Zastosowania caªek podwójnych w zyce.

Wykªad 10A. Zastosowania caªek podwójnych.

Zastosowania caªek podwójnych w geometrii.

Pole obszaru regularnego D ⊂ R² wyra»a si¦ wzorem

|D| = Z Z

D

dxdy.

Obj¦to±¢ bryªy V poªo»onej nad obszarem regularnym D ⊂ R² i ograniczonej z doªu wykresem funkcji ci¡gªej z = d(x, y) i z góry wykresem funkcji ci¡gªej z = g(x, y) wyra»a si¦ wzorem

|V | = Z Z

D

[g(x, y) − d(x, y)] dxdy.

Pole pªata Σ, który jest wykresem funkcji z = f(x, y), gdzie (x, y) ∈ D wyra»a si¦ wzorem:

|Σ| = Z Z

D

s

1 + ∂f

∂x

² + ∂f

∂y

² dxdy.

Przykªad

1. Oblicz pole obszaru ograniczonego krzywymi x²+ y²− 2y = 0, x²+ y²− 4y = 0(wykorzysta¢

caªk¦ podwójn¡, a sprawdzenie wykona¢, korzystaj¡c ze wzoru na pole koªa).

2. Oblicz obj¦to±¢ bryªy ograniczonej wskazanymi powierzchniami x²+ y²+ z²= 4, z = 1 (z ≥ 1).

3. Oblicz obj¦to±¢ bryªy ograniczonej wskazanymi powierzchniami z = 5 − x²+ y², x = 0, y = 0, x + y = 1, z = 0.

4. Oblicz pole pªata cz¦±ci paraboloidy z = x²+ y² odci¦tej pªaszczyznami z = 1 i z = 2.

Zastosowania caªek podwójnych w zyce.

Masa obszaru D ⊂ R²o g¦sto±ci powierzchniowej masy σ wyra»a si¦ wzorem M =

Z Z

D

σ(x, y) dxdy.

Momenty statyczne wzgl¦dem osi Ox i Oy obszaru D ⊂ R² o g¦sto±ci powierzchniowej masy σ wyra»aj¡ si¦ wzorami

M S_x= Z Z

D

y σ(x, y) dxdy, M S_y= Z Z

D

x σ(x, y) dxdy.

Wspóªrz¦dne ±rodka masy obszaru D ⊂ R²o g¦sto±ci powierzchniowej masy σ wyra»aj¡ si¦ wzorami x_C= M Sy

M , y_C= M Sx

M .

Momenty bezwªadno±ci wzgl¦dem osi Ox i Oy obszaru D ⊂ R²o g¦sto±ci powierzchniowej masy σ wyra»aj¡ si¦ wzorami

Ix= Z Z

D

y²σ(x, y) dxdy, Iy= Z Z

D

x²σ(x, y) dxdy.

Moment bezwªadno±ci wzgl¦dem pocz¡tku ukªadu wspóªrz¦dnych O(0, 0) obszaru D ⊂ R²o g¦sto±ci powierzchniowej masy σ wyra»a si¦ wzorem

I_O= Z Z

D

(x²+ y²) σ(x, y) dxdy

Uwagi

1. Gdy obszar na pªaszczy¹nie ma ±rodek symetrii i g¦sto±¢ powierzchniowa jest funkcj¡ syme- tryczn¡ wzgl¦dem tego ±rodka (np. jest staªa), to ±rodek masy obaszaru pokrywa si¦ z jego

±rodkiem symetrii.

2. Gdy obszar na pªaszczy¹nie ma o± symetrii i g¦sto±¢ powierzchniowa jest funkcj¡ symetryczn¡

wzgl¦dem tej osi (np. jest staªa), to ±rodek masy obszaru le»y na tej osi.

Przykªady

1. Obliczy¢ mas¦ obszaru

D = {(x, y) ∈ R²: 1 ≤ x²+ y²≤ 4, y ≥ 0}

o g¦sto±ci powierzchniowej σ(x, y) = |x|.

2. Wyznaczy¢ poªo»enie ±rodka masy obszaru jednorodnego

D = {(x, y) ∈ R²: 0 ≤ y ≤ 4 − x²} o staªej g¦sto±ci powierzchniowej σ(x, y) = σ0.

3. Wyznaczy¢ poªo»enie ±rodka masy obszaru jednorodnego b¦d¡cego trójk¡tem równoramien- nym o podstawie a i wysoko±ci h.

4. Wyznaczy¢ moment bezwªadno±ci jednorodnego trójk¡ta równobocznego o masie M i boku awzgl¦dem jego osi symetrii.

Wykªad 10B. Caªki potrójne po obszarach normalnych.

Caªki potrójne po prostopadªo±cianach.

Uwaga Formaln¡ denicj¦ caªki potrójnej jako granicy sum caªkowych znajd¡ Pa«stwo w pod- r¦czniku Analiza matematyczna 2. Denicje, twierdzenia, wzory M. Gewerta i Z. Skoczylasa.

W dzisiejszym wykªadzie ograniczymy si¦ do przedstawienia caªek potrójnych za pomoc¡ caªek ite- rownych (pojedy«czych i podwójnych). Analogicznie do caªek pojedy«czych i podwójnych operacja obliczania caªki potrójnej jest przeksztaªceniem liniowym, tzn. dla dowolnych funkcji caªkowalnych trzech zmiennych f i g okre±lonych na prostopadªo±cianie P ⊂ R³i dla dowolnych staªych α, β ∈ R zachodzi

ZZ

P

Z

[αf (x, y, z) ± βg(x, y, z)] dxdydz = α ZZ

P

Z

f (x, y, z) dxdydz ± β ZZ

P

Z

g(x, y, z) dxdydz.

