Sumy i iloczyny
Ćwiczenia 1 Sumy i iloczyny
19.10.2020
Matematyka dyskretna
Sumy i iloczyny Powtórzenie
Oznaczenie sumy, iloczynu
Niech m, n ∈ N 0 (N 0 = {0, 1, 2, 3...}, m ¬ n oraz a m , a m+1 , ..., a n będą dowolnymi liczbami rzeczywistymi Przypomnijmy
oznaczenia:
n
X
i=m
a i = a m + a m+1 + ... + a n ,
n
Y
i=m
a i = a m · a m+1 · ... · a n ,
Zad.1 Zapisać poniższe wyrażenia w postaci rozwiniętej, tj. nie używając symboli ”Σ” oraz ”Π”:
♦
12
X
i=1
i = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 + 12
krócej: 1 + 2 + ... + 12.
Matematyka dyskretna
Sumy i iloczyny Powtórzenie
Oznaczenie sumy, iloczynu
Niech m, n ∈ N 0 (N 0 = {0, 1, 2, 3...}, m ¬ n oraz a m , a m+1 , ..., a n będą dowolnymi liczbami rzeczywistymi Przypomnijmy
oznaczenia:
n
X
i=m
a i = a m + a m+1 + ... + a n ,
n
Y
i=m
a i = a m · a m+1 · ... · a n ,
Zad.1 Zapisać poniższe wyrażenia w postaci rozwiniętej, tj. nie używając symboli ”Σ” oraz ”Π”:
♦
12
X
i=1
i = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 + 12
krócej: 1 + 2 + ... + 12.
Matematyka dyskretna
Sumy i iloczyny Powtórzenie
Oznaczenie sumy, iloczynu
Niech m, n ∈ N 0 (N 0 = {0, 1, 2, 3...}, m ¬ n oraz a m , a m+1 , ..., a n będą dowolnymi liczbami rzeczywistymi Przypomnijmy
oznaczenia:
n
X
i=m
a i = a m + a m+1 + ... + a n ,
n
Y
i=m
a i = a m · a m+1 · ... · a n ,
Zad.1 Zapisać poniższe wyrażenia w postaci rozwiniętej, tj. nie używając symboli ”Σ” oraz ”Π”:
♦
12
X
i=1
i = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 + 12
krócej: 1 + 2 + ... + 12.
Matematyka dyskretna
Sumy i iloczyny Powtórzenie
Oznaczenie sumy, iloczynu
Niech m, n ∈ N 0 (N 0 = {0, 1, 2, 3...}, m ¬ n oraz a m , a m+1 , ..., a n będą dowolnymi liczbami rzeczywistymi Przypomnijmy
oznaczenia:
n
X
i=m
a i = a m + a m+1 + ... + a n ,
n
Y
i=m
a i = a m · a m+1 · ... · a n ,
Zad.1 Zapisać poniższe wyrażenia w postaci rozwiniętej, tj. nie używając symboli ”Σ” oraz ”Π”:
♦
12
X
i=1
i = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 + 12
krócej: 1 + 2 + ... + 12.
Matematyka dyskretna
Sumy i iloczyny Powtórzenie
Oznaczenie sumy, iloczynu
Niech m, n ∈ N 0 (N 0 = {0, 1, 2, 3...}, m ¬ n oraz a m , a m+1 , ..., a n będą dowolnymi liczbami rzeczywistymi Przypomnijmy
oznaczenia:
n
X
i=m
a i = a m + a m+1 + ... + a n ,
n
Y
i=m
a i = a m · a m+1 · ... · a n ,
Zad.1 Zapisać poniższe wyrażenia w postaci rozwiniętej, tj. nie używając symboli ”Σ” oraz ”Π”:
♦
12
X
i=1
i = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 + 12
krócej: 1 + 2 + ... + 12.
Matematyka dyskretna
Sumy i iloczyny Powtórzenie
Oznaczenie sumy, iloczynu
Niech m, n ∈ N 0 (N 0 = {0, 1, 2, 3...}, m ¬ n oraz a m , a m+1 , ..., a n będą dowolnymi liczbami rzeczywistymi Przypomnijmy
oznaczenia:
n
X
i=m
a i = a m + a m+1 + ... + a n ,
n
Y
i=m
a i = a m · a m+1 · ... · a n ,
Zad.1 Zapisać poniższe wyrażenia w postaci rozwiniętej, tj. nie używając symboli ”Σ” oraz ”Π”:
♦
12
X
i=1
i = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 + 12
krócej: 1 + 2 + ... + 12.
Matematyka dyskretna
Sumy i iloczyny Powtórzenie
Oznaczenie sumy, iloczynu
Niech m, n ∈ N 0 (N 0 = {0, 1, 2, 3...}, m ¬ n oraz a m , a m+1 , ..., a n będą dowolnymi liczbami rzeczywistymi Przypomnijmy
oznaczenia:
n
X
i=m
a i = a m + a m+1 + ... + a n ,
n
Y
i=m
a i = a m · a m+1 · ... · a n ,
Zad.1 Zapisać poniższe wyrażenia w postaci rozwiniętej, tj. nie używając symboli ”Σ” oraz ”Π”:
♦
12
X
i=1
i = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 + 12
krócej: 1 + 2 + ... + 12.
Matematyka dyskretna
Sumy i iloczyny Powtórzenie
Oznaczenie sumy, iloczynu
Niech m, n ∈ N 0 (N 0 = {0, 1, 2, 3...}, m ¬ n oraz a m , a m+1 , ..., a n będą dowolnymi liczbami rzeczywistymi Przypomnijmy
oznaczenia:
n
X
i=m
a i = a m + a m+1 + ... + a n ,
n
Y
i=m
a i = a m · a m+1 · ... · a n ,
Zad.1 Zapisać poniższe wyrażenia w postaci rozwiniętej, tj. nie używając symboli ”Σ” oraz ”Π”:
♦
12
X
i=1
i = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 + 12
krócej: 1 + 2 + ... + 12.
Matematyka dyskretna
Sumy i iloczyny Powtórzenie
Oznaczenie sumy, iloczynu
Niech m, n ∈ N 0 (N 0 = {0, 1, 2, 3...}, m ¬ n oraz a m , a m+1 , ..., a n będą dowolnymi liczbami rzeczywistymi Przypomnijmy
oznaczenia:
n
X
i=m
a i = a m + a m+1 + ... + a n ,
n
Y
i=m
a i = a m · a m+1 · ... · a n ,
Zad.1 Zapisać poniższe wyrażenia w postaci rozwiniętej, tj. nie używając symboli ”Σ” oraz ”Π”:
♦
12
X
i=1
i = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 + 12
krócej: 1 + 2 + ... + 12.
Matematyka dyskretna
Sumy i iloczyny Powtórzenie
Zad.1 - cd.
