STATYSTYKA MATEMATYCZNA I PODSTAWY EKSPERYMENTU ZADANIA PRZYK LADOWE.
1. Wytrzyma lo´s˙c pewnego materia lu budowlanego ma rozk lad normalny. W celu oszacowania nieznanej wytrzyma lo´sci tego materia lu dokonano pomiar´ow wytrzyma lo´sci pi¸eciu niezale˙znie wylosowanych sz- tuk tego materia lu. Wyniki pomiar´ow: 20.4, 19.6, 22.1, 20.8, 21.1. Na poziomie ufno´sci 1 − α = 0.98 znale´z˙c: a) obustronny przedzia l ufno´sci dla ´sredniej wytrzyma lo´sci materia lu; b) jednostronny ogranic- zony przedzia l ufno´sci dla ´sredniej wytrzyma lo´sci.
2. Znale´z˙c przedzia l ufno´sci dla wariancji pomiaru pewnym przyrz¸adem je´sli otrzymano nast¸epuj¸ace wyniki pomiar´ow: 9.01, 9.00, 9.02, 8.99, 8.98, 9.00, 9.00, 9.01, 8.99, 9.00. Przyj¸a´c poziom ufno´sci 1 − α = 0.9.
Zak ladamy, ˙ze wyniki pomiar´ow maj¸a rozk lad normalny.
3. W celu zbadania trwa lo´sci pewnego narz¸edzia wylosowano z bie˙z¸acej produkcji 100 sztuk tych narz¸edzi.
Otrzymano nast¸epuj¸ace wyniki badania trwa lo´sci: trwa lo´sc 0 − 2 (godz.) : 10 narz¸edzi; trwa lo´sc 2 − 4 : 20 narz¸edzi; trwa lo´sc 4 − 6 : 40 narz¸edzi; trwa lo´sc 6 − 8 : 20 narz¸edzi; trwa lo´sc 8 − 10 : 10 narz¸edzi.
Przy wsp´o lczynniku ufno´sci 1 − α = 0.9 znale´zc przedzia l ufno´sci dla ´sredniej trwa lo´sci urz¸adzenia.
4. Wykonujemy pomiary grubo´sci p lytki metalowej. Jak du˙z¸a liczb¸e pomiar´ow trzeba przeprowadzi˙c, aby na poziomie ufno´sci 0.95 maksymalny b l¸ad oceny nie przekracza l 0.02mm, przy czym zak ladamy, ˙ze odchylenie standardowe b l¸ed´ow pomiar´ow σ = 0.1mm.
5. O´srodek badania opinii publicznej zapyta l 200 losowo wybranych os´ob czy kupuj¸a wyroby drobiarskie firmy ”LIS i KOSTKA”. 88 os´ob odpowiedzia lo twierdz¸aco.
a) Na poziomie ufno´sci 1 − α = 0.95 znale˙z˙c przedzia l ufno´sci dla nieznanego odsetka os´ob, kt´ore kupuj¸a wyroby tej firmy. b) Jak liczna powinna by´c badana pr´oba losowa, aby przy wsp´o lczynniku ufno´sci 1 − α = 0.95 maksymalny b l¸ad oceny wynosi l 1%?
6. Na pewnym roku studi´ow przed egzaminem z pewnego przedmiotu wybrano losowo 9 student´ow i poddano ich egzaminowi. Otrzymano ´sredni¸a ocen x = 4.6 Wyniki egzaminu maj¸a rozk lad N (m, 0.5). Na poziomie istotno´sci α = 0.01 zweryfikowa˙c hipotez¸e m´owi¸ac¸a, ˙ze ´srednia ocen z tego egzaminu b¸edzie wy˙zsza ni˙z 4.5.
7. Do kurnika wpada lis i dokonuje pewnym przyrz¸adem pomiar´ow losowo wybranej kury. B l¸ad pomiaru ma rozk lad normalny. Przeprowadzi l 10 pomiar´ow i otrzyma l s2 = 0.029. Na poziomie istotno´sci α = 0.01 zweryfikowa˙c hipotez¸e, ˙ze σ2 = 0.0125 wobec hipotezy alternatywnej σ2 > 0.0125.
