Zadania do samodzielnego rozwiązania.

Konwersatorium 4.10.2013: zad. 209-212

Ćwiczenia 5.11.2013: zad. 160-187 Ćwiczenia 12.11.2013: zad. 188-208 Kolokwium nr 4 — 4.11.2013 (poniedziałek, 13:15-14:00): materiał z zad. 1-159

Kolokwium nr 5 — 18.11.2013 (poniedziałek, 13:15-14:00): materiał z zad. 1-234

Ciągi.

Trochę teorii

Uwaga: Umieszczanie zmiennej pod kwantyfikatorem nie jest zgodne z obowiązują- cymi konwencjami, ale jest bardziej czytelne niż umieszczenie obok - dlatego pozwalam sobie na odstępstwo od panujących reguł.

Definicja: Ciąg (an) jest zbieżny do granicy g wtedy i tylko wtedy, gdy

ε>0∀ ∃

N ∀

n­N

|a_n− g| < ε . Piszemy lim

n→∞a_n= g.

Ciąg (a_n) jest rozbieżny do +∞ wtedy i tylko wtedy, gdy

M∀∃

N ∀

n­Na_n> M.

Piszemy lim

n→∞an= +∞.

Ciąg (a_n) jest rozbieżny do −∞ wtedy i tylko wtedy, gdy

M∀∃

N ∀

n­Nan< M.

Piszemy lim

n→∞a_n= −∞.

Twierdzenia:

1. Ciąg zbieżny ma tylko jedną granicę.

2. Granica sumy jest sumą granic.

Dokładniej, jeśli ciągi (a_n) i (b_n) są zbieżne, to ciąg (a_n+ b_n) jest zbieżny i

n→∞lim(an+ bn) = lim

n→∞an+ lim

n→∞bn . 3. Granica różnicy jest różnicą granic.

Dokładniej, jeśli ciągi (a_n) i (b_n) są zbieżne, to ciąg (a_n− b_n) jest zbieżny i

n→∞lim(a_n− b_n) = lim

n→∞a_n− lim

n→∞b_n . 4. Granica iloczynu jest iloczynem granic.

Dokładniej, jeśli ciągi (a_n) i (b_n) są zbieżne, to ciąg (a_nb_n) jest zbieżny i

n→∞lim(a_nb_n) = lim

n→∞a_n· lim

n→∞b_n . 5. Granica ilorazu jest ilorazem granic.

Dokładniej, jeśli ciągi (an) i (bn) są zbieżne, przy czym bn6= 0 oraz lim

n→∞bn6= 0, to ciąg (^a_bⁿ

n) jest zbieżny i

n→∞lim a_n b_n =

n→∞lim a_n

n→∞lim b_n .

6. Zbieżność i granica nie zależą od pominięcia lub zmiany skończenie wielu początkowych wyrazów ciągu.

7. Słabe nierówności zachowują się przy przejściu do granicy.

Dokładniej, jeśli ciągi (a_n) i (b_n) są zbieżne, przy czym a_n¬ b_n (odpowiednio a_n­ b_n), to lim

n→∞an¬ lim

n→∞bn (odpowiednio lim

n→∞an­ lim

n→∞bn).

8. Kilka podstawowych granic.

n→∞lim n = +∞

n→∞lim

1 n= 0

n→∞lim a = a

n→∞lim aⁿ= +∞ dla a > 1

n→∞lim aⁿ= 0 dla |a| < 1

n→∞lim(−1)ⁿ nie istnieje nawet w sensie granicy niewłaściwej

n→∞lim

√n

a = 1 dla a > 0

n→∞lim

√n

n = 1

9. Z granicą można wchodzić pod pierwiastek.

Dokładniej, jeśli ciąg (an) jest zbieżny, przy czym an­ 0, to dla k ∈_N

n→∞lim

√k

a_n=^qk lim

n→∞a_n . 10. Twierdzenie o trzech ciągach.