♦
6
X
i=1
(2i − 1) = (2 · 1 − 1) + (2 · 2 − 1) + ... + (2 · 6 − 1)
♦
11
X
i=5
i(i + 1) = 5 · (5 + 1) + 6 · (6 + 1) + 7 · (7 + 1) + ... + 10 · (10 + 1) + 11 · (11 + 1)
♦
n
X
i=3
i
2(i + 2) = 3
2· (3 + 2) + 4
2· (4 + 2) + ... + (n − 1)
2· ((n − 1) + 2) + n
2· (n + 2)
♦
n
X
i=1
1
i(i + 3) = 1
1 · (1 + 3) + 1
2 · (2 + 3) + 1
3 · (3 + 3) + ... + 1
(n − 1) · ((n − 1) + 3) +
1 n · (n + 3)
Matematyka dyskretna
Sumy i iloczyny Powtórzenie
Zad.1 - cd.
♦
6
X
i=1
(2i − 1) = (2 · 1 − 1) + (2 · 2 − 1) + ... + (2 · 6 − 1)
♦
11
X
i=5
i(i + 1) = 5 · (5 + 1) + 6 · (6 + 1) + 7 · (7 + 1) + ... + 10 · (10 + 1) + 11 · (11 + 1)
♦
n
X
i=3
i
2(i + 2) = 3
2· (3 + 2) + 4
2· (4 + 2) + ... + (n − 1)
2· ((n − 1) + 2) + n
2· (n + 2)
♦
n
X
i=1
1
i(i + 3) = 1
1 · (1 + 3) + 1
2 · (2 + 3) + 1
3 · (3 + 3) + ... + 1
(n − 1) · ((n − 1) + 3) +
1 n · (n + 3)
Matematyka dyskretna
Sumy i iloczyny Powtórzenie
Zad.1 - cd.
♦
6
X
i=1
(2i − 1) = (2 · 1 − 1) + (2 · 2 − 1) + ... + (2 · 6 − 1)
♦
11
X
i=5
i(i + 1) = 5 · (5 + 1) + 6 · (6 + 1) + 7 · (7 + 1) + ... + 10 · (10 + 1) + 11 · (11 + 1)
♦
n
X
i=3
i
2(i + 2) = 3
2· (3 + 2) + 4
2· (4 + 2) + ... + (n − 1)
2· ((n − 1) + 2) + n
2· (n + 2)
♦
n
X
i=1
1
i(i + 3) = 1
1 · (1 + 3) + 1
2 · (2 + 3) + 1
3 · (3 + 3) + ... + 1
(n − 1) · ((n − 1) + 3) +
1 n · (n + 3)
Matematyka dyskretna
Sumy i iloczyny Powtórzenie
Zad.1 - cd.
♦
6
X
i=1
(2i − 1) = (2 · 1 − 1) + (2 · 2 − 1) + ... + (2 · 6 − 1)
♦
11
X
i=5
i(i + 1) = 5 · (5 + 1) + 6 · (6 + 1) + 7 · (7 + 1) + ... + 10 · (10 + 1) + 11 · (11 + 1)
♦
n
X
i=3
i
2(i + 2) = 3
2· (3 + 2) + 4
2· (4 + 2) + ... + (n − 1)
2· ((n − 1) + 2) + n
2· (n + 2)
♦
n
X
i=1
1
i(i + 3) = 1
1 · (1 + 3) + 1
2 · (2 + 3) + 1
3 · (3 + 3) + ... + 1
(n − 1) · ((n − 1) + 3) +
1 n · (n + 3)
Matematyka dyskretna
Sumy i iloczyny Powtórzenie
Zad.1 - cd.
♦
6
X
i=1
(2i − 1) = (2 · 1 − 1) + (2 · 2 − 1) + ... + (2 · 6 − 1)
♦
11
X
i=5
i(i + 1) = 5 · (5 + 1) + 6 · (6 + 1) + 7 · (7 + 1) + ... + 10 · (10 + 1) + 11 · (11 + 1)
♦
n
X
i=3
i
2(i + 2) = 3
2· (3 + 2) + 4
2· (4 + 2) + ... + (n − 1)
2· ((n − 1) + 2) + n
2· (n + 2)
♦
n
X
i=1
1
i(i + 3) = 1
1 · (1 + 3) + 1
2 · (2 + 3) + 1
3 · (3 + 3) + ... + 1
(n − 1) · ((n − 1) + 3) +
1 n · (n + 3)
Matematyka dyskretna
Sumy i iloczyny Powtórzenie
Zad.1 - cd.
♦
6
X
i=1
(2i − 1) = (2 · 1 − 1) + (2 · 2 − 1) + ... + (2 · 6 − 1)
♦
11
X
i=5
i(i + 1) = 5 · (5 + 1) + 6 · (6 + 1) + 7 · (7 + 1) + ... + 10 · (10 + 1) + 11 · (11 + 1)
♦
n
X
i=3
i
2(i + 2) = 3
2· (3 + 2) + 4
2· (4 + 2) + ... + (n − 1)
2· ((n − 1) + 2) + n
2· (n + 2)
♦
n
X
i=1
1
i(i + 3) = 1
1 · (1 + 3) + 1
2 · (2 + 3) + 1
3 · (3 + 3) + ... + 1
(n − 1) · ((n − 1) + 3) +
1 n · (n + 3)
Matematyka dyskretna
Sumy i iloczyny Powtórzenie
Zad.1 - cd.
♦
6
X
i=1
(2i − 1) = (2 · 1 − 1) + (2 · 2 − 1) + ... + (2 · 6 − 1)
♦
11
X
i=5
i(i + 1) = 5 · (5 + 1) + 6 · (6 + 1) + 7 · (7 + 1) + ... + 10 · (10 + 1) + 11 · (11 + 1)
♦
n
X
i=3
i
2(i + 2) = 3
2· (3 + 2) + 4
2· (4 + 2) + ... + (n − 1)
2· ((n − 1) + 2) + n
2· (n + 2)
♦
n
X
i=1
1
i(i + 3) = 1
1 · (1 + 3) + 1
2 · (2 + 3) + 1
3 · (3 + 3) + ... + 1
(n − 1) · ((n − 1) + 3) +
1 n · (n + 3)
Matematyka dyskretna
Sumy i iloczyny Powtórzenie
Zad.1 - cd.
♦
6
X
i=1
(2i − 1) = (2 · 1 − 1) + (2 · 2 − 1) + ... + (2 · 6 − 1)
♦
11
X
i=5
i(i + 1) = 5 · (5 + 1) + 6 · (6 + 1) + 7 · (7 + 1) + ... + 10 · (10 + 1) + 11 · (11 + 1)
♦
n
X
i=3
i
2(i + 2) = 3
2· (3 + 2) + 4
2· (4 + 2) + ... + (n − 1)
2· ((n − 1) + 2) + n
2· (n + 2)
♦
n
X
i=1
1
i(i + 3) = 1
1 · (1 + 3) + 1
2 · (2 + 3) + 1
3 · (3 + 3) + ... + 1
(n − 1) · ((n − 1) + 3) +
1 n · (n + 3)
Matematyka dyskretna
Sumy i iloczyny Powtórzenie
Zad.1 - cd.
♦
6
X
i=1
(2i − 1) = (2 · 1 − 1) + (2 · 2 − 1) + ... + (2 · 6 − 1)
♦
11
X
i=5
i(i + 1) = 5 · (5 + 1) + 6 · (6 + 1) + 7 · (7 + 1) + ... + 10 · (10 + 1) + 11 · (11 + 1)
♦
n
X
i=3
i
2(i + 2) = 3
2· (3 + 2) + 4
2· (4 + 2) + ... + (n − 1)
2· ((n − 1) + 2) + n
2· (n + 2)
♦
n
X
i=1
1
i(i + 3) = 1
1 · (1 + 3) + 1
2 · (2 + 3) + 1
3 · (3 + 3) + ... + 1
(n − 1) · ((n − 1) + 3) +
1 n · (n + 3)
Matematyka dyskretna
Sumy i iloczyny Powtórzenie
Zad.1 - cd.