8. Producent pewnego proszku A wysun¸a l hipotez¸e, ˙ze u˙zywanie proszku A daje lepsze efekty ni˙z u˙zywanie zwyk lego proszku B. Na poziomie istotno´sci α = 0.05 zweryfikowa˙c wysuni¸et¸a hipotez¸e je´sli wiadomo,
˙ze ocena wynik´ow prania ka˙zdym z proszk´ow ma rozk lad normalny. Przetestowano proszek A 10 razy i otrzymano ´sredni¸a ocen x1 = 74.0 oraz s21 = 2.08. Przetestowano proszek B 7 razy i otrzymano ´sredni¸a ocen x2 = 57.3 oraz s21 = 1.65. Przyjmujemy, ˙ze σ1 = σ2.
9. Przeprowadzono obserwacje dotycz¸ace wypadk´ow drogowych na okre´slonym terenie spowodowanych w ci¸agu roku przez kierowc´ow b¸ed¸acych w stanie niewa˙zko´sci po za˙zyciu alkoholu. Otrzymano rozk lad liczby wypadk´ow w poszczeg´olne dni tygodnia: poniedzia lek - 19, wtorek - 15, ´sroda -16, czwartek - 14, pi¸atek - 13, sobota - 18, niedziela - 17. Przyjmuj¸a˙c poziom istotno´sci α = 0.05 zweryfikowa˙c hipotez¸e,
˙ze prawdopodobie´nstwo zdarzenia si¸e na tym terenie wypadku spowodowanego przez kierowc¸e w stanie niewa˙zko´sci po u˙zyciu alkoholu jest jednakowe dla wszystkich dni tygodnia.
10. W ci¸agu 100 dni liczono liczb¸e rycerzy przybywaj¸acych ka˙zdego dnia prosi˙c o r¸ek¸e pewn¸a ksi¸e˙zniczk¸e i otrzymano nast¸epuj¸ace wyniki: 0 rycerzy - 13 dni, 1 rycerz - 27 dni, 2 rycerzy - 29 dni, 3 rycerzy - 16 dni, 4 rycerzy - 8 dni, 5 rycerzy - 7 dni. Na poziomie istotno´sci α = 0.05 zweryfikowa˙c hipotez¸e, ˙ze liczba przybywaj¸acych jednego dnia rycerzy ma rozk lad Poissona.
STATYSTYKA MATEMATYCZNA I PODSTAWY EKSPERYMENTU ZADANIA DO SAMODZIELNEGO ROZWIA¸ ZANIA.
CZE¸ ´S ´C 1
STATYSTYKA OPISOWA I PRZEDZIA LY UFNO´SCI.
1. ( 1 pkt) Do kurnika wpada lis, wybiera losowo 120 kur i dokonuje w´sr´od nich przegl¸adu ”przydatno´sci do spo˙zycia” (wadliwo´sci), w wyniku kt´orego 27 spo´sr´od wylosowanych kur okazuje si¸e by˙c nieprzydatnymi do spo˙zycia (wadliwymi). Na poziomie ufno´sci 1 − α = 0.98 znale´z˙c przedzia l ufno´sci dla nieznanej
”wadliwo´sci” ca lej populacji kur w kurniku.
2. ( 1 pkt) Ile nale˙zy wylosowa´c kr´ow pewnej rasy do pr´oby aby oszacowa´c ´sredni¸a wydajno´s´c mleka dla krowy tej rasy z b l¸edem maksymalnym 0.02 je˙zeli wiadomo, ˙ze odchylenie standardowe pomiaru wydajno´sci krowy wynosi 0.2 a poziom ufno´sci wynosi 1 − α = 0.96?
3. ( 1 pkt) W losowo wybranej pr´obie z lo˙zonej z 10 samochod´ow pewnej marki przeprowadzono ten sam test na zu˙zycie benzyny. Okaza lo si¸e, ˙ze w badanej pr´obie ´srednie zu˙zycie benzyny wynios lo 6.1 litra na 100 km a odchylenie standardowe 0.1 litra. Zak ladaj¸ac, ˙ze badana cecha ma rozk lad normalny wyznaczy´c, na poziomie ufno´sci 1 − α = 0.96, przedzia l ufno´sci dla warto´sci oczekiwanej zu˙zycia benzyny na 100 km przez samoch´od tej marki.
