Analiza płyt i powłok MES Zagadnienie wyboczenia

(1)

Analiza płyt i powłok MES Zagadnienie wyboczenia

Wykład 3 z MKwIL, kierunek Budownictwo

Jerzy Pamin i Marek Słoński

Katedra Technologii Informatycznych w Inżynierii Politechnika Krakowska

Podziękowania:

M. Radwańska, J. Jaśkowiec, A. Wosatko ADINA R&D, Inc.http://www.adina.com ANSYS, Inc. http://www.ansys.com ROBOT http://www.autodesk.com

MKwIL, Budownictwo II st.

Zakres wykładu

Elementy skończone dla płyt zginanych Elementy skończone dla powłok

Katastrofy budowlane

MES w symulacji wyboczenia Zjawisko wyboczenia

Algorytm analizy wyboczenia MES Zagadnienia nieliniowe

(2)

Podręczniki

Klasyfikacja modeli i elementów skończonych

Obniżenie wymiarowości:

I ustroje prętowe (geometrycznie jednowymiarowe)

I ustroje powierzchniowe (dwuwymiarowe)

I ustroje bryłowe (trójwymiarowe)

Elementy skończone dla mechaniki:

I 1D - kratowy (truss)

I 1.5D - belkowy (beam), ramowy (frame)

I 2D - PSN (panel, plane stress), PSO (plane strain), symetria osiowa (axial symmetry)

I 2.5D - płytowy (plate/slab), powłokowy (shell)

I 3D - bryłowy (volume)

(3)

Płyta zginana [1,2,7]

Podstawowa niewiadoma:

ugięcie w (x , y )

Naprężenia (uogólnione)

Rysunki zaczerpnięte z podręcznika: G. Rakowski, Z. Kacprzyk, Metoda elementów skończonych w mechanice konstrukcji

Zginanie - odkształcenia i naprężenia uogólnione

Teoria płyt cienkich Kirchhoffa-Love’a

Krzywizny i spaczenie

e^m = {κ_x, κ_y, κ_xy}

Momenty zginające i skręcające

m = {m_x, m_y, m_xy}

(4)

Prostokątny element skończony do analizy płyt [1,2,7]

Węzłowe stopnie swobody i siły

Funkcje kształtu Hermite’a

Uwaga na zadawanie warunków brzegowych (kinematycznych i statycznych)

Powłoka

Geometria powłoki

(5)

Powłoka - naprężenia uogólnione

Teoria powłok cienkich mało wyniosłych

Stan naprężenia w powłoce

Siły tarczowe + zginanie (wpływ ścianania poprzecznego pominięty)

Elementy skończone do analizy płyt i powłok [1,2,7]

Teoria Reissnera-Mindlina powłok umiarkowanie grubych

Kąty obrotu są niezależnie aproksymowane

Element skończony Ahmada - zdegenerowane continuum

Uwzględniony wpływ ścinania poprzecznego

(6)

Katastrofa platformy Sleipner A, Norwegia 1991

I Żelbetowa platforma wirtnicza posadowiona na głębokości 82 m, podstawa złożona z 24 komór o średnicy 12 m (4 wspierają pomost)

I Przyczyna zatonięcia konstrukcji podstawy podczas operacji posadowienia:

błąd w obliczeniach MES trójnika łączącego komory (niedoszacowanie siły ścinającej o 47%) i niewystarczające zakotwienie zbrojenia w strefie

krytycznej

Rysunki z www.ima.umn.edu/∼arnold/disasters/sleipner.html

Sampoong Department Store, Seul, 1995

I Zaprojektowany jako budynek biurowy (4 kondygnacje pod ziemią), przeprojektowany na dom towarowy z atrium i lodowiskiem na dachu (usunięto część słupów)

I Otwarty w czerwcu 1990, potem nadbudowano 4. pietro z restauracjami i instalacją klimatyzacyjną (obciążenie przekroczyło założone

czterokrotnie), obserwowano zarysowanie górnego stropu

I Przyczyny: zbyt słabe słupy - φ 60 (potrzebne φ 80); brak właściwego projektu przy zmianach funkcji, niedostateczny monitoring, brak wyobraźni

(7)

Airport Paris Charles de Gaulle, Terminal 2E, 2004

I Zespolona przeszklona konstrukcja powłokowa w kształcie rury, swobodnie podparte sklepienie osłabione licznymi otworami

I Zaprojektowany przez architekta Paula Andreu (zaprojektował również terminal 3 w Dubai International Airport, który zawalił się podczas budowy), oddany w roku 2003

I Przyczyna: zbyt mały margines bezpieczeństwa w projekcie,

prawdopodobnie także błedy wykonawcze i/lub niedostatecznie dobry beton

Rysunki zaczerpnięte z www.equipement.gouv.fr

Wnioski z katastrof budowlanych

I Konieczna wiedza i doświadczenie z (zaawansowanej) mechaniki i zasad projektowania

