9. Papiery wartościowe: akcje

(1)

9. Papiery wartościowe: akcje

Grzegorz Kosiorowski

Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie

Matematyka finansowa

(2)

1 Akcje: wstęp

2 Wycena akcji

3 Model zdyskontowanych dywidend

4 Modele szczegółowe

(3)

Akcje - definicja

Akcja jest to zbywalny papier wartościowy potwierdzający udział jej posiadacza (akcjonariusza) w kapitale spółki akcyjnej.

Zakup akcji, w przeciwieństwie do weksla, czy obligacji, nie jest pożyczką podlegającą zwrotowi w ustalonym terminie, a inwestycją finansową.

(4)

Akcje - definicja

Akcja jest to zbywalny papier wartościowy potwierdzający udział jej posiadacza (akcjonariusza) w kapitale spółki akcyjnej.

Zakup akcji, w przeciwieństwie do weksla, czy obligacji, nie jest pożyczką podlegającą zwrotowi w ustalonym terminie, a inwestycją finansową.

(5)

Akcje - kilka podstawowych informacji

Nie będziemy się wgłębiać tutaj w prawne aspekty akcji i ich obrotu, ani w ich podział na rodzaje.

Z naszego punktu widzenia istotne jest, że akcje są prawdopodobnie najbardziej popularnymi instrumentami finansowymi, więc jest wiele metod wyceny akcji, a nawet wiele całkowicie różnych koncepcyjnie metod podejścia do tej wyceny. Wynika to z kilku faktów: po pierwsze, na ceny akcji wpływa olbrzymia ilość czynników, podczas gdy w odniesieniu do obligacji najważniejsza była znajomość stóp procentowych. Dodatkowo, sporo z tych czynników nie nadaje się do zmatematyzowania, opierając się niemal wyłącznie na ludzkiej psychice.

(6)

Akcje - kilka podstawowych informacji

Nie będziemy się wgłębiać tutaj w prawne aspekty akcji i ich obrotu, ani w ich podział na rodzaje. Z naszego punktu widzenia istotne jest, że akcje są prawdopodobnie najbardziej popularnymi instrumentami finansowymi, więc jest wiele metod wyceny akcji, a nawet wiele całkowicie różnych koncepcyjnie metod podejścia do tej wyceny.

Wynika to z kilku faktów: po pierwsze, na ceny akcji wpływa olbrzymia ilość czynników, podczas gdy w odniesieniu do obligacji najważniejsza była znajomość stóp procentowych. Dodatkowo, sporo z tych czynników nie nadaje się do zmatematyzowania, opierając się niemal wyłącznie na ludzkiej psychice.

(7)

Akcje - kilka podstawowych informacji

Wynika to z kilku faktów: po pierwsze, na ceny akcji wpływa olbrzymia ilość czynników, podczas gdy w odniesieniu do obligacji najważniejsza była znajomość stóp procentowych.

Dodatkowo, sporo z tych czynników nie nadaje się do zmatematyzowania, opierając się niemal wyłącznie na ludzkiej psychice.

(8)

Akcje - kilka podstawowych informacji

Wynika to z kilku faktów: po pierwsze, na ceny akcji wpływa olbrzymia ilość czynników, podczas gdy w odniesieniu do obligacji najważniejsza była znajomość stóp procentowych. Dodatkowo, sporo z tych czynników nie nadaje się do zmatematyzowania, opierając się niemal wyłącznie na ludzkiej psychice.

(9)

Akcje - kilka podstawowych informacji

Po drugie, akcje, jako potencjalnie najbardziej dochodowe z

tradycyjnych instrumentów finansowych, były przedmiotem wielkiej liczby badań, znanych przez inwestorów: by zatem osiągnąć dochód ponadstandardowy, inwestor musi użyć równie niestandardowych metod analizy.

Dlatego te zajęcia nie mają nikogo nauczyć jedynie słusznej metody wyceny akcji, lecz pokazać pewien model wyceny, by dać ogólne pojęcie o tym, na czym taką wycenę można opierać.

(10)

Akcje - kilka podstawowych informacji

Po drugie, akcje, jako potencjalnie najbardziej dochodowe z

tradycyjnych instrumentów finansowych, były przedmiotem wielkiej liczby badań, znanych przez inwestorów: by zatem osiągnąć dochód ponadstandardowy, inwestor musi użyć równie niestandardowych metod analizy. Dlatego te zajęcia nie mają nikogo nauczyć jedynie słusznej metody wyceny akcji, lecz pokazać pewien model wyceny, by dać ogólne pojęcie o tym, na czym taką wycenę można opierać.

(11)

Analiza techniczna i fundamentalna

Oceną wartości akcji zajmują się dwie grupy metod: analiza

techniczna, która opiera się na szukaniu regularności i prawidłowości w kształtowaniu się historycznych cen akcji i wykorzystywaniu ich do przewidywania zmian trendów oraz analiza fundamentalna, która bada czynniki ekonomiczne wpływające na kondycję spółki emitującej akcje i szacowaniu ich wartości na tej podstawie.

