2. TRANSFORMATORY I MASZYNY ELEKTRYCZNE

2. TRANSFORMATORY I MASZYNY ELEKTRYCZNE

2.1. PRZENOSZENIE ENERGII ZA POŚREDNICTWEM POLA MAGNETYCZNEGO

Maszyny elektryczne i transformatory przetwarzają energię przy udziale pola magnetycznego. Energia dostarczana ze źródła zewnętrznego (elektryczna - do silnika i transformatora, mechaniczna - do prądnicy), zamienia się na energię pola magnetycznego, ta zaś ulega przetworzeniu na energię o postaci, w jakiej jest użytkowana bezpośrednio (mechaniczną - w silniku) lub po dalszym przetworzeniu (elektryczną - w prądnicy i w transformatorze). W tym czasie, w uzwojeniach, pod wpływem zmian wartości strumieni magnetycznych skojarzonych z zezwojami, indukują się napięcia.

Zgodnie z prawem indukcji elektromagnetycznej Faradaya, w zezwoju indukuje się napięcie

dt u_{i =} dΨ

, (2.1) gdzie: Ψ - strumień skojarzony z zezwojem.

W przypadku, gdy zmiany strumieni magnetycznych są proporcjonalne do zmian wytwarzających je prądów lub przepływów (układ jest liniowy), używa się - jak wiadomo - pojęć indukcyjności: własnej L i wzajemnej M (jeśli litera M jest symbolem innej wielkości, np. momentu maszyny, to stosuje się inne oznaczenie, np. Ll2), oraz związanych z nimi - reluktancji obwodów magnetycznych R_µ . Przy prądzie sinusoidalnym operuje się, odpowiednio, pojęciami reaktancji indukcyjnych: własnej X_L i wzajemnej X_M . Wartość skuteczna sinusoidalnego napięcia indukowanego jest iloczynem odpowiedniej reaktancji indukcyjnej przez wartość skuteczną prądu wytwarzającego strumień; między przebiegami czasowymi napięcia indukowanego i prądu wytwarzającego strumień występuje przesunięcie kątowe równe ±π/2 (znak zależy od sposobu strzałkowania napięcia i prądu).

Zmiany strumienia skojarzonego z zezwojem mogą, w ogólnym przypadku, wynikać ze zmian strumienia w czasie oraz zmian wzajemnego położenia zezwoju i pola, tzn.

) , ( xt Ψ

Ψ = ,

przy czym położenie zwykle jest też funkcją czasu )

(t x x= , stąd

dt dx x u_i t

∂ +∂

∂

= ∂Ψ Ψ

. (2.2)

1 Literatura do tego rozdziału: [1, 4, 9, 13, 14, 16, 17, 20].

Mogą występować dwa przypadki szczególne.

1. Jeśli uzwojenie jest nieruchome względem osi strumienia w czasie, to występuje tylko napięcie (sem) transformacji

u_t t

∂

= ∂Ψ

; (2.3) 2. Jeśli jeden bok zwoju porusza się z prędkością względem linii pola o indukcji B, stałej

w czasie, to występuje tylko napięcie (sem) rotacji v

l B

u_r = , (2.4) gdzie: l - długość boku zwoju.

Zwrot napięcia rotacji określa reguła prawej dłoni. Jeśli zwroty prądu i napięcia indukowanego w uzwojeniu są zgodne, to dla obwodu zewnętrznego jest ono źródłem energii, jeśli przeciwne - odbiornikiem.

Napięcie indukowane w uzwojeniu jest tą wielkością, która wyraża istotę procesu przenoszenia energii za pomocą pola magnetycznego. Iloczyn prądu płynącego w uzwojeniu przez napięcie w nim indukowane wyznacza moc przenoszoną, którą przyjęto nazywać elektromagnetyczną lub wewnętrzną mocą tego uzwojenia.

Elektromagnetyczna moc chwilowa wynosi

dt i d u i

p_{e i} Ψ

=

= . (2.5a) Średnia wartość sinusoidalnego przebiegu elektromagnetycznej mocy chwilowej jest elektromagnetyczną mocą czynną

i i

e U I

P = ^cosϕ , (2.5b) gdzie ϕ i jest kątem przesunięcia fazowego między napięciem indukowanym w uzwojeniu i płynącym w nim prądem (między wskazami: Ui i I).

Przy przenoszeniu energii między nieruchomymi cewkami napięcie indukowane jest napięciem transformacji u_i =u_t.

Szczególny charakter ma przenoszenie energii przez samoindukcję w cewce. Praca prądu elektrycznego w uzwojeniu zamienia się wówczas na energię pola magnetycznego, a ta - po zaistnieniu odpowiednich warunków - znowu w pracę prądu elektrycznego.

Elektromagnetyczna moc czynna idealnej cewki (w obwodzie prądu sinusoidalnego) jest w wyniku tego równa zeru, co zostało objaśnione na wykresie wskazowym (rys. 2.1a), gdzie ϕi = π/2. Idealna cewka nie rozprasza energii, tylko wymienia cyklicznie z obwodem zewnętrznym taką jej porcję, jaką w danych warunkach jest zdolna zmagazynować w swym polu magnetycznym.

Na wykresie wskazowym (rys. 2.1b) wyjaśniono przenoszenie energii między cewkami sprzężonymi. Zastosowano, jak poprzednio, odbionikową konwencję strzałkowania napięcia indukowanego i prądu. Jeśli prądy w cewkach są w fazie lub przeciwfazie, to elektromagnetyczna moc czynna każdej z nich jest równa zeru, a zatem układ nie przenosi energii. Jeśli prądy w cewkach są przesunięte w fazie, to jedna z cewek pobiera energię z zewnątrz (nr 2, bo ϕi2 < π^/2 ), druga zaś - oddaje na zewnątrz (nr l, bo ϕi1 > π/2), więc w tym przypadku między cewkami jest przekazywana energia (z cewki nr 2 do cewki nr l).

Rys. 2.1. Uzwojenia oraz wykresy wskazowe występujących w nich prądów i napięć:

a) pojedyncza cewka (samoindukcja), b) dwie cewki dodatnio sprzężone, jednakowe i różne kąty fazowe prądów; konwencja odbiornikowa strzalkowania prądów i napięć indukowanych

Jeśli strumień skojarzony z uzwojeniem bierze udział w przetwarzaniu energii elektrycznej na pracę mechaniczną albo na odwrót, to moc elektromagnetyczną można wyrazić wzorami:

v f

p_e = _e (2.6a) lub

ω m

p_e = _e , (2.6b) gdzie: fe - siła elektromagnetyczna w ruchu postępowym,

v - prędkość liniowa,

m_e - moment elektromagnetyczny, ω - prędkość kątowa.

