Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1, zima 2019/20
Kolokwium nr 9: poniedziałek 16.12.2019, godz. 10:15-11:00, materiał zad. 1–550.
Poziom standardowy (z myślą o ocenie co najwyżej dobrej) 9. Granica funkcji w punkcie. Własność Darboux.
Zadania do omówienia na ćwiczeniach 9,12.12.2019 (grupy 1, 2, 4).
Zadania należy spróbować rozwiązać przed ćwiczeniami.
491. Funkcja f spełnia warunki
f (3 − x) = f (x), f (6 − x) = f (x)
dla dowolnej liczby rzeczywistej x. Dowieść, że funkcja f jest okresowa i parzysta.
492. Dla których wartości parametrów a, b funkcja f określona wzorem f (x) =
ax + b dla x < 1 x2 dla 1 ¬ x < 2 ax − b dla 2 ¬ x
jest ciągła? Naszkicować wykres funkcji f dla każdej pary parametrów (a, b), dla których funkcja f jest ciągła.
493. Niech f :R→R będzie funkcją określoną wzorem f (x) = a · {x}3+ b · {x}2+ c · {x} + d , gdzie {x} oznacza część ułamkową liczby x.
Jakie warunki muszą spełniać liczby a, b, c, d, aby funkcja f była ciągła?
494. Niech f :R→R będzie funkcją określoną wzorem f (x) = a · {2x} + b · {2x + 1} + c · {x} + d ·
(
x +1 2
)
, gdzie {y} oznacza część ułamkową liczby y.
Jakie warunki muszą spełniać liczby a, b, c, d, aby funkcja f była ciągła?
495. Podać wszystkie sześć par parametrów (a, b), dla których funkcja f :R→R określona wzorem
f (x) =
6 dla x < a
|x2− 10x + 15| dla a ¬ x < b
6 dla b ¬ x
jest ciągła.
496. Niech f :R→R będzie funkcją określoną wzorem f (x) = a · {x} + b · 3{x},
gdzie {x} oznacza część ułamkową liczby x, a w drugim składniku wyrażenie {x} wystę- puje w wykładniku potęgi o podstawie 3.
Wyznaczyć wszystkie pary parametrów rzeczywistych (a, b), dla których funkcja f określona powyższym wzorem jest ciągła.
497. Dowieść, że równanie cos x = x ma co najmniej jedno rozwiązanie.
Lista 9 - 53 - Strony 53–55
Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1, zima 2019/20
498. Dowieść, że równanie cos x = x2 ma co najmniej dwa rozwiązania.
499. Dowieść, że równanie x2019+ x = 2019 ma dokładnie jedno rozwiązanie.
Wyznaczyć asymptoty funkcji f określonej wzorem
500. f (x) =√
x2+ x + 1 +x
2 501. f (x) =√3
x3+ x2 502. f (x) = x3+ 1
x2+ 5x + 4+ |x|
Twierdzenie o trzech funkcjach: Jeżeli funkcje f, g, h są określone w otoczeniu punktu x0∈ [−∞, +∞] (mogą nie być określone w samym x0), a przy tym
f (x) ¬ g(x) ¬ h(x)
dla x bliskich x0, to z istnienia i równości granic funkcji f oraz h w punkcie x0 wynika
x→xlim0g(x) = lim
x→x0f (x) = lim
x→x0h(x) . To samo stosuje się do granic jednostronnych.
Obliczyć granice
503. lim
x→+∞
sin (x1000)
√x 504. lim
x→0x·n1/x1000o(uwaga: część ułamkowa) 505. lim
x→0x sin1x
Korzystając ze zbieżności (granica funkcji)
x→+∞lim 1 +1 x
!x
= e (♠)
obliczyć
506. lim
x→+∞ 1 +1 x
!
√ x2+x
507. lim
x→+∞ 1 +1 x
!
√
7x2+5x+1
508. lim
x→+∞
xx+1 (x + 1)x
509. lim
x→+∞ 1 +1 x
!