Podstawy matematyczne analizy technicznej nie są dobrze

opracowane, więc nie będziemy się nią w ogóle zajmować. Zajmiemy się tylko pewnymi aspektami analizy fundamentalnej.

(12)

Analiza techniczna i fundamentalna

Oceną wartości akcji zajmują się dwie grupy metod: analiza

techniczna, która opiera się na szukaniu regularności i prawidłowości w kształtowaniu się historycznych cen akcji i wykorzystywaniu ich do przewidywania zmian trendów oraz analiza fundamentalna, która bada czynniki ekonomiczne wpływające na kondycję spółki emitującej akcje i szacowaniu ich wartości na tej podstawie.

Podstawy matematyczne analizy technicznej nie są dobrze

opracowane, więc nie będziemy się nią w ogóle zajmować. Zajmiemy się tylko pewnymi aspektami analizy fundamentalnej.

(13)

Cena akcji

Zanim zaczniemy wyceniać akcje - małe zastrzeżenie. Jest kilka znaczeń, które można przypisać sformułowaniu: „cena akcji” lub

„wartość akcji”.

Cena nominalna akcji - przypisana każdej akcji (dawniej: zapisana na niej), odpowiada części majątku spółki, do wysokości której właściciel odpowiada za jej zobowiązania. Wyznacza jednocześnie podstawę do obliczania dywidend i określa kapitał, który nie zostanie wycofany ze spółki do

momentu likwidacji. Wartość nominalna wyemitowanych akcji to kapitał akcyjny lub zakładowy.

Cena emisyjna - cena po której akcje są oferowane na rynku - najczęściej wyższa od ceny nominalnej - jest to cena, po której akcje są sprzedawane na rynku po raz pierwszy. Nadwyżka ceny emisyjnej nad jej wartością nominalną tworzy tzw. rezerwę statutową (agio).

(14)

Cena akcji

Cena nominalna akcji - przypisana każdej akcji (dawniej:

zapisana na niej), odpowiada części majątku spółki, do wysokości której właściciel odpowiada za jej zobowiązania.

Wyznacza jednocześnie podstawę do obliczania dywidend i określa kapitał, który nie zostanie wycofany ze spółki do

Cena emisyjna - cena po której akcje są oferowane na rynku - najczęściej wyższa od ceny nominalnej - jest to cena, po której akcje są sprzedawane na rynku po raz pierwszy. Nadwyżka ceny emisyjnej nad jej wartością nominalną tworzy tzw. rezerwę statutową (agio).

(15)

Cena akcji

Cena nominalna akcji - przypisana każdej akcji (dawniej:

zapisana na niej), odpowiada części majątku spółki, do wysokości której właściciel odpowiada za jej zobowiązania.

Wyznacza jednocześnie podstawę do obliczania dywidend i określa kapitał, który nie zostanie wycofany ze spółki do

Cena emisyjna - cena po której akcje są oferowane na rynku -

(16)

Cena akcji

Cena rynkowa (kurs) akcji - to rzeczywista cena akcji na giełdzie - najczęściej luźno związana z ich wartością nominalną. Suma cen rynkowych wszystkich akcji firmy to jej wartość rynkowa.

Wartość bieżąca akcji dla inwestora - maksymalna cena, jaką inwestor jest skłonny zapłacić za akcję, przy ustalonej stopie zwrotu, jakiej poszukuje. To właśnie ją będziemy próbowali wyznaczyć w następnych wzorach. Jeśli jest większa od ceny rynkowej - inwestor powinien zakupić akcję.

(17)

Cena akcji

Cena rynkowa (kurs) akcji - to rzeczywista cena akcji na giełdzie - najczęściej luźno związana z ich wartością nominalną.

Suma cen rynkowych wszystkich akcji firmy to jej wartość rynkowa.

(18)

Cena akcji

Cena rynkowa (kurs) akcji - to rzeczywista cena akcji na giełdzie - najczęściej luźno związana z ich wartością nominalną.

Suma cen rynkowych wszystkich akcji firmy to jej wartość rynkowa.

(19)

Akcje jako inwestycje

Akcje wyceniać będziemy zgodnie z regułami matematyki finansowej, czyli jako inwestycje finansowe.

Nakładem takiej inwestycji jest cena kupna (zazwyczaj zakładamy, że do zakupu dochodzi w chwili 0). Dochody z akcji mogą być dwóch rodzajów: po pierwsze - regularnie wypłacane dywidendy (przez które rozumiem nie tylko dywidendy w sensie formalno-prawnym, czyli udziały w podziale zysków spółki, ale wszelkie dochody z tytułu praw majątkowych zawartych w akcji), a po drugie: dochód wynikający ze zmieny ceny akcji tj. różnica między ceną sprzedaży, a zakupu.