Napięcie indukowane, które dotyczy wyłącznie przemiany elektromechanicznej, jest napięciem rotacji u_i =u_r. W tym przypadku, z porównania wzorów (2.5a) i (2.6a) wynika

v f u i _r = _e

a następnie po podstawieniu (2.4), otrzymuje się znaną zależność dotyczącą siły działającej na przewód o długości l, który znajduje się w polu magnetycznym o indukcji B i przez który przepływa prąd i:

l i B

f_e = . (2.7) I1

Zwrot siły elektromagnetycznej jest określony regułą lewej dłoni. Jeśli zwroty siły elektromagnetycznej wytwarzanej w uzwojeniu i prędkości liniowej (momentu elektromagnetycznego i prędkości kątowej) tego uzwojenia względem pozostałej części układu są zgodne, to dostarcza ono energii do wykonania pracy mechanicznej, jeśli zaś przeciwne, to pobiera z zewnątrz energię w postaci pracy mechanicznej.

W elementarnym czasie dt, przenoszona w tej przemianie - za pośrednictwem pola magnetycznego - elementarna porcja energii dW_µ = pe dt, równa elementarnej pracy siły elektromagnetycznej dA = f_e vdt i elementarnej pracy prądu elektrycznego, związanej z przemianą elektromechaniczną dA = u_r idt.

Aby przy udziale pola magnetycznego można było przetwarzać duże moce elektryczne czy mechaniczne, to układ powinien być zdolny do gromadzenia w tym polu dostatecznie dużej energii.

Ogólnie, energia, wytwarzana w polu magnetycznym cewki przez prąd przez nią płynący w czasie dt, równa się pracy prądu w obwodzie elektrycznym cewki

Ψ d i dt i u A

dW_µ =d = _i = . (2.8a) Ponieważ przepływ Θ = i z, więc można też zapisać

Φ

µ =Θ

dW . (2.8b) Zgodnie z powyższym, energia pola magnetycznego, wytwarzana przez jedno uzwojenie, wyraża się następująco:

∫

∫

=^{Ψ Φ}

µ Ψ Θ Φ

0 0

d d

i

W , (2.9) co pokazano poglądowo na rysunku 2.2. Zakreskowane powierzchnie reprezentują energię pola magnetycznego przy zaznaczonych wartościach Ψ ^{oraz i (}Θ ^oraz Φ^).

Rys. 2.2. Charakterystyki magnesowania we współrzędnych (i, Ψ) oraz (Θ, Φ)

Trudniej o podobną ilustrację energii pola w przypadku dwóch lub więcej uzwojeń sprzężonych magnetycznie. Prąd każdego z uzwojeń wytwarza strumień, który sprzęga się w całości z własnym uzwojeniem, a częściowo z każdym z pozostałych.

Ψ

Ψ

Ψ

Ψ

Ψ

Ψ

Ψ

Ψ

Na rysunku 2.3 przedstawiono schematycznie prądy i strumienie dwóch uzwojeń sprzężonych. Na energię pola wpływają oba uzwojenia. Przy dodatnim sprzężeniu można to wyrazić przyrostowo za pomocą następującej zależności:

( ) ( )

( ) ( )

( )

d

2 2 1 1 2

1

1 2

2 2 2 1

1 1

21 22

2 12 11

1 2 2 1 1

s s

g s

g g

s g

dΦ Θ dΦ Θ dΦ Θ Θ

dΦ dΦ

dΦ d

d

d d

d d

d d

dW

+ +

+

=

= +

+ +

+ +

=

= +

+ +

= +

=

Θ Φ Φ

Φ Θ

Φ Φ

Θ Φ Φ

Θ Φ Θ Φ

µ Θ

(2.10a)

Przy ujemnym sprzężeniu natomiast

(

)

µ Θ Θ dΦ Θ dΦ Θ dΦ

dW = − + + (2.10b) Zakładając że strumienie rozproszeniowe Φs1 i Φs2 są dużo mniejsze od łącznego strumienia

2

1 g

g Φ

Φ

Φ = + (2.10c) można wykorzystać charakterystykę magnesowania obwodu magnetycznego, jako zależność strumienia Φ od łącznego przepływu

2

1 Θ

Θ

Θ = ± (2.10d) (zawsze, gdy wystąpi znak ,,±", należy brać ,,+" przy sprzężeniu dodatnim, a ,,-" przy sprzężeniu ujemnym).

Rys. 2.3. Składniki przyrostów strumieni magnetycznych uzwojeń sprzężonych

Nie ma natomiast potrzeby, by korzystać z charakterystyki magnesowania, gdy układ jest liniowy, tzn. wartości odpowiednich strumieni i przepływów (prądów) są do siebie proporcjonalne, a miarą tej proporcjonalności są indukcyjności własne lub wzajemne

dΦ12 = dΦg2

dΦ21 = dΦg1 dΦ1 = dΦ11 + dΦ12

dΦs2

dΦs1

dΦ2 = dΦ22 + dΦ21

dΦ11 = dΦg1 + dΦs1

dΦ22 = dΦg2 + dΦs2

dΦ = dΦg1 + dΦg2

z₂ z₁

poszczególnych uzwojeń, albo - związane z nimi - reluktancje obwodów magnetycznych:

głównego i rozproszeniowych.

Wyrażenie na energię pola pojedynczej cewki - o z zwojach, indukcyjności L oraz reluktancji obwodu magnetycznego R_µ =z²/L - występuje w następujących postaciach:

µ µ

µ R

Φ Θ Θ Φ

R L i

W

2 2

2

2 1 2

1 2

1 2

1 = = =

= . (2.11a)

Pierwsze dwa warianty zapisu (2.11a) są wynikiem obliczenia całek we wzorze (2.9), po uprzednim podstawieniu do nich:

di L

dΨ = oraz Θ=R_µ Φ .

Następne warianty zapisu (2.11a) to wynik przekształcenia drugiej postaci, z dwukrotnym wykorzystaniem - w odpowiedniej formie - wzoru na Θ^.