♦
6
X
i=1
(2i − 1) = (2 · 1 − 1) + (2 · 2 − 1) + ... + (2 · 6 − 1)
♦
11
X
i=5
i(i + 1) = 5 · (5 + 1) + 6 · (6 + 1) + 7 · (7 + 1) + ... + 10 · (10 + 1) + 11 · (11 + 1)
♦
n
X
i=3
i
2(i + 2) = 3
2· (3 + 2) + 4
2· (4 + 2) + ... + (n − 1)
2· ((n − 1) + 2) + n
2· (n + 2)
♦
n
X
i=1
1
i(i + 3) = 1
1 · (1 + 3) + 1
2 · (2 + 3) + 1
3 · (3 + 3) + ... + 1
(n − 1) · ((n − 1) + 3) +
1 n · (n + 3)
Matematyka dyskretna
Sumy i iloczyny Powtórzenie
Zad.1 - cd.
♦
6
X
i=1
(2i − 1) = (2 · 1 − 1) + (2 · 2 − 1) + ... + (2 · 6 − 1)
♦
11
X
i=5
i(i + 1) = 5 · (5 + 1) + 6 · (6 + 1) + 7 · (7 + 1) + ... + 10 · (10 + 1) + 11 · (11 + 1)
♦
n
X
i=3
i
2(i + 2) = 3
2· (3 + 2) + 4
2· (4 + 2) + ... + (n − 1)
2· ((n − 1) + 2) + n
2· (n + 2)
♦
n
X
i=1
1
i(i + 3) = 1
1 · (1 + 3) + 1
2 · (2 + 3) + 1
3 · (3 + 3) + ... + 1
(n − 1) · ((n − 1) + 3) +
1 n · (n + 3)
Matematyka dyskretna
Sumy i iloczyny Powtórzenie
Zad.1 - cd.
♦
6
X
i=1
(2i − 1) = (2 · 1 − 1) + (2 · 2 − 1) + ... + (2 · 6 − 1)
♦
11
X
i=5
i(i + 1) = 5 · (5 + 1) + 6 · (6 + 1) + 7 · (7 + 1) + ... + 10 · (10 + 1) + 11 · (11 + 1)
♦
n
X
i=3
i
2(i + 2) = 3
2· (3 + 2) + 4
2· (4 + 2) + ... + (n − 1)
2· ((n − 1) + 2) + n
2· (n + 2)
♦
n
X
i=1
1
i(i + 3) = 1
1 · (1 + 3) + 1
2 · (2 + 3) + 1
3 · (3 + 3) + ... + 1
(n − 1) · ((n − 1) + 3) +
1 n · (n + 3)
Matematyka dyskretna
Sumy i iloczyny Powtórzenie
Zad.1 - cd.
♦
6
X
i=1
(2i − 1) = (2 · 1 − 1) + (2 · 2 − 1) + ... + (2 · 6 − 1)
♦
11
X
i=5
i(i + 1) = 5 · (5 + 1) + 6 · (6 + 1) + 7 · (7 + 1) + ... + 10 · (10 + 1) + 11 · (11 + 1)
♦
n
X
i=3
i
2(i + 2) = 3
2· (3 + 2) + 4
2· (4 + 2) + ... + (n − 1)
2· ((n − 1) + 2) + n
2· (n + 2)
♦
n
X
i=1
1
i(i + 3) = 1
1 · (1 + 3) + 1
2 · (2 + 3) + 1
3 · (3 + 3) + ... + 1
(n − 1) · ((n − 1) + 3) +
1 n · (n + 3)
Matematyka dyskretna
Sumy i iloczyny Powtórzenie
Zad.1 - cd.
♦
6
X
i=1
(2i − 1) = (2 · 1 − 1) + (2 · 2 − 1) + ... + (2 · 6 − 1)
♦
11
X
i=5
i(i + 1) = 5 · (5 + 1) + 6 · (6 + 1) + 7 · (7 + 1) + ... + 10 · (10 + 1) + 11 · (11 + 1)
♦
n
X
i=3
i
2(i + 2) = 3
2· (3 + 2) + 4
2· (4 + 2) + ... + (n − 1)
2· ((n − 1) + 2) + n
2· (n + 2)
♦
n
X
i=1
1
i(i + 3) = 1
1 · (1 + 3) + 1
2 · (2 + 3) + 1
3 · (3 + 3) + ... + 1
(n − 1) · ((n − 1) + 3) +
1 n · (n + 3)
Matematyka dyskretna
Sumy i iloczyny Powtórzenie
Zad.1 - cd.
♦
6
X
i=1
(2i − 1) = (2 · 1 − 1) + (2 · 2 − 1) + ... + (2 · 6 − 1)
♦
11
X
i=5
i(i + 1) = 5 · (5 + 1) + 6 · (6 + 1) + 7 · (7 + 1) + ... + 10 · (10 + 1) + 11 · (11 + 1)
♦
n
X
i=3
i
2(i + 2) = 3
2· (3 + 2) + 4
2· (4 + 2) + ... + (n − 1)
2· ((n − 1) + 2) + n
2· (n + 2)
♦
n
X
i=1
1
i(i + 3) = 1
1 · (1 + 3) + 1
2 · (2 + 3) + 1
3 · (3 + 3) + ... + 1
(n − 1) · ((n − 1) + 3) +
1 n · (n + 3)
Matematyka dyskretna
Sumy i iloczyny Powtórzenie
Zad.1 - cd.
♦
6
X
i=1
(2i − 1) = (2 · 1 − 1) + (2 · 2 − 1) + ... + (2 · 6 − 1)
♦
11
X
i=5
i(i + 1) = 5 · (5 + 1) + 6 · (6 + 1) + 7 · (7 + 1) + ... + 10 · (10 + 1) + 11 · (11 + 1)
♦
n
X
i=3
i
2(i + 2) = 3
2· (3 + 2) + 4
2· (4 + 2) + ... + (n − 1)
2· ((n − 1) + 2) + n
2· (n + 2)
♦
n
X
i=1
1
i(i + 3) = 1
1 · (1 + 3) + 1
2 · (2 + 3) + 1
3 · (3 + 3) + ... + 1
(n − 1) · ((n − 1) + 3) +
1 n · (n + 3)
Matematyka dyskretna
Sumy i iloczyny Powtórzenie
Zad.1 - cd.
♦
6
X
i=1
(2i − 1) = (2 · 1 − 1) + (2 · 2 − 1) + ... + (2 · 6 − 1)
♦
11
X
i=5
i(i + 1) = 5 · (5 + 1) + 6 · (6 + 1) + 7 · (7 + 1) + ... + 10 · (10 + 1) + 11 · (11 + 1)
♦
n
X
i=3
i
2(i + 2) = 3
2· (3 + 2) + 4
2· (4 + 2) + ... + (n − 1)
2· ((n − 1) + 2) + n
2· (n + 2)
♦
n
X
i=1
1
i(i + 3) = 1
1 · (1 + 3) + 1
2 · (2 + 3) + 1
3 · (3 + 3) + ... + 1
(n − 1) · ((n − 1) + 3) +
1 n · (n + 3)
Matematyka dyskretna
Sumy i iloczyny Powtórzenie
Zad.1 - cd.