√x
510. lim
x→+∞ 1 + 1
√x
!x
511. lim
x→+∞ 1 +1 x
!x·f (x)
, gdzie lim
x→+∞f (x) = 2
Wyznaczyć wartości granic ciągów (wolno korzystać ze wzoru (♠) powyzej).
512. lim
n→∞
n n + 1
!
513. lim
n→∞
n n + 2016
!
514. lim
n→∞
n 2016n + 1
!
515. lim
n→∞
n n + 1
!2016
516. lim
n→∞
n n + 2016
!2016
517. lim
n→∞
n 2016n + 1
!2016
518. lim
n→∞
n n + 1
!n
519. lim
n→∞
n n + 1
!2016n
520. lim
n→∞
n n + 1
!n/2016
521. lim
n→∞
n n + 1
!n2016
522. lim
n→∞ 1 +2016 n
!n
523. lim
n→∞ 1 −2016 n
!n
Lista 9 - 54 - Strony 53–55
Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1, zima 2019/20
Zadania do samodzielnego rozwiązania.
Pomoc w rozwiązaniu tych zadań można uzyskać na ćwiczeniach grupy 5 w czwartek 12.12.2019 — nie będą omawiane na ćwiczeniach grup 1, 2, 4.
Obliczyć następujące granice:
524. lim
x→7
1
x − 7− 8 x2− 6x − 7
!
525. lim
x→0e−1/x2 526. lim
x→8
√3
x − 2 x − 8
527. lim
x→1
1
1 − x− 3 1 − x3
!
528. lim
x→1
x2016− 1
x10− 1 529. lim
x→1/2
8x3− 1 6x2− 5x + 1 530. lim
x→1
(x − 1)√ 2 − x
x2− 1 531. lim
x→+∞
x −√ x x +√
x 532. lim
x→+∞
√ x x2+ 1 533. lim
x→−∞
√ x
x2+ 1 534. lim
x→0+
lnx
1 + lnx 535. lim
x→0+log(√17−3)x 536. lim
x→0+log(√13−3)x 537. lim
x→+∞log(√17−3)x 538. lim
x→+∞log(√13−3)x 539. lim
x→+∞
√
17 − 3x 540. lim
x→+∞
√
13 − 3x 541. lim
x→−∞
√
17 − 3x 542. lim
x→−∞
√
13 − 3x 543. lim
x→+∞arctg√
17 − 4x 544. lim
x→+∞arctg√
13 − 4x
545. lim
x→0+
21/x+ 1
21/x− 1 546. lim
x→0−
21/x+ 1
21/x− 1 547. lim
x→+∞
21/x− 1 21/x+ 1 548. Wyznaczyć asymptoty funkcji f określonej wzorem
f (x) =√4
x4+ x3+ x2.
549. Wyznaczyć asymptoty funkcji f określonej wzorem f (x) =√4
x4+ 4x3+ 6x2+ 1 .
Uwaga: Treść zadania jest poprawna - pod pierwiastkiem niczego nie brakuje - ma być tak jak jest napisane.
550. W każdym z zadań 550.1-550.16 podaj granicę funkcji.
550.1. lim
x→−∞2x= . . . . 550.2. lim
x→−∞22x= . . . . 550.3. lim
x→−∞222x= . . . . 550.4. lim
x→−∞2222
x
= . . . . 550.5. lim
x→−∞2222
2x
= . . . . 550.6. lim
x→−∞234x= . . . . 550.7. lim
x→−∞432x= . . . . 550.8. lim
x→−∞2345
x
= . . . . 550.9. lim
x→−∞3456
x
= . . . . 550.10. lim
x→−∞3224
5x
= . . . . 550.11. lim
x→+∞
√
x2+ x − x= . . . . 550.12. lim
x→+∞
√
x2+ 2x − x= . . . . 550.13. lim
x→+∞
√3
x3+ x2− x= . . . . 550.14. lim
x→+∞
√3
x3+ 2x2− x= . . . . 550.15. lim
x→+∞
ln (x7+ x6)
lnx = . . . . 550.16. lim
x→+∞
ln (x7+ 2x6)
lnx = . . . .
Lista 9 - 55 - Strony 53–55