4. ( 2 pkt) Koszt wytworzenia jednej miot ly w pewnym zak ladzie produkuj¸acym sprz¸et lotniczy ma rozk lad N(m,30). Obliczono koszt wytworzenia n = 225 losowo wybranych miote l i otrzymano przedzia l ufno´sci dla ´sredniego kosztu wytworzenia jednej miot ly o d lugo´sci 8. Jaki poziom wsp´o lczynnika ufno´sci przyj¸eto przy oszacowywaniu ?
5. ( 2 pkt) Pracoch lonno´s´c 6 losowo wybranych detali (w minutach) kszta ltowa la si¸e nast¸epuj¸aco: 16.2, 15.9, 16.3, 15.8, 15.7, 16.1. Zak ladaj¸ac, ˙ze b l¸ad pomiaru pracoch lonno´sci ma rozk lad normalny o nieznanym σ, na poziomie ufno´sci 0.98 znale´z˙c przedzia l ufno´sci dla odchylenia standardowego σ pracoch lonno´sci og´o lu produkowanych detali.
6. ( 2 pkt) Wykonano 100 niezale˙znych pomiar´ow pewnej odleg lo´sci pewnym przyrz¸adem i otrzymano nast¸epuj¸ace wyniki: 0.8 cm w 5 pomiarach 0.9 cm w 20 pomiarach; 1.0 cm w 50 pomiarach; 1.1 cm w 20 pomiarach; 1.2 cm w 5 pomiarach. Znale´z˙c przedzia l ufno´sci na poziomie ufno´sci 1 − α = 0.96 dla nieznanego odchylenia standardowego pomiaru tym przyrz¸adem. Wiadomo, ˙ze wyniki pomiar´ow maja rozk lad normalny.
7. ( 2 pkt) Przeprowadzono badania czasu trwania pewnej reakcji chemicznej. W tym celu wykonano 10 niezale˙znych pr´ob tego eksperymentu i otrzymano nast¸epuj¸ace wyniki (w sekundach): 24, 19, 20, 22, 17, 23, 21, 22, 18, 20. Wiadomo, ˙ze czas trwania reakcji jest zmienna losow¸a o rozk ladzie normalnym.
a) Oszacowa´c przedzia lowo czas trwania reakcji przyjmuj¸ac poziom ufno´sci 0.98.
b) Ustali´c jak zmieni si¸e precyzja oszacowania ´sredniego czasu trwania reakcji je´sli wielko´s´c pr´oby zwi¸ekszymy czterokrotnie.
8. ( 2 pkt) Badanie dok ladno´sci przyrz¸adu pomiarowego dostarczy lo nast¸epuj¸acych informacji: ´srednia d lugo´s´c badanego odcinka w 5 kolejnych pomiarach wynosi la 20.15 mm, a odchylenie standardowe stanowi lo 0.2% ´sredniej d lugo´sci. Przy jakim poziomie wsp´olczynnika ufno´sci oszacowywano przedzia l ufno´sci dla nieznanej wariancji pomiar´ow je´sli mia l on posta´c (0.00061; 0.02734)?
9. ( 3 pkt) Czas produkcji 10 losowo wybranych sztuk towaru kszta ltowa l si¸e nast¸epuj¸aco (w s.): 22.3;
21.9; 21.8; 22.1; 21.9; 22.3; 21.9; 21.8; 22.1; 21.9.
a) Obliczy˙c i zinterpretowa˙c median¸e, wsp´o lczynnik asymetrii i kurtoz¸e czasu produkcji.
semestr zimowy 2019/20
b) Przyjmuj¸ac wsp´o lczynnik ufno´sci 1 − α = 0.9, znale´z´c przedzia l ufno´sci dla wariancji czasu produkcji og´o lu wytwarzanych wyrob´ow.
c) Jak zmieni si¸e d lugo´s´c szacowanego przedzia lu, gdy wsp´o lczynnik ufno´sci zwi¸ekszymy do 0.98?
10. ( 3 pkt) W ci¸agu 100 dni notowano liczb¸e awarii pewnej sieci wodoci¸agowej. Otrzymano nast¸epuj¸ace wyniki: 0 awarii - 15 dni, 1 awaria - 20 dni, 2 awarie - 30 dni, 3 awarie - 20 dni, 4 awarie - 15 dni.
a) Obiczy˙c i zinterpretowa˙c kwartyl dolny, median¸e, wsp´o lczynnik zmienno´sci i kurtoz¸e liczby awarii wyst¸epuj¸acych w ci¸agu jednego dnia.
b) Znale´z˙c przedzia l ufno´sci na poziomie ufno´sci 1 − α = 0.9 dla nieznanej ´sredniej liczby awarii wyst¸epuj¸acych jednego dnia. Awarie wyst¸epuj¸a niezale˙znie od siebie.