I Konieczny monitoring, szybka ocena stanów awaryjnych

I Można było uniknąć części awarii budowlanych stosując lepsze modele mechaniczne i symulacje komputerowe

Rysunki zaczerpnięte z www.architectureweek.com

Symulacje komputerowe stwarzają bezcenne możliwości, ale tylko świadomemu użytkownikowi MES

(8)

Zjawisko wyboczenia

Założenia liniowej analizy wyboczenia:

I obciążenie jest jednoparametrowe, zmieniające się proporcjonalnie do parametru obciążenia λ

P = λP^∗

I obciążenie jest zachowawcze, tzn. nie zmienia kierunku podczas odkształcania się konstrukcji

I ustrój (pręt, tarcza, powłoka) jest idealny, bez geometrycznych, materiałowych czy obciążeniowych imperfekcji, które zaburzają idealny stan przedwyboczeniowy

I materiał jest liniowo sprężysty (obowiązuje prawo Hooke’a)

Zjawisko wyboczenia c.d.

Obciążenie P_kr = λ_krP^∗ to obciążenie krytyczne, po osiągnięciu

którego następuje wyboczenie, gdzie przez P^∗ oznaczono tzw. obciążenie konfiguracyjne odpowiadające λ = 1.

Cechą charakterystyczną utraty stateczności przez wyboczenie jest zasadnicza zmiana formy deformacji układu konstrukcyjnego z naprężeniami ściskającymi w całym układzie lub jego części.

Źródło: E. Ramm, Buckling of Shells, Springer-Verlag, Berlin 1982

(9)

Przykłady zjawiska wyboczenia

Kryterium statyczne utraty stateczności (przez wyboczenie) polega na badaniu równowagi bliskich stanów przed- i powyboczeniowych. Zjawisko wyboczenia zostanie pokazane dla:

I pojedynczego pręta przegubowo podpartego,

I wysokiej belki wspornikowej,

I tarczy jednokierunkowo ściskanej, przegubowo podpartej na obwodzie,

I powłoki walcowej z ciśnieniem normalnym, utwierdzonej na dolnym konturze.

Wyboczenie pojedynczego pręta

Przed wyboczeniem:

pręt:

I ma prostoliniową oś,

I jest wyłącznie ściskany (nie zginany).

Po wyboczeniu:

pręt:

I ma zakrzywioną oś,

I jest ściskany i zginany.

(10)

Wyboczenie wysokiej belki wspornikowej

Przed wyboczeniem:

I belka zginana w płaszczyźnie z obciążeniem siłą prostopadłą do osi belki, przyłożoną na swobodnym końcu

X

Y

Przemieszczenia belki w stanie przedwyboczeniowym

Po wyboczeniu:

I następuje zwichrzenie (giętno-skrętna deformacja)

Wyboczenie wysokiej belki wspornikowej c.d.

Z X

Postacie wyboczenia

(11)

Wyboczenie tarczy jednokierunkowo ściskanej

Przed wyboczeniem:

mamy idealny stan tarczowy:

I tarcza o idealnej płaszczyźnie środkowej,

I obciążenie jednokierunkowo ściskające, działające idealnie w płaszczyźnie środkowej.

Po wyboczeniu:

powstaje stan giętny:

I z niezerowymi przemieszczeniami prostopadłymi do płaszczyzny środkowej,

I z krzywiznami i momentami zginającymi.

Wyboczenie tarczy jednokierunkowo ściskanej (ANSYS, [4])

Pierwsza i druga forma wyboczenia

Trzecia i czwarta forma wyboczenia

(12)

Wyboczenie powłoki walcowej

ściskanej radialnym ciśnieniem zewnętrznym

Przed wyboczeniem:

panuje w powłoce:

I stan osiowo symetryczny,

I w większości obszaru powłoki długiej stan bezmomentowy,

I w sąsiedztwie konturu utwierdzonego stan giętny.

Po wyboczeniu:

następuje zasadnicze zaburzenie osiowej symetrii:

I powstają pofalowania w kierunku obwodowym,

I liczba półfal jest różna dla kolejnych wartości mnożników krytycznych obciążenia.

Wyboczenie powłoki c.d. (ANSYS, [4])

Kolejne formy wyboczenia

(13)

Ogólna analiza wyboczenia [2,3]

Kryterium energetyczne wyboczenia

Kryterium energetyczne polega na analizie przyrostu energii potencjalnej Π przy przejściu od stanu przed- do powyboczeniowego. Rozważamy dwa sąsiednie stany:

I stan (I) równowagi, dla którego:

δΠ^{(I )} = 0

I stan (II) równowagi, dla którego:

δΠ^{(II )} = δΠ^{(I )}+ δ∆Π = 0

I energetyczne kryterium stanu krytycznego: δ∆Π = 0.

