Analiza II, ISIM Lista zada« nr 6 1. Nie wykonuj¡c »adnych rachunków oblicz caªki
∫ 1
−1x3√
1− x2dx,
∫ 1
−1(x5+ 3)√
1− x2dx 2. Znajd¹ funkcj¦ g tak¡, »e ∫ x
0
tg(t)dt = x + x2.
3. Oblicz pole obszaru ograniczonego przez wykresy krzywych y = x3, y = x13; y = x2+ 1, y = 2x + 9;
y = x3+ 1, y = (x + 1)2; y2 = 6x, x2 = 6y;
y2 = 2x− 5, y = x − 4; y = x + 2, y =−3x + 6, y = (2 − x)/3;
x = y2− y, x = y − y2; x = y2, x = 6− y − y2.
4. Wyznacz pole elipsy Ax2+ 2Bxy + Cy2= 1, gdzie AC − B2> 0, C > 0.
5. Oblicz dªugo±¢ krzywych opisanych parametrycznie
x = 3t, y = t32, 0≤ t ≤ 3;
x = 14t4+ 1, y = 16t6− 1, 0≤ t ≤ 1;
x = sin t− t cos t, y = t sin t + cos t, 0≤ t ≤ π/2;
x = 23t32, y = 49t94, 0≤ t ≤ 4;
x = cos3t, y = sin3t, 0≤ t ≤ 2π;
6. Oblicz dªugo±¢ krzywych podanych równaniem we wspóªrz¦dnych biegunowych.
r = 2 cos θ; r = θ2, 0≤ θ ≤ 4√ 2;
r = 2θ, 0≤ θ ≤ 2π; r = sin2 θ2, 0≤ θ ≤ π;
r = sin3 θ3, 0≤ θ ≤ 2π; θ = 12(r + 1/r), 1≤ r ≤ 3.
7. Poka», »e je»eli
c0+c1
2 +c2
3 + .. +cn−1
n + cn
n + 1 = 0, to równanie
c0+ c1x + c2x2+ .. + cn−1xn−1+ cnxn= 0 ma co najmniej jeden pierwiastek rzeczywisty mi¦dzy 0, a 1.
8. Udowodnij to»samo±¢ ∫ 1
0
arctgx
x dx = 1 2
∫ π
2
0
t sin tdt
9. Poka» ∫ 2π
0
ϕ(a cos θ + b sin θ)dθ = 2
∫ π
0
ϕ(√
a2+ b2cos λ)dλ,
gdzie ϕ jest funkcj¡ ci¡gª¡. Wskazówka: zapisz punkt (a, b) we wspóªrz¦dnych radialnych.
10. Funkcja f(θ) zale»y w sposób ci¡gªy od k¡ta θ, gdzie 0 ≤ θ < 2π. Niech R b¦dzie obszarem zªo»onym z punktów na pªaszczy¹nie, których wspóªrz¦dne biegunowe speªniaj¡
0≤ r ≤ f(θ) oraz α ≤ θ ≤ β.
Poka», »e pole obszaru R jest równe 12∫β
α f (θ)2dθ. Wskazówka: Podziel przedziaª [α, β] na n równych cz¦±ci i przybli» pole odpowiedniego obszaru przez pole wycinka koªowego.
11. Oblicz pole obszaru ograniczonego przez wykresy równa« we wspóªrz¦dnych biegunowych.
Naszkicuj odpowiednie krzywe.
r = 3 sin θ; r = 9| sin 2θ|, (czterolistna ró»a);
r = 2 + 2 cos θ,(kardioida); r2 = 9 sin 2θ,(lemniskata).
12. Znajd¹ pole obszaru. W ka»dym przypadku naszkicuj odpowiedni obszar.
a) Obszar wspólny dla okr¦gów r = cos θ i r = sin θ.
b) Obszar wewn¡trz okr¦gu r = cos θ i na zewn¡trz kardioidy r = 1 − cos θ.
c) Obszar na zewn¡trz kardioidy r = 1 + cos θ i wewn¡trz kardioidy r = 1 + sin θ.
