Ćwiczenia (5), AM I, 22.3.2019 Wypukłość funkcji, nierówność Jensena
Zadanie 1. Korzystając z wypukłości lub wklęsłości odpowiedniej funkcji wykaż, że (a) tg x > 1 +√
2(x − π4) dla π4 < x < π2; (b) ln x < −1 + ln 10 + 101x dla 0 < x 6= 10;
(c) (1 + x)a ¬ 1 + ax dla a ∈ (0, 1) i x > −1 oraz wyjaśnij dla jakich a, x zachodzi równość;
(d) ln x < 12(x2 − 1).
Zadanie 2. Korzystając z wypukłości lub wklęsłości odpowiedniej funkcji wykaż, że (a) 12(x100+ y100) x+y2 100 dla x 6= y;
(b) sinx+y+z3 > 13(sin x + sin y + sin z) dla dowolnych x, y, z ∈ [0, π], jeśli pewne dwie spośród x, y, z są różne;
(c) spośród trojkątów wpisanych w dane koło największy obwód ma trójkąt równobocz- ny;
(d) spośród siedmiokątów opisanych na danym kole najmniejsze pole ma siedmiokąt foremny;
(e) dla dowolnych liczb dodatnich a, b, c, z których przynajmniej dwie są różne, zachodzi nierównoość
a2+ b2+ c2 a + b + c
!a+b+c
> aabbcc> a + b + c 3
!a+b+c
;
(f) dla 0 ¬ x, y < π2 zachodzi nierówność
(3x + 2y) tg3x + 2y
5 ¬ 3x · tg x + 2y · tg y.
Kiedy zachodzi równość?
(g) dla dowolnych liczb dodatnich x, y, z zachodzi
x ln x + 2y ln y + 3z ln z + (x + 2y + 3z) ln 6 (x + 2y + 3z) ln(x + 2y + 3z).
Wyjaśnij, kiedy zachodzi równość.
Zadanie 3. Wykazać, że dla liczb nieujemnych a1, a2, . . . , an zachodzi nierówność a1+ a2+ . . . + an
n √n
a1· a2· . . . · an.
Zadanie 4. Wykaż, że jeśli prosta ma z wykresem funkcji wypukłej trzy punkty wspólne, to ma z tym wykresem wspólny odcinek i nie jest ściśle wypukła.
Zadanie 5. Wykazać, że jeśli funkcje f i g są wypukłe, funkcja g jest niemalejąca, to funkcja g ◦ f jest wypukła. Jeśli zaś g jest nierosnąca, to g ◦ f jest funkcją wklęsłą.
Zadanie 6. Wykazać, że jeśli funkcja f jest wypukła na każdym z przedziałów [a, b] i [b, c] oraz jest różniczkowalna w b, to jest wypukła na [a, c].
Zadanie 7. Niech f (x) = √3
x3 − 12x. Mamy: f0(x) = √3x2−4
x3−12x, f00(x) = 4(x4−14x2−16)
3(√3
x3−12x) . Wielo- mian x4 − 14x2 − 16 ma dokładnie dwa pierwiastki: ±q7 +√
57 ≈ ±3.81. Znajdź prze- działy, na których funkcja f ściśle rosnąca, ściśle malejąca, ściśle wypukła, ściśle wklęsła.
Wyznacz punkty przegięcia i znajdź asymptoty funkcji f . Oblicz limx→±2√3f0(x). Korzy- stając z uzyskanych informacji naszkicuj wykres funkcji f .
Zadanie 8. Czy istnieje funkcja f : (0, +∞) → R dwukrotnie różniczkowalna, mająca asymp- totę przy x → ∞ oraz spełniająca warunek f00(x) > 1+x1 2 dla każdego x > 0 ?
Zadanie 9. Funkcja f : R → R jest wklęsła i ograniczona z dołu. Uzasadnij, że f jest stała.
2