Naszym celem jest wyznaczenie wartości aktualnej akcji jako zdyskontowanego strumienia dochodów z tytułu posiadania akcji.

(20)

Akcje jako inwestycje

Akcje wyceniać będziemy zgodnie z regułami matematyki finansowej, czyli jako inwestycje finansowe. Nakładem takiej inwestycji jest cena kupna (zazwyczaj zakładamy, że do zakupu dochodzi w chwili 0).

Dochody z akcji mogą być dwóch rodzajów: po pierwsze - regularnie wypłacane dywidendy (przez które rozumiem nie tylko dywidendy w sensie formalno-prawnym, czyli udziały w podziale zysków spółki, ale wszelkie dochody z tytułu praw majątkowych zawartych w akcji), a po drugie: dochód wynikający ze zmieny ceny akcji tj. różnica między ceną sprzedaży, a zakupu.

(21)

Akcje jako inwestycje

(22)

Akcje jako inwestycje

(23)

Akcje jako inwestycje

Głównym problemem z taką wyceną jest to, że ani dywidendy z akcji ani potencjalna cena jej sprzedaży nie są wielkościami z góry

ustalonymi, a więc inwestor w obliczeniach musi używać ich wartości oczekiwanych.

Dywidendy zazwyczaj płacone są w regularnych okresach, ale ich wysokość najczęściej jest wcześniej nieznana. Jednak renomowane spółki giełdowe mają zwyczaj prowadzenia stabilnej polityki dywidend, więc ich wielkość można w najbliższej przyszłości przewidzieć. Prognozowanie dochodu wynikającego ze zmiany cen akcji jest dużo bardziej skomplikowane, a na gruncie ściśle naukowym

— praktycznie niemożliwe.

(24)

Akcje jako inwestycje

Dywidendy zazwyczaj płacone są w regularnych okresach, ale ich wysokość najczęściej jest wcześniej nieznana.

Jednak renomowane spółki giełdowe mają zwyczaj prowadzenia stabilnej polityki dywidend, więc ich wielkość można w najbliższej przyszłości przewidzieć. Prognozowanie dochodu wynikającego ze zmiany cen akcji jest dużo bardziej skomplikowane, a na gruncie ściśle naukowym

(25)

Akcje jako inwestycje

Dywidendy zazwyczaj płacone są w regularnych okresach, ale ich wysokość najczęściej jest wcześniej nieznana. Jednak renomowane spółki giełdowe mają zwyczaj prowadzenia stabilnej polityki dywidend, więc ich wielkość można w najbliższej przyszłości przewidzieć.

Prognozowanie dochodu wynikającego ze zmiany cen akcji jest dużo bardziej skomplikowane, a na gruncie ściśle naukowym

(26)

Akcje jako inwestycje

Dywidendy zazwyczaj płacone są w regularnych okresach, ale ich wysokość najczęściej jest wcześniej nieznana. Jednak renomowane spółki giełdowe mają zwyczaj prowadzenia stabilnej polityki dywidend, więc ich wielkość można w najbliższej przyszłości przewidzieć. Prognozowanie dochodu wynikającego ze zmiany cen akcji jest dużo bardziej skomplikowane, a na gruncie ściśle naukowym

(27)

Podstawowe oznaczenia - akcje

We wszystkich zadaniach związanych z akcjami istotne będą następujące wielkości i oznaczenia:

P_t - wartość akcji w momencie jej przyszłej sprzedaży w momencie t.

Dn - wartość n-tej dywidendy w czasie posiadania akcji. OP to czas pomiędzy wypłatami dywidend. Przez D₀ oznaczamy wartość ostatniej dywidendy przed zakupem akcji.

r^∗ = IRR - zgodna stopa zwrotu z inwestycji o okresie kapitalizacji OK^∗ = OP.

N - liczba okresów kapitalizacji do momentu sprzedaży akcji (N ¬ t).

P - obecna wartość akcji (cena, po której inwestor jest skłonny ją zakupić).

(28)

Podstawowe oznaczenia - akcje

(29)

Podstawowe oznaczenia - akcje

(30)

Podstawowe oznaczenia - akcje

(31)

Podstawowe oznaczenia - akcje

N - liczba okresów kapitalizacji do momentu sprzedaży akcji

(32)

Podstawowe oznaczenia - akcje

P - obecna wartość akcji (cena, po której inwestor jest skłonny

(33)

Akcje - podstawy wyceny

Zauważmy, że z punktu widzenia matematyki finansowej wycena akcji działa praktycznie tak samo jak wycena obligacji kuponowych - technicznie, zamiast regularnej wypłaty kuponów mamy regularną wypłatę dywidend, a zamiast wartości nominalnej obligacji w dniu jej zapadalności otrzymujemy cenę akcji w dniu jej sprzedaży.

Te różnice są czysto techniczno-prawne, a nie matematyczne, więc liczymy tak samo.

Jedyną różnicą jest, że data sprzedaży nie musi być skoordynowana z czasem wypłaty ostatniej dywidendy.

