Analiza Matematyczna 1
WPPT, matematyka stosowana, 2013/14 Lista 6
1. Posługujac si, e rachunkiem całkowym wykazać, że, (a) lim
n→∞
1
n + 1+ 1
n + 2 + · · · + 1 n + n
= ln 2;
(b) lim
n→∞
5 n√
n
n
X
k=1
√4n + 5k = 38 3 .
2. Załóżmy, że f jest funkcja ci, agł, a na przedziale [−a, a], a > 0. Dowieść, że, (a)
Z a
−a
f (x) dx = 0, gdy f jest funkcja nieparzyst, a;,
(b) Z a
−a
f (x) dx = 2 Z a
0
f (x) dx, gdy f jest funkcja parzyst, a., Skorzystać z tych faktów przy obliczaniu całek
(a) Z 1
−1
ln 4
2 + x5 − 1 dx;
(b) Z π/2
−π/2
sin |x| ecos xdx.
3. Udowodnić, że dla dowolnych funkcji ciagłych f, g na [a, b] zachodzi nierówność, Schwarza
Z b a
f (x)g(x) dx2
6Z b a
f2(x) dxZ b a
g2(x) dx .
4. Skorzystać z odpowiedniej nierówności Schwarza i pokazać, że Z 2π
π
| sin x|
x dx < 1 2.
5. Korzystajac z własności całek oznaczonych, udowodnić nierówności, (a) 0,92 <
Z 4 3
dx
√3
ln x < 1;
(b) 16 Z 1
0
√
1 + x3dx 6 1,125.
Wskazówka. W (a) skorzystać z nierówności 1 < ln x < x
e dla x > e. A propos, jak udowodnić ta nierówność?,
6. Obliczyć wartość średnia funkcji f na podanym przedziale. W jakim punkcie prze-, działu jest ona osiagana ?,
(a) f (x) = ln x, [1, e];
(b) g(x) = tg x, h 0,π
4 i
.
1
7. Załóżmy, że funkcja f jest wypukła i ciagła na przedziale domkni, etym [a, b]. Dowieść,, że wartość średnia f (ξ) tej funkcji spełnia nastepuj, ac, a nierówność podwójn, a, fa + b
2
6 f (ξ) 6 f (a) + f (b)
2 .
Jak wyglada analogiczna nierówność dla funkcji wkl, esłej?, 8. Wyznaczyć funkcje górnej granicy całkowania,
F (x) = Z x
c
f (t) dt
dla funkcji f i punktu c, jeśli
(b) f (x) = 1 dla x6 0 i f (x) = 1 + x dla x > 0, c = −1;
(a) f (x) = |x − 1|, c = 0, c = 1.
9. Niech f bedzie funkcj, a ci, agł, a na R. Pokazać, że funkcja, F (x) =
Z x 0
f (t) dt
jest parzysta, gdy f jest nieparzysta oraz nieparzysta, gdy f jest parzysta.
10. Znaleźć ekstrema lokalne i przedziały monotoniczności funkcji (a) f (x) =
Z x 0
sin19t dt, −2π 6 x 6 2π;
(b) f (x) = Z x
−1
2t + 1
t2− 2t + 2dt, x ∈ R.
11. Obliczyć pole płaskiego obszaru normalnego ograniczonego podanymi krzywymi (a) y = xn, x = yn, n ∈ N, n ≥ 2;
(b) y = ln x, y = ln2x;
(c) x = 1 − y2, x = 1
2(y2− 1).
12. Obliczyć długość łuku krzywej γ, jeśli (a) γ : y = ln(1 − x2), −1
2 6 x 6 1 2;
(b) γ(t) = (t2− 2) sin t + 2t cos t, (2 − t2) cos t + 2t sin t, 0 6 t 6 π;
(c) γ(t) = (a cos t, a sin t, bt), 06 t 6 2π, a > 0, b > 0;
(d) γ(t) = (etcos t, etsin t, et), 0 6 t 6 1.
13. Niech ρ i ϕ bed, a współrzednymi biegunowymi na płaszczyźnie i niech krzywa płaska, γ zadana bedzie we współrz, ednych biegunowych warunkiem ρ = f (ϕ), α 6 ϕ 6 β,, gdzie f jest funkcja maj, ac, a ci, agł, a pochodn, a na przedziale [α, β]. Pokazać, że długość, łuku krzywej γ jest dana wzorem
L(γ) = Z β
α
pf2(ϕ) + f02(ϕ) dϕ.
Zastosować otrzymany wzór do obliczenia długości krzywych zadanych warunkami (a) γ1: ρ = a(1 − cos ϕ), a > 0;
(b) γ2: ρ = aϕ, 2nπ 6 ϕ 6 2(n + 1)π, a > 0, n ∈ N.
2
14. Obliczyć objetość bryły obrotowej powstałej przez obrót podanej krzywej wokół osi, Ox
(a) y = e−x√
sin x, 0 6 x 6 π;
(b) x = a(t − sin t), y = a(1 − cos t), 06 t 6 2π.
15. Obliczyć pole powierzchni bocznej bryły obrotowej powstałej przez obrót podanej krzywej wokół osi Ox
(a) y = cos x, −π
2 6 x 6 π 2; (b) x = t3
3, y = 4 − t2
2 pomiedzy punktami przeci, ecia z osiami współrz, ednych., 16. Dla n ∈ Z, n ≥ 0, przyjmijmy
In= Z π/2
0
sinnx dx,
Jn= Z π/2
0
cosnx dx,
Kn= Z 1
0
(1 − x2)ndx.
Udowodnić nastepuj, ace zwi, azki, I0 = π
2, I1 = 1, In=
1 − 1
n
In−2 dla n> 2; Jn = In; Kn = I2n+1. Nastepnie pokazać, że,
In= (n − 1)!!
n!! , gdy n jest nieparzyste, In= (n − 1)!!
n!! · π
2, gdy n jest parzyste.
Napisać jawny wzór dla Kn.
UWAGA. Zastosowane oznaczenia:
(2m)!! = 2 · 4 · 6 · . . . · (2m),
(2m + 1)!! = 1 · 3 · 5 · . . . · (2m + 1).
3
