Arytmetyka teoretyczna
LISTA 8: Dwie konstrukcje cia la liczb rzeczywistych.
A. Przekrojem Dedekinda nazywamy ka˙zd¸a par¸e (A, B) niepustych podzbior´ow zbioru liczb wymiernych Q spe lniaj¸ac¸a nast¸epuj¸ace warunki:
(1) A ∪ B = Q
(2) (∀a ∈ A)(∀b ∈ B)(a < b).
W przypadku, gdy A ma element maksymalny q, przekr´oj (A, B) jest uto˙zsamiany z (A \ {q}, {q} ∪ B). W tym przypadku m´owimy, ˙ze (A, B) okre´sla liczb¸e q.
Je´sli A nie ma elementu maksymalnego, a B nie ma elementy minimalnego, m´owimy, ˙ze przekr´oj (A, B) okre´sla liczb¸e niewymiern¸a.
Uwaga. Niech (A, B) b¸edzie przekrojem Dedekinda. Dolna klasa przekroju A jest odcinkiem pocz¸atkowym, za´s g´orna klasa B odcinikiem ko´ncowym zbioru uporz¸adkowanego (Q, ≤) tj.
(∀a ∈ A)(∀q ∈ Q)(q ≤ a → q ∈ A) oraz (∀b ∈ B)(∀q ∈ Q)(q ≥ b → q ∈ B).
Ponadto dla dowolnego przekroju (C, D) A jest odcinkiem pocz¸atkowym C lub C jest odcinkiem pocz¸atkowym A.
Niech A ⊆ R b¸edzie zbiorem ograniczonym z g´ory, w´owczas najmniejsze ograniczenie g´orne zbioru A nazywamy jego kresem g´ornym (supremum), tj.
a = sup Adef⇔ (∀x ∈ A)(x ≤ a) ∧ (∀a0 < a)(∃x ∈ A)(a0 < x).
Zad.1. Pokaza´c, ˙ze ka˙zdy niepusty i ograniczony z g´ory zbi´or liczb rzeczywistych (w postaci przekroj´ow Dedekinda) ma kres g´orny.
Twierdzenie (Dedekind). Je˙zeli (A, B) jest przekrojem Dedekinda zbioru R liczb rzeczywistych, to A posida element najwi¸ekszy, albo B posiada element najm- niejszy.
Definicja.
1. (A, B)≤(C, D)def⇔ A jest odcinkiem pocz¸atkowym C 2. 0 def= (Q−∪ {0}, Q+)
1
3. (A, B) + (C, D) def= (A + C, B + D) 4. −(A, B) def= (−B, −A)
5. (A, B) · (C, D)def=
((Q \ (B · D)), B · D) : oba przekroje dodatnie
−(−(A, B) · −(C, D)) : oba przekroje ujemne
−(−(A, B) · (C, D)) : przekroje maj¸a r´o˙zne znaki
Zad.2. Zdefiniowa´c liczb¸e 1 oraz element odwrotny do przekroju (A, B) 6= 0.
B. Ci¸ag (qn)n∈N (qi ∈ Q) nazywamy ci¸agiem Cauchy’ego, gdy (∀ε > 0)(∃N )(∀n ≥ N )(|qn− qN| < ε).
Ci¸ag (qn)n∈N nazywamy ci¸agiem zbie˙znym do granicy g, gdy (∀ε > 0)(∃N )(∀n ≥ N )(|qn− g| < ε).
Zad.3. Pokaza´c, ˙ze ka˙zdy ci¸ag Cauchy’ego jest ograniczony (z g´ory i z do lu).
Zad.4. Pokaza´c, ˙ze ka˙zdy ci¸ag rosn¸acy i ograniczony z g´ory jest ci¸agiem Cauchy’ego.
Zad.5. Pokaza´c, ˙ze ka˙zdy ci¸ag zbie˙zny jest ci¸agiem Cauchy’ego.
Zad.6. Definiujemy ci¸ag qn = 1 +1!1 +2!1 + . . . + n!1.
(a) Pokaza´c, ˙ze (qn) jest rosn¸acym i ograniczonym z g´ory ci¸agiem liczb wymiernych, kt´orego
(b) granica nie jest liczb¸a wymiern¸a.
C. Na zbiorze C b¸edzie ci¸ag´ow ci¸ag´ow Cauchy’ego o wyrazach wymiernych defin- ujemy relacj¸e: (xn)n∈N ≈ (yn)n∈N ⇐⇒ limdef
n→∞(xn− yn) = 0.
Zad.7. Pokaza´c, ˙ze ≈ jest relacj¸a r´ownowa˙zno´sci. Na zbiorze klas abstrakcji wzgl¸edem tej relacji zdefiniowa´c dzia lania: + oraz ·. Jakie klasy s¸a elementami neutralnymi dla tych dzia la´n?
Zad.8. Zdefiniowa´c relacj¸e ≤ na zbiorze C/≈.
Zad.9. Pokaza´c, ˙ze ka˙zdy niepusty i ograniczony z g´ory zbi´or C/≈ ma kres g´orny.
2