(34)

Akcje - podstawy wyceny

Zauważmy, że z punktu widzenia matematyki finansowej wycena akcji działa praktycznie tak samo jak wycena obligacji kuponowych - technicznie, zamiast regularnej wypłaty kuponów mamy regularną wypłatę dywidend, a zamiast wartości nominalnej obligacji w dniu jej zapadalności otrzymujemy cenę akcji w dniu jej sprzedaży. Te różnice są czysto techniczno-prawne, a nie matematyczne, więc liczymy tak samo.

(35)

Akcje - podstawy wyceny

Zauważmy, że z punktu widzenia matematyki finansowej wycena akcji działa praktycznie tak samo jak wycena obligacji kuponowych - technicznie, zamiast regularnej wypłaty kuponów mamy regularną wypłatę dywidend, a zamiast wartości nominalnej obligacji w dniu jej zapadalności otrzymujemy cenę akcji w dniu jej sprzedaży. Te różnice są czysto techniczno-prawne, a nie matematyczne, więc liczymy tak samo.

(36)

Akcje - podstawowy wzór

Stąd wynika, że maksymalna cena, jaką jest skłonny wypłacić

inwestor, jest sumą zaktualizowanych na moment zakupu dochodów z akcji. Obliczymy tę cenę na początek okresu płatności dywidend (w razie czego, możemy tę cenę przesuwać w czasie).

Cena akcji o znanym czasie i cenie sprzedaży

P =

N

X

j =1

D_j(1 + r^∗)^−j + P_t(1 + r^∗)^−t.

(37)

Akcje - podstawowy wzór

Stąd wynika, że maksymalna cena, jaką jest skłonny wypłacić

inwestor, jest sumą zaktualizowanych na moment zakupu dochodów z akcji. Obliczymy tę cenę na początek okresu płatności dywidend (w razie czego, możemy tę cenę przesuwać w czasie).

Cena akcji o znanym czasie i cenie sprzedaży

P =

N

X

j =1

Dj(1 + r^∗)^−j + Pt(1 + r^∗)^−t.

(38)

Przykład

Zadanie

Inwestor planuje sprzedać kupowaną akcję za 2 lata, za cenę 100 jp.

Posiadanie tej akcji daje prawo do wypłaty rocznych dywidend - pierwsza jest wypłacana za 3 miesiące w wysokości 5 jp, a następna będzie wypłacana za rok i 3 miesiące w wysokości 6 jp. Ile

maksymalnie inwestor jest skłonny zapłacić za tę akcję, jeśli chce uzyskać roczną stopę zwrotu co najmniej 5%?

Wzór z poprzedniego slajdu pozwala nam wycenić akcję na początek okresu wypłaty dywidend. Skoro dywidendy są wypłacane co rok i najbliższa wypłata jest za 3 miesiące, to wzór pozwoli nam obliczyć cenę akcji w momencie 9 miesięcy temu, a potem przesuniemy tę wartość o 9 miesięcy do przodu.

(39)

Przykład

Zadanie

Wzór z poprzedniego slajdu pozwala nam wycenić akcję na początek okresu wypłaty dywidend. Skoro dywidendy są wypłacane co rok i najbliższa wypłata jest za 3 miesiące, to wzór pozwoli nam obliczyć

9 miesięcy temu, a potem przesuniemy tę wartość o 9 miesięcy do przodu.

(40)

Przykład

Zadanie

Wzór z poprzedniego slajdu pozwala nam wycenić akcję na początek okresu wypłaty dywidend. Skoro dywidendy są wypłacane co rok i najbliższa wypłata jest za 3 miesiące, to wzór pozwoli nam obliczyć cenę akcji w momencie 9 miesięcy temu, a potem przesuniemy tę

(41)

Przykład

Zadanie

9 miesięcy temu mogliśmy zatem otrzymać prawo do 2 dywidend (za rok i 2 lata) oraz do 100 jp za 2 lata i 9 miesięcy (2,75 roku). Zatem:

5(1, 05)⁻¹+ 6(1, 05)⁻²+ 100(1, 05)^−2,75 = 97, 6480.

(42)

Przykład

Zadanie

9 miesięcy temu mogliśmy zatem otrzymać prawo do 2 dywidend (za rok i 2 lata) oraz do 100 jp za 2 lata i 9 miesięcy (2,75 roku). Zatem:

P = 5(1, 05)˜ ⁻¹+ 6(1, 05)⁻²+ 100(1, 05)^−2,75 = 97, 6480.

(43)

Przykład

Zadanie

Teraz wystarczy otrzymaną cenę ˜P przesunąć do przodu o 9 miesięcy (3/4 roku) by otrzymać:

P(1, 05)˜ ^0,75= 101, 2874.

Odp: Inwestor może zapłacić maksymalnie 101, 2874 jp.

(44)

Przykład

Zadanie

Teraz wystarczy otrzymaną cenę ˜P przesunąć do przodu o 9 miesięcy (3/4 roku) by otrzymać:

P = ˜P(1, 05)^0,75= 101, 2874.