Jeżeli ciągi (a_n), (b_n), (c_n) spełniają warunek a_n¬ b_n¬ c_n

oraz ciągi (a_n) i (c_n) są zbieżne do tej samej granicy g, to ciąg (b_n) też jest zbieżny i jego granicą jest g.

11. Kryterium d’Alemberta.

Jeżeli (an) jest ciągiem o wyrazach niezerowych oraz istnieje granica

n→∞lim

a_n+1 a_n

= g < 1 , to ciąg (a_n) jest zbieżny do zera.

Jeżeli istnieje granica

n→∞lim

a_n+1 a_n

= g > 1 ,

to ciąg (an) jest rozbieżny, a ciąg (|an|) jest rozbieżny do +∞.

Uwaga: Podstawowym zastosowaniem kryterium d’Alemberta jest badanie zbieżności szeregów, ale podana wyżej wersja stosuje się do badania zbieżności ciągów. O szeregach będzie mowa za kilka tygodni.

Powyższe własności zachowują się w przypadku ciągów mających granice niewłaściwe (tzn. rozbieżnych do ±∞), o ile nie prowadzi to do wyrażeń nieoznaczonych.

12. Sztuczki oparte na wzorach skróconego mnożenia.

√x −√

y = x − y

√x +√ y

√3

x −√³

y = x − y

√3

x²+√³

xy +√³ y²

PRAWDA CZY FAŁSZ?

160. Jeżeli ciągi (a_n) i (bn) są rozbieżne, to ciąg (an+ bn) jest rozbieżny.

161. Jeżeli ciąg (an) jest zbieżny, a ciąg (bn) rozbieżny, to ciąg (an+ bn) jest rozbieżny.

162. Jeżeli ciąg (a_n) jest zbieżny, a ciąg (b_n) rozbieżny, to ciąg (a_nb_n) jest rozbieżny.

163. Jeżeli ciąg (a_n) jest zbieżny, ciąg (b_n) rozbieżny, a ponadto obydwa ciągi mają tylko wyrazy dodatnie, to ciąg (anbn) jest rozbieżny.

164. Jeżeli (a_n) jest ciągiem zbieżnym o wyrazach dodatnich, to jego granica jest liczbą dodatnią.

Zbadać zbieżność ciągu (a_n) określonego podanym wzorem; obliczyć granice ciągów zbieżnych, rozstrzygnąć czy ciągi rozbieżne mają granicę niewłaściwą

165. n

n + 7 166. 2ⁿ−1

n 167. 4n²+ 3n

n + 1 168.

√3

n²+ n

n + 2 169. 5n³+ n²− 6 3n⁴+ 7 170. 5n⁴+ n²− 6

3n⁴+ 7 171. 5n⁵+ n²− 6

3n⁴+ 7 172. 1 − 2 + 3 − 4 + 5 − 6 + ... − 2n

√n²+ 2

173. 1 + 2 + 4 + ... + 2ⁿ

1 + 3 + 9 + ... + 3ⁿ 174. n 1 +√

n 175. n · (−1)ⁿ 176.

√

n + 1 +√ n^7 n^31 + 7√

n + 2^ 177. 1 + 2 + 3 + ... + n

n² 178. 3⁰+ 3¹+ 3²+ 3³+ ... + 3ⁿ

3ⁿ 179.

√3ⁿ+ 2ⁿ

√3ⁿ+ 1

180. √

n²+ 3n − n 181. n^√

n²+ 7 − n^ 182.

√n + 1 −√

√ n

n + 7 −√ n 183.

√n²+ 1 − n

√

n²+ n + 1 − n^2

184. 7n + (√³ n√⁶

n)⁵√ 9n + 1

11n³+ 7n + 3 185. (−1)ⁿ n

186. 1

(2 + (−1)ⁿ)ⁿ 187. a_n=

(−1)ⁿ· n! dla n ¬ 100

2ⁿ

2ⁿ+n dla n > 100 188. ⁿ√²

n 189. √ⁿ n²

190. √ⁿ

n + 17 191. n⁷

7ⁿ 192. 10ⁿ

n! 193. n!

n²² 194.