Dla strumieni, prądów, przepływów i energii pola magnetycznego dwóch cewek (uzwojeń) - sprzężonych dodatnio, jak na rysunkach 2.1b i 2.3, lub ujemnie - zachodzą następujące związki (co do znaku ,,±", obowiązuje wcześniejsza umowa):

2 1

1 12 11

1 d d L di M di

dΨ = Ψ + Ψ = ± ^,

1 2

2 21 22

2 d d L di M di

dΨ = Ψ + Ψ = ± ^,

(

)

1 1 1 2 2 1

1 d i d L i di M i di i di L i di

i

dW_µ = Ψ + Ψ = ± + + ^,

gdzie:

- indukcyjności własne cewek

11

1 L

L = ^, L2 =L22 ^,

- indukcyjność wzajemna cewek

21

12 L

L

M = = ^, oraz

Φ

Θ =Rµ , Θ₁ =Rµs₁Φ_s1 , Θ₂ =Rµs₂Φ_s2 ,

2 2 2 1 1

1 s s s s s

s d R d

R d R

dWµ = µΦ Φ + µ Φ Φ + µ Φ Φ .

Na podstawie powyższych wzorów, postępując podobnie jak przy pojedynczej cewce, otrzymuje się wyrażenie - również w 4 postaciach - na energię pola magnetycznego dwóch cewek sprzężonych:

( )

( )

2 1 2

1

2 1 2

1 2

1

2 2 2

1 2 1 2

2 2 1 1

2 2 2 2

1 1 2 2

2 2 2 1 2

1 1











 + +

= +

+

=

= +

+

= +

±

=

s s

s s

s s s s

R R

R

R R

R i

L i

i M i L W

µ µ

µ

µ µ

µ µ

Θ Θ Θ

Φ Θ Φ Θ Φ Θ

Φ Φ

Φ

(2.11b)

Między indukcyjnościami cewek z rysunku 1.6b i reluktancjami obwodów magnetycznych z rysunku 1.8 zachodzą następujące, łatwe do wyprowadzenia, zależności:

M z

R_µ = z^{1 2} ,

z M L z R _s z

2 1 1

2 1 1

−

µ = ,

z M L z R _s z

1 2 2

2 2 2

−

µ = ,

albo

Rµ

z

M = z^{1 2} , 









 +

=

1 2

1 1

1 1

R s

z R L

µ µ

, 









 +

=

2 2

2 2

1 1

R s

z R L

µ µ

.

2.2. TRANSFORMATOR JEDNOFAZOWY

Rys. 2.4. Transformator jednofazowy dwuuzwojeniowy: a) schemat ogólny, b) schemat dwuobwodowy bez uwzględnienia strat w rdzeniu, c) schemat jednoobwodowy bez uwzględnienia

strat w rdzeniu, d) schemat jednoobwodowy z uwzględnieniem strat w rdzeniu przy f = const

Strumień główny Φ transformatora jednofazowego (rys. 2.4a), obejmujący uzwojenie pierwotne i wtórne, zamyka się w rdzeniu. Drogi strumieni rozproszeniowych Φs1 i Φs2 w całości bądź w części, przebiegają w powietrzu. Strumień główny jest wytwarzany przez prądy płynące w obu uzwojeniach, a strumienie rozproszeniowe - przez prądy płynące przez

L _s1

X _s1

L’s2

X‘s2

uzwojenia, z którymi jest skojarzony z osobna każdy ze strumieni. Poza tym, na strumień główny mają wpływ prądy wirowe, towarzyszące indukowaniu się napięć w miniobwodach (w rdzeniu i elementach konstrukcyjnych), oraz histereza towarzysząca przemagnesowywaniu rdzenia. Jeśli nie uwzględnia się wpływu prądów wirowych i histerezy, to schemat obwodu ma postać przedstawioną na rys. 2.4b. Odpowiada jej równanie na bilans energii w czasie dt:

dt i u dt i R dW dt i R dt i

u_{1 1} = _{1 1}² + µ + _{2 2}² + _{2 2} , w którym

2 2 1

1 d s d d s

dWµ =Θ Φ +Θµ Φ +Θ Φ ,

dt z d dt z d i R u u i R

u _{is ig} Φ^s Φ

1 1 1 1 1 1 1 1 1

1 = + + = + +

,

2 2 2 2 2

2 2 2 2

2 R i

dt z d dt z d i R u u

u = _ig − _is − = Φ − Φ^s −

, gdzie Θµ - przepływ magnesujący, który wzbudza strumień Φ^.

Z powyższych równań otrzymuje się wzór na równowagę przepływów, bez uwzględnienia strat w rdzeniu

2

1 Θ Θ

Θ = µ + . (2.12) Wzór ten dotyczy wartości chwilowych, należy więc pamiętać o wzajemnym przesunięciu faz przebiegów sinusoidalnych przepływów Θ2 i Θµ . Wzór dla wartości symbolicznych ma analogiczną postać:

2

1 Θ Θ

Θ = µ + . (2.13) Wartość chwilowa mocy elektromagnetycznej transformatora

2 2

2

2 i

dt z d i u

p_{e = ig =} Φ , po przeliczeniu na stronę pierwotną, wyraża się następująco

' 2 1

' 2

2 i

dt z d i u

p_{e = ig =} Φ .

Z porównania prawych stron tych równań otrzymuje się prąd obciążenia transformatora przeliczony na stronę pierwotną

2 2

1 ' 2

2 1

i i

z i z

ϑz

=

= (2.14) i przekładnię zwojową

2 1

1 2

g i

g i

z u

u z z =

ϑ = . (2.15)

Wiążąc przepływ Θµ z obwodem pierwotnym, określa się prąd magnesujący

z1

i_µ Θ^µ

= . (2.16)

Z zależności (1.27), (1.29) i (1.31) wynika równanie

' 2

1 i i

i = _µ + . (2.17) Równanie dla wartości symbolicznych (przy prądach sinusoidalnych) ma podobną postać

' 2

1 I I

I = _µ + . (2.18) W efekcie powyższych zabiegów można narysować jednoobwodowy schemat transformatora z dwiema równoległymi gałęziami: magnesującą i obciążeniową (rys. 2.4c).

Związane są z tym przeliczenia na stronę pierwotną:

a) prądu wtórnego - wg (2.14);

b) napięć wtórnych - wg (2.15):

2

1 z ig

g i

i u u

u = =ϑ , (2.19a)

2 '

2 u

u =ϑ_z , (2.19b) c) rezystancji i indukcyjności uzwojenia wtórnego - wg (2.14) i zależności wynikających

z równości energii:

- rozpraszanej przez rezystancję

dt i R dt i

R₂^' ₂ ^'2 = _{2 2}² , czyli

2 2 '

2 R

R =ϑ_z , (2.20) - magazynowanej w polu magnetycznym

2 2 2 '

2 1 '

2 z d _s i z d _s

i Φ = Φ ,

stąd

2 '

2 s

s Φ

Φ = , tzn.

