ODPOWIEDZI I SCHEMAT PUNKTOWANIA – ZESTAW NR 1 POZIOM PODSTAWOWY
Nr zadania
Nr
czynnoĞci Etapy rozwiązania zadania Liczba
punktów Uwagi
1.1
Obliczenie wyróĪnika oraz pierwiastków trójmianu 2 2 53 260
y x x : ' 729, 1 1 62
x , x1 . 20 1
1.2 Zapisanie zbioru rozwiązaĔ nierównoĞci: 1 6 , 20
x¨§© 2 ·¸¹. 1 Zbiór rozwiązaĔ nierównoĞci moĪe byü zaznaczony na wykresie.
1
1.3 Wypisanie wszystkich liczb caákowitych, które speániają
nierównoĞü: 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19. 1
x Zdający moĪe ustaliü liczby caákowite, które speániają nierównoĞü na
podstawie sporządzonego wykresu.
x Przyznajemy punkt, gdy zdający zapisze, np. 7, 8, 9, ..., 19.
2.1
Zapisanie wielomianu w postaci sumy iloczynów, w których wystĊpuje ten sam czynnik, np:
x x2
x2
9 x2
W .
1
2.2 Zapisanie wielomianu w postaci W
x x3 x3
x2
i podanie wszystkich jego pierwiastków: x 3, x 2, x 3. 1 2.3 Zapisanie wielomianu P
x w postaci rozwiniĊtej:
x x3 2x2 9x18
P . 1
2.4 WyciągniĊcie wniosku dotyczącego równoĞci wielomianów:
Wielomiany W
x i P
x są równe. 1
Punkt przyznajemy za wniosek konsekwentny do uzyskanej postaci wielomianu P
x .
2.5
Podanie metody pozwalającej ustaliü znak wielomianu W(x) dla 10
x! , np. poprzez analizĊ znaków czynników wystĊpujących w rozkáadzie wielomianu.
1 Akceptujemy uzasadnienie poprzez rozwiązanie nierównoĞci.
2
2.6 Wykazanie nierównoĞci, np. x32x2 ! 9x 18 0
3, 2
3,
x f i zapisanie, Īe 10 3! . 1
2.1
II sposób rozwiązania (czynnoĞü 2.1, 2.2):
Znalezienie jednego z pierwiastków i wykonanie dzielenia, np.
x32x2 9x 18 :
x . 3
x2 5x 6 1
2.2 Wyznaczenie pozostaáych pierwiastków: x 3, x 2. 1
Wyznaczanie pierwiastków wielomianu moĪe siĊ odbywaü dowolną, znaną zdającemu metodą, np. zastosowanie twierdzenia Bezouta, schematu Hornera.
3.1 Obliczenie liczby wszystkich moĪliwych kodów PIN: 9999 lub
104 . 1 1
Punkt przyznajemy takĪe wtedy, gdy liczba 9999 pojawia siĊ tylko w mianowniku uáamka przedstawiającego
prawdopodobieĔstwo.
3.2 Obliczenie liczby wszystkich kodów o róĪnych cyfrach: 5040. 1
Punkt przyznajemy takĪe wtedy, gdy liczba 5040 jest przedstawiona jako iloczyn
7 8 9
10 , oraz wtedy, gdy liczba pojawia siĊ tylko w liczniku uáamka
przedstawiającego prawdopodobieĔstwo.
3
3.3
Obliczenie prawdopodobieĔstwa i zapisanie go w postaci uáamka nieskracalnego:
1111
560 . 1
4.1 a) 4. 1
4.2 b) 2005. 1
4
4.3 c) 6. 1
5.1 Obliczenie róĪnicy pól P2 i P1 kóá o promieniach odpowiednio
41 m i 40 m: P2 P1 S 412 S 402 81S. 1 Zdający, obliczając P1 iP2, moĪe podaü wartoĞci przybliĪone.
5.2 Zapisanie wáaĞciwego ilorazu: 2 1
1
P P 100%
P . 1
MoĪe teĪ byü wyznaczony stosunek
2
1
1681 1, 050625 1600
P
P .
5
5.3 Obliczenie szukanego procentu: % 16
81 lub % 16
5 1 lub 5,0625% . 1 Uznajemy równieĪ wynik zaokrąglony do 1%: 5%.
6.1 Uzupeánienie tabeli: a3 2, a4 0, a5 , 3 a2005 1003, a2006 , 0
2007 1004
a , a2008 . 0 1 Wystarczy, Īe zdający poprawnie obliczy
3 2
a , a4 0, a5 . 3 6.2
Zapisanie wartoĞci wyraĪenia:
a2005 a2006 a2006 a2007 a2007 a2008 0. 1 Wystarczy, Īe zdający poprawnie ustali wartoĞci poszczególnych czynników, np.