♦
6
X
i=1
(2i − 1) = (2 · 1 − 1) + (2 · 2 − 1) + ... + (2 · 6 − 1)
♦
11
X
i=5
i(i + 1) = 5 · (5 + 1) + 6 · (6 + 1) + 7 · (7 + 1) + ... + 10 · (10 + 1) + 11 · (11 + 1)
♦
n
X
i=3
i
2(i + 2) = 3
2· (3 + 2) + 4
2· (4 + 2) + ... + (n − 1)
2· ((n − 1) + 2) + n
2· (n + 2)
♦
n
X
i=1
1
i(i + 3) = 1
1 · (1 + 3) + 1
2 · (2 + 3) + 1
3 · (3 + 3) + ... + 1
(n − 1) · ((n − 1) + 3) +
1 n · (n + 3)
Matematyka dyskretna
Sumy i iloczyny Powtórzenie
Zad.1 - cd.
♦
6
X
i=1
(2i − 1) = (2 · 1 − 1) + (2 · 2 − 1) + ... + (2 · 6 − 1)
♦
11
X
i=5
i(i + 1) = 5 · (5 + 1) + 6 · (6 + 1) + 7 · (7 + 1) + ... + 10 · (10 + 1) + 11 · (11 + 1)
♦
n
X
i=3
i
2(i + 2) = 3
2·(3 + 2) + 4
2· (4 + 2) + ... + (n − 1)
2· ((n − 1) + 2) + n
2· (n + 2)
♦
n
X
i=1
1
i(i + 3) = 1
1 · (1 + 3) + 1
2 · (2 + 3) + 1
3 · (3 + 3) + ... + 1
(n − 1) · ((n − 1) + 3) +
1 n · (n + 3)
Matematyka dyskretna
Sumy i iloczyny Powtórzenie
Zad.1 - cd.
♦
6
X
i=1
(2i − 1) = (2 · 1 − 1) + (2 · 2 − 1) + ... + (2 · 6 − 1)
♦
11
X
i=5
i(i + 1) = 5 · (5 + 1) + 6 · (6 + 1) + 7 · (7 + 1) + ... + 10 · (10 + 1) + 11 · (11 + 1)
♦
n
X
i=3
i
2(i + 2) = 3
2· (3 + 2) + 4
2· (4 + 2) + ... + (n − 1)
2· ((n − 1) + 2) + n
2· (n + 2)
♦
n
X
i=1
1
i(i + 3) = 1
1 · (1 + 3) + 1
2 · (2 + 3) + 1
3 · (3 + 3) + ... + 1
(n − 1) · ((n − 1) + 3) +
1 n · (n + 3)
Matematyka dyskretna
Sumy i iloczyny Powtórzenie
Zad.1 - cd.
♦
6
X
i=1
(2i − 1) = (2 · 1 − 1) + (2 · 2 − 1) + ... + (2 · 6 − 1)
♦
11
X
i=5
i(i + 1) = 5 · (5 + 1) + 6 · (6 + 1) + 7 · (7 + 1) + ... + 10 · (10 + 1) + 11 · (11 + 1)
♦
n
X
i=3
i
2(i + 2) = 3
2·(3 + 2) + 4
2· (4 + 2) + ... + (n − 1)
2· ((n − 1) + 2) + n
2· (n + 2)
♦
n
X
i=1
1
i(i + 3) = 1
1 · (1 + 3) + 1
2 · (2 + 3) + 1
3 · (3 + 3) + ... + 1
(n − 1) · ((n − 1) + 3) +
1 n · (n + 3)
Matematyka dyskretna
Sumy i iloczyny Powtórzenie
Zad.1 - cd.
♦
6
X
i=1
(2i − 1) = (2 · 1 − 1) + (2 · 2 − 1) + ... + (2 · 6 − 1)
♦
11
X
i=5
i(i + 1) = 5 · (5 + 1) + 6 · (6 + 1) + 7 · (7 + 1) + ... + 10 · (10 + 1) + 11 · (11 + 1)
♦
n
X
i=3
i
2(i + 2) = 3
2· (3 + 2) + 4
2· (4 + 2) + ... + (n − 1)
2· ((n − 1) + 2) + n
2· (n + 2)
♦
n
X
i=1
1
i(i + 3) = 1
1 · (1 + 3) + 1
2 · (2 + 3) + 1
3 · (3 + 3) + ... + 1
(n − 1) · ((n − 1) + 3) +
1 n · (n + 3)
Matematyka dyskretna
Sumy i iloczyny Powtórzenie
Zad.1 - cd.
♦
6
X
i=1
(2i − 1) = (2 · 1 − 1) + (2 · 2 − 1) + ... + (2 · 6 − 1)
♦
11
X
i=5
i(i + 1) = 5 · (5 + 1) + 6 · (6 + 1) + 7 · (7 + 1) + ... + 10 · (10 + 1) + 11 · (11 + 1)
♦
n
X
i=3
i
2(i + 2) = 3
2· (3 + 2) + 4
2· (4 + 2) + ... + (n − 1)
2· ((n − 1) + 2) + n
2· (n + 2)
♦
n
X
i=1
1
i(i + 3) = 1
1 · (1 + 3) + 1
2 · (2 + 3) + 1
3 · (3 + 3) + ... + 1
(n − 1) · ((n − 1) + 3) +
1 n · (n + 3)
Matematyka dyskretna
Sumy i iloczyny Powtórzenie
Zad.1 - cd.
♦
6
X
i=1
(2i − 1) = (2 · 1 − 1) + (2 · 2 − 1) + ... + (2 · 6 − 1)
♦
11
X
i=5
i(i + 1) = 5 · (5 + 1) + 6 · (6 + 1) + 7 · (7 + 1) + ... + 10 · (10 + 1) + 11 · (11 + 1)
♦
n
X
i=3
i
2(i + 2) = 3
2· (3 + 2) + 4
2· (4 + 2) + ... + (n − 1)
2· ((n − 1) + 2) + n
2· (n + 2)
♦
n
X
i=1
1
i(i + 3) = 1
1 · (1 + 3) + 1
2 · (2 + 3) + 1
3 · (3 + 3) + ... + 1
(n − 1) · ((n − 1) + 3) +
1 n · (n + 3)
Matematyka dyskretna
Sumy i iloczyny Powtórzenie
Zad.1 - cd.
♦
6
X
i=1
(2i − 1) = (2 · 1 − 1) + (2 · 2 − 1) + ... + (2 · 6 − 1)
♦
11
X
i=5
i(i + 1) = 5 · (5 + 1) + 6 · (6 + 1) + 7 · (7 + 1) + ... + 10 · (10 + 1) + 11 · (11 + 1)
♦
n
X
i=3
i
2(i + 2) = 3
2· (3 + 2) + 4
2· (4 + 2) + ... + (n − 1)
2· ((n − 1) + 2) + n
2· (n + 2)
♦
n
X
i=1
1
i(i + 3) = 1
1 · (1 + 3) + 1
2 · (2 + 3) + 1
3 · (3 + 3) + ... + 1
(n − 1) · ((n − 1) + 3) +
1 n · (n + 3)
Matematyka dyskretna
Sumy i iloczyny Powtórzenie
Zad.1 - cd.