Algorytm analizy wyboczenia MES

Równanie macierzowe dla całego układu opisujące utratę stateczności przez wyboczenie:

[K₀ + λK_σ(s^∗)]v = 0 lub

{K₀+ λ[K_σ(s^∗) + K_u1(g^∗)]}v = 0

gdzie:

I macierz liniowej sztywności układu K₀

I macierz sztywności naprężeniowej K_σ(s^∗) oraz macierz sztywności przemieszczeniowej K_u1(g^∗)

I poszukiwany mnożnik krytyczny obciążenia λ_kr

I poszukiwana postać deformacji powyboczeniowej, opisana za pomocą wektora v = ∆d

(14)

Statyka stanu przedwyboczeniowego

Algorytm etapu I:

1. Obliczamy globalną macierz sztywności K₀

2. Obliczamy wektor węzłowych zastępników obciążenia

konfiguracyjnego P^∗, dla parametru obciążenia λ = 1, przy założeniu obciążenia jednoparametrowego P = λP^∗

3. Uwzględnieniamy kinematyczne warunki brzegowe 4. Rozwiązujemy układ równań K₀· d^∗ = P^∗, otrzymując

przemieszczenia węzłowe w stanie przedwyboczeniowym:

d^∗ = K⁻¹₀ · P^∗

5. Na podstawie przemieszczeń całego układu d^∗ i danego elementu d^∗e - obliczamy wewnątrz elementu:

I gradienty przemieszczeń g^∗e oraz

I uogólnione naprężenia s^∗e.

Analiza wyboczenia

Algorytm etapu II:

1. Generujemy:

- macierze sztywności naprężeniowej dla wszystkich elementów K^e_σ(s^∗e) i całej konstrukcji K_σ(s^∗)

- ewentualnie macierz sztywności przemieszczeniowej K_u1(g^∗) 2. Formułujemy niestandardowy (uogólniony) problem własny,

odpowiadający

problemowi zlinearyzowanemu: [K₀+ λ(K_σ + K_u1)]v = 0 lub problemowi początkowemu: [K₀+ λK_σ]v = 0

3. Rozwiązujemy problem własny, wyznaczając pary (λ₁, v₁), . . ., (λ_N, v_N)

gdzie:

I N – liczba stopni swobody układu

I λ_i – wartość własna - parametr krytycznego obciążenia

I v_i = ∆d_i – wektor własny - postać powyboczeniowej deformacji

(15)

Wyboczenie tarczy

Wyboczenie tarczy w stanie czystego zginania tarczowego [5]

Założenia:

I tarcza ma idealną płaszczyznę środkową,

I obciążenie leży idealnie w płaszczyźnie środkowej,

I obciążenie jest jednoparametrowe, zmieniające się przez parametr λ.

Obciążenie wywołujące stan czystego zginania tarczowego Obliczenia:

I numeryczne MES (ANKA i ROBOT): rozwiązania przybliżone

I analityczne: rozwiązania dokładne

Wyboczenie idealnej tarczy - dane

I wymiary: L_x = L_y = 1.16 m, h = 0.012 m

I stałe materiałowe: E = 2.05 · 10⁸ kN/m², ν = 0.3

I konfiguracyjne tarczowe obciążenie konturowe odpowiadające płaskiemu zginaniu: |px ,max ,min^∗ | = 1.0 kN/m

I dwa przypadki warunków podparcia płyty na obwodzie:

a) przegubowe podparcie (na rysunku z prawej) b) utwierdzenie (na rysunku z lewej)

(16)

Wyboczenie przy zginaniu tarczowym

Obliczenie wartości obciążenia krytycznego:

Obciążenie i deformacja w stanie przedwyboczeniowym

Rozwiązania analityczne dla tarczy:

I przegubowo podpartej: p_kr^{zg ,analit} = ^25.6·π²^·D^m

L²_x = 6077 kN/m

I utwierdzonej: p_kr^{zg ,analit} = ^39.0·π²^·D^m

L²_x = 9259 kN/m

Rozwiązania numeryczne (ANKA, siatka 8 × 8 ES) dla tarczy:

I przegubowo podpartej: p_kr^{zg ,MES} = 6028 kN/m

I utwierdzonej: p_kr^{zg ,MES} = 11304 kN/m

Rozwiązania numeryczne (ROBOT, siatka 12 × 12 ES) dla tarczy:

I przegubowo podpartej: p_kr^{zg ,MES} = 6241 kN/m

I utwierdzonej: p_kr^{zg ,MES} = 11666 kN/m

Zginanie tarczowe w stanie przedwyboczeniowym

Rozkład siły tarczowej n_x dla tarczy przegubowo podpartej (z lewej) i utwierdzonej (z prawej)

