) będziemy podsta­

wiać kolejno kolumny macierzy Г{х, x') iy{x, x' ), a u i p będziemy uważać za rozwiązanie jednorodnych równań Stokesa z zadaną na brzegu wartością prędkości м(сг), otrzymamy następujący wzór:

(24) u(x) = J u(a) S((j, x)da.

z

Mając u(x), z łatwością obliczamy z równań Stokesa ciśnienie p(x).

Tak dobrane funkcje spełniają jednorodne równania Stokesa. Bówna-

nie dywergencji wynika wprost z postaci (24) i kształtu 3, Musimy tylko

24 A. K r z y w i c k i

sprawdzić, czy wartości brzegowe wektorów (24) są istotnie równe u (a).

Aby się o tym przekonać, rozłóżmy wyrażenie 3 na dwa składniki 3{a,x) = K (

,

) + E

{

,<

);

pierwszy pochodzi z części osobliwej tensora, drugi — z części kompen­

sacyjnej. Z własności macierzy К wynika (p. Odqvist [2]), że składnik j K ( a , x) u (a) da przy przejściu z punktem x do punktu brzegowego o daje

£

(25) Hm f К {a', x) u {a') da' = u{o)+ f K { a ' , a)u{a')da' ,

ж-э-а £ £

przy czym, jak wprost wynika z kształtu macierzy К i z założonej regular­

ności powierzchni 27,

const

(26) \K{a, *')| < —

ЗГ-, A > 0 . ' aa'

JeśH dla prostoty założymy, że — tak jak poprzednio — równanie (13) ma tylko rozwiązanie trywialne, wówczas część kompensacyjna tensora Г określona z wzoru (22), jak wynika z jej postaoi, ma następu­

jącą własność: wyrażenie 3 A ( a , a' ) spełnia nierówność

(27) \SA (a, a')\ < —гг*—, * > « • ' ao'

Aby się o tym przekonać, wystarczy zauważyć, że z oszacowania (26) wynika analogiczna nierówność dla macierzy @(a, a') określonej wzorem (21). Stąd zaś, z postaci części kompensacyjnej A (p. (22)) i z uwagi, że

3 A ma kształt

- JK(a, а")в(а', a")da",

£

wynika oszacowanie (27). Mamy więc

lim j SA{a' ,x)u(a')da' — J 3 A(a', a)u(a')da',

X - + o £ 2

co wraz ze wzorem (25) i wobec własności brzegowych znalezionego ten­

sora, daje żądany wzór

Tak więc układ (24) jest szukanym rozwiązaniem I zagadnienia brzegowego dla jednorodnych równań Stokesa.

W przypadku równań niejednorodnych rozwiązanie I zagadnienia brzegowego otrzymujemy, dodając do wyrażeń (24) i p(x) odpowiednio wyrażenia

J Г{х, x')f(x')dx', J y(x, x')f(x')dx'.

П I I

W przypadku, gdy równanie (13) posiada rozwiązania niezerowe prosta modyfikacja przeprowadzonego wyżej rozumowania pozwala stwier­

dzić spełnienie przez (24) zadanego warunku brzegowego.

Prace cytowane

[1] H. W e y l, Das asymptotische Verteilungsgesatz der Eigenschwingungen eines beliebig gestalteten elastischen Kórpers, Rend, del Circ. Math, di Pal. 39 (1915), str.

1 - 50.

[2] F. K. G-. O d q v is t , fiber die Bandwertaufgaben der Hydrodynamik zaher Fliissigkeiten, Math. Zeitschr. 32 (1930), str. 329-375.

А. Кшивицки (Вроцлав)

О НЕКОТОРОМ П РИ М Е Н ЕН И И М Е ТО Д А Г. ВЕЙ Л Я К К РАЕВ О Й ЗА Д А Ч Е ДЛЯ Л И Н Е А Р И З О В А Н Н Ы Х У Р А В Н Е Н И Й Г И Д Р О М Е Х А Н И К И

Г В 3 К) м в

Рассматривается следующая задача: найти вектор и и скаляр р, определённые в конечной трёхмерной области П и удовлетворяющие линеаризованным уравне-.

ниям гидромеханики (уравнениям Стокса):

рЛи — gradp = / , div ii = 0.

В этих уравнениях р означает константу, / — заданный вектор. На границе области II задан вектор и. Автор показывает, как можно построить решение этой проблемы, и в этой цели применяет метод Г. Вейля [1].

26 A. K r z y w i c k i

A. Kr z y w i c k i (Wroclaw)

ON AN A P P L IC A T IO N OF W E Y L ’ S M E TH O D TO A B O U N D A R Y V A L U E P R O B LE M OF L IN E A R IZ E D E Q U A TIO N S OF H Y D R O D Y N A M IC S

S U M M A К Y

\

The following problem is considered in the paper: we seek a vector и and a scalar p defined in a finite three-dimensional domain 17 and satisfying there the linearized equations of hydrodynamics (the Stokes’ equations)

f i Au— gradp — / , divw = 0 ,

where /л denotes a positive constant and / a given vector; on the boundary of II the value of и is prescribed. The paper contains the construction of the solution of the problem and for this purpose W eyl’s method [1] is used.