GEOMETRIA PRZESTRZENNA Lista zadań nr 11
24.1. Sprawdź wzór Eulera bezpośrednio (wyliczając ilości wierzchołków, krawędzi i ścian) dla brył platońskich, ostrosłupa o podstawie n-kątnej, graniastosłupa o podstawie n-kątnej, graniastosłupa skręconego o podstawie n-kątnej.
24.2. W dowolnym wielościanie niech Si oznacza liczbę ścian i-kątnych, zaś Wi — liczbę wierzchołków, w których spotyka się i ścian. Uzasadnij, że 3S3 + 4S4 + 5S5· · · = 3W3+ 4W4+ 5W5· · · = 2K.
24.3. Pokaż, że 3W ≤ 2K oraz 3S ≤ 2K. Kiedy zachodzą równości?
Z powyższego faktu i wzoru Eulera wywnioskuj następujące nierówności:
2W ≥ S + 4, 2S ≥ W + 4, 3W ≥ K + 6, 3S ≥ K + 6.
Czy w tych nierównościach może zdarzyć się równość? Jeśli tak, to kiedy?
24.4. Wielościan ma pięć ścian. Ile może mieć wierzchołków? Ile krawędzi?
24.5. Czy wielościan może mieć nieparzyście wiele nieparzystokątnych ścian?
24.6. Czy dla każdej trójki liczb naturalnych W, K, S spęłniających wzór Eulera istnieje wielościan wypukły o liczbie wierzchołków W , liczbie krawędzi K i liczbie ścian S? A gdy dodatkowo założymy S ≥ 4 i W ≥ 4?
24.7. Wykaż, że każdy wielościan wypukły musi mieć przynajmniej jedą ścianę trójkątną lub przynajmniej jedno naroże trójścienne.
24.8. Wykaż, że w każdym wielościanie wypukłym suma liczby ścian trójkątnych i liczby naroży trójściennych wynosi co najmniej 8. Podaj przykłady kilku różnych wielościa- nów, w których suma ta wynosi dokładnie 8.
26.1. Oblicz objętość czworościanu foremnego o krawędzi a.
26.2. Oblicz objętość ośmiościanu foremnego o krawędzi a, dzieląc go na dwa ostrosłupy (o podstawie kwadratowej).
26.3. Oblicz objętość czworościanu, w którym krawędzie wychodzące z wierzchołka A są parami prostopadłe i wszystkie mają długość a.
26.5. Oblicz objętość ośmiościanu ściętego, odejmując od objętości ośmiościanu objętości odpowiednich ostrosłupów. W podobny sposób oblicz objętości sześcianu ściętego i sześcio-ośmiościanu.