√3ⁿ+ n²

√3ⁿ+ 2ⁿ+ 1

195. n²+ 1

n³+ 1+n²+ 2

n³+ 2+n²+ 3

n³+ 3+ ... +n²+ n

n³+ n 196. 1

n²+ 1

n²+ 1+ 1

n²+ 2+ ... + 1 (n + 1)²

197. 3ⁿ

√9ⁿ+ n²⁰¹⁰ 198.

n

X

k=1

n³+ k

n⁴+ (−1)^k· k² 199. 2ⁿ⁺²+ n²²

√4ⁿ⁺⁴+ n⁴⁴⁴⁴

200. n³·√

n²+ 1 − n⁴−n²

2 201.

√8n²+ 1

√2n⁴+ 1+

√8n²+ 2

√2n⁴+ 2+

√8n²+ 3

√2n⁴+ 3+ ... +

√8n²+ 3n

√2n⁴+ 3n

202.

n

X

k=1

k

n²+ k 203. 1

5ⁿ+ 1+ 5

5ⁿ+ 2+ 25

5ⁿ+ 4+ 125

5ⁿ+ 8+ 625

5ⁿ+ 16+ ... + 5ⁿ 5ⁿ+ 2ⁿ PRAWDA CZY FAŁSZ?

204. Jeżeli ^an+1_a

n →¹₂, to a_n→¹₂. 205. Jeżeli ciąg (^an+1_a

n ) jest zbieżny, to ciąg (a_n) jest zbieżny.

206. Jeżeli ciąg (a²_n) jest zbieżny, to ciąg (a_n) jest zbieżny.

207. Jeżeli wśród wyrazów ciągu (a_n) występują zarówno wyrazy dodanie jak i ujemne, to ciąg (a_n) jest rozbieżny.

208. Jeżeli wśród wyrazów ciągu (a_n) występują zarówno wyrazy mniejsze od 1 jak i większe od 3, to ciąg (an) jest rozbieżny.

209. Ciąg (a_n) spełnia warunek

n>1000∀ |a_n− 100| < 10 . Czy stąd wynika, że

a) ciąg (a_n) jest zbieżny, b) ciąg (a_n) jest rozbieżny,

c) każdy wyraz ciągu (a_n) jest dodatni,

d) ciąg (a_n) ma co najmniej jeden wyraz dodatni,

e) od pewnego miejsca wszystkie wyrazy ciągu są dodatnie, f ) a₆₆₆< 7777777,

g) a₁₁₁₁> 88, h) ∀

n>1729 |a_n− 100| < 1 , i) ∀

n>345 |a_n− 100| < 17 , j) ∀

n>5555 |a_n− 99| < 13 , k) ciąg (a_n) jest ograniczony, l) ∃

n>444 |a_n− 95| < 37 , m) ∃

n>4444 |a_n− 80| < 37 , n) ∃

n<444 |a_n− 95| < 37 , o) ∃

n<4444 |a_n− 80| < 37 , p) ∀m ∃

n>m a_n> 0 , q) ∀

n>1331|a_n− 66| > 12 ,

r) ∀

m>1234 ∀

n>5678 |an− am| < 7 , s) ∀

m>1234 ∀

n>5678 |an− am| < 17 , t) ∀

m>123 ∀

n>45678 |a_n− a_m| < 27 , u) ∀

m>1234 ∀

n>5678 |a_n− a_m| < 37 , v) ∃

m<123 ∃

n<456 |a_n− a_m| < 3 ,

w) ∀

m>12345 ∀

n>67890 |a_n+ a_m| < 210 , x) ∀

m>1296 ∀

n>7776 |a_n+ a_m| < 222 , y) ∀

m>1024 ∀

n>8192 |a_n+ a_m| > 128 , z) ∃n a_n< 92 ,

ż) ∃n a_n> 91 .