(45)

Akcje - model zdyskontowanych dywidend

Najsłabszym punktem otrzymanego przed chwilą wzoru jest konieczność wyznaczenia ceny, po której w przysżłości zostanie sprzedana akcja. W praktyce jest to niemożliwe.

By ominąć problem zgadywania ceny sprzedaży, zakłada się, że kolejni kupujący tę akcję inwestorzy, kierują się tym samym sposobem wyceny akcji. Wtedy możemy efektywnie odsunąć w nieskończoność moment sprzedaży akcji i korzystać z modelu zdyskontowanych dywidend (formalnie prawdziwego dla akcji trzymanych bezterminowo). We wzorach skróconych będziemy korzystać z dodatkowego założenia, że wewnętrzne stopy zwrotu dla kolejnych inwestorów są takie same - natomiast założenie to jest łatwo uchylić.

(46)

Akcje - model zdyskontowanych dywidend

Najsłabszym punktem otrzymanego przed chwilą wzoru jest konieczność wyznaczenia ceny, po której w przysżłości zostanie sprzedana akcja. W praktyce jest to niemożliwe. By ominąć problem zgadywania ceny sprzedaży, zakłada się, że kolejni kupujący tę akcję inwestorzy, kierują się tym samym sposobem wyceny akcji.

Wtedy możemy efektywnie odsunąć w nieskończoność moment sprzedaży akcji i korzystać z modelu zdyskontowanych dywidend (formalnie prawdziwego dla akcji trzymanych bezterminowo). We wzorach skróconych będziemy korzystać z dodatkowego założenia, że wewnętrzne stopy zwrotu dla kolejnych inwestorów są takie same - natomiast założenie to jest łatwo uchylić.

(47)

Akcje - model zdyskontowanych dywidend

Najsłabszym punktem otrzymanego przed chwilą wzoru jest konieczność wyznaczenia ceny, po której w przysżłości zostanie sprzedana akcja. W praktyce jest to niemożliwe. By ominąć problem zgadywania ceny sprzedaży, zakłada się, że kolejni kupujący tę akcję inwestorzy, kierują się tym samym sposobem wyceny akcji. Wtedy możemy efektywnie odsunąć w nieskończoność moment sprzedaży akcji i korzystać z modelu zdyskontowanych dywidend (formalnie prawdziwego dla akcji trzymanych bezterminowo).

We wzorach skróconych będziemy korzystać z dodatkowego założenia, że wewnętrzne stopy zwrotu dla kolejnych inwestorów są takie same - natomiast założenie to jest łatwo uchylić.

(48)

Akcje - model zdyskontowanych dywidend

Najsłabszym punktem otrzymanego przed chwilą wzoru jest konieczność wyznaczenia ceny, po której w przysżłości zostanie sprzedana akcja. W praktyce jest to niemożliwe. By ominąć problem zgadywania ceny sprzedaży, zakłada się, że kolejni kupujący tę akcję inwestorzy, kierują się tym samym sposobem wyceny akcji. Wtedy możemy efektywnie odsunąć w nieskończoność moment sprzedaży akcji i korzystać z modelu zdyskontowanych dywidend (formalnie prawdziwego dla akcji trzymanych bezterminowo). We wzorach skróconych będziemy korzystać z dodatkowego założenia, że wewnętrzne stopy zwrotu dla kolejnych inwestorów są takie same - natomiast założenie to jest łatwo uchylić.

(49)

Akcje - model zdyskontowanych dywidend

Załóżmy, że inwestor, kupujący od nas akcje w czasie N₁ po cenie P_N₁ zamierza ją sprzedać w momencie N₂ po cenie P_N₂ (dla

uproszczenia obliczeń, ale bez utraty ogólności powstających wzorów, zakładamy, że wszystkie omawiane transakcje odbywają się na

początku okresów wypłaty dywidend).

Wtedy ten inwestor wycenia zakup w momencie N₁ następująco:

P_N₁ =

N2−N₁

X

j =1

D_j(1 + r^∗)^−j + P_N₂(1 + r^∗)^N¹^−N².

(50)

Akcje - model zdyskontowanych dywidend

Załóżmy, że inwestor, kupujący od nas akcje w czasie N₁ po cenie P_N₁ zamierza ją sprzedać w momencie N₂ po cenie P_N₂ (dla

uproszczenia obliczeń, ale bez utraty ogólności powstających wzorów, zakładamy, że wszystkie omawiane transakcje odbywają się na

początku okresów wypłaty dywidend). Wtedy ten inwestor wycenia zakup w momencie N₁ następująco:

PN1 =

N2−N₁

X

j =1

Dj(1 + r^∗)^−j + PN2(1 + r^∗)^N¹^−N².

(51)

Akcje - model zdyskontowanych dywidend

P_N₁ =^P^N_{j =1}²^−N¹D_j(1 + r^∗)^−j + P_N₂(1 + r^∗)^N¹^−N².