1 0 1 . 6.3
Stwierdzenie, Īe ciąg
a1,a3,a5,!,a2007
jest arytmetyczny: np.
1 1
a , r 1, albo stwierdzenie, Īe wyrazy pierwszy, trzeci, piąty itd. to kolejne wyrazy ciągu arytmetycznego.
1
6.4 OkreĞlenie liczby wyrazów ciągu
a a a1, 3, 5,!,a2007
:
n =1004. 1
JeĞli zdający Ĩle ustali liczbĊ wyrazów ciągu
a a a1, 3, 5,!,a2007
, to nie otrzymuje punktu takĪe w czynnoĞci 6.5.
6
6.5
Zastosowanie wzoru na sumĊ 1004 początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego i obliczenie sumy 2008 początkowych wyrazów ciągu
a : n 1004 504510
2 1004
1 . 1
JeĞli zdający stosuje bezpoĞrednio wzór
1
1 2 2
n n n
! dla n = 1004, to otrzymuje wszystkie punkty za czynnoĞci 6.3, 6.4, 6.5.
7.1 Podanie wysokoĞci z jakiej zostaá rzucony kamieĔ: h
0 10 m. 1
7.2
Obliczenie odciĊtej wierzchoáka paraboli i zapisanie odpowiedzi:
1
w 2
t , np. „po upáywie póá sekundy”. 1
7
7.3
Obliczenie najwiĊkszej wysokoĞci na jaką wzniesie siĊ kamieĔ:
max
1 11, 25
h § · ¨ ¸© ¹2 m. 1 Zdający moĪe pominąü jednostki.
8.1
Narysowanie wykresu funkcji g.
1
8.2
Obliczenie najwiĊkszej wartoĞci funkcji g w przedziale 21,31 :
21 271
g . 1
8.3 Zapisanie równania: 3 2 0
x . 1
8
8.4
Rozwiązanie równania i sformuáowanie odpowiedzi:
2
3 x , o
2
3jednostki w prawo (albo o 2
3 wzdáuĪ osi Ox). 1
JeĞli zdający bez obliczeĔ poda poprawnie, o ile naleĪy przesunąü wykres, to
otrzymuje punkt takĪe w czynnoĞci 8.3.
9.1
I sposób rozwiązania:
Zapisanie zaáoĪenie, Īe trójkąt ABR jest podstawą, a odcinek CR jest
wysokoĞcią danego ostrosáupa ABRC. 1
9
9.2 Obliczenie pola podstawy: 1 2 2m
Pp . 1
–1
–1 1
1 2
2 3
3 4
4 5
5 6
6 7
7 8 9
–2 –2
–3 –3
–4 –4
–5 –5
–6 –6
–7 –7
–8 –9
y
x 3 2
y x
x y 3
9.3 Obliczenie objĊtoĞci ostrosáupa: 1 1 1 3
1 m
3 2 6
V . 1
Zdający moĪe pominąü jednostki.
JeĞli zdający zapisze, Īe objĊtoĞü ostrosáupa jest równa 1 3
6m , bo jest to naroĪe szeĞcianu o krawĊdzi 1 m, to przyznajemy punkty w czynnoĞciach 9.1, 9.2, 9.3.
9.4 Podanie wyniku zaokrąglonego do 0,01 m3: V 0,17 m3. 1
9.1
II sposób rozwiązania:
Podstawą ostrosáupa ABCR jest trójkąt równoboczny ABC, którego krawĊdĨ podstawy ma dáugoĞü 2. Obliczenie pola podstawy ostrosáupa: 3 2
2 m
Pp .
1
9.2
Obliczenie wysokoĞci H ostrosáupa:
2
2 6 3
1 m
3 3
H § ·
¨¨© ¸¸¹ . 1
9.3
Obliczenie objĊtoĞci ostrosáupa:
1 3 3 1 3
3 2 3 6m
V . 1
9.4 Podanie wyniku zaokrąglonego do 0,01 m3: V 0,17 m3. 1 10.1 Wyznaczenie równania prostej AB: 1
2 2
y x lub x . 2y 4 0 1 10.2
Zbadanie poáoĪenia punktu K wzglĊdem prostej AB:
1 36 2 20 21
2 . 1
10
10.3
Zbadanie poáoĪenia punktu L wzglĊdem prostej AB:
1
1
37 2 16 15
2 2 . 1
JeĞli zdający jedynie sprawdza, czy punkty K i L naleĪą do prostej AB, to:
w czynnoĞci 10.2 otrzymuje 1 pkt , a w czynnoĞci 10.3 nie otrzymuje punktu.