210. Dany jest taki ciąg (a_n), że

ε>0∀ ∀

n­5/ε

|a_n− 7| < ε .

Podać granicę ciągu (a_n).

Wskazać taką liczbę M , że ∀

n|a_n| < M . Wskazać taką liczbę N , że ∀

n­Na_n> 6.

Wskazać taką liczbę N , że ∀

n­Nan< 7,01.

Wskazać taką liczbę N , że ∀

n­N

|a_n− 8| > 1/3.

211. Dany jest taki ciąg (b_n), że

ε>0∀ ∀

n­10/ε

|b_n+ 2| < ε .

Podać granicę ciągu (b_n).

Wskazać taką liczbę M , że ∀

n|b_n| < M . Wskazać taką liczbę N , że ∀

n­N

b_n< 0.

Wskazać taką liczbę N , że ∀

n­Nb_n> −3.

Wskazać taką liczbę N , że ∀

n­N|b_n− 2| > 1/10.

212. Niech c_n= an+ bn, gdzie (an) i (bn) są ciągami z poprzednich dwóch zadań.

Dowieść, że wówczas ciąg (c_n) jest zbieżny, gdyż

ε>0∀ ∀

n­.../ε

|c_n− 5| < ε .

W miejscu kropek powinna się znaleźć odpowiednio dobrana liczba.

Zadania do samodzielnego rozwiązania.

Wyjaśnić, dlaczego poniżej są same BZDURY:

213. lim

n→∞

√1

n= lim

n→∞

1 n· lim

n→∞

√n = 0 · lim

n→∞

√n = 0

214. lim

n→∞

√

n + 1 −√

n^= lim

n→∞

√n + 1 − lim

n→∞

√n = ∞ − ∞ = 0

215. lim

n→∞(−1)ⁿ=

−1 dla n nieparzystych 1 dla n parzystych 216. lim

k→∞

k

n= k · lim

k→∞

1

n= k · 0 = 0

Rozwiązania zadań 217–234 znajdują się na liście 5r.

217. Obliczyć granicę

n→∞lim

3n⁴− n²+ 1

5n⁵− n³+ 1+3n⁴− 2n²+ 4

5n⁵− 2n³+ 8+ 3n⁴− 3n²+ 9 5n⁵− 3n³+ 27+ ...

... +3n⁴− kn²+ k²

5n⁵− kn³+ k³+ ... +3n⁴− 2n³+ 4n² 5n⁵− 2n⁴+ 8n³

!

.

218. Obliczyć granicę

n→∞lim

5n³+ 3

√n¹⁰+ 3+ 5n³+ 6

√n¹⁰+ 6+ 5n³+ 9

√n¹⁰+ 9+ 5n³+ 12

√n¹⁰+ 12+ ... + 5n³+ 6n²

√n¹⁰+ 6n²

!

.

219. Wskazać liczbę naturalną k, dla której granica

n→∞lim

3n²+ 2 ·√⁶ n^k+ 1 n²+ 5 ·√³

n⁷+ 7 + 7 ·√ n⁵+ 5

istnieje i jest liczbą rzeczywistą dodatnią. Obliczyć wartość granicy przy tak wybranej liczbie k.

220. Obliczyć granicę

n→∞lim

4n²+ 1 n³+√

n⁶+ 1+ 4n²+ 2 n³+√

n⁶+ 2+ 4n²+ 3 n³+√

n⁶+ 3+ 4n²+ 4 n³+√

n⁶+ 4+ ... + 4n²+ 6n n³+√

n⁶+ 6n

!

.

221. Wskazać liczbę naturalną k, dla której granica

n→∞lim

√n¹⁴+ 9n⁹+ 1 − n⁷ n^k

istnieje i jest liczbą rzeczywistą dodatnią. Obliczyć wartość granicy przy tak wybranej liczbie k.

