9 maja 2019

Analiza matematyczna 2, WNE, 2018/2019 ćwiczenia 20. – krótki sprawdzian – rozwiązania

9 maja 2019

A

1. Niech f (x, y) = e^x4−8x2+y2. Znajdź i sklasyfikuj punkty krytyczne tej funkcji.

Mamy:

∂f

∂x = (4x³− 16x)e^x4−8x2+y2,

∂f

∂y = 2ye^x4−8x2+y2,

są równe zero dla y = 0 oraz x = 0 lub x = 2 lub x = −2. Macierz drugiej pochodnej to

"

4(4x⁶− 32x⁴+ 67x²− 4)e^x4−8x2+y2 8x(x²− 4)ye^x4−8x2+y2 8x(x²− 4)ye^x4−8x2+y2 (4y²+ 2)e^x4−8x2+y2

#

Zatem w (0, 0) mamy

 −16 0

0 2



macierz nieokreśloną – to nie jest ekstremum.

W (0, −2) i (0, 2) mamy to samo

 32e⁻¹⁶ 0 0 2e⁻¹⁶



macierz dodatnio określona – to są minima.

2. Zbadaj sup_(x,y)∈Df (x, y) oraz inf_(x,y)∈Df (x, y), gdzie f jest określona jak w poprzednim podpunkcie, zaś D = {(x, y) ∈ R²: x ­ 0, x⁴− 8x²+ y²¬ 16}.

Minimum lokalne (0, 2) leży wewnątrz D i wartość na nim to e⁻¹⁶. Na brzegu x⁴− 8x²+ y²= 16 wartość wynosi stale e¹⁶ – łącznie z wierzchołkami obszaru, gdzie x = 0. Dla x = 0 mamy f (y) = e^y2, osiąga minimum dla y = 0, czyli z wartością 1.

Zatem sup_(x,y)∈Df (x, y) = e¹⁶oraz inf_(x,y)∈Df (x, y) = e⁻¹⁶.

B

1. Niech f (x, y) = e^x2−8y2+y4. Znajdź i sklasyfikuj punkty krytyczne tej funkcji.

Mamy:

∂f

∂x = 2xe^x2−8y2+y4,

∂f

∂y = (4y³− 16y)e^x2−8y2+y4,

są równe zero dla x = 0 oraz y = 0 lub y = 2 lub y = −2. Macierz drugiej pochodnej to

"

(4x²+ 2)e^x2−8y2+y4 8y(y²− 4)xe^x2−8y2+y4 8y(y²− 4)xe^x2−8y2+y4 4(4y⁶− 32y⁴+ 67y²− 4)e^x2−8y2+y4

#

1

Zatem w (0, 0) mamy

 2 0 0 16



macierz nieokreśloną – to nie jest ekstremum.

W (−2, 0) i (2, 0) mamy to samo

 2e⁻¹⁶ 0 0 32e⁻¹⁶



macierz dodatnio określona – to są minima.

2. Zbadaj sup_(x,y)∈Df (x, y) oraz inf(x,y)∈Df (x, y), gdzie f jest określona jak w poprzednim podpunkcie, zaś D = {(x, y) ∈ R²: x ­ 0, x²− 8y²+ y⁴¬ 16}.

Minimum lokalne (2, 0) leży wewnątrz D i wartość na nim to e⁻¹⁶. Na brzegu x²− 8y²+ y⁴= 16 wartość wynosi stale e¹⁶ – łącznie z wierzchołkami obszaru, gdzie y = 0. Dla y = 0 mamy f (x) = e^x2, osiąga minimum dla x = 0, czyli z wartością 1.

Zatem sup_(x,y)∈Df (x, y) = e¹⁶oraz inf_(x,y)∈Df (x, y) = e⁻¹⁶.

C

1. Niech f (x, y) = x³y²− x³+ xy²+ x. Znajdź i sklasyfikuj punkty krytyczne tej funkcji.

Mamy:

∂f

∂x = 3x²y²− 3x²+ y²+ 1,

∂f

∂y = 2yx³+ 2xy = 2xy(x²+ 1), Jeśli są zerami, to x = 0, lub y = 0 więc x = ±1/√

3, ale dla x = 0 mamy sprzeczność. W takim razie krytyczne punkty to (1/√

3, 0) i (−1/√ 3, 0).

Macierz drugiej pochodnej to

 6x²y − 6x 6x²y + 2y 6x²y + 2y 2x³+ 2x



i jest nieokreślona zarówno (1/√

3, 0), jak i w (−1/√

3, 0) – nie ma ekstremów.

2. Zbadaj sup_(x,y)∈Df (x, y) oraz inf_(x,y)∈Df (x, y), gdzie f jest określona jak w poprzednim podpunkcie, zaś D to prostokąt o wierzchołkach (−1, −1), (1, −1), (1, 2), (−1, 2).

Nie ma ekstremów, więc sprawdzamy brzeg. Dla x = −1 dostajemy f (y) = 2y², co ma ekstremum dla 0 równe 0. Dla x = 1, f (y) = −y², co ma ekstremum dla 0 równe 0. Dla y = 1, dostajemy f (x) = 2x więc nie ma ekstremów. Dla y = −2, mamy f (x) = 3x³+ 5x, więc f⁰ = 9x²+ 5, co ma ekstremum w

±

√5

3 o wartościach ±⁸

√5

9 . W (−1, −1), (1, −1), (1, 2), (−1, 2) wartości to odpowiednio −2, 2, 8 i −8, więc sup_(x,y)∈Df (x, y) = 8 oraz inf_(x,y)∈Df (x, y) = −8.

D

1. Niech f (x, y) = x³− x³y²− xy²− x. Znajdź i sklasyfikuj punkty krytyczne tej funkcji.

Mamy:

∂f

∂x = −3x²y²+ 3x²− y²− 1,

∂f

∂y = −2yx³− 2xy = −2xy(x²+ 1), Jeśli są zerami, to x = 0, lub y = 0 więc x = ±1/√

3, ale dla x = 0 mamy sprzeczność. W takim razie krytyczne punkty to (1/√

3, 0) i (−1/√ 3, 0).

2

Macierz drugiej pochodnej to

 −6x²y + 6x −6x²y − 2y

−6x²y − 2y −2x³− 2x



i jest nieokreślona zarówno (1/√

3, 0), jak i w (−1/√

3, 0) – nie ma ekstremów.

2. Zbadaj sup_(x,y)∈Df (x, y) oraz inf_(x,y)∈Df (x, y), gdzie f jest określona jak w poprzednim podpunkcie, zaś D to prostokąt o wierzchołkach (−1, −2), (1, −2), (1, 1), (−1, 1).

Nie ma ekstremów, więc sprawdzamy brzeg. Dla x = −1 dostajemy f (y) = −2y², co ma ekstremum dla 0 równe 0. Dla x = 1, f (y) = y², co ma ekstremum dla 0 równe 0. Dla y = −1, dostajemy f (x) = −2x więc nie ma ekstremów. Dla y = 2, mamy f (x) = −3x³− 5x, więc f⁰ = −9x²− 5, co ma ekstremum w

±

√5

3 o wartościach ±⁸

√5

9 . W (−1, 1), (1, 1), (1, −2), (−1, −2) wartości to odpowiednio −2, 2, 8 i −8, więc sup_(x,y)∈Df (x, y) = 8 oraz inf_(x,y)∈Df (x, y) = −8.

3