• Nie Znaleziono Wyników

sin(x) sin(y) sin(x + y), x ∈[0, π], y ∈ [0, π] d) f(x, y

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2021

Share "sin(x) sin(y) sin(x + y), x ∈[0, π], y ∈ [0, π] d) f(x, y"

Copied!
1
0
0

Pełen tekst

(1)

X seria zada´n z matematyki IIA 10 maja 2004 r.

Zadanie 1

Znajd´z ekstrema globalne funkcji : a) f (x, y) = x2−2y2+ 4xy − 6x − 1

w tr´ojkacie domkni, etym, ograniczonym prostymi, x= 0, y= 0, x+ y = 3.

b) f (x, y) = x + y w kole domknietym x, 2+ y2≤1 c) f (x, y) = sin(x) sin(y) sin(x + y), x ∈[0, π], y ∈ [0, π]

d) f(x, y) = x4+ y4−2x2+ 4xy − 2y2, x ∈[0, 2], y ∈ [0, 2]

Zadanie 2

Wyka˙z, ˙ze r´ownanie Laplace’a :

2z

∂x2 +∂2z

∂y2 = 0

nie zmienia postaci przy dowolnej zamianie zmiennych : x= φ(u, v) y= ψ(u, v) takiej, ˙ze spe lniony jest warunek:

∂φ

∂u = ∂ψ

∂v; ∂φ

∂v = −∂ψ

∂u Zadanie 3

Przekszta l´c nastepuj, ace r´, ownanie r´o˙zniczkowe wprowadzajac nowe zmienne:,

∂u

∂x +∂u

∂y +∂u

∂z = 0 ζ = x, η= y − x, θ= z − x

Zadanie 4

Wyra´z nastepuj, ace pochodne cz, astkowe :,

∂ ˜f(r, φ)

∂φ ; ∂ ˜f(r, φ)

∂r przez pochodne funkcji :

f(x, y) = ˜f(r, φ) gdzie x = a · r cos(φ), y = b · r sin φ) a,b- dowolne sta le

Zadanie 5

Zbadaj ekstrema funkcji y(x) zadanych w spos´ob uwik lany r´ownaniami:

a)x2−2xy − 3y2−4 = 0 b)x2y3+ y − 3 = 0

Zadanie 6

R´ownanie g(x, y, z) = 0 zadaje w spos´ob uwik lany funkcje X(y, z),Y (x, z),Z(x, y).

Udowodnij, ˙ze:

∂X

∂y

∂Y

∂z

∂Z

∂x = −1

Cytaty

Powiązane dokumenty

Poczta w USA wymaga, aby wymiary paczki były takie, że suma długości, podwojonej szerokości i podwojonej wysokości nie przekraczała 108 cali?. Jaka jest objętość

Intensywność przepływu ciepła V = −k∇T (gdzie k jest stałą zależną od stopnia izolacji ścian) poprzez ściany restauracji (włącznie z sufitem i ścianą dotykającą

[r]

[r]

Rozwi¡zanie: Obie krzywe znajduj¡ si¦ w górnej póªpªaszczy¹nie.. Te 3 punkty to punkty krytyczne, w których

Poma- ra«cz¦ nast¦pnie pokrojono w

Poma- ra«cz¦ nast¦pnie pokrojono w

Wykaż, że tak otrzymany szereg jest