Zadania dodatkowe
Każde zadanie dodatkowe jest warte tyle co n zwykłych zadań domowych, gdzie n 2 to liczba gwiazdek przy zadaniu. Jeśli pojawią się rozwiązania zaspołowe, to punkty zostaną podzielone po równo między wszystkich autorów. Rozwiązania należy oddawać na kartkach, opisane czytelnie i precyzyjnie. Rozwią- zanie danego zadania można oddawać, dopóki nie będzie przy nim napisane, że już nie można.
Zadanie 1. (**) (Termin oddawania: 17.04.)Skonstruuj (porządnie! np. opisz wzorem lub jako granicę ciągu funkcji) funkcję f : R → R jednostajnie ciągłą i różniczkowalną, której pochodna jest nieograniczo- na.
Zadanie 2. (**)(Termin oddawania: 29.05.)Niech f : R → R będzie funkcją dwukrotnie różniczkowalną spełniającą f (0) = 0. Wykaż, że istnieje x0∈ −π2,π2 takie, że
f00(x0) = f (x0)(1 + 2 tg2x0).
Zadanie 3. (***)(Termin oddawania: 29.05.)Znajdź wszystkie funkcje różniczkowalne f : R → R takie, że dla każdego x ∈ R zachodzi
f (x) = fx 2
+x
2f0(x).
Zadanie 4. (***) Niech f : R → R będzie funkcją różniczkowalną o ciągłej pochodnej, spełniającą f0(t) > f (f (t)) dla każdego t ∈ R. Wykaż, że f (f (f (t))) ¬ 0 dla każdego t 0.
Zadanie 5. (**) Niech (an)∞n=1będzie dowolnym ciągiem niezerowych liczb rzeczywistych. Udowodnić, że ciąg funkcji
fn = 1
an sin(anx) + cos(x + an)
ma podciąg zbieżny punktowo. Czy dla każdego ciągu anciąg funkcji fnma podciąg zbieżny jednostajnie?
Zadanie 6. (**) Wykaż, że jeśli 0 < a < b, to
b
Z
a
(x2+ 1)e−x2dx e−a2− e−b2.
Zadanie 7. (**) Oblicz
lim
A→+∞
1 A
A
Z
1
Ax1dx.
Zadanie 8. (**) Funkcja f : [0, 1] → R jest sympatyczna jeśli f (x) + f (y) |x − y| dla wszystkich par x, y ∈ [0, 1]. Znajdź minimum
1
R
0
f (x)dx na zbiorze wszystkich funkcji sympatycznych.
1