Zatem, my możemy wycenić akcję w momencie 0 następująco:

P =

N1

X

j =1

D_j(1 + r^∗)^−j + P_N₁(1 + r^∗)^−N¹ =

=

N1

X

j =1

D_j(1+r^∗)^−j+





N2−N1

X

j =1

D_j(1 + r^∗)^−j + P_N₂(1 + r^∗)^N¹^−N²



(1+r^∗)^−N¹ =

=

N2

X

j =1

D_j(1 + r^∗)^−j + P_N₂(1 + r^∗)^−N².

(52)

Akcje - model zdyskontowanych dywidend

P_N₁ =^P^N_{j =1}²^−N¹D_j(1 + r^∗)^−j + P_N₂(1 + r^∗)^N¹^−N². Zatem, my możemy wycenić akcję w momencie 0 następująco:

P =

N1

X

j =1

D_j(1 + r^∗)^−j + P_N₁(1 + r^∗)^−N¹ =

=

N1

X

j =1

D_j(1+r^∗)^−j+





N2−N1

X

j =1

D_j(1 + r^∗)^−j + P_N₂(1 + r^∗)^N¹^−N²



(1+r^∗)^−N¹ =

=

N2

X

j =1

D_j(1 + r^∗)^−j + P_N₂(1 + r^∗)^−N².

(53)

Akcje - model zdyskontowanych dywidend

P =

N1

X

j =1

D_j(1 + r^∗)^−j + P_N₁(1 + r^∗)^−N¹ =

=

N1

X

j =1

D_j(1+r^∗)^−j+





N2−N1

X

j =1

D_j(1 + r^∗)^−j + P_N₂(1 + r^∗)^N¹^−N²



(1+r^∗)^−N¹ =

=

N2

X

j =1

D_j(1 + r^∗)^−j + P_N₂(1 + r^∗)^−N².

(54)

Akcje - model zdyskontowanych dywidend

P =

N1

X

j =1

D_j(1 + r^∗)^−j + P_N₁(1 + r^∗)^−N¹ =

=

N1

X

j =1

D_j(1+r^∗)^−j+





N2−N1

X

j =1

D_j(1 + r^∗)^−j + P_N₂(1 + r^∗)^N¹^−N²



(1+r^∗)^−N¹ =

=

N2

XD(1 + r^∗)^−j + P (1 + r^∗)^−N².

(55)

Akcje - model zdyskontowanych dywidend

P =^P^N_{j =1}² D_j(1 + r^∗)^−j + P_N₂(1 + r^∗)^−N².

Kontynuując rozumowanie, możemy przedstawić wzór po zakupach dokonanych przez k

inwestorów jako:

P =

Nk

X

j =1

Dj(1 + r^∗)^−j + PN_k(1 + r^∗)^−N^k.

Składnik PN_k(1 + r^∗)^−N^k staje się coraz mniejszy, gdy rozważamy coraz dalszy horyzont czasowy N_k. Ponieważ akcje nie mają (w przeciwieństwie do obligacji kuponowych) żadnej ustalonej daty zapadalności, potencjalnie mogą być w obrocie przez czas nieskończony. A gdy N_k → ∞, to P_N_k(1 + r^∗)^−N^k → 0.

(56)

Akcje - model zdyskontowanych dywidend

P =^P^N_{j =1}² D_j(1 + r^∗)^−j + P_N₂(1 + r^∗)^−N². Kontynuując rozumowanie, możemy przedstawić wzór po zakupach dokonanych przez k

inwestorów jako:

P =

Nk

X

j =1

Dj(1 + r^∗)^−j + PN_k(1 + r^∗)^−N^k.

Składnik PN_k(1 + r^∗)^−N^k staje się coraz mniejszy, gdy rozważamy coraz dalszy horyzont czasowy N_k.

Ponieważ akcje nie mają (w przeciwieństwie do obligacji kuponowych) żadnej ustalonej daty zapadalności, potencjalnie mogą być w obrocie przez czas nieskończony. A gdy N_k → ∞, to P_N_k(1 + r^∗)^−N^k → 0.

(57)

Akcje - model zdyskontowanych dywidend

inwestorów jako:

P =

Nk

X

j =1

Dj(1 + r^∗)^−j + PN_k(1 + r^∗)^−N^k.

Składnik PN_k(1 + r^∗)^−N^k staje się coraz mniejszy, gdy rozważamy coraz dalszy horyzont czasowy N_k. Ponieważ akcje nie mają (w przeciwieństwie do obligacji kuponowych) żadnej ustalonej daty

A gdy N_k → ∞, to P_N_k(1 + r^∗)^−N^k → 0.

(58)

Akcje - model zdyskontowanych dywidend

inwestorów jako:

P =

Nk

X

j =1

Dj(1 + r^∗)^−j + PN_k(1 + r^∗)^−N^k.

