Rachunek Prawdopodobie«stwa MAP1181 Wydziaª Matematyki, Matematyka Stosowana Lista 5. Rozwi¡zanie zadania 5.1 (b) Opracowanie: Anna Kasprzak

Rachunek Prawdopodobie«stwa MAP1181

Wydziaª Matematyki, Matematyka Stosowana Lista 5. Rozwi¡zanie zadania 5.1 (b)

Opracowanie: Anna Kasprzak

Zadanie 5.1

(b) Niech xn = a + 1

n oraz pn = b n

(n + 1)!. Wyznacz dla jakich warto±ci staªych a ∈ N i b ci¡g {(x_n, p_n), n = 1, 2, 3, . . .} okre±la rozkªad pewnej dyskretnej zmiennej losowej X. Nast¦pnie dla parametrów z wyznaczonego zakresu oblicz prawdopodobie«stwo, »e zmienna ta jest wi¦ksza od 6.3 i mniejsza od 7.25.

Rozwi¡zanie:

• Ci¡g {xn} jest ró»nowarto±ciowy ∀a∈N, b∈R.

• pn = b_(n+1)!ⁿ ­ 0 ∀n⇔ b ­ 0 i a ∈ N.

• ^P∞

n=1

p_n = b

∞

P

n=1 n (n+1)! = b

∞

P

n=1

(n+1)−1 (n+1)! = b

∞

P

n=1

(_n!¹ − _(n+1)!¹ ) = b lim

N →∞

N

P

n=1

(_n!¹ − _(n+1)!¹ ) =

= b lim

N →∞(1 − _{(N +1)!}¹ ) = 1 ⇔ b = 1i a ∈ N.

• Ci¡g {(xn, p_n)} okre±la rozkªad dyskretnej zmiennej losowej X ⇔ a ∈ N i b = 1.

• p_n = P (X = x_n).

• Dla a /∈ {6, 7},

P (6.3 < X < 7.25) = 0.

• Dla a = 6,

P (6.3 < X < 7.25) = P (X = 7 = x₁) + P (X = 6¹₂ = x₂) + P (X = 6₃¹ = x₃) = p₁+ p₂+ p₃ =

= _2!¹ +_3!² +_4!³ = ₂¹ + ²₆ +₂₄³ = ²³₂₄ ≈ 0.9583.

• Dla a = 7,

P (6.3 < X < 7.25) = P (X < 7.25) = 1 − P (X ­ 7.25) =

= 1 − P (X = 8 = x1) − P (X = 7¹₂ = x2) − P (X = 7₃¹ = x3) − P (X = 7¹₄ = x4) =

= 1 − p₁− p₂− p₃ − p₄ = 1 − _2!¹ − _3!² − _4!³ − _5!⁴ = 1 − ¹₂ −²₆ − ₂₄³ −₁₂₀⁴ = ₁₂₀¹ ≈ 0.00833.

• Podsumowuj¡c:

P (6.3 < X < 7.25) =















0 dla a 6= 6 ∧ a 6= 7

P3 n=1

pn= ²³₂₄ dla a = 6

∞

P

n=5

p_n= 1 − ^P4

n=1

p_n= ₁₂₀¹ dla a = 7

.

1