Np.: 21362 20z21,
37 2 162 15 1 2
1 z .
10.4 Podanie wniosku: Punkty K i L leĪą po tej samej stronie prostej AB. 1
Nie przyznajemy punktu za wniosek (nawet poprawny), jeĞli nie jest
uzasadniony, np. brak czynnoĞci 10.2, 10.3 lub podobnego rozumowania.
Przyznajemy punkt za wniosek
konsekwentny do otrzymanych rezultatów.
11.1 Obliczenie dáugoĞci skoĞnej krawĊdzi konstrukcji: 10 5 cm . 1 Zdający moĪe podaü wartoĞü przybliĪoną:
np. 22,36 cm albo 22,4 cm.
11.2
Obliczenie sumy pól powierzchni Ğcian, które są trapezami:
40 30 20
2
2 1400 cm
2
. 1
11.3
Obliczenie sumy pól powierzchni Ğcian bĊdących prostokątami:
20 20 20 40 20 30 20 10 5 1800 200 5 cm 2. 1
Akceptujemy wynik: 2247cm lub 2 2248cm , o ile w czynno2 Ğci 11.1 zdający przyjąá zaokrąglenie 10 5 22,4| . 11
11.4
Podanie wyniku z Īądanym zaokrągleniem:
200 16 5
P | 3647cm . 2 1 Akceptujemy wynik 3648. Zdający moĪe
pominąü jednostki.
12.1
I sposób rozwiązania:
Wykorzystanie zaleĪnoĞci miĊdzy sinusem i cosinusem tego samego kąta i zapisanie wyraĪeĔ w postaciach:
tgD 1 cos2E sinD tgDsinEsinD, tgE 1 cos2D sinE tgEsinDsinE.
1
12.2
Wykorzystanie zaleĪnoĞci miĊdzy tangensem, sinusem i cosinusem tego samego kąta i zapisanie wyraĪeĔ w postaci:
tgDsinEsinD 2sinD, tgEsinDsinE 2sinE.
1 12
12.3
Obliczenie wartoĞci wyraĪeĔ:
2 10
tg 1 cos sin 2sin
D E D D , 13
2 24
tg 1 cos sin 2sin
E D E E 13.
1
12.4
Porównanie liczb 13 10 i
13
24 i sformuáowanie odpowiedzi:
13 24 1310 ,
drugie wyraĪenie. 1
JeĪeli zdający nie wykonuje obliczeĔ, a stwierdzi jedynie, Īe sinus wiĊkszego z kątów ostrych trójkąta jest wiĊkszy i zapisze 2sinE!2sinD, to otrzymuje punkt takĪe za czynnoĞü 12.3.
12.1
II sposób rozwiązania:
Wykorzystanie definicji funkcji trygonometrycznych kąta ostrego i zapisanie potrzebnych wartoĞci funkcji kąta D:
13 sinD 5 ,
13 cosD 12,
12 tgD 5 .
1 Punkt otrzymuje zdający, który popeáni co najwyĪej jeden báąd.
12.2
Wykorzystanie definicji funkcji trygonometrycznych kąta ostrego i zapisanie potrzebnych wartoĞci funkcji kąta E:
13 sinE 12,
13 cosE 5 ,
5
tgE 12. 1
Punkt otrzymuje zdający, który popeáni co najwyĪej jeden báąd.
12.3
Obliczenie wartoĞci wyraĪeĔ:
13 sin 10 cos
1
tgD 2E D ,
13 sin 24 cos
1
tgE 2D E . 1
12.4 Porównanie liczb 13 10 i
13
24 i sformuáowanie odpowiedzi:
13 24 1310 , drugie wyraĪenie ma wiĊkszą wartoĞü.
1
13.1 Obliczenie Ğredniej arytmetycznej liczby sprzedanych biletów:
5
x . 1
13.2
Przedstawienie metody obliczenia wariancji lub odchylenia standardowego, np.:
2 2 2 2 2 2 2
1 5 2 4 5 3 1 5 4 1 5 5 2 5 6 2 5 8 1 5 9 12
.
1
Wystarczy, Īe zdający poprawnie podstawi dane do wzoru na wariancjĊ lub odchylenie standardowe.
13.3 Obliczenie odchylenia standardowego: 31
2, 27
6 | . 1
13
13.4 Podanie godzin, w których liczba sprzedanych biletów nie byáa
typowa: 5:00 – 6:00, 7:00 – 8:00, 8:00 – 9:00, 15:00 – 16:00. 1 Zdający moĪe podaü teĪ
5:00 – 6:00, 7:00 – 9:00, 15:00 – 16:00.
