• Nie Znaleziono Wyników

Kącik przestrzenny (8) Kąty płaskie w przestrzeni

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2021

Share "Kącik przestrzenny (8) Kąty płaskie w przestrzeni"

Copied!
1
0
0

Pełen tekst

(1)

Rys. 1

Rys. 2

Rys. 3

Kącik przestrzenny (8) Kąty płaskie w przestrzeni

Tym razem opowiemy o kątach w przestrzeni, a dokładniej o tym, jak rozwiązywać zadania zawierające nierówności miar kątów w przestrzeni.

W zadaniach pojawiają się dwa typy kątów – płaskie i dwuścienne. Ten odcinek poświęcimy kątom płaskim, a o dwuściennych opowiemy następnym razem.

W zadaniach z nierównościami dotyczącymi kątów płaskich nie ma wielkiej filozofii, należy zapamiętać jedno ważne twierdzenie i jeden prosty wniosek – właśnie od nich rozpoczniemy.

Twierdzenie 1.W dowolnym kącie trójściennym każdy z kątów płaskich jest mniejszy od sumy dwóch pozostałych kątów.

Dowód.Mamy wykazać, że w kącie trójściennym SABC o wierzchołku S zachodzi nierówność <)ASB+ <)BSC > <)ASC (rys. 1). Przyjmijmy, że

<)ASC > <)BSC (w przeciwnym przypadku nie ma czego dowodzić). Niech B będzie punktem leżącym wewnątrz ściany ASC, takim że <)CSB = <)CSB i SB= SB. Można, oczywiście, przyjąć, że punkt A leży na prostej BC.

Wtedy z nierówności trójkąta mamy AB + BC > AC, skąd otrzymujemy, że AB > AB. Trójkąty ASB i ASB mają dwa boki równe, a trzeci w pierwszym jest większy, skąd wniosek, że <)ASB > <)ASB (np. na mocy twierdzenia cosinusów). To zaś dowodzi naszej nierówności.

Twierdzenie 2.W dowolnym wypukłym kącie bryłowym suma kątów płaskich jest mniejsza od 360.

Dowód.Przyjmijmy, że dany kąt bryłowy o wierzchołku S tworzy n ścian. Niech A1A2. . . Anbędzie wielokątem powstałym z przecięcia ścian tego kąta płaszczyzną.

Korzystając z poprzedniego twierdzenia dla i = 1, 2, . . . , n, dostajemy nierówności

<)Ai−1AiS+ <)SAiAi+1> <)Ai−1AiAi+1.

Dodając je wszystkie stronami, otrzymamy po lewej stronie n· 180− d, gdzie doznacza sumę kątów płaskich danego kąta bryłowego, a po prawej sumę kątów wielokąta A1A2. . . An, czyli (n− 2) · 180. Stąd wynika, że d < 360.

Dowód twierdzenia 2 wskazuje, że czasem, zamiast patrzeć bezpośrednio na interesujący nas kąt, warto spojrzeć na dwa pozostałe kąty trójkąta i dla nich stosować twierdzenie 1. Wykorzystamy naszą wiedzę do rozwiązania następującego zadania.

1.(OM 55-I-8) Punkt P leży wewnątrz czworościanu ABCD. Dowieść, że

<)AP B+ <)BP C+ <)CP D+ <)DP A >360. Rozwiązanie. Przyjmijmy, że płaszczyzna ABP przecina krawędź CD w punkcie Q (rys. 3). Stosując twierdzenie 1, otrzymujemy

<)BP C+ <)CP Q > <)BP Q oraz <)DP Q+ <)DP A > <)AP Q.

Ponieważ <)CP Q+ <)DP Q= <)CP D, więc dostajemy

<)AP B+ <)BP C+ <)CP D+ <)DP A > <)AP B+ <)BP Q+ <)AP Q= 360. Jak nietrudno zauważyć, z powyższego zadania wynika ogólniejszy rezultat, który był treścią jednego z zadań na III Austriacko-Polskich Zawodach Matematycznych:

<)AP B+ <)BP C+ <)CP A+ <)AP D+ <)BP D+ <)CP D >540.

Zadania

2.(ZWARDOŃ 2001) Udowodnić, że w dowolnym czworościanie istnieje wierzchołek, przy którym wszystkie kąty płaskie są ostre.

3.(YUG 1985) Niech P będzie dowolnym punktem wewnątrz czworościanu ABCD. Dowieść, że

<)AP B+ <)BP C+ <)CP A > <)ADB+ <)BDC+ <)CDA.

Więcej zadań na internetowej stronie Delty.

Michał KIEZA

15

Cytaty

Powiązane dokumenty

Z twierdzenia o stałej wynika, że jeżeli teoria T jest niesprzeczna, to nie uda nam się utworzyć dowodu sprzeczności korzystając z nowych stałych.. Gdyby istniał dowód

W razie problemów z zauważeniem, gdzie znajduje się wskazany w zadaniu kąt można posiłkować się rysunkiem poniżej.. Podręcznik

Jeśli nie masz możliwości uczestniczenia na zajęciach online, należy to zgłosić wychowawcy, a także wysłać wiadomość na mail nauczyciela matematyki

Okrąg wpisany w trójkąt ABC jest styczny do boków BC, CA, AB odpowiednio w punktach P, Q, R. 4) – cała reszta jest niepotrzebna, gdyż wersja płaska wyrobiła nam pewne

Dowieść, że jeżeli O jest środkiem okręgu opisanego na trójkącie ABC, to H jest punktem przecięcia wysokości tego trójkąta!. Sięgając do broszurki z tej olimpiady, widzimy,

Otrzymujemy w wyniku kąt bryłowy, w którym kąty płaskie są dopełnieniami odpowiednich kątów dwuściennych do kąta półpełnego, a kąty dwuścienne tego kąta są dopełnieniami

Dwa kąty trójkąta sferycznego wynoszą π/3 i π/4, a jego pole jest równe π/2?. Czy dwa trójkąty sferyczne o tej samej podstawie i długości wysokości muszą mieć

Jest to zatem przy- kªad funkcji, która jest rekursywna, ale nie prymitywnie rekurencyjna, co dowodzi, »e klasa funkcji rekursywnych jest istotnie wi¦ksza ni» klasa funkcji