Algorytmy i Struktury Danych, 8. ćwiczenia
2015-11-20
1 Ukryty słownik
(BKR) Cyklicznym blokiem nazywamy dowolną tablicę S[i, . . . , j], której warto- ści spełniają następujący warunek:
istnieje indeks k, i ≤ k ≤ j, taki, że:
S[k] < S[k + 1] < . . . < S[j] < S[i] < . . . < S[k − 1]
Tablicę S[1..n] o wartościach ze zbioru L nazywamy tablicą cyklicznych bloków, jeśli spełnione są następujące dwa warunki:
• każdy blok jest cyklicznym blokiem,
• wszystkie elementy bloku i − 1 są mniejsze niż wszystkie elementy bloku i dla 2 ≤ i ≤ h, gdzie h jest maksymalnym numerem bloku.
Wykaż, że używając struktury danych tablic cyklicznych bloków operacje access można wykonać za pomocą 2 log n porównań, a operacje insert i delete za pomocą O(√
n log n) instrukcji (n oznacza liczbę elementów w zbiorze S).
• organizujemy tak, tablicę, żeby i–ty blok miał długość i (ewentualnie oprócz ostatniego).
• access — wyszukaj binarnie odpowiedni blok, w bloku wyszukujemy prze- suniecie k, i binarnie wyszukujemy wewnątrz bloku,
• insert — wyszukaj odpowiedni blok (log n), jeśli to nie jest ostatni blok, to trzeba zrobić miejsce na nowy elementy — wyrzucając największy, naj- większy element trzeba przesunąć do następnego bloku (√
n), z którego wypada kolejny element, itd. (√
n razy, ponieważ nie trzeba już nic prze- suwać jedna faza kosztuje log n).
• delete — podobnie.
2 2-3 drzewa
2-3 drzewa to drzewa zrównoważone o następujących własnościach:
• każdy węzeł przechowuje 1 lub 2 klucze,
• każdy węzeł wewnętrzny (oprócz korzenia) ma 2 lub 3 synów,
• wszystkie liście mają tą samą głębokość,
• zachowany jest porządek kluczy w poddrzewach (mniej więcej jak w drze- wach BST),
Wstawienia do drzewa:
• znajdujemy liść w którym powinien znaleźć się nowy klucz, dodajemy go do węzła,
• może się okazać, że węzeł posiada chwilowo 3 klucze, w takim wypadku dzielimy go na dwie części (w każdej z nich zostawiamy jeden klucz) a trzeci klucz przekazujemy poziom wyżej,
• tak długo jak drzewo zawiera węzeł z 3 kluczami powtarzamy tą procedurę.
Usuwanie z drzewa:
• jeśli klucz leży w węźle wewnętrznym, to zamieniamy go z następnikiem (lub poprzednikiem), i redukujemy problem do usuwania z liścia,
• jeśli klucz leży w liściu, to usuwamy go z węzła,
• jeśli okazuje się, że jakiś węzeł zawiera 0 kluczy, to poprawiamy drzewo idąc od tego węzła do korzenia i próbując zastąpić puste miejsce kluczem pożyczonym od sąsiadów,
Scalanie (zakładamy, że klucze są przetrzymywane w węzłach):
• dane są drzewa T1, T2,
• usuwamy z T2najmniejszy klucz x,
• znajdujemy w T2węzeł v którego poddrzewo ma wysokość |T2|,
• dodajemy do v klucz x z prawym poddrzewem T2,
• jeśli v zawiera 3 klucze, to poprawiamy warunku 2-3 drzewa idąc od v do korzenia.
Złożoność O(log(|T1| + |T2|)).
Scalanie (zakładamy, że klucze są przetrzymywane w liściach):
• jeśli h1 = h2, to tworzymy trzewo T z wartością węzła max(T1.root), lewym poddrzewem T1, prawym poddrzewem T2,
• jeśli h1 > h2, to znajdujemy na skrajnie prawej ścieżce T1, węzeł v o wysokości h2+ 1, dodajemy do v nową wartość z węzła min(T2.root) i podłączamy T2jako skrajnie prawe poddrzewo, jeśli w wyniku tej operacji węzeł v ma 3 wartości, to poprawiamy drzewo idąć od v do korzenia,
• jeśli h1 < h2, to postępujemy analogicznie jak w poprzednim przypadku (ale dodajemy T1 do T2 i szukamy węzła na skrajnie lewej ścieżce).
Złożoność O(1 + |h1− h2|) = O(log(|T1| + |T2|)).
Split (zakładamy, że klucze są przetrzymywane w liściach) – podział drzewa T na dwa poddrzewa T1 (z kluczamy ≤ x) i T2 (z kluczamy > x):
• szukamy ścieżki od korzenia do liścia w którym należałoby wstawić klucz x, węzły na tej ścieżce oznaczamy przez v0= root, v1, . . . , vk,
• likwidujemy węzły v0, . . . , vk−1, a węzeł vkrozbijamy na dwa węzły (jeden z wartościami ≤ x, drugi z wartościami > x),
• drzewo rozpada się na dwa lasy F≤ (drzewa z wartościami ≤ x), i F>
(drzewa z wartościami > x),
• scalamy drzewa F≤ wg. rosnących wysokości otrzymując T1,
• scalamy drzewa F> wg. rosnących wysokości otrzymując T2,
3 Pokazać, że przy pomocy rotacji można zawsze przejść z jednego BST do drugiego
Za pomocą rotacji możemy dowolne drzewo BST zamienić na listę (i na odwrót).