222. Obliczyć granicę

n→∞lim n

n³+ n

n³+ 1+ n

n³+ 2+ n

n³+ 3+ n

n³+ 4+ n

n³+ 5+ n

n³+ 6+ ... + n (n + 1)³

!

.

223. Obliczyć granicę

n→∞lim

√k · n^k+ 1 n⁷+ 1 +

√k · n^k+ 2 n⁷+ 4 +

√k · n^k+ 3 n⁷+ 9 +

√k · n^k+ 4

n⁷+ 16 + ... +

√k · n^k+ n³ n⁷+ n⁶

!

dla tak dobranej wartości rzeczywistej dodatniej parametru k, aby powyższa granica była dodatnia i skończona.

224. Obliczyć wartość granicy

n→∞lim

n³

X

k=n²

√n^p+ k n⁷+ k²

dobierając tak wartość parametru p, aby granica ta była dodatnia i skończona.

225. Obliczyć granicę

n→∞lim

n^p+ 1

√900n⁹⁰⁰+ 1+ n^p+ 8

√900n⁹⁰⁰+ 32+ ... + n^p+ k³

√900n⁹⁰⁰+ k⁵+ ... + n^p+ 8n¹⁸

√900n⁹⁰⁰+ 32n³⁰

!

dla tak dobranej wartości rzeczywistej dodatniej parametru p, aby powyższa granica była dodatnia i skończona.

226. Ciąg (a_n) spełnia warunek

ε­1∀ ∃

N ∀

n­N

|a_n− 1| ¬ ε .

Czy stąd wynika, że

226.1 ciąg (a_n) jest zbieżny ...

226.2 ciąg (a_n) jest rozbieżny ...

226.3 ciąg (a_n) jest ograniczony ...

226.4 wszystkie wyrazy ciągu (a_n) są dodatnie ...

226.5 wszystkie wyrazy ciągu (a_n) są nieujemne ...

226.6 od pewnego miejsca wszystkie wyrazy ciągu (a_n) są dodatnie ...

226.7 od pewnego miejsca wszystkie wyrazy ciągu (an) są nieujemne ...

226.8 w ciągu (a_n) występuje nieskończenie wiele wyrazów dodatnich ...

226.9 w ciągu (a_n) występuje nieskończenie wiele wyrazów nieujemnych ...

226.10 w ciągu (an) występuje co najmniej jeden wyraz dodatni ...

226.11 w ciągu (a_n) występuje co najmniej jeden wyraz nieujemny ...

226.12 ∀

n an> 0 ...

226.13 ∀

n a_n­ 0 ...

226.14 ∃

N ∀

n­N

a_n> 0 ...

226.15 ∃

N ∀

n­N

a_n­ 0 ...

226.16 ∀

N ∃

n­N

a_n> 0 ...

226.17 ∀

N ∃

n­N

a_n­ 0 ...

226.18 ∃

n a_n> 0 ...

226.19 ∃

n a_n­ 0 ...

Podaj wartość granicy (liczba rzeczywista) lub granicy niewłaściwej (+∞ lub −∞).

Wpisz literkę R, jeśli granica nie istnieje (tzn. gdy ciąg występujący pod znakiem granicy jest rozbieżny, ale nie jest to rozbieżność do +∞ ani do −∞).

227. lim

n→∞

2n²+ 3

5n²+ 7= ...

228. lim

n→∞

2ⁿ+ 3

5ⁿ+ 7= ...

229. lim

n→∞

√4n²+ 9

25n²+ 49= ...

230. lim

n→∞

√4 · 9ⁿ+ 25

25 · 3ⁿ+ 49 = ...

231. lim

n→∞

4 + 7n

2 + 5n= ...

232. lim

n→∞

4 + 7n 2 + 5n+1

n



= ...

233. lim

n→∞

4 + 7n

2 + 5n+n²+ 1 n

!

= ...

234. lim

n→∞

4 + 7n

2 + 5n+ (−1)ⁿ



= ...