♦
6
X
i=1
(2i − 1) = (2 · 1 − 1) + (2 · 2 − 1) + ... + (2 · 6 − 1)
♦
11
X
i=5
i(i + 1) = 5 · (5 + 1) + 6 · (6 + 1) + 7 · (7 + 1) + ... + 10 · (10 + 1) + 11 · (11 + 1)
♦
n
X
i=3
i
2(i + 2) = 3
2· (3 + 2) + 4
2· (4 + 2) + ...+ (n − 1)
2· ((n − 1) + 2) + n
2· (n + 2)
♦
n
X
i=1
1
i(i + 3) = 1
1 · (1 + 3) + 1
2 · (2 + 3) + 1
3 · (3 + 3) + ... + 1
(n − 1) · ((n − 1) + 3) +
1 n · (n + 3)
Matematyka dyskretna
Sumy i iloczyny Powtórzenie
Zad.1 - cd.
♦
6
X
i=1
(2i − 1) = (2 · 1 − 1) + (2 · 2 − 1) + ... + (2 · 6 − 1)
♦
11
X
i=5
i(i + 1) = 5 · (5 + 1) + 6 · (6 + 1) + 7 · (7 + 1) + ... + 10 · (10 + 1) + 11 · (11 + 1)
♦
n
X
i=3
i
2(i + 2) = 3
2· (3 + 2) + 4
2· (4 + 2) + ... + (n − 1)
2· ((n − 1) + 2) + n
2· (n + 2)
♦
n
X
i=1
1
i(i + 3) = 1
1 · (1 + 3) + 1
2 · (2 + 3) + 1
3 · (3 + 3) + ... + 1
(n − 1) · ((n − 1) + 3) +
1 n · (n + 3)
Matematyka dyskretna
Sumy i iloczyny Powtórzenie
Zad.1 - cd.
♦
6
X
i=1
(2i − 1) = (2 · 1 − 1) + (2 · 2 − 1) + ... + (2 · 6 − 1)
♦
11
X
i=5
i(i + 1) = 5 · (5 + 1) + 6 · (6 + 1) + 7 · (7 + 1) + ... + 10 · (10 + 1) + 11 · (11 + 1)
♦
n
X
i=3
i
2(i + 2) = 3
2· (3 + 2) + 4
2· (4 + 2) + ... + (n − 1)
2· ((n − 1) + 2) + n
2· (n + 2)
♦
n
X
i=1
1
i(i + 3) = 1
1 · (1 + 3) + 1
2 · (2 + 3) + 1
3 · (3 + 3) + ... + 1
(n − 1) · ((n − 1) + 3) +
1 n · (n + 3)
Matematyka dyskretna
Sumy i iloczyny Powtórzenie
Zad.1 - cd.
♦
6
X
i=1
(2i − 1) = (2 · 1 − 1) + (2 · 2 − 1) + ... + (2 · 6 − 1)
♦
11
X
i=5
i(i + 1) = 5 · (5 + 1) + 6 · (6 + 1) + 7 · (7 + 1) + ... + 10 · (10 + 1) + 11 · (11 + 1)
♦
n
X
i=3
i
2(i + 2) = 3
2· (3 + 2) + 4
2· (4 + 2) + ... + (n − 1)
2· ((n − 1) + 2) + n
2· (n + 2)
♦
n
X
i=1
1
i(i + 3) = 1
1 · (1 + 3) + 1
2 · (2 + 3) + 1
3 · (3 + 3) + ... + 1
(n − 1) · ((n − 1) + 3) +
1 n · (n + 3)
Matematyka dyskretna
Sumy i iloczyny Powtórzenie
Zad.1 - cd.
♦
6
X
i=1
(2i − 1) = (2 · 1 − 1) + (2 · 2 − 1) + ... + (2 · 6 − 1)
♦
11
X
i=5
i(i + 1) = 5 · (5 + 1) + 6 · (6 + 1) + 7 · (7 + 1) + ... + 10 · (10 + 1) + 11 · (11 + 1)
♦
n
X
i=3
i
2(i + 2) = 3
2· (3 + 2) + 4
2· (4 + 2) + ... + (n − 1)
2· ((n − 1) + 2) + n
2· (n + 2)
♦
n
X
i=1
1
i(i + 3) = 1
1 · (1 + 3) + 1
2 · (2 + 3) + 1
3 · (3 + 3) + ... + 1
(n − 1) · ((n − 1) + 3) +
1 n · (n + 3)
Matematyka dyskretna
Sumy i iloczyny Powtórzenie
Zad.1 - cd.
♦
6
X
i=1
(2i − 1) = (2 · 1 − 1) + (2 · 2 − 1) + ... + (2 · 6 − 1)
♦
11
X
i=5
i(i + 1) = 5 · (5 + 1) + 6 · (6 + 1) + 7 · (7 + 1) + ... + 10 · (10 + 1) + 11 · (11 + 1)
♦
n
X
i=3
i
2(i + 2) = 3
2· (3 + 2) + 4
2· (4 + 2) + ... + (n − 1)
2· ((n − 1) + 2) + n
2· (n + 2)
♦
n
X
i=1
1
i(i + 3) = 1
1 · (1 + 3) + 1
2 · (2 + 3) + 1
3 · (3 + 3) + ... + 1
(n − 1) · ((n − 1) + 3) +
1 n · (n + 3)
Matematyka dyskretna
Sumy i iloczyny Powtórzenie
Zad.1 - cd.
♦
6
X
i=1
(2i − 1) = (2 · 1 − 1) + (2 · 2 − 1) + ... + (2 · 6 − 1)
♦
11
X
i=5
i(i + 1) = 5 · (5 + 1) + 6 · (6 + 1) + 7 · (7 + 1) + ... + 10 · (10 + 1) + 11 · (11 + 1)
♦
n
X
i=3
i
2(i + 2) = 3
2· (3 + 2) + 4
2· (4 + 2) + ... + (n − 1)
2· ((n − 1) + 2) + n
2· (n + 2)
♦
n
X
i=1
1
i(i + 3) = 1
1 · (1 + 3) + 1
2 · (2 + 3) + 1
3 · (3 + 3) + ... + 1
(n − 1) · ((n − 1) + 3) +
1 n · (n + 3)
Matematyka dyskretna
Sumy i iloczyny Powtórzenie
Zad.1 - cd.
♦
6
X
i=1
(2i − 1) = (2 · 1 − 1) + (2 · 2 − 1) + ... + (2 · 6 − 1)
♦
11
X
i=5
i(i + 1) = 5 · (5 + 1) + 6 · (6 + 1) + 7 · (7 + 1) + ... + 10 · (10 + 1) + 11 · (11 + 1)
♦
n
X
i=3
i
2(i + 2) = 3
2· (3 + 2) + 4
2· (4 + 2) + ... + (n − 1)
2· ((n − 1) + 2) + n
2· (n + 2)
♦
n
X
i=1
1
i(i + 3) = 1
1 · (1 + 3) + 1
2 · (2 + 3) + 1
3 · (3 + 3) + ... + 1
(n − 1) · ((n − 1) + 3) +
1 n · (n + 3)
Matematyka dyskretna
Sumy i iloczyny Powtórzenie
Zad.1 - cd.