Twierdzenie Je»eli funkcja trzech zmiennych f na prostopadªo±cianie P = [a, b]×[c, d]×[p, q] ⊂ R³ jest ci¡gªa, to

ZZ

P

Z

f (x, y, z) dxdydz =

b

Z

a

dx

d

Z

c

dy

q

Z

p

f (x, y, z) dz.

Uwaga Powy»sze twierdzenie b¦dzie prawdziwe tak»e wtedy, gdy po prawej stronie nierówno±ci napiszemy dowoln¡ inn¡ caªk¦ iterowan¡ (jest w sumie sze±¢ takich caªek). W wielu przypadkach odpowiedni wybór caªki iterowanej pozwala znacznie upro±ci¢ obliczenia.

Fakt Je±li f jest funkcj¡ o rozdzielonych zmiennych postaci f(x, y, z) = g(x)h(y)k(z), gdzie funkcje g, hi k s¡ ci¡gªe, odpowiednio, na przedziaªach [a, b], [c, d] i [p, q], to

Z Z Z

[a,b]×[c,d]×[p,q]

f (x, y, z) dxdydz =





b

Z

a

g(x) dx



·





d

Z

c

h(y) dy



·





q

Z

p

k(z) dz



.

Przykªady

1. Obliczy¢ caªk¦

Z Z Z

U

(x + y + z) dxdydz, gdzie U = [1, 2] × [2, 3] × [3, 4].

2. Obliczy¢ caªk¦

Z Z Z

U

x dxdydz

yz , gdzie U = [1, 2] × [1, e] × [1, e].

Caªki potrójne po obszarach normalnych.

1. Obszar domkni¦ty U nazywamy obszarem normalnym wzgl¦dem pªaszczyzny x0y , je»eli mo»na go zapisa¢ w postaci

U = {(x, y, z) ∈ R³: (x, y) ∈ D_xy, g(x, y) ≤ z ≤ h(x, y)},

gdzie Dxy jest obszarem normalnym na pªaszczy¹nie x0y (Dxy jest rzutem obszaru V na pªaszczyzn¦ x0y), za± funkcje g i h s¡ ci¡gªe na Dxy, przy czym g(x, y) < h(x, y) dla (x, y) ∈ Int(Dxy).

Analogicznie:

2. Obszar domkni¦ty U nazywamy obszarem normalnym wzgl¦dem pªaszczyzny x0z, je»eli mo»- na go zapisa¢ w postaci

U = {(x, y, z) ∈ R³: (x, z) ∈ Dxz, p(x, z) ≤ y ≤ q(x, z)},

gdzie Dxz jest obszarem normalnym na pªaszczy¹nie x0z (Dxz jest rzutem obszaru V na pªaszczyzn¦ x0z), za± funkcje p i q s¡ ci¡gªe na Dxz, przy czym p(x, z) < q(x, z) dla (x, z) ∈ Int(Dxz).

3. Obszar domkni¦ty U nazywamy obszarem normalnym wzgl¦dem pªaszczyzny y0z, je»eli mo»- na go zapisa¢ w postaci

U = {(x, y, z) ∈ R³: (y, z) ∈ D_yz, r(y, z) ≤ x ≤ s(y, z)},

gdzie Dyz jest obszarem normalnym na pªaszczy¹nie y0z (Dyz jest rzutem obszaru V na pªaszczyzn¦ y0z), za± funkcje r i s s¡ ci¡gªe na Dyz, przy czym r(y, z) < s(y, z) dla punktów (y, z) ∈Int(Dyz).

Twierdzenie Je»eli funkcja f jest ci¡gªa na obszarze domkni¦tym

U = {(x, y, z) : (x, y) ∈ Dxy, g(x, y) ≤ z ≤ h(x, y)}

normalnym wzgl¦dem pªaszczyzny x0y, gdzie funkcje g i h s¡ ci¡gªe na Dxy , to

ZZ

U

Z

f (x, y, z) dxdydz = Z Z

Dxy







g(x,y)

Z

h(x,y)

f (x, y, z) dz





dxdy.

Uwagi

1. Prawdziwe s¡ analogiczne wzory z caªkami iterowanymi po obszarach normalnych wzgl¦dem pozostaªych pªaszczyzn ukªadu.

2. Je»eli obszar U normalny wzgl¦dem pªaszczyzny x0y mo»na zapisa¢ w postaci

U = {(x, y, z) : a ≤ x ≤ b, ¯g(x) ≤ y ≤ ¯h(x), g(x, y) ≤ z ≤ h(x, y)}, to zachodzi równo±¢

ZZ

U

Z

f (x, y, z) dxdydz =

b

Z

a

dx

¯h(x)

Z

¯ g(x)

dy

g(x,y)

Z

h(x,y)

f (x, y, z) dz.

Przykªady

1. Obliczy¢ caªk¦ Z Z Z

U

e^x+y+zdxdydz,

gdzie obszar U jest okre±lony nierówno±ciami x ≤ 0, −x ≤ y ≤ 1, 0 ≤ z ≤ −x.

2. Obliczy¢ caªk¦

Z Z Z

U

(x²+ y²) dxdydz,

gdzie obszar U jest okre±lony nierówno±ciami x²+ y²≤ 4, 1 − x ≤ z ≤ 2 − x.