2 2 2

1 ' 2 ' 2

z i L z

i

L = ,

czyli

2 2 '

2 L

L =ϑ_z . (2.21) Traktując obwód magnetyczny jako liniowy, można również obliczyć indukcyjność gałęzi magnesującej - ze wzoru

µ µ µ

µ Θ

Φ Φ

R z z

i L z

2 1 2

1

1 = =

= , (2.22)

gdzie R_µ – reluktancja obwodu strumienia głównego Φ ^.

Straty energii występujące w rdzeniu ferromagnetycznym, spowodowane histerezą magnetyczną i prądami wirowymi, reprezentuje wprowadzona - podobnie jak w dławiku - zastępcza gałąź z rezystancją R_Fe (rys. 2.4d), spełniającą zależność (1.14) na średnią moc strat (moc czynną) ∆^PFe przy sinusoidalnym przebiegu strumienia o częstotliwości f = const.

Na podstawie tej zależności można obliczyć wartość rezystancji

Fe i

Fe P

R U

∆

2

= . (2.23)

Przyjmując stałość parametrów schematu zastępczego transformatora dla stałej częstotli- wości (liniowość modelu), można moc chwilową strat ∆^pFe przy prądzie chwilowym i_Fe wyrazić podobnie jak moc czynną ∆^PFe przy prądzie skutecznym I_Fe (patrz - wzór (1.14):

2 2

Fe Fe Fe i Fe i

Fe u i R i

R

p = u = =

∆ . (2.24)

Ostatecznie, dla wartości chwilowych lub symbolicznych, otrzymujemy następujące równania prądów oraz przepływów:

' 2 1 i i i

i = µ + _Fe + , (2.25)

' 2

1 I I I

I = _µ + _Fe + , (2.26)

2

1 Θ Θ Θ

Θ = µ + Fe + , (2.27)

2

1 Θ Θ Θ

Θ = _µ + _Fe + . (2.28) Z równań tych wynika, że prąd pierwotny transformatora, wytwarzający przepływ Θ1, jest wymuszony przez przepływy: Θµ - konieczny do magnesowania rdzenia, ΘFe - związany ze stratami w rdzeniu, Θ2 - pochodzący od prądu wtórnego.

Przenoszenie energii w transformatorze, z obwodu pierwotnego do wtórnego, jest wynikiem wzajemnego oddziaływania przepływów Θ2 i Θ1, poprzez strumień w rdzeniu Φ^. Bez udziału strumienia magnetycznego proces ten nie mógłby się odbywać. Przedstawienie schematu zastępczego transformatora w postaci jednego obwodu elektrycznego (rys. 2.4d) nie powinno więc zaciemniać faktu, że energia jest tu przenoszona na drodze elektromagnetycznej, a ściślej: elektro-magneto-elektrycznej (przez transformację), a nie:

elektrycznej (przez przewodzenie). Częściowo elektryczne przenoszenie energii występuje w autotransformatorze, o czym będzie mowa w podrozdziale 2.3.

Schematowi zastępczemu transformatora (rys. 2.4d) odpowiada wykres wskazowy (rys. 2.5a) i wykres rozpływu mocy czynnej (rys. 2.5b). Ponieważ obciążenie transformatora może mieć różny charakter (cosϕ), a poza tym sam transformator pobiera moc czynną (strat) i bierną (magnesowania), warto więc zaznaczyć, że nie tylko moc czynna, lecz i bierna, obciąża cieplnie transformator i cały układ zasilania (prąd zależy od mocy pozornej i napięcia).

Moce występujące na rysunku 2.5b wyrażają się następująco:

1 1 1

1 ^{U I} cosϕ

P = , (2.29)

i i

e U I

P = 2^{' cos}ϕ , (2.30)

2 ' 2 ' 2 2 2 2

2 ^{U I} cosϕ ^{U I} cosϕ

P = = , (2.31)

2 1 1

1 R I

P_Cu =

∆ , (2.32)

Fe i

Fe U I

P =

∆ , (2.33)

'2 2 ' 2 2 2 2

2 R I R I

P_Cu = =

∆ . (2.34) gdzie Pe oznacza moc elektromagnetyczną (średniookresową), natomiast występujące we wzorach: napięcia, prądy i kąty fazowe, zaznaczono na rysunku 2.5a, a rezystancje - na rysunku 2.4d.

Rys. 2.5. Wykres wskazowy (a) i wykres rozpływu mocy czynnej (b) transformatora jednofazowego dwuuzwojeniowego

Powyższe analizy i wynikające z nich zależności odnoszą się do schematu transformatora sprowadzonego do strony pierwotnej (rys. 2.4c, d). Rozważania alternatywne, dotyczące schematu transformatora sprowadzonego do strony wtórnej, dają wzory analogicznej budowy.

Przy przeliczaniu jednych wielkości na drugie stosuje się następujące formuły:

2 1

i i

z U

=U

=ϑ

ϑ , U_i1 =ϑ U_i2 =U_i2^' , (2.35a, b)

2 '

2 U

U =ϑ ,

ϑ¹

' 1

U =U , (2.36a, b)

ϑ²

' 2

I = I , I₁^' =ϑ I₁ , (2.37a, b)

2 2 '

2 R

R =ϑ , ₁^{' 1}₂ ϑ

R = R , (2.38a, b)

2 2 '

2 s

s X

X =ϑ , ^' _{1 2}¹ ϑ

s s

X = X . (2.39a, b)

Moc czynną traconą w transformatorze można podzielić na:

- składnik zależny od obciążenia, stanowiący straty zmienne

2

1 Cu

Cu

v P P

P ∆ ∆

∆ = + , (2.40) - składnik niezależny od obciążenia, stanowiący straty stałe

Fe

c P

P ∆

∆ = . (2.41) Zależność (2.41) wynika z założenia stałej, niezależnej od prądu obciążenia, wartości napięcia Ui . Patrząc na rys. 2.4d łatwo zauważyć, że nie jest to zupełnie prawdziwe, ale przy

parametrach obiektów stosowanych w praktyce (odpowiednio małe wartości R₁ i X_s1 ), można zgodzić się na takie przybliżenie stanu rzeczywistego.