11. ( 3 pkt) Zbadano koszty jednostkowe produkcji pewnego wyrobu w pewnym okresie czasu na pr´obie losowej 200 zak lad´ow produkuj¸acych ten wyr´ob. Otrzymano nast¸epujace wyniki (w PLN): 2.50 − 3.50 w 5 zak ladach, 3.50 − 4.50 w 10 zak ladach, 4.50 − 5.50 w 35 zak ladach, 5.50 − 6.50 w 80 zak ladach, 6.50 − 7.50 w 50 zak ladach, 7.50 − 8.50 w 10 zak ladach, 8.50 − 9.50 w 10 zak ladach.
a) Obliczy˙c (rachunkowo i graficznie) i zinterpretowa˙c median¸e i dominant¸e kosztu produkcji.
b) Znale´z´c przedzia l ufno´sci na poziomie ufno´sci 1 − α = 0.98 dla warto´sci oczekiwanej kosztu.
c) Znale´z´c przedzia l ufno´sci na poziomie ufno´sci 1 − α = 0.98 dla odchylenia standardowego pomiaru.
CZE¸ ´S ´C 2
WERYFIKACJA HIPOTEZ. PARAMETRYCZNE TESTY ISTOTNO´SCI.
12. ( 1 pkt) S¸a dwa baseny do konserwacji jaj. Z ka˙zdego basenu wylosowano pr´ob¸e z lo˙zon¸a ze 100 jaj.
W pr´obie z pierwszego basenu by lo 90 jaj dobrych a w pr´obie z drugiego 95 jaj dobrych. Na poziomie istotno´sci α = 0.1 zweryfikowa´c hipotez¸e m´owi¸ac¸a, ˙ze procent jaj dobrych jest w basenie pierwszym mniejszy ni˙z w drugim.
13. (1 pkt) Zbadano n1 = 150 student´ow uczelni A i n2 = 100 student´ow uczelni B. Otrzymano nast¸epuj¸ace
´srednie liczby wypijanych dziennie butelek piwa bezalkoholowego: dla studenta uczelni A: x1 = 2.2 a dla studenta uczelni B x2 = 2.6. Odchylenie standardowe pomiaru dla obu uczelni jest jednakowe i wynosi σ = 1 Na poziomie istotno´sci α = 0, 01 zweryfikowa´c hipotez¸e, ˙ze student uczelni B wypija ´srednio wi¸ecej piwa ni˙z student uczelni A.
14. ( 1 pkt) W dw´och przedsi¸ebiorstwach wylosowano po 60 pracownik´ow w celu zbadania ich czasu dojazdu do pracy. Pierwsze przedsi¸ebiorstwo by lo po lo˙zone poza miastem, drugie - w centrum miasta. ´Sredni czas dojazdu do pracy w pierwszym zak ladzie wynosi l 55 min, w drugim 42 min. Przyjmuj¸ac poziom istotno´sci α = 0.05 zweryfikowa´c hipotez¸e, ˙ze ´srednie czasy dojazdu do pracy w obu zak ladach s¸a jednakowe.
Wariancje pomiaru czasu dojazdu s¸a jednakowe dla obu przedsi¸ebiorstw i wynosz¸a 5 min2.
15. ( 1 pkt) W partii towaru, kt´ora przypuszczalnie zawiera 10 % wyrob´ow wadliwych, znaleziono 71 wyrob´ow wadliwych w pr´obce z lo˙zonej z 500 wyrob´ow. Zweryfikuj na poziomie istotno´sci α = 0.1 hipotez¸e m´owi¸ac¸a, ˙ze w partii jest 10% wyrob´ow wadliwych przeciw hipotezie m´owi¸acej, ˙ze w partii tej procent wyrob´ow wadliwych jest r´o˙zny od 10.
