Plik do pobrania:

Plik do pobrania:

http://zsi.tech.us.edu.pl/~ppaszek/PLIKI/MN/Wyznaczanie_wartosci_funkcji_4stud.pdf

Obliczanie przybliżonych wartości funkcji

1. Obliczanie wartości wielomianu – Schemat Hornera

𝑃 𝑥 = 𝑎!𝑥^𝑛 + 𝑎!𝑥^𝑛!! + ⋯ +𝑎_𝑛𝑥^! 𝑥 = 𝜉

𝑃 𝜉 = 𝑎!𝜉^𝑛 +𝑎!𝜉^𝑛!! + ⋯ +𝑎_𝑛

𝑃 𝜉 = (⋯ (((𝑎_!𝜉 +𝑎!)𝜉 +𝑎!)𝜉 +𝑎!)𝜉 + ⋯ + 𝑎_𝑛 𝑏! = 𝑎!

𝑏! = 𝑏!𝜉 +𝑎!

𝑏! = 𝑏!𝜉 +𝑎!

𝑏_𝑛 = 𝑏_𝑛!!⋮ 𝜉 +𝑎_𝑛

𝑃 𝜉 = 𝑏_𝑛

𝑎! 𝑎! 𝑎! 𝑎! ⋯ 𝑎_𝑛 𝜉

+ 𝑏!𝜉 𝑏!𝜉 𝑏!𝜉 𝑏_𝑛!!𝜉

𝑏! = 𝑎! 𝑏! 𝑏! 𝑏! 𝑏_𝑛 = 𝑃(𝜉)

2. Obliczanie wartości funkcji za pomocą szeregu Maclaurina (Taylora)

𝑓 𝑥 = 𝑓 ^𝑘 0 𝑘! 𝑥^𝑘

! 𝑘!!

, 𝑓 ∈ 𝐶^! ℝ

𝑃_𝑛 𝑥 = 𝑓 ^𝑘 (0) 𝑘! 𝑥^𝑘

𝑛

𝑅_𝑛 𝑥 = 𝑓 𝑥 − 𝑃𝑘!! _𝑛(𝑥) 𝑅_𝑛 𝑥 = 𝑓 ^𝑛!! (𝜉)

(𝑛 + 1)! 𝑥^𝑛!!

2a. funkcja eksponentialna ( 𝑒

)

𝑒^! = 𝑥^!

𝑘! (−∞ < 𝑥 < ∞)

!

!!!

Wyliczanie rekurencyjne

𝑒^! = 𝑢_! + 𝑅_!, 𝑢_! = 1, 𝑆_! = 1, 𝑢_! = 𝑥

𝑘𝑢_!!!, 𝑆_! = 𝑆_!!! + 𝑢_!

!

!!!

𝑘 = 1,2, ⋯ . 𝑆_! aproksymuje (przybliża) 𝑒^!.

Błąd przybliżenia

𝑅_! 𝑥 < |𝑢_!| dla 0 < 2|𝑥| ≤ 𝑛 .

Czyli możemy zakończyć sumowanie gdy ostatnio wyliczony element 𝑢_! jest mniejszy (na moduł) niż zadana dokładność obliczeń 𝜀:

𝑢_! < 𝜀 (jeżeli tylko |𝑥| ≤ 𝑛 2).

2b. funkcje trygonometryczne (sin 𝑥 , cos (𝑥))

sin (𝑥) = (−1)^! 𝑥^!!!!

(2𝑘 + 1)! (−∞ < 𝑥 < ∞)

!

!!!

cos (𝑥) = (−1)^! 𝑥^!!

(2𝑘)! (−∞ < 𝑥 < ∞)

!

!!!

Im dalej x oddalone jest od 0, tym wolniej zbieżne są oba szeregi. Ale z okresowości tych funkcji i wzorów redukujących (sin 2α , cos (2α) ) wystarczy ograniczyć wyznaczanie wartości tych funkcji do przedziału (0 ≤ 𝑥 ≤ ^!

!).

Wyliczanie rekurencyjne

sin (𝑥) = 𝑢_!, 𝑢_! = 𝑥, 𝑢_! = −𝑥^!

2𝑘(2𝑘 + 1)𝑢_!!!, 𝑆_! = 𝑢_!, 𝑆_! = 𝑆_!!! + 𝑢_!

!

!!!

𝑘 = 1,2, ⋯ .

cos (𝑥) = 𝑣_!, 𝑣₀ = 1, 𝑣_! = −𝑥^!

(2𝑘 − 1)2𝑘𝑣_!!!, 𝑆₀ = 𝑣₀, 𝑆_! = 𝑆_!!! + 𝑣_!

!

!!!

𝑘 = 1,2, ⋯ . Błąd przybliżenia

𝑅_! 𝑥 ≤ ^{! !!!!}

!!!! ! = 𝑢_!!! (≤ |𝑣_!!!|), tzn. kończymy sumowanie gdy znajdziemy element 𝑢 ≤ 𝜀 ( 𝑣 ≤ 𝜀) .

2c. funkcja logarytmiczna (ln 𝑥 )

Dla 𝑥 ∈ ℝ, wówczas 𝑥 = 2^!𝑧, gdzie 𝑚 ∈ ℤ, ^!_! ≤ 𝑧 < 1 .

ln 𝑥 = ln 2^!𝑧 = 𝑚 ln 2 + ln 𝑧 ln 𝑧 = −2 1

2𝑘 − 1

1 − 𝑧 1 + 𝑧

!!!!

( 1

2 ≤ 𝑧 < 1)

!

!!!

Niech ^!!!

!!! = 𝜉, wówczas

ln 𝑥 = 𝑚 ln 2 − 2 ^!_!!!!!!!^! 𝜉^!!!! , gdzie 0 < 𝜉 ≤ ^!_! .

Uwaga: wartości ln 2 nie wyliczamy, tylko brana jest ona np. z tablic matematycznych ln 2 = 0.69314718

Wyliczanie rekurencyjne

ln 𝑥 = 𝑚 ln 2 − 2 𝑢_! + 𝑅_!

!

!!!

𝑢_! = 𝜉, 𝑢_!!! = 2𝑘 − 1

2𝑘 + 1 𝜉^!𝑢_!

Kończymy sumowanie gdy znajdziemy element 𝑢_! < 4𝜀 , gdzie 𝜀 to zadana dokładność.