Sprawność transformatora obciążonego mocą czynną P, przy oznaczonych jw. stratach mocy ∆^Pv i ∆^Pc , wyraża się wzorem

c

v P

P P

P

∆ η ∆

+

= + . (2.42) Obciążenie transformatora określają wielkości występujące na zaciskach wyjściowych:

napięcie U2 =U, prąd I2 =I i współczynnik mocy cosϕ 2 = cosϕ. Przyjmuje się, że napięcie wtórne ma wartość znamionową U=U_n =const, zmiany obciążenia odbywają się przy niezmiennym współczynniku mocy cosϕ =const, a stopień obciążenia (stosunek mocy pozornej obciążenia do mocy znamionowej) wynosi

n n

n n

n

n I

I S

P I

U I U S

y= S = = =

ϕ

cos . (2.43) Straty mocy odpowiadające przyjętym warunkom wyrażają się następująco:

n v n

n v

v y P

I P I

P ²

2

∆

∆

∆  = ⋅







⋅

≅ , (2.44)

n c

c P

P ∆

∆ ≅ , (2.45) gdzie: ∆^Pv n - znamionowe straty mocy w uzwojeniach (przy prądzie znamionowym),

∆^Pc n - znamionowe straty mocy w żelazie (przy napięciu znamionowym).

Ze wzorów: (2.42), (2.43), (2.44) i (2.45), wynika wyrażenie

n c n v n

n

P P

y S

y

S y cos 2

cos

∆

∆ ϕ

η ϕ

+

⋅ +

⋅

= ⋅ (2.46)

którego wartość osiąga maksimum przy

v c n

c y P

P _max² ∆

∆ = ⋅ , czyli

v c

n c

P y_max P

∆

= ∆ , (2.47)

a wówczas, zgodnie z (2.44) i (2.45):

c

v P

P ∆

∆ = (2.48) Transformator ma największą sprawność, gdy pracuje obciążony w takim stopniu, że straty zmienne są równe stratom stałym. Podobny wniosek można sformułować także dla innych urządzeń elektrycznych.

Przetwarzanie energii w transformatorze związane jest ze zmiennym w czasie i nieruchomym w przestrzeni polem magnetycznym. W podrozdziale 2.6 korzysta się z podobnego - do schematu zastępczego transformatora - schematu zastępczego trójfazowego silnika indukcyjnego, chociaż w silniku tym występują ruchome (wirujące lub wędrujące) pola magnetyczne części nieruchomej i ruchomej. Trzeba jednak zaznaczyć, że prędkości przestrzennego przemieszczania się tych pól są jednakowe.

2.3. TRANSFORMATORY TRÓJFAZOWE

Transformator trójfazowy służy do zamiany jednego układu napięć i prądów trójfazowych na jeden lub więcej układów napięć i prądów trójfazowych, albo innych wielofazowych (dwu-, sześcio-, dwunastofazowych).

Zależnie od sposobu wykonania uzwojeń fazowych i trójfazowych transformatora trójfazowego, uzyskuje się w nim zmiany:

- wartości skutecznych napięć i prądów,

- faz początkowych (początkowego kąta fazowego) napięć międzyfazowych, - liczby napięć użytkowych,

- liczby faz.

Rys. 2.6. Rodzaje transformatorów trójfazowych, ze względu na sposób rozmieszczenia uzwojeń na rdzeniu: a) rdzeniowe, b) płaszczowe, c) pięciekolumnowe (l - kolumna, 2 - jarzmo, 3 - uzwojenie)

Rdzeń transformatora energetycznego wykonany jest z blach transformatorowych, grubości około 0,3 mm, wzajemnie od siebie izolowanych. Składa się on z kolumn (słupów) oraz łączących je jarzm. Uzwojenia transformatora osadzane są na kolumnach w różny sposób; transformatory trójfazowe mogą być wykonywane jako rdzeniowe, płaszczowe lub pięciokolumnowe (rys. 2.6).

Rys. 2.7. Rodzaje uzwojeń, ze względu na sposób ułożenia cewek górnego (g) i dolnego (d) napięcia:

a) cylindryczne, b) krążkowe

Materiałem przewodzącym używanym na uzwojenia jest miedź lub (niekiedy) aluminium.

Ze względu na oddziaływania elektrodynamiczne i łatwiejsze wykonanie, zwoje mają kształt kołowy. Uzwojenia mogą być wykonywane jako cylindryczne lub krążkowe (rys. 2.7).

Rdzeń z uzwojeniami transformatora energetycznego może być umieszczony w powietrzu lub - dla lepszego chłodzenia i izolowania - w kadzi z olejem (transformator olejowy).

W warunkach szczególnego zagrożenia pożarowego stosuje się transformatory suche.

Pod pojęciem uzwojenia fazowego transformatora rozumie się każde uzwojenie z wyprowadzonym i oznaczonym początkiem oraz końcem. Zgodnie z przyjętą zasadą oznaczania zacisków uzwojeń sprzężonych magnetycznie, początki (końce) uzwojeń tej samej fazy są jednoimienne, a faz różnych - różnoimienne (rys. 2.8). Pod pojęciem uzwojenia transformatora wielofazowego (trójfazowego) rozumie się zespół połączonych ze sobą elektrycznie uzwojeń fazowych z wyprowadzonymi i oznaczonymi początkami faz i ewentualnie punktem zerowym (neutralnym). Transformator o jednym uzwojeniu, które ma dodatkowe wyprowadzenia zwane odczepami, nazywa się jednouzwojeniowym lub auto- transformatorem, o dwóch uzwojeniach - dwuuzwojeniowym, o trzech - trójuzwojeniowym.

Rys. 2.8. Oznaczenie jednoimienności zacisków (początków P lub końców K) uzwojeń fazowych transformatora trójfazowego względem początku wybranego uzwojenia fazy A

Uzwojenie zasilane energią nazywa się pierwotnym, a uzwojenia, z których energia jest pobierana noszą nazwę uzwojeń wtórnych. Wielkościom i parametrom obwodu, odnoszącym się do uzwojenia pierwotnego, przypisany jest indeks 1, odnoszącym się zaś do uzwojeń wtórnych - indeks 2 i kolejno wyższe. Wielkości (napięcia, prądy) związane z uzwojeniem pierwotnym nazywają się wielkościami pierwotnymi, a z uzwojeniami wtórnymi - wielkościami wtórnymi.

Jeśli wartość skuteczna napięcia pierwotnego transformatora jedno- lub dwuuzwojenio- wego jest wyższa od wartości skutecznej napięcia wtórnego, to taki transformator jest nazywany transformatorem obniżającym, a jeśli zachodzi odwrotna relacja - transformatorem podwyższającym. Ponieważ transformator może być zasilany (odpowiednim napięciem) z jednej bądź z drugiej strony, stosowanie powyższych nazw ma sens jedynie wtedy, gdy rozważana jest praca transformatora w konkretnym układzie.

Transformatory o równych wartościach znamionowych napięć pierwotnych i wtórnych nazywają się transformatorami izolującymi lub separującymi.