(17)

Zginanie tarczowe, postacie powyboczeniowe

Dwie pierwsze postacie powyboczeniowe dla tarczy przegubowo podpartej (ROBOT)

Zginanie tarczowe, postacie powyboczeniowe

Dwie pierwsze postacie powyboczeniowe dla tarczy utwierdzonej (ROBOT)

(18)

Wyboczenie blachownicy – dane i warianty

I wymiary: L_x = L_y = 1.16 m, h_s = 0.012 m, h_p = 0.018 m

I stałe materiałowe: E = 2.05 · 10⁸ kN/m², ν = 0.3

I konfiguracyjne tarczowe obciążenie konturowe:

|p^∗_{x ,min,max}| = 1.0 kN/m

I dwa warianty analizy wyboczenia blachownicy:

wariant 1: badanie lokalnego wyboczenia środnika

wariant 2: wyboczenie dźwigara składającego się ze środnika i dwóch półek

Wariant 1: wyboczenie środnika

Lokalne wyboczenie środnika:

I wyizolowany środnik, współpracujący w rzeczywistości z półkami i żebrami, może mieć zadane różne warunki brzegowe na liniach połączenia z półkami oraz z pionowymi żebrami

I w skrajnych przypadkach można na całym obwodzie przyjąć linie:

a) przegubowo podparte b) zamocowane

I stan rzeczywisty jest stanem pośrednim

I przykłady rozwiązane poprzednio służą ilustracji wyboczenia samego środnika

(19)

Wariant 2: wyboczenie segmentu blachownicy

Analiza wyboczenia dźwigara:

I wykonując obliczenia przy użyciu programu ROBOT zbudowano model dyskretny:

dźwigara składającego się ze środnika (12 × 12) i dwu półek (4 × 12) przy obciążeniu wywołującym zginanie dźwigara

I wyniki numeryczne (ROBOT):

I p_kr^{bl ,MES} = 9068 kN/m

I porównanie wartości sił krytycznych obliczonych MES (ROBOT):

I dla wyizolowanego środnika:

- przegubowo podpartego (pp) - utwierdzonego (ut)

I całego dźwigara (bl)

p^{zg ,pp,MES} < p^{bl ,MES} < p^{zg ,ut,MES}

6241 kN/m < 9068 kN/m < 11666 kN/m

Zginanie blachownicy w stanie przedwyboczeniowym

Rozkład siły tarczowej n_x dla blachownicy

(20)

Postacie powyboczeniowe blachownicy

Dwie postacie powyboczeniowe zginanej blachownicy (ROBOT)

Analiza wyboczenia powłoki walcowej stalowego zbiornika

pakietem ABAQUS [6]

(21)

Źródła nieliniowości

Spowodowane zmianą geometrii ciała (odkształcalnego)

I duże odkształcenia (np. guma, formowanie metali)

I duże przemieszczenia (np. konstrukcje smukłe, cienkościenne)

I kontakt (oddziaływanie stykających się ciał)

I obciążenie śledzące (zależne od deformacji ciała) Spowodowane nieliniowymi związkami konstytutywnymi

I plastyczność (odkształcenia trwałe)

I uszkodzenie (degradacja własności sprężystych)

I zarysowanie (kontynualna reprezentacja rys)

I . . .

Literatura

[1] G. Rakowski, Z. Kacprzyk. Metoda elementow skończonych w mechanice kostrukcji.

Oficyna Wyd. PW, Warszawa, 2005.

[2] M. Radwańska. Ustroje powierzchniowe, podstawy teoretyczne oraz rozwiązania analityczne i numeryczne. Wydawnictwo PK, Kraków, 2009.

[3] Z. Waszczyszyn, C. Cichoń, M. Radwańska. Stability of Structures by Finite Elements Methods. Elsevier, 1994.

[4] M. Bera. Analiza utraty stateczności wybranych tarcz i powłok sprężystych metodą elementów skończonych. Praca dyplomowa, Politechnika Krakowska, Kraków, 2006.

[5] M. Radwańska, E. Pabisek. Zastosowanie systemu metody elementów skończonych ANKA do analizy statyki i wyboczenia ustrojów powierzchniowych. Pomoc dydaktyczna PK, Kraków 1996.

[6] M. Chojnacki. Projekt zbiornika stalowego i nieliniowa analiza wyboczenia powłoki z imperfekcjami. Praca dyplomowa, Politechnika Krakowska, Kraków, 2014.

[7] M. Radwańska, A. Stankiewicz, A. Wosatko, J. Pamin. Plate and Shell Structures. Selected Analytical and Finite Element Solutions. John Wiley & Sons, 2017.