• Nie Znaleziono Wyników

Oblicz pole obszaru ograniczonego przez wykresy krzywych y = x3, y = x13

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2021

Share "Oblicz pole obszaru ograniczonego przez wykresy krzywych y = x3, y = x13"

Copied!
3
0
0

Pełen tekst

(1)

Analiza II, ISIM Lista zada« nr 6 1. Nie wykonuj¡c »adnych rachunków oblicz caªki

1

−1x3

1− x2dx,

1

−1(x5+ 3)√

1− x2dx 2. Znajd¹ funkcj¦ g tak¡, »ex

0

tg(t)dt = x + x2.

3. Oblicz pole obszaru ograniczonego przez wykresy krzywych y = x3, y = x13; y = x2+ 1, y = 2x + 9;

y = x3+ 1, y = (x + 1)2; y2 = 6x, x2 = 6y;

y2 = 2x− 5, y = x − 4; y = x + 2, y =−3x + 6, y = (2 − x)/3;

x = y2− y, x = y − y2; x = y2, x = 6− y − y2.

4. Wyznacz pole elipsy Ax2+ 2Bxy + Cy2= 1, gdzie AC − B2> 0, C > 0.

5. Oblicz dªugo±¢ krzywych opisanych parametrycznie

x = 3t, y = t32, 0≤ t ≤ 3;

x = 14t4+ 1, y = 16t6− 1, 0≤ t ≤ 1;

x = sin t− t cos t, y = t sin t + cos t, 0≤ t ≤ π/2;

x = 23t32, y = 49t94, 0≤ t ≤ 4;

x = cos3t, y = sin3t, 0≤ t ≤ 2π;

6. Oblicz dªugo±¢ krzywych podanych równaniem we wspóªrz¦dnych biegunowych.

r = 2 cos θ; r = θ2, 0≤ θ ≤ 4√ 2;

r = 2θ, 0≤ θ ≤ 2π; r = sin2 θ2, 0≤ θ ≤ π;

r = sin3 θ3, 0≤ θ ≤ 2π; θ = 12(r + 1/r), 1≤ r ≤ 3.

7. Poka», »e je»eli

c0+c1

2 +c2

3 + .. +cn−1

n + cn

n + 1 = 0, to równanie

c0+ c1x + c2x2+ .. + cn−1xn−1+ cnxn= 0 ma co najmniej jeden pierwiastek rzeczywisty mi¦dzy 0, a 1.

8. Udowodnij to»samo±¢ ∫ 1

0

arctgx

x dx = 1 2

π

2

0

t sin tdt

9. Poka» ∫

0

ϕ(a cos θ + b sin θ)dθ = 2

π

0

ϕ(

a2+ b2cos λ)dλ,

gdzie ϕ jest funkcj¡ ci¡gª¡. Wskazówka: zapisz punkt (a, b) we wspóªrz¦dnych radialnych.

10. Funkcja f(θ) zale»y w sposób ci¡gªy od k¡ta θ, gdzie 0 ≤ θ < 2π. Niech R b¦dzie obszarem zªo»onym z punktów na pªaszczy¹nie, których wspóªrz¦dne biegunowe speªniaj¡

0≤ r ≤ f(θ) oraz α ≤ θ ≤ β.

Poka», »e pole obszaru R jest równe 12β

α f (θ)2dθ. Wskazówka: Podziel przedziaª [α, β] na n równych cz¦±ci i przybli» pole odpowiedniego obszaru przez pole wycinka koªowego.

(2)

11. Oblicz pole obszaru ograniczonego przez wykresy równa« we wspóªrz¦dnych biegunowych.

Naszkicuj odpowiednie krzywe.

r = 3 sin θ; r = 9| sin 2θ|, (czterolistna ró»a);

r = 2 + 2 cos θ,(kardioida); r2 = 9 sin 2θ,(lemniskata).

12. Znajd¹ pole obszaru. W ka»dym przypadku naszkicuj odpowiedni obszar.

a) Obszar wspólny dla okr¦gów r = cos θ i r = sin θ.

b) Obszar wewn¡trz okr¦gu r = cos θ i na zewn¡trz kardioidy r = 1 − cos θ.

c) Obszar na zewn¡trz kardioidy r = 1 + cos θ i wewn¡trz kardioidy r = 1 + sin θ.

13. Oblicz pole powierzchni otrzymanej przez obrót wokóª osi x podanych wykresów.

f (x) =√

x, 2≤ x ≤ 6; f (x) = 1

3x3, 0≤ x ≤√

2; f (x) = 1

4x4+ 1

8x2, 1≤ x ≤√ 2;

(x a

)2

+ (y

b )2

= 1; x = sin2t, y = cos2t, 0≤ x ≤ π

2; x = cos3t, y = sin3t, 0≤ x ≤ 2π.