♦
6
X
i=1
(2i − 1) = (2 · 1 − 1) + (2 · 2 − 1) + ... + (2 · 6 − 1)
♦
11
X
i=5
i(i + 1) = 5 · (5 + 1) + 6 · (6 + 1) + 7 · (7 + 1) + ... + 10 · (10 + 1) + 11 · (11 + 1)
♦
n
X
i=3
i
2(i + 2) = 3
2· (3 + 2) + 4
2· (4 + 2) + ... + (n − 1)
2· ((n − 1) + 2) + n
2· (n + 2)
♦
n
X
i=1
1
i(i + 3) = 1
1 · (1 + 3) + 1
2 · (2 + 3) + 1
3 · (3 + 3) + ... + 1
(n − 1) · ((n − 1) + 3) +
1 n · (n + 3)
Matematyka dyskretna
Sumy i iloczyny Powtórzenie
Zad.1 - cd.
♦
6
X
i=1
(2i − 1) = (2 · 1 − 1) + (2 · 2 − 1) + ... + (2 · 6 − 1)
♦
11
X
i=5
i(i + 1) = 5 · (5 + 1) + 6 · (6 + 1) + 7 · (7 + 1) + ... + 10 · (10 + 1) + 11 · (11 + 1)
♦
n
X
i=3
i
2(i + 2) = 3
2· (3 + 2) + 4
2· (4 + 2) + ... + (n − 1)
2· ((n − 1) + 2) + n
2· (n + 2)
♦
n
X
i=1
1
i(i + 3) = 1
1 · (1 + 3) + 1
2 · (2 + 3) + 1
3 · (3 + 3) + ... + 1
(n − 1) · ((n − 1) + 3) +
1 n · (n + 3)
Matematyka dyskretna
Sumy i iloczyny Powtórzenie
Zad.1 - cd.
♦
6
X
i=1
(2i − 1) = (2 · 1 − 1) + (2 · 2 − 1) + ... + (2 · 6 − 1)
♦
11
X
i=5
i(i + 1) = 5 · (5 + 1) + 6 · (6 + 1) + 7 · (7 + 1) + ... + 10 · (10 + 1) + 11 · (11 + 1)
♦
n
X
i=3
i
2(i + 2) = 3
2· (3 + 2) + 4
2· (4 + 2) + ... + (n − 1)
2· ((n − 1) + 2) + n
2· (n + 2)
♦
n
X
i=1
1
i(i + 3) = 1
1 · (1 + 3) + 1
2 · (2 + 3) + 1
3 · (3 + 3) + ... + 1
(n − 1) · ((n − 1) + 3) +
1 n · (n + 3)
Matematyka dyskretna
Sumy i iloczyny Powtórzenie
Zad.1 - cd.
♦
6
X
i=1
(2i − 1) = (2 · 1 − 1) + (2 · 2 − 1) + ... + (2 · 6 − 1)
♦
11
X
i=5
i(i + 1) = 5 · (5 + 1) + 6 · (6 + 1) + 7 · (7 + 1) + ... + 10 · (10 + 1) + 11 · (11 + 1)
♦
n
X
i=3
i
2(i + 2) = 3
2· (3 + 2) + 4
2· (4 + 2) + ... + (n − 1)
2· ((n − 1) + 2) + n
2· (n + 2)
♦
n
X
i=1
1
i(i + 3) = 1
1 · (1 + 3) + 1
2 · (2 + 3) + 1
3 · (3 + 3) + ... + 1
(n − 1) · ((n − 1) + 3) +
1 n · (n + 3)
Matematyka dyskretna
Sumy i iloczyny Powtórzenie
Zad.1 - cd.
♦
6
X
i=1
(2i − 1) = (2 · 1 − 1) + (2 · 2 − 1) + ... + (2 · 6 − 1)
♦
11
X
i=5
i(i + 1) = 5 · (5 + 1) + 6 · (6 + 1) + 7 · (7 + 1) + ... + 10 · (10 + 1) + 11 · (11 + 1)
♦
n
X
i=3
i
2(i + 2) = 3
2· (3 + 2) + 4
2· (4 + 2) + ... + (n − 1)
2· ((n − 1) + 2) + n
2· (n + 2)
♦
n
X
i=1
1
i(i + 3) = 1
1 · (1 + 3) + 1
2 · (2 + 3) + 1
3 · (3 + 3) +... + 1
(n − 1) · ((n − 1) + 3) +
1 n · (n + 3)
Matematyka dyskretna
Sumy i iloczyny Powtórzenie
Zad.1 - cd.
♦
6
X
i=1
(2i − 1) = (2 · 1 − 1) + (2 · 2 − 1) + ... + (2 · 6 − 1)
♦
11
X
i=5
i(i + 1) = 5 · (5 + 1) + 6 · (6 + 1) + 7 · (7 + 1) + ... + 10 · (10 + 1) + 11 · (11 + 1)
♦
n
X
i=3
i
2(i + 2) = 3
2· (3 + 2) + 4
2· (4 + 2) + ... + (n − 1)
2· ((n − 1) + 2) + n
2· (n + 2)
♦
n
X
i=1
1
i(i + 3) = 1
1 · (1 + 3) + 1
2 · (2 + 3) + 1
3 · (3 + 3) + ... + 1
(n − 1) · ((n − 1) + 3) +
1 n · (n + 3)
Matematyka dyskretna
Sumy i iloczyny Powtórzenie
Zad.1 - cd.
♦
6
X
i=1
(2i − 1) = (2 · 1 − 1) + (2 · 2 − 1) + ... + (2 · 6 − 1)
♦
11
X
i=5
i(i + 1) = 5 · (5 + 1) + 6 · (6 + 1) + 7 · (7 + 1) + ... + 10 · (10 + 1) + 11 · (11 + 1)
♦
n
X
i=3
i
2(i + 2) = 3
2· (3 + 2) + 4
2· (4 + 2) + ... + (n − 1)
2· ((n − 1) + 2) + n
2· (n + 2)
♦
n
X
i=1
1
i(i + 3) = 1
1 · (1 + 3) + 1
2 · (2 + 3) + 1
3 · (3 + 3) +... + 1
(n − 1) · ((n − 1) + 3) +
1 n · (n + 3)
Matematyka dyskretna
Sumy i iloczyny Powtórzenie
Zad.1 - cd.
♦
6
X
i=1
(2i − 1) = (2 · 1 − 1) + (2 · 2 − 1) + ... + (2 · 6 − 1)
♦
11
X
i=5
i(i + 1) = 5 · (5 + 1) + 6 · (6 + 1) + 7 · (7 + 1) + ... + 10 · (10 + 1) + 11 · (11 + 1)
♦
n
X
i=3
i
2(i + 2) = 3
2· (3 + 2) + 4
2· (4 + 2) + ... + (n − 1)
2· ((n − 1) + 2) + n
2· (n + 2)
♦
n
X
i=1
1
i(i + 3) = 1
1 · (1 + 3) + 1
2 · (2 + 3) + 1
3 · (3 + 3) + ... + 1
(n − 1) · ((n − 1) + 3) +
1 n · (n + 3)
Matematyka dyskretna
Sumy i iloczyny Powtórzenie
Zad.1 - cd.
