• Nie Znaleziono Wyników

Korzystając z wypukłości lub wklęsłości odpowiedniej funkcji wykaż, że (a) tg x &gt

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2021

Share "Korzystając z wypukłości lub wklęsłości odpowiedniej funkcji wykaż, że (a) tg x &gt"

Copied!
2
0
0

Pełen tekst

(1)

Ćwiczenia (5), AM I, 22.3.2019 Wypukłość funkcji, nierówność Jensena

Zadanie 1. Korzystając z wypukłości lub wklęsłości odpowiedniej funkcji wykaż, że (a) tg x > 1 +√

2(x − π4) dla π4 < x < π2; (b) ln x < −1 + ln 10 + 101x dla 0 < x 6= 10;

(c) (1 + x)a ¬ 1 + ax dla a ∈ (0, 1) i x > −1 oraz wyjaśnij dla jakich a, x zachodzi równość;

(d) ln x < 12(x2 − 1).

Zadanie 2. Korzystając z wypukłości lub wklęsłości odpowiedniej funkcji wykaż, że (a) 12(x100+ y100) ­x+y2 100 dla x 6= y;

(b) sinx+y+z3 > 13(sin x + sin y + sin z) dla dowolnych x, y, z ∈ [0, π], jeśli pewne dwie spośród x, y, z są różne;

(c) spośród trojkątów wpisanych w dane koło największy obwód ma trójkąt równobocz- ny;

(d) spośród siedmiokątów opisanych na danym kole najmniejsze pole ma siedmiokąt foremny;

(e) dla dowolnych liczb dodatnich a, b, c, z których przynajmniej dwie są różne, zachodzi nierównoość

a2+ b2+ c2 a + b + c

!a+b+c

> aabbcc> a + b + c 3

!a+b+c

;

(f) dla 0 ¬ x, y < π2 zachodzi nierówność

(3x + 2y) tg3x + 2y

5 ¬ 3x · tg x + 2y · tg y.

Kiedy zachodzi równość?

(g) dla dowolnych liczb dodatnich x, y, z zachodzi

x ln x + 2y ln y + 3z ln z + (x + 2y + 3z) ln 6 ­ (x + 2y + 3z) ln(x + 2y + 3z).

Wyjaśnij, kiedy zachodzi równość.

Zadanie 3. Wykazać, że dla liczb nieujemnych a1, a2, . . . , an zachodzi nierówność a1+ a2+ . . . + an

n ­ n

a1· a2· . . . · an.

Zadanie 4. Wykaż, że jeśli prosta ma z wykresem funkcji wypukłej trzy punkty wspólne, to ma z tym wykresem wspólny odcinek i nie jest ściśle wypukła.

Zadanie 5. Wykazać, że jeśli funkcje f i g są wypukłe, funkcja g jest niemalejąca, to funkcja g ◦ f jest wypukła. Jeśli zaś g jest nierosnąca, to g ◦ f jest funkcją wklęsłą.

(2)

Zadanie 6. Wykazać, że jeśli funkcja f jest wypukła na każdym z przedziałów [a, b] i [b, c] oraz jest różniczkowalna w b, to jest wypukła na [a, c].

Zadanie 7. Niech f (x) = 3

x3 − 12x. Mamy: f0(x) = 3x2−4

x3−12x, f00(x) = 4(x4−14x2−16)

3(3

x3−12x) . Wielo- mian x4 − 14x2 − 16 ma dokładnie dwa pierwiastki: ±q7 +

57 ≈ ±3.81. Znajdź prze- działy, na których funkcja f ściśle rosnąca, ściśle malejąca, ściśle wypukła, ściśle wklęsła.

Wyznacz punkty przegięcia i znajdź asymptoty funkcji f . Oblicz limx→±23f0(x). Korzy- stając z uzyskanych informacji naszkicuj wykres funkcji f .

Zadanie 8. Czy istnieje funkcja f : (0, +∞) → R dwukrotnie różniczkowalna, mająca asymp- totę przy x → ∞ oraz spełniająca warunek f00(x) > 1+x1 2 dla każdego x > 0 ?

Zadanie 9. Funkcja f : R → R jest wklęsła i ograniczona z dołu. Uzasadnij, że f jest stała.

2

Cytaty

Powiązane dokumenty

Znajdź granicę tego

[r]

Załóżmy, że T jest operatorem liniowym między przestrzeniami Banacha Xi Y.. Niech X będzie

Podstawowe pojęcia, przykłady i twierdzenia dotyczące grup, pierścieni i ciał.. (1) Ile wspólnych wyrazów ma ją stuwyrazowe ciągi arytmetyczne 5, 8,

[r]

Prosta l jest równoległa do prostej AC i dzieli trójkąt ABC na dwie figury o równych polach.. Znajdź równanie

Jeśli natomiast wynik 4 otrzymamy dodając cztery jedynki stojące w pewnej kolumnie, to sumę 0 możemy uzyskać jedynie dodając cztery zera w innej kolumnie.. Wobec tego drugą sumę

Liczba naturalna zapisana w systemie dziesiętnym jest podzielna przez 3 wtedy i tylko wtedy, gdy suma jej cyfr jest podzielna przez 3.. Udowodnij i uogólnij tę powszechnie