Składnik PN_k(1 + r^∗)^−N^k staje się coraz mniejszy, gdy rozważamy coraz dalszy horyzont czasowy N_k. Ponieważ akcje nie mają (w przeciwieństwie do obligacji kuponowych) żadnej ustalonej daty zapadalności, potencjalnie mogą być w obrocie przez czas nieskończony. A gdy N_k → ∞, to P_N_k(1 + r^∗)^−N^k → 0.

(59)

Akcje - model zdyskontowanych dywidend

P =^P^N_{j =1}^k Dj(1 + r^∗)^−j + PN_k(1 + r^∗)^−N^k, PN_k(1 + r^∗)^−N^k → 0, gdy N_k → ∞.

Zatem możemy powiedzieć, po uwzględnieniu wszystkich przyszłych transakcji, że:

Model zdyskontowanych dywidend

P =

∞

X

j =1

D_j(1 + r^∗)^−j.

Ten model jest dokładny, jeśli rozważamy tylko jednego inwestora, który nie planuje sprzedawać akcji.

(60)

Akcje - model zdyskontowanych dywidend

P =^P^N_{j =1}^k Dj(1 + r^∗)^−j + PN_k(1 + r^∗)^−N^k, PN_k(1 + r^∗)^−N^k → 0, gdy N_k → ∞. Zatem możemy powiedzieć, po uwzględnieniu wszystkich przyszłych transakcji, że:

Model zdyskontowanych dywidend

P =

∞

X

j =1

D_j(1 + r^∗)^−j.

(61)

Akcje - model zdyskontowanych dywidend

Model zdyskontowanych dywidend

P =

∞

X

j =1

D_j(1 + r^∗)^−j.

(62)

Akcje - model zdyskontowanych dywidend

Model zdyskontowanych dywidend

P =

∞

X

j =1

D_j(1 + r^∗)^−j.

(63)

Wysokość dywidend

Jak wspominałem wcześniej, wysokość przyszłych dywidend nie jest znana, ale dla renomowanych spółek giełdowych polityka ich wypłaty jest dość stabilna. Dlatego można je wyceniać na podstawie

dodatkowych założeń takich jaki:

Model stałej dywidendy; Model Gordona-Shapiro;

Model dwufazowy i ogólne modele wielofazowe.

(64)

Wysokość dywidend

Model stałej dywidendy;

Model Gordona-Shapiro;

(65)

Wysokość dywidend

(66)

Wysokość dywidend

(67)

Model stałej dywidendy

Model stałej dywidendy zakłada, że wszystkie przyszłe dywidendy będą miały stałą wysokość D = D₀ - taką jak ostatnio wypłacona dywidenda.

Wtedy wartość aktualna tej akcji jest po prostu wartością aktualną renty wieczystej z dołu o stałych ratach D. Stąd:

Model stałej dywidendy

P = D r^∗.

(68)

Model stałej dywidendy

Model stałej dywidendy zakłada, że wszystkie przyszłe dywidendy będą miały stałą wysokość D = D₀ - taką jak ostatnio wypłacona dywidenda. Wtedy wartość aktualna tej akcji jest po prostu wartością aktualną renty wieczystej z dołu o stałych ratach D. Stąd:

Model stałej dywidendy

P = D r^∗.

(69)

Model Gordona-Shapiro

Model Gordona-Shapiro jest podstawą wszelkich bardziej

skomplikowanych modeli. Opiera się na następujących założeniach:

wskaźnik wypłaty dywidendy jest stały, tj. spółka utrzymuje stałą proporcję podziału zysku na zysk zatrzymany i

przeznaczony na dywidendy

stopa zwrotu z zysków zatrzymanych jest stała całość wzrostu spółki pochodzi z reinwestycji zysku zatrzymanego.

Przy tych założeniach dywidendy wzrastają o stałą stopę g = r₀f , gdzie r₀ jest stopą zwrotu z inwestycji zysku zatrzymanego, a f jest wskaźnikiem zatrzymania (czyli częścią zysku, którą stanowi zysk zatrzymany).

(70)

Model Gordona-Shapiro

(71)

Model Gordona-Shapiro

stopa zwrotu z zysków zatrzymanych jest stała

całość wzrostu spółki pochodzi z reinwestycji zysku zatrzymanego.

(72)

Model Gordona-Shapiro

(73)

Model Gordona-Shapiro

Przy tych założeniach dywidendy wzrastają o stałą stopę g = r₀f , gdzie r jest stopą zwrotu z inwestycji zysku zatrzymanego, a f jest

(74)

Model Gordona-Shapiro

W tym modelu zatem, wartość aktualna akcji jest wartością aktualną renty geometrycznej o j -ej racie D₀(1 + g )^j (gdzie D₀ jest wysokością ostatniej renty przed zakupem). Zatem:

P =

∞

X

j =1

D₀

1 + g 1 + r^∗

j

= D₀(1 + g )

1 + r^∗ · 1 1 −_1+r^1+g∗

= . . .