14. Oblicz obj¦to±¢ bryªy otrzymanej przez obrót podanych wykresów wokóª osi x.

f (x) = x3/2, 0≤ x ≤ 1; f (x) =−1

x, −3 ≤ x ≤ −2; g(x) =√

cos x, 0≤ x ≤ π 6 15. Oblicz obj¦to±¢ bryªy otrzymanej przez obrót wokóª osi x obszaru ograniczonego przez podane wykresy:

a) f(x) =√

x + 1, g(x) =√

x− 1, 1 ≤ x ≤ 3;

b) f(x) = cos x + sin x, g(x) = cos x − sin x, 0 ≤ x ≤ π/4;

c) f(x) = 2x − x2, g(x) = x2− 2x;

d) y = x1/2, y = 2x1/4;

e) y = x3+ 2, y = x2+ 2x + 2.

16. Oblicz obj¦to±¢ bryªy opieraj¡c si¦ na informacji o przekrojach:

a) Podstaw¡ bryªy jest trójk¡t równoramienny prostok¡tny o ramionach L1 i L2 dªugo±ci 4.

Przekroje prostopadªe do L1 sa póªkolami.

b) Podstaw¡ bryªy jest koªo o promieniu 1. Przekroje prostopadªe do ustalonej ±rednicy podstawy s¡ kwadratami.

c) Podstaw¡ bryªy jest trójk¡t równoramienny o boku 10. Przekroje prostopadªe do usta- lonej wysoko±ci trójk¡ta s¡ kwadratami.

17. Oblicz obj¦to±¢ bryªy otrzymanej przez obrót podanych wykresów wokóª osi y.

f (x) = 4

x3, 1≤ x ≤ 3; g(x) =

x2+ 1, 0≤ x ≤√

3; h(x) =

√ 1 +

x, 0≤ x ≤ 4.

18. W kuli o promieniu 2 wydr¡»ono otwór o promieniu 0, 5. O ile zmniejszyªa si¦ obj¦to±¢?

19. Poka», »e dªugo±¢ elipsy x = a cos t, y = b sin t jest równa dªugo±ci jednej 'fali' sinusoidy y = c sin(x/b), gdzie c =√

a2− b2.

20.Udowodnij, »e je»eli funkcje ci¡gªe f(x) i g(x) s¡ rosn¡ce na przedziale [0, 1], to

1

0

f (x)g(dx)dx≥

1

0

f (x)dx

1

0

g(x)dx.

21.Funkcja dodatnia f(x) jest ró»niczkowalna w sposób ci¡gªy na przedziale [0, +∞) i ma wªa- sno±¢, »e przy zamianie zmiennych ξ =x

0 f (t)dtprzechodzi na funkcj¦ e−ξ. Znajd¹ funkcj¦ f(x).

(3)

22.Oblicz pole ograniczone krzyw¡ x4+ y3 = ax2y.

23.Oblicz obj¦to±¢ bryªy powstaªej z obrotu asteroidy x2/3+ y2/3 = a2/3 dookoªa osi OX.

24.Wyka», »e dªugo±¢ L elipsy o póªosiach a i b speªnia nierówno±¢

π(a + b) < L < π√ 2√

a2+ b2.

25.Poka», »e je»eli 0 < y < x, to wtedy zachodzi nast¦puj¡ca nierówno±¢:

x + 2

2 > x− y lnx− lny

26.Niech f b¦dzie funkcj¡ dodatni¡ i ci¡gª¡ na [0, 1]; oznaczmy In=∫1

0

(f (x))n

dxdla n ∈ N.

Poka», »e

In2−1 ≤ InIn−2 dla n > 1.

27. Funkcja ci¡gªa f(x) na przedziale [0, 1] speªnia

1

0

xnf (x)dx = 0, n = 0, 1, 2, . . . Poka», »e f(x) = 0 dla 0 ≤ x ≤ 1.

Cytaty

Powiązane dokumenty

Wartość całki oznaczonej nie zaleŜy od wyboru funkcji pierwotnej... Mówimy teŜ, Ŝe całka niewłaściwa

Wi˛ekszego nakładu pracy wymagałoby analogiczne obliczenia na przykład dla danych dotycz ˛ acych przeci˛etnych kwot wydawanych przez gospodarstwa domowe na alkohol i wyroby tytoniowe

Lista nr 8 IŚ, sem.I, studia stacjonarne I stopnia, 2016/17. Całki oznaczone i ich

Narysuj wektor natęŜenia pola elektrostatycznego w punkcie leŜącym na symetralnej odcinka łączącego ładunki +Q i –Q.. Oblicz

[r]

[r]

Przekroje prostopadłe do ustalonej średnicy podstawy są kwadratami.. (c) Podstawą bryły jest trójkąt równoboczny o

Zjawisko indukcji elektromagnetycznej polega na indukowaniu się napięcia nazywanego siłą elektromotoryczną SEM w przewodzie poruszającym się w polu magnetycznym lub w