Uzwojenie transformatora dwuuzwojeniowego pracujące przy wyższym napięciu nazywa się uzwojeniem górnym, a przy niższym - uzwojeniem dolnym. Wielkościom z nimi związanym przypisane są odpowiednio indeksy: g oraz d.

Od sposobu połączeń uzwojeń fazowych, tworzących uzwojenie górne i uzwojenie dolne transformatora trójfazowego, zależy wartość przekładni (napięciowej) i przesunięcie fazowe

napięć górnych i dolnych. Przekładnię transformatora trójfazowego wyraża stosunek napięcia międzyprzewodowego górnego do napięcia międzyprzewodowego dolnego w stanie jałowym

0 0

d g

U

=U

ϑ . (2.49)

Przesunięcie fazowe napięć międzyprzewodowych górnych względem odpowiednich napięć międzyprzewodowych dolnych podaje się jako tzw. kąt godzinowy (przy czym h=π^/6), ponieważ jest ono zawsze wielokrotnością kąta π/6, który na tarczy zegara wyraża różnicę czasu równą 1 godzinie.

Rys. 2.9. Przykłady połączeń uzwojeń fazowych transformatora trójfazowego:

a) w gwiazdę, b) w trójkąt, c) w zygzak

Uzwojenia fazowe transformatorów trójfazowych mogą być łączone w gwiazdę, trójkąt lub zygzak (rys. 2.9). Połączenie w zygzak, pozwalające na symetryczne obciążanie transformatora, stosuje się tylko w uzwojeniu dolnym o niskim napięciu. Układ połączeń uzwojeń transformatora trójfazowego oznacza się symbolem dwuliterowym: pierwsza, duża litera dotyczy uzwojenia górnego, a druga, mała - dolnego; połączeniu w gwiazdę przypisano litery Y i y, w trójkąt - D i d, a w zygzak – z. Symbol układu połączeń i kąt godzinowy określają grupę połączeń transformatora.

Rys. 2.10. Schematy uzwojeń transformatora trójfazowego obniżającego (uzwojenie pierwotne jako górne) i odpowiadające im wykresy wskazowe; grupy połączeń: a) Dy5, b) Yz11

Na rysunku 2.10 pokazano przykładowe schematy uzwojeń i odpowiadające im wykresy wskazowe napięć - z zaznaczeniem kątów godzinowych. Przyjęcie transformatora obniżającego napięcie jest odwzorowaniem sytuacji „zwykłego” odbiorcy energii. Sposób rysowania uzwojeń fazowych odpowiada nawinięciu jednokierunkowemu; napięcia fazowe są strzałkowane od końców do początków uzwojeń fazowych.

W Polsce wykonuje się transformatory energetyczne o następujących grupach połączeń:

Yy0, Yd5, Yd11, Yz5, Yz11 oraz Dy5 i Dy11. Teoretycznie, przy różnych połączeniach uzwojeń fazowych i ewentualnym przemianowaniu zacisków strony pierwotnej lub wtórnej, uzyskuje się wszystkie możliwe przesunięcia godzinowe (od 0 do 11), lecz duża różnorodność typów transformatorów komplikowałaby ich dobór do pracy równoległej.

Przez pracę równoległą transformatorów rozumie się zasilanie ich z tej samej sieci

„pierwotnej” i obciążanie poprzez tę samą sieć „wtórną” (rys. 2.11). Potrzeba grupowej, równoległej pracy transformatorów energetycznych wynika ze zmienności obciążenia sieci elektroenergetycznych i wymaganej niezawodności zasilania odbiorów.

Rys. 2.11. Schemat ideowy układu pracy równoległej dwóch transformatorów trójfazowych

Pracę równoległą transformatorów można nazwać idealną, jeśli:

- nie płyną prądy (tzw. wyrównawcze) w uzwojeniach wtórnych w stanie jałowym,

- obciążenie mocą pozorną rozkłada się proporcjonalnie do mocy znamionowych, przy tym całkowity prąd obciążenia jest algebraiczną sumą prądów obciążenia poszczególnych transformatorów (tzn. występuje zgodność kątów fazowych tych prądów).

Moc znamionowa transformatora wyraża się mocą pozorną Sn , bowiem jego wymiary geometryczne zależą od przekrojów rdzenia i uzwojeń, te natomiast są proporcjonalne, odpowiednio, do napięcia U_n i prądu I_n :

n n

n U I

S = 3 , (2.50) Aby nie było prądów wyrównawczych, kąty godzinowe oraz przekładnie transformatorów pracujących równolegle powinny być jednakowe.

Spełnienie podanych wyżej cech prawidłowej obciążalności transformatorów zobrazowano na uproszczonym wykresie wskazowym (rys. 2.12b). Trójkąty wewnętrznych spadków napięć (o bokach równych: Rz I, j Xz I, Zz I) w transformatorach pracujących równolegle, obciążonych prądami znamionowymi I = I_n , muszą być jednakowe, a to oznacza równość iloczynów Zz In oraz kątów zwarciowych ϕ_zn^.

Rys. 2.12. Uproszczone schematy zastępcze i wykresy wskazowe transformatorów pracujących:

a) pojedynczo, b) parami, przy dokładnym spełnieniu warunków pracy równoległej

Napięcie zwarcia transformatora trójfazowego wyraża się wzorem

n z

z Z I

U = 3 , (2.51) gdzie impedancja zwarcia (moduł zespolonej impedancji zwarcia)

2 2

z z z

z z

z Z R j X R X

Z = = + = + . (2.52) Warunek równości iloczynów Zz In sprowadza się do równości napięć zwarcia transformatorów przy pracy równoległej.

Wartości napięcia zwarcia transformatorów można obliczyć, zależnie od potrzeby, dla sieci

„pierwotnej” lub „wtórnej” (strony pierwotnej lub wtórnej transformatorów). W praktyce korzysta się z procentowego napięcie zwarcia (wartość podawana w katalogach), związanego z innymi wielkościami transformatora w sposób następujący:

% 2

% 2

% 100 2 100 _{Rz Xz}

n n z n

n z

z u u

U Z S U

u =U ⋅ = ⋅ = + , (2.51)

gdzie: U_n - napięcie znamionowe po właściwej stronie transformatora,

U_{z n} - napięcie zwarcia dla znamionowego prądu obciążenia po stronie jw., uR z% , uX z% - czynne i bierne, procentowe napięcie zwarcia.

Wartość uR z% wyznacza się na podstawie zależności:

2 2 2

2

3 3

3

n n z n

n z n

z

Cu U

R S U

R S I

R

P  =









= 

∆ = , (2.52a)

2 %

% 100 100 _Rz

n n z n

Cu

Cu u

U R S S

p = ∆P ⋅ = ⋅ =

∆ , (2.52b)

gdzie: ∆^PCu - obciążeniowe straty mocy przy napięciu znamionowym, w W,

∆^pCu% - obciążeniowe straty mocy, w procentach mocy znamionowej.