16. ( 2 pkt) Spo´sr´od 100 losowo wybranych ´swistak´ow pracuj¸acych przy zawijaniu w sreberka 50 o´swiadczy lo,
˙ze oczekuje poprawy warunk´ow pracy a spo´sr´od 200 losowo wybranych ´swistak´ow pracuj¸acych przy masowaniu kr´ow 120 o´swiadczy lo, ˙ze oczekuje poprawy warunk´ow pracy. Na poziomie istotno´sci α = 0.01 zweryfikowa´c hipotez¸e, ˙ze ´swistaki pracuj¸ace przy masowaniu kr´ow cz¸e´sciej ni˙z ´swistaki zawijaj¸ace w sreberka oczekuj¸a poprawy warunk´ow pracy. Na jakim poziomie istotno´sci nast¸api zmiana decyzji weryfikacyjnej?
17. ( 2 pkt) Producent ˙zar´owek twierdzi, ˙ze ´sredni czas ´swiecenia ˙zar´owki wynosi m0 = 300(dni). W celu zweryfikowania tej hipotezy poddano kontroli n = 37 losowo wybranych ˙zar´owek i obliczono ´sredni czas
ich ´swiecenia x = 317 a odchylenie standardowe s = 10.2. Wiadomo, ˙ze czas ´swiecenia ˙zar´owki ma rozk lad normalny. Zweryfikowa˙c informacj¸e producenta na poziomie istotno´sci: a) α = 0.01, b) α = 0.1.
18. (2 pkt) Zbadano wydajno´s´c pracy (w szt/h) grupy pracownik´ow przed i po wypiciu butelki piwa beza- lkoholowego. Otrzymano nast¸epuj¸ace wyniki przed:6, 10, 11, 15, 12, 6 oraz po : 10, 8, 16, 4, 5, 7. Na poziomie istotno´sci α = 0.1 zweryfikowa´c hipotez¸e, ˙ze wypicie butelki piwa nie wp lywa na wydajno´s´c przeciw hipotezie alternatywnej m´owi¸acej, ˙ze obni˙za wydajno´s´c.
19. ( 2 pkt) Badaj¸ac odruchy warunkowe u psa otrzymano nast¸epuj¸ace ilo´sci ´sliny wydzielaj¸acej si¸e przy pierwszym bod´zcu (w cm3): 0.54, 0.76, 0.16, 0.40, 0.27, 0.65, 0.65; natomiast przy drugim bod´zcu otrzymano: 0.20, 0.40, 0.28, 0.09, 0.38, 0.50, 0.15, 0.32. Na poziomie istotno´sci α = 0.02 zweryfikowa´c hipotez¸e, ˙ze przy drugim bod´zcu przeci¸etna ilo´s´c wydzielaj¸acej si¸e ´sliny psa jest mniejsza.
20. ( 2 pkt) Norma techniczna przewiduje ´srednio 150 sek. na wykonanie pewnej operacji technicznej.
Poniewa˙z robotnicy skar˙zyl si¸e, ˙ze norma ta jest z la, dokonano pomiar´ow dla n = 100 wylosowanych pracownik´ow i otrzymano ´sredni czas wykonania tej operacji x = 141 sek. oraz wariancj¸e s2 = 16 sek.
Czy na poziomie istotno´sci α = 0.1 mo˙zna twierdzi´c, ˙ze:
a) rzeczywisty ´sredni czas wykonania tej operacji jest zgodny z norm¸a, b) rzeczywisty ´sredni czas wykonania tej operacji jest wi¸ekszy ni˙z 150 sek, c) rzeczywisty ´sredni czas wykonania tej operacji jest kr´otszy ni˙z 150 sek.
21. ( 2 pkt) Dane o miesi¸ecznych obrotach kiosk´ow z gazetami w dw´och dzielnicach Warszawy w wylosowanej pr´obie kiosk´ow z obu tych dzielnic wygl¸adaj¸a nast¸epuj¸aco (w tys. PLN):
Mokot´ow: 5.36, 9.30, 10.75, 9.52, 11.72, 13.66, 12.51, 12.14, 11.51, 11.59, 15.48, 16.51, 13.92, 21.61, 21.9, 22.21, 23.51, 23.00, 21.35, 24.18, 27.10, 22.30, 25.24.
Praga: 4.40, 5.31, 7.91, 7.00, 8.42, 5.08, 9.52, 10.36, 9.01, 10.90, 11.21, 12.26, 14.00, 16.49, 14.38, 13.45, 17.66, 14.85, 17.25, 16.40, 14.05, 18.20, 17.73.