♦
6
X
i=1
(2i − 1) = (2 · 1 − 1) + (2 · 2 − 1) + ... + (2 · 6 − 1)
♦
11
X
i=5
i(i + 1) = 5 · (5 + 1) + 6 · (6 + 1) + 7 · (7 + 1) + ... + 10 · (10 + 1) + 11 · (11 + 1)
♦
n
X
i=3
i
2(i + 2) = 3
2· (3 + 2) + 4
2· (4 + 2) + ... + (n − 1)
2· ((n − 1) + 2) + n
2· (n + 2)
♦
n
X
i=1
1
i(i + 3) = 1
1 · (1 + 3) + 1
2 · (2 + 3) + 1
3 · (3 + 3) + ... + 1
(n − 1) · ((n − 1) + 3) +
1 n · (n + 3)
Matematyka dyskretna
Sumy i iloczyny Powtórzenie
Zad.1 - cd.
♦
6
X
i=1
(2i − 1) = (2 · 1 − 1) + (2 · 2 − 1) + ... + (2 · 6 − 1)
♦
11
X
i=5
i(i + 1) = 5 · (5 + 1) + 6 · (6 + 1) + 7 · (7 + 1) + ... + 10 · (10 + 1) + 11 · (11 + 1)
♦
n
X
i=3
i
2(i + 2) = 3
2· (3 + 2) + 4
2· (4 + 2) + ... + (n − 1)
2· ((n − 1) + 2) + n
2· (n + 2)
♦
n
X
i=1
1
i(i + 3) = 1
1 · (1 + 3) + 1
2 · (2 + 3) + 1
3 · (3 + 3) + ... + 1
(n − 1) · ((n − 1) + 3) +
1 n · (n + 3)
Matematyka dyskretna
Sumy i iloczyny Powtórzenie
Zad.1 - cd.
♦
6
X
i=1
(2i − 1) = (2 · 1 − 1) + (2 · 2 − 1) + ... + (2 · 6 − 1)
♦
11
X
i=5
i(i + 1) = 5 · (5 + 1) + 6 · (6 + 1) + 7 · (7 + 1) + ... + 10 · (10 + 1) + 11 · (11 + 1)
♦
n
X
i=3
i
2(i + 2) = 3
2· (3 + 2) + 4
2· (4 + 2) + ... + (n − 1)
2· ((n − 1) + 2) + n
2· (n + 2)
♦
n
X
i=1
1
i(i + 3) = 1
1 · (1 + 3) + 1
2 · (2 + 3) + 1
3 · (3 + 3) + ... + 1
(n − 1) · ((n − 1) + 3) +
1 n · (n + 3)
Matematyka dyskretna
Sumy i iloczyny Powtórzenie
Zad.1 - cd.
♦
6
X
i=1
(2i − 1) = (2 · 1 − 1) + (2 · 2 − 1) + ... + (2 · 6 − 1)
♦
11
X
i=5
i(i + 1) = 5 · (5 + 1) + 6 · (6 + 1) + 7 · (7 + 1) + ... + 10 · (10 + 1) + 11 · (11 + 1)
♦
n
X
i=3
i
2(i + 2) = 3
2· (3 + 2) + 4
2· (4 + 2) + ... + (n − 1)
2· ((n − 1) + 2) + n
2· (n + 2)
♦
n
X
i=1
1
i(i + 3) = 1
1 · (1 + 3) + 1
2 · (2 + 3) + 1
3 · (3 + 3) + ... + 1
(n − 1) · ((n − 1) + 3) +
1 n · (n + 3)
Matematyka dyskretna
Sumy i iloczyny Powtórzenie
Zad.1 - cd.
♦
6
X
i=1
(2i − 1) = (2 · 1 − 1) + (2 · 2 − 1) + ... + (2 · 6 − 1)
♦
11
X
i=5
i(i + 1) = 5 · (5 + 1) + 6 · (6 + 1) + 7 · (7 + 1) + ... + 10 · (10 + 1) + 11 · (11 + 1)
♦
n
X
i=3
i
2(i + 2) = 3
2· (3 + 2) + 4
2· (4 + 2) + ... + (n − 1)
2· ((n − 1) + 2) + n
2· (n + 2)
♦
n
X
i=1
1
i(i + 3) = 1
1 · (1 + 3) + 1
2 · (2 + 3) + 1
3 · (3 + 3) + ... + 1
(n − 1) · ((n − 1) + 3) +
1 n · (n + 3)
Matematyka dyskretna
Sumy i iloczyny Powtórzenie
Zad.1 - cd.
♦
6
X
i=1
(2i − 1) = (2 · 1 − 1) + (2 · 2 − 1) + ... + (2 · 6 − 1)
♦
11
X
i=5
i(i + 1) = 5 · (5 + 1) + 6 · (6 + 1) + 7 · (7 + 1) + ... + 10 · (10 + 1) + 11 · (11 + 1)
♦
n
X
i=3
i
2(i + 2) = 3
2· (3 + 2) + 4
2· (4 + 2) + ... + (n − 1)
2· ((n − 1) + 2) + n
2· (n + 2)
♦
n
X
i=1
1
i(i + 3) = 1
1 · (1 + 3) + 1
2 · (2 + 3) + 1
3 · (3 + 3) + ... + 1
(n − 1) · ((n − 1) + 3) +
1 n · (n + 3)
Matematyka dyskretna
Sumy i iloczyny Powtórzenie
Zad.1 - cd.
♦
8
Y
i=1
i = 1 · 2 · ... · 8(= 8!)
♦
13
Y
i=6
8i = 8 · 6 · 8 · 7 · ... · 8 · 13 (= 8
13−5· 6 · 7 · .... · 13 = 8
8· 13!
5! )
♦
n
Y
i=2
2i
i + 1 = 2 · 2 2 + 1 · 2 · 3
3 + 1 · ... · 2 · (n − 1) (n − 1) + 1 · 2 · n
n + 1
Matematyka dyskretna
Sumy i iloczyny Powtórzenie
Zad.1 - cd.
♦
8
Y
i=1
i = 1 · 2 · ... · 8(= 8!)
♦
13
Y
i=6
8i = 8 · 6 · 8 · 7 · ... · 8 · 13 (= 8
13−5· 6 · 7 · .... · 13 = 8
8· 13!
5! )
♦
n
Y
i=2
2i
i + 1 = 2 · 2 2 + 1 · 2 · 3
3 + 1 · ... · 2 · (n − 1) (n − 1) + 1 · 2 · n
n + 1
Matematyka dyskretna
Sumy i iloczyny Powtórzenie
Zad.1 - cd.
♦
8
Y
i=1
i = 1 · 2 · ... · 8(= 8!)
♦
13
Y
i=6
8i = 8 · 6 · 8 · 7 · ... · 8 · 13 (= 8
13−5· 6 · 7 · .... · 13 = 8
8· 13!