Na podstawie danych katalogowych transformatora trójfazowego można obliczyć m.in. wartości elementów podłużnych jego schematu zastępczego: Rz , Xz i Zz (rys. 2.12a), przekształcając podane wyżej do następujących postaci:

% = ⋅100

n Cu Rz

S u ∆P

, (2.53)

% 2

% 2

% z Rz

Xz u u

u = − , (2.54)

n n z

z S

U Z u

2

%

100⋅

= , (2.55a)

n n Rz

z S

u U R

2

%

100 ⋅

= , (2.55b)

n n Xz

z S

u U X

2

%

100 ⋅

= , (2.55c)

Schematy i wykresy pokazane na rys. 2.12 dotyczą sieci „wtórnej” (strony wtórnej transformatorów). Jeśli znane są impedancje zwarcia pracujących równolegle takich dwóch transformatorów ZzI i ZzII , oraz całkowity prąd obciążenia I2 (wartość skuteczna), to prądy obciążenia tych transformatorów (wartości skuteczne) wynoszą:

I2

Z Z I Z

zII zI

zII

I ⋅

= + , (2.56a)

I2

Z Z I Z

zII zI

zI

II ⋅

= + . (2.56b) Wartość kąta zwarciowego transformatora ϕ_zn uwarunkowana jest względami konstruk- cyjnymi i zależy przede wszystkim od jego mocy znamionowej. Warunek równości kątów zwarciowych przy pracy równoległej może być ściśle spełniony tylko w przypadku transformatorów o zbliżonych mocach znamionowych.

Podane warunki pracy równoległej transformatorów trójfazowych w praktyce sprowadzają się do wymagań:

- przynależności do grup połączeń o tym samym kącie godzinowym, - równości przekładni z dokładnością ±0,5%,

- równości napięć zwarcia z dokładnością ±10%, - stosunku mocy znamionowych nie większym niż 3:1.

Oczywiście, układy połączeń transformatorów trójfazowych przy pracy równoległej mogą być różne, byle kąty godzinowe i przekładnie były jednakowe oraz spełnione były pozostałe dwa warunki.

Na wybór układu połączeń transformatora trójfazowego mają wpływ: układ sieci, koszt budowy uzwojeń, typ rdzenia oraz wymagania dotyczące występowania nieskompenso- wanych składowych (harmonicznych i zerowych) strumieni fazowych.

Wyższe harmoniczne strumieni fazowych powstają na skutek nieliniowości obwodu magnetycznego (nasycenia żelaza) lub nieliniowości odbiornika (np. prostownikowego), a składowe symetryczne zerowe - na skutek niesymetrii obciążenia faz. Jeśli transformator

trójfazowy jest wykonany jako rdzeniowy, a harmoniczne rzędu równego wielokrotności liczby 3 lub składowe zerowe strumieni fazowych nie są skompensowane, to zamykają się one na drodze wiodącej przez powietrze i elementy konstrukcyjne (rys. 2.13). Powstają przy tym straty mocy oraz indukują się dodatkowe napięcia fazowe. W transformatorze, który ma jedno z uzwojeń (główne lub dodatkowe) połączone w trójkąt, zjawisko to nie wystąpi, ponieważ zamknięte uzwojenie trójkąta umożliwia przepływ prądu kompensacyjnego, tzn. wytwarzającego fazowe strumienie kompensujące. Dokładniejsze wyjaśnienie tych zagadnień można znaleźć w literaturze.

Rys. 2.13. Obwody magnetyczne nieskompensowanych składowych strumieni fazowych (harmonicznych rzędu wielokrotności cyfry 3 oraz składowych symetrycznych zerowych)

w trójfazowym transformatorze: a) rdzeniowym. b) pięciokolumnowym

W energetyce stosuje się często transformatory trójfazowe jednouzwojeniowe (autotransformatory) i trójuzwojeniowe. Korzyści, w stosunku do pełniących takie same zadania transformatorów dwuuzwojeniowych, wyrażają się niższym kosztem urządzeń i mniejszymi stratami mocy, natomiast wady - wzajemnym oddziaływaniem obwodów wtórnych transformatorów trójuzwojeniowych oraz małą impedancją zwarciową (dużym prądem zwarciowym) autotransformatorów.

Uzwojenia fazowe w autotransformatorach trójfazowych są połączone w gwiazdę; punkt neutralny jest wspólny dla napięć pierwotnych i wtórnych. Z tego względu, w elektro- energetyce stosuje się autotransformatory wyłącznie w sieciach NN i WN, pracujących z bezpośrednio uziemionym punktem neutralnym.

Rys. 2.14. Schematy uzwojeń fazowych autotransformatorów: a) podwyższających. b) obniżających

Na rysunku 2.14 pokazane są schematy uzwojeń fazowych autotransformatorów podwyższających oraz obniżających (napięcie). Jeśli pominie się prąd stanu jałowego oraz przyjmie

d g d g

z U

U z z =

=

=ϑ

ϑ , (2.57)

to można napisać zależności:

fp d fd g

fg I U I S

U = = , (2.58)

(

)

fd g

fa I U I I U I S

U = − = = , (2.59) gdzie: Sfp - fazowa moc przechodnia,

Sfw - fazowa moc własna (elektromagnetyczna) .I_w - prąd w części wspólnej uzwojeń fazowych.

Z porównania wzorów (2.58) i (2.59) otrzymuje się stosunek

g d d

w fp fw

z z I

I S

S = = −1=1− ϑ

ϑ , (2.60)

który określa, jaka część mocy pobieranej przez odbiór jest przekazywana do obwodu wtórnego w wyniku transformacji (pozostała część - w wyniku przewodzenia), a także - jaka część prądu Id płynie przez wspólną część uzwojenia o liczbie zwojów zd . Zatem, jeśli wartość przekładni jest bliska jedności, czyli z_d prawie równe z_g , to prąd I_w , płynący przez zd zwojów, jest znacznie mniejszy od prądu Id , płynącego przez (zg – zd ) zwojów, a moc własna Sw - znacznie mniejsza od mocy przechodniej Sp . Autotransformator, w porównaniu z transformatorem dwuuzwojeniowym o mocy znamionowej równej jego mocy przechodniej, jest więc tańszy w wykonaniu (z_d zwojów z cieńszego drutu - w każdej fazie) i w eksploatacji (mniejsze straty energii).