13. Oblicz pole powierzchni otrzymanej przez obrót wokóª osi x podanych wykresów.
f (x) =√
x, 2≤ x ≤ 6; f (x) = 1
3x3, 0≤ x ≤√
2; f (x) = 1
4x4+ 1
8x2, 1≤ x ≤√ 2;
(x a
)2
+ (y
b )2
= 1; x = sin2t, y = cos2t, 0≤ x ≤ π
2; x = cos3t, y = sin3t, 0≤ x ≤ 2π.
14. Oblicz obj¦to±¢ bryªy otrzymanej przez obrót podanych wykresów wokóª osi x.
f (x) = x3/2, 0≤ x ≤ 1; f (x) =−1
x, −3 ≤ x ≤ −2; g(x) =√
cos x, 0≤ x ≤ π 6 15. Oblicz obj¦to±¢ bryªy otrzymanej przez obrót wokóª osi x obszaru ograniczonego przez podane wykresy:
a) f(x) =√
x + 1, g(x) =√
x− 1, 1 ≤ x ≤ 3;
b) f(x) = cos x + sin x, g(x) = cos x − sin x, 0 ≤ x ≤ π/4;
c) f(x) = 2x − x2, g(x) = x2− 2x;
d) y = x1/2, y = 2x1/4;
e) y = x3+ 2, y = x2+ 2x + 2.
16. Oblicz obj¦to±¢ bryªy opieraj¡c si¦ na informacji o przekrojach:
a) Podstaw¡ bryªy jest trójk¡t równoramienny prostok¡tny o ramionach L1 i L2 dªugo±ci 4.
Przekroje prostopadªe do L1 sa póªkolami.
b) Podstaw¡ bryªy jest koªo o promieniu 1. Przekroje prostopadªe do ustalonej ±rednicy podstawy s¡ kwadratami.
c) Podstaw¡ bryªy jest trójk¡t równoramienny o boku 10. Przekroje prostopadªe do usta- lonej wysoko±ci trójk¡ta s¡ kwadratami.
17. Oblicz obj¦to±¢ bryªy otrzymanej przez obrót podanych wykresów wokóª osi y.
f (x) = 4
x3, 1≤ x ≤ 3; g(x) =√
x2+ 1, 0≤ x ≤√
3; h(x) =
√ 1 +√
x, 0≤ x ≤ 4.
18. W kuli o promieniu 2 wydr¡»ono otwór o promieniu 0, 5. O ile zmniejszyªa si¦ obj¦to±¢?
19. Poka», »e dªugo±¢ elipsy x = a cos t, y = b sin t jest równa dªugo±ci jednej 'fali' sinusoidy y = c sin(x/b), gdzie c =√
a2− b2.
20∗.Udowodnij, »e je»eli funkcje ci¡gªe f(x) i g(x) s¡ rosn¡ce na przedziale [0, 1], to
∫ 1
0
f (x)g(dx)dx≥
∫ 1
0
f (x)dx
∫ 1
0
g(x)dx.
21∗.Funkcja dodatnia f(x) jest ró»niczkowalna w sposób ci¡gªy na przedziale [0, +∞) i ma wªa- sno±¢, »e przy zamianie zmiennych ξ =∫x
0 f (t)dtprzechodzi na funkcj¦ e−ξ. Znajd¹ funkcj¦ f(x).
22∗.Oblicz pole ograniczone krzyw¡ x4+ y3 = ax2y.
23∗.Oblicz obj¦to±¢ bryªy powstaªej z obrotu asteroidy x2/3+ y2/3 = a2/3 dookoªa osi OX.
24∗.Wyka», »e dªugo±¢ L elipsy o póªosiach a i b speªnia nierówno±¢
π(a + b) < L < π√ 2√
a2+ b2.
25∗.Poka», »e je»eli 0 < y < x, to wtedy zachodzi nast¦puj¡ca nierówno±¢:
x + 2
2 > x− y lnx− lny
26∗.Niech f b¦dzie funkcj¡ dodatni¡ i ci¡gª¡ na [0, 1]; oznaczmy In=∫1
0
(f (x))n
dxdla n ∈ N.
Poka», »e
In2−1 ≤ InIn−2 dla n > 1.
27. Funkcja ci¡gªa f(x) na przedziale [0, 1] speªnia
∫ 1
0
xnf (x)dx = 0, n = 0, 1, 2, . . . Poka», »e f(x) = 0 dla 0 ≤ x ≤ 1.