Wstarczy tak długo jak drzewo zawiera węzeł z lewym synem, wykonujemy na nim (i lewym synie) prawą rotację.
4 ASD Zadania — wzbogacanie struktur danych
Zadanie 3.24
Zaprojektuj strukturę danych umożliwiającą wykonywanie w czasie O(log n) następujących operacji na zbiorze S:
• makeset(S) :: S := ∅
• insert((x, y), S) :: S := S ∪ {(x, y)}
• minx(S) :: usunięcie z S pary (x, y) o najmniejszej pierwszej składowej,
• miny(S) :: usunięcie z S pary (x, y) o najmniejszej drugiej składowej,
• searchx(x, S) :: wyznaczenie takiej pary (a, b) ∈ S, że x = a,
• searchy(y, S) :: wyznaczenie takiej pary (a, b) ∈ S, że y = b.
Rozwiązanie: dwa drzewa AVL (jedno ze współrzędnymi x, drugie ze współ- rzędnymi y), dodatkowo każdy węzeł trzyma dowiązanie do odpowiadającego mu węzła w drugim drzewie.
Zadanie 3.25
Zaprojektuj strukturę danych umożliwiającą wykonywanie w czasie O(log n) następujących operacji na zbiorze S:
• construct(S) :: utworzenie ciągu pustego S,
• insert(S, x) :: S := S ∪ {(x)},
• delete(S, x) :: S := S − {(x)},
• search(S, x) :: sprawdzenie, czy x znajduje się w zbiorze S,
• elem(S, i) :: wyznaczenie i–tego co do wielkości elementu zbioru S,
• numb(S, x) :: wyznaczenie numeru elementu x w zbiorze S (względem wielkości).
Rozwiązanie: drzewo AVL z atrybutami rozmiar poddrzewa.
Zadanie 3.26
Zaprojektuj strukturę danych do wykonywania ciągów następujących operacji (dla elementów x pochodzących z dowolnego zbioru liniowo uporządkowanego):
• initialization :: Si= ∅ dla i = 1, 2, . . . , n,
• insert(Si, x) :: Si := Si∪ {(x)}, pod warunkiem, że x nie występuje w żadnym zbiorze Sj, 1 ≤ j ≤ n,
• deletemin(Si) :: usunięcie ze zbioru Si najmniejszego elementu,
• f ind(x) :: wyznaczenie numeru zbioru do którego należy element x.
Rozwiązanie: Sijako zwykłe kopce, dodatków utrzymujemy słownik par (x, numerzbioru)
Zadanie 3.27
Zaprojektuj strukturę danych umożliwiającą wykonywanie w czasie O(log n) następujących operacji na ciągu S:
• construct(S) :: utworzenie ciągu pustego S,
• insert(S, i, x) :: wstawienie x na i-te miejsce w ciągu S, tzn. Si= x pod warunkiem, że i ≤ |S| + 1,
• sum(S, i, j) :: obliczenie sumyPj k=iSk,
Rozwiązanie: AVL z dodatkowym atrybutem suma elementów poddrzewa.
Zadanie 3.28
Rozwiązanie: AVL z atrybutem rozmiar poddrzewa.
Zadanie 3.29
Zaprojektuj strukturę danych umożliwiającą wykonywanie w czasie O(log n) następujących operacji na zbiorze S zawierającym przedziały liczb rzeczywistych [l, r]:
• empty(S) :: S = ∅,
• add(S, I) :: S = S ∪ {I},
• delete(S, I) :: S = S − {I},
• is(S, x) :: sprawdzenie czy element x należy do jakiegoś przedziału w zbioru S;
• intersect(S, I) :: sprawdzenie czy przedział I ma niepuste przecięcie z jakimś przedziałem należącym do S.
Rozwiązanie: Utrzymujemy słownik z parami (x, z) (gdzie x to liczba rzeczy- wista, a z +1 lub -1). Dodatkowo każdy węzeł ma dodatkowy atrybut suma oznaczający sumę wartości z w poddrzewie. Możemy w takim drzewie w czasie O(log n) obliczyć sum(q) oznaczającą sumę wszystkich atrybutów z par (x, z), takich, że x ≤ q.
• add(S, I) – dodajemy do słownika pary (l, +1) i (r, −1),
• delete(S, I) – usuwamy ze słownika pary (l, +1) i (r, −1),
• is(S, x) – jeśli słownik zawiera pary (x, +1) lub (x, −1) to zwracamy true, wpp. obliczamy sum(x) i jeśli suma jest > 0 to zwracamy true, jeśli sum(x) ≤ 0, to zwracamy f alse.
• intersect(S, I), jeśli is(S, l) lub is(S, r) to zwracamy true, jeśli istnieje w słowniu para (x, z), t.że l ≤ x ≤ r, to zwracamy true, wpp zwracamy f alse.
5 Drzewa czerwono-czarne
Cormen, Rozdział 13, strony 273–301.