2.4. ELEKTROMECHANICZNE PRZETWORNIKI ENERGII O POLU MAGNETYCZNYM

Rys. 2.15. Przetworniki elektromechaniczne: zasilane jednostronnie (a, b) i dwustronnie (c, d);

o ruchu postępowym (a) i obrotowym (b, c, d); magnetycznie symetryczne (a, c) i asymetryczne z wirnikiem o biegunach wydatnych (b, d)

Elektromagnesy z ruchomą zworą, głośniki elektrodynamiczne, maszyny elektryczne i większość mierników elektrycznych zaliczamy do elektromechanicznych przetworników energii o polu magnetycznym. Przy udziale pola magnetycznego przetwarzają one energię elektryczną na mechaniczną (silniki, siłowniki, mierniki elektryczne), mechaniczną na elektryczną (prądnice, czujniki generatorowe typu elektrodynamicznego lub elektro- magnetycznego) albo energię elektryczną z jednego rodzaju na drugi (przetwornica jednotwornikowa). Główny obwód magnetyczny przebiega przez część ruchomą i część nieruchomą przetwornika. Gdy tylko na jednej z nich znajdują się uzwojenia (rys. 2.15a, b), przetwornik nosi nazwę zasilanego jednostronnie, a gdy uzwojenia są na obu (rys. 2.15c, d) - zasilanego dwustronnie.

W odróżnieniu od transformatora, główny obwód magnetyczny elektromechanicznych przetworników energii - w mniejszej lub większej części, a niekiedy nawet w całości (np. w miernikach elektrodynamicznych) - przebiega w powietrzu. Ponieważ przenikalność magnetyczna względna stali transformatorowej jest rzędu 7000÷10000, a czystego żelaza dochodzi do 200000, łatwo dojść do wniosku, że praktycznie cała energia pola magnetycznego gromadzi się w powietrznej części drogi strumienia głównego, nawet gdy jest to tylko niewielka szczelina. Zasada ta stosuje się również do elektromagnesów z przyciąg- niętą zworą, gdyż pozostaje w nich zwykle szczelina „niemagnetyczna”, wprowadzona konstrukcyjnie, aby uniknąć „klejenia się” zwory i zbyt silnych jej uderzeń o rdzeń.

Na skutek występowania szczelin powietrznych w obwodach magnetycznych, ich charakterystyki magnesowania można uważać w przybliżeniu za liniowe. Pozwala to na operowanie pojęciami reluktancji, indukcyjności własnych i wzajemnych, zależnych wyłącznie od współrzędnych geometrycznych, tzn. długości szczelin powietrznych lub kątów przestrzennego usytuowania cewek, a niezależnych od prądów.

Źródłem energii pola magnetycznego są prądy płynące w uzwojeniach. Energia zgromadzona w polu magnetycznym W_µ zależy od strumienia magnetycznego Φ i współrzędnej geometrycznej: liniowej x (rys. 2.15a) lub kątowej γ (rys. 2.15b, c, d).

Zwykle spotyka się układ z jednym mechanizmem i jednym lub większą liczbą obwodów elektrycznych, tzn.

(

)

W

W_µ = _µ Φ, lub Wµ =Wµ

(

)

∑

=

= ⁿ

k k 1

Φ

Φ (n - liczba obwodów elektrycznych).

Proces elektromechanicznego przetwarzania energii wyraża się równaniem

e

z dW dA

dW = _µ + , (2.61) w którym: dWz - energia elektryczna dostarczona z zewnątrz do układu,

dW_µ - przyrost energii magnetycznej układu,

dAe - praca mechaniczna wykonana przez układ (przez siły elektromagnetyczne).

Z rozważań wyłączono straty energii, gdyż nie są one bezpośrednio związane z przemianą elektromechaniczną, tzn. mogą być uważane za składnik energii układu zewnętrznego.

Gdy dWz > 0 i dAe > 0, to energia elektryczna zamienia się w przetworniku na pracę mechaniczną. Gdy dW_z < 0 i dA_e < 0, to praca mechaniczna zamienia się na energię elektryczną. Ogólnie, w tych oraz innych przypadkach przemiany elektromechanicznej, przyrost energii magnetycznej układu dW_µ może być dowolny (dodatni, ujemny, albo równy zeru). Jeśli w czasie przemiany energia magnetyczna układu nie zmienia się (dW_µ = 0),

to proces ten określa się jako stabilny, a stan pracy przetwornika - jako ustalony.

Jeśli natomiast energia magnetyczna układu zmienia się (dW_µ≠ 0), to proces określa się jako niestabilny, a stan pracy przetwornika - jako nieustalony (przejściowy). Przyrosty: dWz , dAe oraz dW_µ mogą mieć w stanach nieustalonych dowolne znaki, ale oczywiście bilans energii musi być zachowany.

Zasadnicze znaczenie dla przemiany ma zależność energii pola magnetycznego układu od współrzędnych elektrycznych i mechanicznych. W związku z tym, równanie (2.61) zapisano w następującej postaci:

e

z dA

dW

dW_µ = − . (2.61a) Jeśli współrzędne energii pola - elektryczne Φk i mechaniczna x - są niezależne, to przyrost energii pola wyraża się różniczką zupełną

x dx d W

dW W

n

k

k

1 k ∂

+∂

∂

=

∑

=

µ µ

µ Φ

Φ . (2.62) Ogólnie można przyjąć, że w czasie dt zachodzi zamiana energii elektrycznej na pracę mechaniczną, tzn. układ elektromechaniczny pobiera energię z n obwodów elektrycznych

∑

∑

=

= ⁿ

k

k k n

k k ik

z u i dt d

dW

1 1

Φ

Θ (2.63)

i oddaje do mechanizmu o ruchu postępowym dx f

dA_e = _e (2.64) lub obrotowym

γ d m

dA_e = _e , (2.65) gdzie: fe , me - wartości chwilowe siły lub momentu elektromagnetycznego,

dx, dγ - liniowe lub kątowe przemieszczenie elementarne ruchomej części przetwornika.

Na podstawie: (2.61a), (2.63) i (2.64), przyrost energii pola przetwornika o ruchu postępowym wyraża się wzorem

dx f d

dW _e

n

k

k k 1

−

=

∑

=Θ Φ

µ . (2.66) Z tożsamościowego porównania (2.62) i (2.66) wynikają związki:

k k

W Θ Φ^µ

∂

= ∂ , (2.67)

x f_e W

∂

−∂

= ^µ . (2.68)

Analogiczne postępowanie, dotyczące przetwornika o ruchu obrotowym, daje (2.67) oraz

γ

µ

∂

−∂

= W

m_e . (2.69)