Na poziomie istotno´sci α = 0.02 zweryfikowa´c hipotez¸e m´owi¸ac¸a, ˙ze ´srednie miesi¸eczne obroty kiosku nie r´o˙zni¸a si¸e w obu dzielnicach przeciw hipotezie alternatywnej m´owi¸acej, ˙ze r´o˙zni¸a si¸e.
22. (2 pkt) W celu sprawdzenia dok ladno´sci wskaza´n pewnego przyrz¸adu pomiarowego dokonano 6 pomiar´ow tej samej wielko´sci i otrzymano wyniki ( w cm ): 1.017, 1.021, 1.015, 1.019, 1.022, 1.019. Zak ladamy,
˙ze wynki pomiar´ow maj¸a rozk lad normalny. Na poziomie istotno´sci α = 0.05 sprawdzi´c czy urz¸adzenie spe lnia norm¸e UE m´owi¸ac¸a, ˙ze wariancja pomiar´ow tym urz¸adzeniem musi by´c mniejsza ni˙z 0.001.
23. ( 2 pkt) Obliczono liczb¸e os´ob, kt´ore nie zda ly egzaminu ze statystyki na pewnym wydziale Politechniki Warszawskiej. Na studiach wieczorowych spo´sr´od 174 losowo wybranych os´ob egzaminu nie zda lo 61 os´ob a na studiach zaocznych spo´sr´od 126 wylosowanych os´ob egzaminu nie zda lo 50 os´ob. Zak ladamy,
˙ze poziom trudno´sci egzaminu na obu rodzajach studi´ow by l taki sam.
a) Na poziomie istotno´sci α = 0.1 zweryfikowa´c hipotez¸e m´owi¸ac¸a, ˙ze nie ma r´o˙znicy mi¸edzy przygo- towaniem do egzaminu student´ow obu rodzaj´ow studi´ow przeciw hipotezie alternatymnej m´owi¸acej, ˙ze r´o˙znica by la.
b) Czy na poziomie ufno´sci α = 0.1 mo˙zna twierdzi´c, ˙ze studenci studi´ow wieczorowych s¸a lepiej przygo- towani do tego egzaminu.
24. ( 3 pkt) Zbadano dochody (w z lotych polskich) student´ow pewnej uczelni. W grupie 120 wylosowanych student´ow wyniki by ly nast¸epuj¸ace: 250 − 350 - 8 student´ow, 350 − 450 - 12 student´ow, 450 − 550 - 21 student´ow, 550 − 650 - 30 student´ow, 650 − 750 - 19 student´ow, 750 − 850 - 15 student´ow, 850 − 950 - 8 student´ow, 950 − 1050 - 7 student´ow. Na poziomie istotno´sci α = 0.1 zweryfikowa´c hipotez¸e, ˙ze ´sredni doch´od studenta tej uczelni wynosi 600 z loty przeciw hipotezie m´owi¸acej, ˙ze jest r´o˙zny od 600. Przy jakim poziomie istotno´sci decyzja weryfikacyjna ulegnie zmianie.
CZE¸ ´S ´C 3
WERYFIKACJA HIPOTEZ NIEPARAMETRYCZNYCH. TESTY ZGODNO´SCI.
25. ( 1 pkt) W pewnej miejscowo´sci w czerwcu by ly 2 dni, w kt´orych nie by lo ani jednego wypadku samo- chodowego, 11 dni, w kt´orych by l 1 wypadek, 5 dni, w kt´orych by ly 2 wypadki, 6 dni w kt´orych by ly 3 wypadki, 2 dni , w kt´orych by ly 4 wypadki oraz 4 dni, w kt´orych by lo 5 wypadk´ow. Na poziomie istotno´sci α = 0.01 zweryfikuj hipotez¸e, ˙ze liczba wypadk´ow (w jednym dniu) ma rozk lad Poissona.
26. ( 1 pkt) W pewnej fabryce zaobserwowano nast¸epuj¸acy rozk lad jednodniowych absencji w tygodniu, zbadany w wylosowanej pr´obie 400 pracownik´ow nieobecnych w pracy przez 1 dzie´n: poniedzia lek-19, wtorek-18, ´sroda-16, czwartek-17, pi¸atek-20. Na poziomie istotno´sci α = 0.1 zweryfikowa´c hipotez¸e, ˙ze jednodniowa absencja w tej fabryce jest jednakowa w ka˙zdym dniu tygodnia.
