Imi˛e i nazwisko ... Ocena z zaliczenia ...
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Σ = 50
Przykładowy egzamin z matematyki dla I roku Geodezji
1. (4p.) Sprawdzi´c, czy poni˙zsze zdanie jest prawdziwe oraz poda´c jego zaprzeczenie:
(∀x,y∈R sin(x + y) = sin x + sin y) ∨ ∃z∈Cz2 = −4 .
2. (5p.) Poda´c definicje relacji zwrotnej i symetrycznej. Poda´c przekład relacji zwrotnej ale nie symetrycznej.
Odpowied´z uzasadni´c.
3. (4p.) Wyznaczy´c dziedzin˛e funkcji:
f (x) = log(x2+ 2x + 1) arc sin(x + 1) −π2.
4. (5 p.) Poda´c definicj˛e zbie˙zno´sci ci ˛agu i korzystaj ˛ac z niej wykaza´c, ˙ze lim
n→+∞
n+1 2n−1 = 12.
5. (8 p.) W zabytkowym budynku mamy zaprojektowa´c okno w kształcie prostok ˛ata zako´nczonego u góry trójk ˛atem równobocznym. Wymagania budowlane stawiaj ˛a warunek, aby powierzchnia okna wynosiła 2 m2. Rama takiego zabytkowego okna jest bardzo kosztowna. Jakie powinny by´c wymiary, aby zminimali- zowa´c koszty?
6. (5p.) Zbada´c ci ˛agło´s´c funkcji nie korzystaj ˛ac z reguły de L’Hospitala
f (x) =
sin(x − 2)
x2− 4 , dla − 2 < x < 2 3
4πarc cosx
2, dla 2 ≤ x ≤ 4
7. (6p.) Zbada´c wypukło´s´c oraz punkty przegi˛ecia funkcji f , je´sli f0(x) = −e(arc tg x−x5). Zakładamy, ˙ze Df = Df0.
8. (5p.) Zbada´c zbie˙zno´s´c szeregu:
∞
P
n=1
2ncos n!+(−1)n (n4+3n)n! .
9. (5p.) Pokaza´c, ˙ze równanie x5+ 3x3+ 2x + 1 = 0 ma dokładnie jeden pierwiastek rzeczywisty.
10. (3p.) Narysowa´c na płaszczy´znie zespolonej zbiór A = {z ∈ C : Imz ≥ 0, −π
4 < Argz < π
4, |z| ≤ 2}.