Model Gordona-Shapiro

P = D0(1 + g ) r^∗− g .

(75)

Model Gordona-Shapiro

P =

∞

X

j =1

D₀

1 + g 1 + r^∗

j

=

D₀(1 + g )

1 + r^∗ · 1 1 −_1+r^1+g∗

= . . .

Model Gordona-Shapiro

P = D0(1 + g ) r^∗− g .

(76)

Model Gordona-Shapiro

P =

∞

X

j =1

D₀

1 + g 1 + r^∗

j

= D₀(1 + g )

1 + r^∗ · 1 1 −_1+r^1+g∗

= . . .

Model Gordona-Shapiro

P = D0(1 + g ) r^∗− g .

(77)

Model Gordona-Shapiro

P =

∞

X

j =1

D₀

1 + g 1 + r^∗

j

= D₀(1 + g )

1 + r^∗ · 1 1 −_1+r^1+g∗

= . . .

Model Gordona-Shapiro

P = D0(1 + g ) .

(78)

Model Gordona-Shapiro - uwaga

P = ^D⁰_r^{(1+g )}∗−g .

Najczęściej w książkach ten wzór się pojawia w postaci: P = _r∗^D−g, gdzie D oznacza najbliższą wypłacaną dywidendę po zakupie (a nie ostatnią przed zakupem - jak u mnie). Oczywiście wzory te dają te same wyniki, bo u mnie po prostu najbliższa wypłacana dywidenda wynosi D₀(1 + g ).

Mój wybór oznaczenia wynika z faktu, że wysokość ostatnio wypłaconej dywidendy jest nam znana, a wysokość dywidendy wypłacanej w przyszłości - formalnie nie.

(79)

Model Gordona-Shapiro - uwaga

P = ^D⁰_r^{(1+g )}∗−g . Najczęściej w książkach ten wzór się pojawia w postaci:

P = _r∗^D−g, gdzie D oznacza najbliższą wypłacaną dywidendę po zakupie (a nie ostatnią przed zakupem - jak u mnie). Oczywiście wzory te dają te same wyniki, bo u mnie po prostu najbliższa wypłacana dywidenda wynosi D₀(1 + g ).

(80)

Model Gordona-Shapiro - uwaga

P = ^D⁰_r^{(1+g )}∗−g . Najczęściej w książkach ten wzór się pojawia w postaci:

P = _r∗^D−g, gdzie D oznacza najbliższą wypłacaną dywidendę po zakupie (a nie ostatnią przed zakupem - jak u mnie). Oczywiście wzory te dają te same wyniki, bo u mnie po prostu najbliższa wypłacana dywidenda wynosi D₀(1 + g ).

(81)

Model dwufazowy

Nawet jeśli dana spółka akcyjna prowadzi stabilną politykę wypłaty dywidend zgodnie z modelem Gordona-Shapiro, musimy się liczyć z tym, że w przyszłości jej rozwój może zwolnić w stosunku do dzisiejszych szacunków (np. ze względu na prawo malejących

przychodów krańcowych). Podobnie, jako bufor bezpieczeństwa warto założyć, że w przyszłości warunki gospodarcze mogą się pogorszyć.

By wziąć poprawkę na taki efekt, używa się modelu dwufazowowego, w którym przez pewien okres (n₁ okresów kapitalizacji) dywidendy rosną w szybszym tempie (ze stopą g₁), a potem ich wzrost jest wolniejszy, ze stopą wzrostu g₂ < g₁.

(82)

Model dwufazowy

Nawet jeśli dana spółka akcyjna prowadzi stabilną politykę wypłaty dywidend zgodnie z modelem Gordona-Shapiro, musimy się liczyć z tym, że w przyszłości jej rozwój może zwolnić w stosunku do dzisiejszych szacunków (np. ze względu na prawo malejących

przychodów krańcowych). Podobnie, jako bufor bezpieczeństwa warto założyć, że w przyszłości warunki gospodarcze mogą się pogorszyć.

By wziąć poprawkę na taki efekt, używa się modelu dwufazowowego, w którym przez pewien okres (n₁ okresów kapitalizacji) dywidendy rosną w szybszym tempie (ze stopą g₁), a potem ich wzrost jest wolniejszy, ze stopą wzrostu g₂ < g₁.

(83)

Model dwufazowy

Najpierw obliczmy w modelu dwufazowym wartość akcji w momencie n₁ - czyli P_n₁.

Jest to znów sytuacja renty wieczystej geometrycznej, gdzie j − ta dywidenda jest wysokości D₀(1 + g₁)ⁿ¹(1 + g₂)^j, więc ze wzoru Gordona-Shapiro:

P_n₁ = D₀(1 + g₁)ⁿ¹(1 + g₂) r − g₂ . Z drugiej strony:

P =

n1

X

j =1

D₀(1 + g₁)^j(1 + r^∗)^−j + P_n₁(1 + r^∗)⁻ⁿ¹.