5! )
♦
n
Y
i=2
2i
i + 1 = 2 · 2 2 + 1 · 2 · 3
3 + 1 · ... · 2 · (n − 1) (n − 1) + 1 · 2 · n
n + 1
Matematyka dyskretna
Sumy i iloczyny Powtórzenie
Zad.1 - cd.
♦
8
Y
i=1
i = 1 · 2 · ... · 8(= 8!)
♦
13
Y
i=6
8i = 8 · 6 · 8 · 7 · ... · 8 · 13 (= 8
13−5· 6 · 7 · .... · 13 = 8
8· 13!
5! )
♦
n
Y
i=2
2i
i + 1 = 2 · 2 2 + 1 · 2 · 3
3 + 1 · ... · 2 · (n − 1) (n − 1) + 1 · 2 · n
n + 1
Matematyka dyskretna
Sumy i iloczyny Powtórzenie
Zad.1 - cd.
♦
8
Y
i=1
i = 1 · 2 · ... · 8(= 8!)
♦
13
Y
i=6
8i = 8 · 6 · 8 · 7 · ... · 8 · 13 (= 8
13−5· 6 · 7 · .... · 13 = 8
8· 13!
5! )
♦
n
Y
i=2
2i
i + 1 = 2 · 2 2 + 1 · 2 · 3
3 + 1 · ... · 2 · (n − 1) (n − 1) + 1 · 2 · n
n + 1
Matematyka dyskretna
Sumy i iloczyny Powtórzenie
Zad.1 - cd.
♦
8
Y
i=1
i = 1 · 2 · ... · 8(= 8!)
♦
13
Y
i=6
8i = 8 · 6 · 8 · 7 · ... · 8 · 13 (= 8
13−5· 6 · 7 · .... · 13 = 8
8· 13!
5! )
♦
n
Y
i=2
2i
i + 1 = 2 · 2 2 + 1 · 2 · 3
3 + 1 · ... · 2 · (n − 1) (n − 1) + 1 · 2 · n
n + 1
Matematyka dyskretna
Sumy i iloczyny Powtórzenie
Zad.1 - cd.
♦
8
Y
i=1
i = 1 · 2 · ... · 8(= 8!)
♦
13
Y
i=6
8i = 8 · 6 · 8 · 7 · ... · 8 · 13 (= 8
13−5· 6 · 7 · .... · 13 = 8
8· 13!
5! )
♦
n
Y
i=2
2i
i + 1 = 2 · 2 2 + 1 · 2 · 3
3 + 1 · ... · 2 · (n − 1) (n − 1) + 1 · 2 · n
n + 1
Matematyka dyskretna
Sumy i iloczyny Powtórzenie
Zad.1 - cd.
♦
8
Y
i=1
i = 1 · 2 · ... · 8(= 8!)
♦
13
Y
i=6
8i = 8 · 6 · 8 · 7 · ... · 8 · 13 (= 8
13−5· 6 · 7 · .... · 13 = 8
8· 13!
5! )
♦
n
Y
i=2
2i
i + 1 = 2 · 2 2 + 1 · 2 · 3
3 + 1 · ... · 2 · (n − 1) (n − 1) + 1 · 2 · n
n + 1
Matematyka dyskretna
Sumy i iloczyny Powtórzenie
Zad.1 - cd.
♦
8
Y
i=1
i = 1 · 2 · ... · 8(= 8!)
♦
13
Y
i=6
8i = 8 · 6 · 8 · 7 · ... · 8 · 13 (= 8
13−5· 6 · 7 · .... · 13 = 8
8· 13!
5! )
♦
n
Y
i=2
2i
i + 1 = 2 · 2 2 + 1 · 2 · 3
3 + 1 · ... · 2 · (n − 1) (n − 1) + 1 · 2 · n
n + 1
Matematyka dyskretna
Sumy i iloczyny Powtórzenie
Zad.1 - cd.
♦
8
Y
i=1
i = 1 · 2 · ... · 8(= 8!)
♦
13
Y
i=6
8i = 8 · 6 · 8 · 7 · ... · 8 · 13 (= 8
13−5· 6 · 7 · .... · 13 = 8
8· 13!
5! )
♦
n
Y
i=2
2i
i + 1 = 2 · 2 2 + 1 · 2 · 3
3 + 1 · ... · 2 · (n − 1) (n − 1) + 1 · 2 · n
n + 1
Matematyka dyskretna
Sumy i iloczyny Powtórzenie
Zad.1 - cd.
♦
8
Y
i=1
i = 1 · 2 · ... · 8(= 8!)
♦
13
Y
i=6
8i = 8 · 6 · 8 · 7 · ... · 8 · 13 (= 8
13−5· 6 · 7 · .... · 13 = 8
8· 13!
5! )
♦
n
Y
i=2
2i
i + 1 = 2 · 2 2 + 1 · 2 · 3
3 + 1 · ... · 2 · (n − 1) (n − 1) + 1 · 2 · n
n + 1
Matematyka dyskretna
Sumy i iloczyny Powtórzenie
Zad.1 - cd.
♦
8
Y
i=1
i = 1 · 2 · ... · 8(= 8!)
♦
13
Y
i=6
8i = 8 · 6 · 8 · 7 · ... · 8 · 13 (= 8
13−5· 6 · 7 · .... · 13 = 8
8· 13!
5! )
♦
n
Y
i=2
2i
i + 1 = 2 · 2 2 + 1 · 2 · 3
3 + 1 · ... · 2 · (n − 1) (n − 1) + 1 · 2 · n
n + 1
Matematyka dyskretna
Sumy i iloczyny Powtórzenie
Zad.1 - cd.
♦
8
Y
i=1
i = 1 · 2 · ... · 8(= 8!)
♦
13
Y
i=6
8i = 8 · 6 · 8 · 7 · ... · 8 · 13 (= 8
13−5· 6 · 7 · .... · 13 = 8
8· 13!
5! )
♦
n
Y
i=2
2i
i + 1 = 2 · 2 2 + 1 · 2 · 3
3 + 1 · ... · 2 · (n − 1) (n − 1) + 1 · 2 · n
n + 1
Matematyka dyskretna
Sumy i iloczyny Powtórzenie
Zad.1 - cd.
♦
8
Y
i=1
i = 1 · 2 · ... · 8(= 8!)
♦
13
Y
i=6
8i = 8 · 6 · 8 · 7 · ... · 8 · 13 (= 8
13−5· 6 · 7 · .... · 13 = 8
8· 13!
5! )
♦
n
Y
i=2
2i
i + 1 = 2 · 2 2 + 1 · 2 · 3
3 + 1 · ... · 2 · (n − 1) (n − 1) + 1 · 2 · n
n + 1
Matematyka dyskretna
Sumy i iloczyny Powtórzenie
Zad.1 - cd.
♦
8
Y
i=1
i = 1 · 2 · ... · 8(= 8!)
♦
13
Y
i=6
8i = 8 · 6 · 8 · 7 · ... · 8 · 13 (= 8
13−5· 6 · 7 · .... · 13 = 8
8· 13!
5! )
♦
n
Y
i=2
2i
i + 1 = 2 · 2 2 + 1 · 2 · 3
3 + 1 · ... · 2 · (n − 1) (n − 1) + 1 · 2 · n
n + 1
Matematyka dyskretna