27. ( 2 pkt) Liczba chorych dzieci przyj¸etych przez lekarzy pediatr´ow w jednej z przychodni warszawskich w kolejnych dniach tygodnia wynosi la: poniedzia lek - 200, wtorek - 195, ´sroda - 180, czwartek - 185, pi¸atek - 190. Do jakiego przedzia lu powinny nale˙ze´c warto´sci statystyki chi-kwadrat aby przy poziomie istotno´sci α = 0.05 nie by lo podstaw do odrzucenia hipotezy m´owi¸acej, ˙ze liczba przyj¸etych dzieci jest w ka˙zdym dniu tygodnia jednakowa.
28. (2 pkt) W celu sprawdzenia czy pewna kostka jest symetryczna rzucono j¸a 100 razy i otrzymano nast¸epuj¸ace wyniki: 1 oczko w 10 rzutach, 2 oczka w 8 rzutach, 3 oczka w 15 rzutach, 4 oczka w 24 rzutach, 5 oczek w 18 rzutach, 6 oczek w 25 rzutach. Na poziomie istotno´sci α = 0.1 zweryfikowa´c hipotez¸e, ˙ze kostka jest symetryczna.
29. ( 3 pkt) Przez 300 dni obserwowano prac¸e pewnej maszyny, rejestruj¸ac liczb¸e awarii w ci¸agu jednego dnia. Otrzymano nast¸epuj¸ace wyniki:
0 awarii - 140 dni, 1 awaria - 110 dni, 2 awarie - 30 dni, 3 awarie - 10 dni, 4 awarie - 10 dni.
U˙zywaj¸ac testu zgodno´sci χ2, na poziomie istotno´sci α = 0.05 zweryfikowa´c hipotez¸e m´owi¸ac¸a, ˙ze liczba uszkodze´n jednego dnia ma rozk lad Poissona. Dla jakich warto´sci α mo˙zna tak twierdzic?
30. ( 3 pkt) Ankieta zawiera cztery pytania, na kt´ore przewidziano dwie odpowiedzi: ”tak” albo ”nie”. Dla 320 losowo wybranych ankietowanych os´ob liczba pozytywnych odpwiedzi mia la nast¸epuj¸acy rozk lad:
0 pozytywnych odpowiedzi w przypadku 20 os´ob, 1 pozytywna odpowiedzi w przypadku 40 os´ob, 2 pozy- tywne odpowiedzi w przypadku 137 os´ob, 3 pozytywne odpowiedzi w przypadku 83 os´ob, 4 pozytywne odpowiedzi w przypadku 40 os´ob.
Na poziomie istotno´sci α = 0.2 zweryfikowa´c hipotez¸e, ˙ze liczba pozytywnych odpowiedzi udzielonych przez ankietowan¸a osob¸e ma rozk lad dwumianowy (Bernoulliego) z parametrem p = 0.6.
31. ( 3 pkt) W pewnym mie´scie wylosowano niezale˙znie 500 rodzin i zbadano miesi¸eczne zuzycie energii elektrycznej (w kWh) w ka˙zdej z nich. Otrzymano nast¸epuj¸acy rozk lad:
85 − 95 dla 70 rodzin, 95 − 105 dla 100 rodzin, 105 − 115 dla 140 rodzin, 115 − 125 dla 110 rodzin, 125 − 135 dla 80 rodzin.
Na poziomie istotno´sci α = 0.01 zweryfikowa´c hipotez¸e, ˙ze rozk lad zu˙zycia energii elektrycznej przez rodziny jest rozk ladem normalnym.
ZASADY ZALICZENIA:
• Z ka˙zdej spo´sr´od 3 cz¸esci nale˙zy wybra´c co najmniej 3 zadania do samodzielnego rozwi¸azania.
• Suma punkt´ow za prawid lowo rozwi¸azane zadania powinna wynosi´c co najmniej 21.
• Podstaw¸a do zaliczenia przedmiotu jest prawid lowe rozwi¸azanie odpowiedniej liczby wybranych zada´n na pi´smie oraz wykazanie si¸e podczas rozmowy umiej¸etno´sci¸a obja´snienia sposobu rozwi¸azania tych zada´n i umiej¸etno´sci¸a rozwi¸azywania zada´n analogicznych.
